Wyróżnik równania kwadratowego. Zastosowanie równań kwadratowych w życiu. Rozwiązania różnych typów równań kwadratowych

5x (x - 4) = 0

5 x = 0 lub x - 4 = 0

x = ± √ 25/4

Nauczywszy się rozwiązywać równania pierwszego stopnia, oczywiście chcę pracować z innymi, w szczególności z równaniami drugiego stopnia, które inaczej nazywane są kwadratowymi.

Równania kwadratowe to równania typu ax² + bx + c = 0, gdzie zmienną jest x, liczbami będą - a, b, c, gdzie a nie jest równe zeru.

Jeśli w równaniu kwadratowym jeden lub drugi współczynnik (c lub b) jest równy zeru, to równanie to będzie odnosić się do niepełnego równania kwadratowego.

Jak rozwiązać niezupełne równanie kwadratowe, jeśli do tej pory uczniowie potrafili rozwiązywać tylko równania pierwszego stopnia? Uznaj za niekompletne równania kwadratowe różne rodzaje I proste sposoby ich decyzje.

a) Jeżeli współczynnik c jest równy 0, a współczynnik b nie jest równy zeru, to ax ² + bx + 0 = 0 sprowadza się do równania postaci ax ² + bx = 0.

Aby rozwiązać takie równanie, musisz znać wzór na rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego, czyli lewa strona rozłóż to na czynniki, a później użyj warunku, że iloczyn jest równy zeru.

Na przykład 5x ² - 20x \u003d 0. Rozkładamy lewą stronę równania na czynniki, wykonując zwykłe czynności działanie matematyczne: usunięcie wspólnego czynnika z nawiasów

5x (x - 4) = 0

Używamy warunku, że iloczyny są równe zeru.

5 x = 0 lub x - 4 = 0

Odpowiedź będzie następująca: pierwszy pierwiastek to 0; drugi pierwiastek to 4.

b) Jeśli b \u003d 0, a termin wolny nie jest równy zero, to równanie ax ² + 0x + c \u003d 0 sprowadza się do równania postaci ax ² + c \u003d 0. Rozwiąż równania na dwa sposoby: a) rozłożenie wielomianu równania po lewej stronie na czynniki; b) korzystając z właściwości arytmetycznego pierwiastka kwadratowego. Takie równanie rozwiązuje się jedną z metod, na przykład:

x = ± √ 25/4

x = ± 5/2. Odpowiedź brzmi: pierwszy pierwiastek to 5/2; drugi pierwiastek to - 5/2.

c) Jeśli b jest równe 0, a c jest równe 0, to ax² + 0 + 0 = 0 sprowadza się do równania postaci ax² = 0. W takim równaniu x będzie równe 0.

Jak widać, niepełne równania kwadratowe mogą mieć co najwyżej dwa pierwiastki.

Zadania dotyczące równania kwadratowego są badane zarówno w programie szkolnym, jak i na uniwersytetach. Rozumie się je jako równania postaci a * x ^ 2 + b * x + c \u003d 0, gdzie X- zmienna, a,b,c – stałe; A<>0 . Problem polega na znalezieniu pierwiastków równania.

Geometryczne znaczenie równania kwadratowego

Wykresem funkcji reprezentowanej przez równanie kwadratowe jest parabola. Rozwiązaniami (pierwiastkami) równania kwadratowego są punkty przecięcia paraboli z osią x. Wynika z tego, że możliwe są trzy przypadki:
1) parabola nie ma punktów przecięcia z osią x. Oznacza to, że znajduje się w górnej płaszczyźnie z gałęziami w górę lub w dolnej z gałęziami w dół. W takich przypadkach równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych (ma dwa pierwiastki zespolone).

2) parabola ma jeden punkt przecięcia z osią Ox. Taki punkt nazywany jest wierzchołkiem paraboli, a równanie kwadratowe w nim uzyskuje swoją minimalną lub maksymalną wartość. W tym przypadku równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek rzeczywisty (lub dwa identyczne pierwiastki).

3) Ostatni przypadek jest bardziej interesujący w praktyce - są dwa punkty przecięcia paraboli z osią odciętych. Oznacza to, że równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste.

Na podstawie analizy współczynników przy potęgach zmiennych można wyciągnąć ciekawe wnioski na temat położenia paraboli.

1) Jeśli współczynnik a jest większy od zera, to parabola jest skierowana w górę, jeśli jest ujemna, ramiona paraboli są skierowane w dół.

2) Jeżeli współczynnik b jest większy od zera, to wierzchołek paraboli leży w lewej półpłaszczyźnie, jeśli przyjmuje wartość ujemną, to w prawej.

Wyprowadzenie wzoru na rozwiązanie równania kwadratowego

Przenieśmy stałą z równania kwadratowego

dla znaku równości otrzymujemy wyrażenie

Pomnóż obie strony przez 4a

Aby uzyskać pełny kwadrat po lewej stronie, dodaj b ^ 2 w obu częściach i wykonaj transformację

Stąd znajdujemy

Wzór na dyskryminator i pierwiastki równania kwadratowego

Wyróżnik jest wartością wyrażenia pierwiastkowego.Jeśli jest dodatni, to równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste, obliczone ze wzoru Gdy dyskryminator jest równy zero, równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie (dwa pokrywające się pierwiastki), które łatwo uzyskać z powyższego wzoru dla D = 0. Gdy dyskryminator jest ujemny, równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków. Jednak, aby zbadać rozwiązania równania kwadratowego na płaszczyźnie zespolonej, a ich wartość oblicza się według wzoru

Twierdzenie Viety

Rozważ dwa pierwiastki równania kwadratowego i skonstruuj na ich podstawie równanie kwadratowe. Z notacji łatwo wynika samo twierdzenie Vieta: jeśli mamy równanie kwadratowe postaci wtedy suma jego pierwiastków jest równa wziętemu współczynnikowi p przeciwny znak, a iloczyn pierwiastków równania jest równy wolnemu wyrazowi q. Wzór na powyższe będzie wyglądał następująco: Jeśli stała a w klasycznym równaniu jest różna od zera, to należy podzielić przez nią całe równanie, a następnie zastosować twierdzenie Vieta.

Rozkład równania kwadratowego na czynniki

Niech zadanie zostanie ustalone: ​​rozłożyć równanie kwadratowe na czynniki. Aby to wykonać, najpierw rozwiązujemy równanie (znajdź pierwiastki). Następnie podstawiamy znalezione pierwiastki do wzoru na rozwinięcie równania kwadratowego.Ten problem zostanie rozwiązany.

Zadania dla równania kwadratowego

Zadanie 1. Znajdź pierwiastki równania kwadratowego

x^2-26x+120=0 .

Rozwiązanie: Zapisz współczynniki i wstaw je do wzoru na dyskryminację

Pierwiastek tej wartości to 14, łatwo go znaleźć za pomocą kalkulatora lub zapamiętać przy częstym użyciu, jednak dla wygody na końcu artykułu podam listę kwadratów liczb, które często można znaleźć w takich zadaniach.
Znaleziona wartość jest podstawiana do formuły pierwiastka

i dostajemy

Zadanie 2. Rozwiązać równanie

2x2+x-3=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe, wypiszmy współczynniki i znajdźmy dyskryminator


Używając dobrze znanych wzorów, znajdujemy pierwiastki równania kwadratowego

Zadanie 3. Rozwiązać równanie

9x2 -12x+4=0.

Rozwiązanie: Mamy pełne równanie kwadratowe. Określ wyróżnik

Mamy przypadek, gdy korzenie się pokrywają. Wartości pierwiastków znajdujemy według wzoru

Zadanie 4. Rozwiązać równanie

x^2+x-6=0 .

Rozwiązanie: W przypadkach, gdy występują małe współczynniki dla x, wskazane jest zastosowanie twierdzenia Vieta. Z jego warunku otrzymujemy dwa równania

Z drugiego warunku otrzymujemy, że iloczyn musi być równy -6. Oznacza to, że jeden z pierwiastków jest ujemny. Mamy następującą parę możliwych rozwiązań(-3;2), (3;-2) . Biorąc pod uwagę pierwszy warunek odrzucamy drugą parę rozwiązań.
Pierwiastki równania to

Zadanie 5. Znajdź długości boków prostokąta, jeśli jego obwód wynosi 18 cm, a pole 77 cm 2.

Rozwiązanie: Połowa obwodu prostokąta jest równa sumie sąsiednich boków. Oznaczmy x - duża strona, to 18-x jest jego mniejszym bokiem. Pole prostokąta jest równe iloczynowi tych długości:
x(18x)=77;
Lub
x 2 -18x + 77 \u003d 0.
Znajdź wyróżnik równania

Obliczamy pierwiastki równania

Jeśli x=11, To 18x=7 , odwrotnie jest również prawdziwe (jeśli x=7, to 21-x=9).

Zadanie 6. Rozłóż równanie kwadratowe 10x 2 -11x+3=0 na czynniki.

Rozwiązanie: Oblicz pierwiastki równania, w tym celu znajdujemy dyskryminator

Podstawiamy znalezioną wartość do wzoru pierwiastków i obliczamy

Stosujemy wzór na rozwinięcie równania kwadratowego pod względem pierwiastków

Rozwijając nawiasy, otrzymujemy tożsamość.

Równanie kwadratowe z parametrem

Przykład 1. Dla jakich wartości parametru A , czy równanie (a-3) x 2 + (3-a) x-1 / 4 \u003d 0 ma jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: Podstawiając bezpośrednio wartość a=3, widzimy, że nie ma ona rozwiązania. Ponadto wykorzystamy fakt, że przy zerowym wyróżniku równanie ma jeden pierwiastek z krotności 2. Wypiszmy wyróżnik

uprościć i zrównać do zera

Otrzymaliśmy równanie kwadratowe w odniesieniu do parametru a, którego rozwiązanie jest łatwe do uzyskania za pomocą twierdzenia Vieta. Suma pierwiastków wynosi 7, a ich iloczyn wynosi 12. Poprzez proste wyliczenie ustalamy, że pierwiastkami równania będą liczby 3,4. Ponieważ już na początku obliczeń odrzuciliśmy rozwiązanie a=3, jedynym poprawnym będzie - a=4. Zatem dla a = 4 równanie ma jeden pierwiastek.

Przykład 2. Dla jakich wartości parametru A , równanie a(a+3)x^2+(2a+6)x-3a-9=0 ma więcej niż jeden pierwiastek?

Rozwiązanie: Rozważ najpierw punkty osobliwe, będą to wartości a=0 i a=-3. Gdy a=0, równanie uprości się do postaci 6x-9=0; x=3/2 i będzie jeden pierwiastek. Dla a= -3 otrzymujemy tożsamość 0=0 .
Oblicz wyróżnik

i znajdź wartości a, dla których jest dodatnia

Z pierwszego warunku otrzymujemy a>3. Po drugie, znajdujemy dyskryminator i pierwiastki równania


Zdefiniujmy przedziały, w których funkcja przyjmuje wartości dodatnie. Podstawiając punkt a=0 otrzymujemy 3>0 . Zatem poza przedziałem (-3; 1/3) funkcja jest ujemna. Nie zapomnij o kropce a=0 które należy wykluczyć, ponieważ pierwotne równanie ma w sobie jeden pierwiastek.
W rezultacie otrzymujemy dwa przedziały, które spełniają warunek problemu

W praktyce będzie wiele podobnych zadań, spróbuj poradzić sobie z zadaniami samodzielnie i nie zapomnij wziąć pod uwagę warunków, które wzajemnie się wykluczają. Dobrze przestudiuj wzory rozwiązywania równań kwadratowych, są one dość często potrzebne w obliczeniach w różnych problemach i naukach.

Kontynuujemy studiowanie tematu rozwiązanie równań". Zapoznaliśmy się już z równaniami liniowymi, a teraz zapoznamy się z nimi równania kwadratowe.

Najpierw przeanalizujemy, czym jest równanie kwadratowe, jak jest zapisane ogólna perspektywa i podaj powiązane definicje. Następnie, używając przykładów, szczegółowo przeanalizujemy, w jaki sposób rozwiązywane są niekompletne równania kwadratowe. Następnie przejdźmy do rozwiązywania pełnych równań, uzyskaj wzór na pierwiastki, zapoznaj się z wyróżnikiem równania kwadratowego i rozważ rozwiązania typowych przykładów. Na koniec śledzimy powiązania między pierwiastkami i współczynnikami.

Nawigacja po stronie.

Co to jest równanie kwadratowe? Ich typy

Najpierw musisz jasno zrozumieć, czym jest równanie kwadratowe. Dlatego logiczne jest, aby zacząć mówić o równaniach kwadratowych z definicją równania kwadratowego, a także definicjami z nim związanymi. Następnie możesz rozważyć główne typy równań kwadratowych: zredukowane i niezredukowane, a także równania pełne i niekompletne.

Definicja i przykłady równań kwadratowych

Definicja.

Równanie kwadratowe jest równaniem postaci a x 2 + b x + c = 0, gdzie x jest zmienną, a , b i c to pewne liczby, a a jest różne od zera.

Powiedzmy od razu, że równania kwadratowe są często nazywane równaniami drugiego stopnia. To dlatego, że równanie kwadratowe jest równanie algebraiczne drugi stopień.

Brzmiąca definicja pozwala nam podać przykłady równań kwadratowych. Więc 2 x 2 +6 x+1=0, 0,2 x 2 +2,5 x+0,03=0 itd. są równaniami kwadratowymi.

Definicja.

Liczby nazywamy a, b i c współczynniki równania kwadratowego a x 2 + b x + c \u003d 0, a współczynnik a nazywany jest pierwszym lub starszym lub współczynnikiem przy x 2, b jest drugim współczynnikiem lub współczynnikiem przy x, a c jest wolnym członkiem.

Weźmy na przykład równanie kwadratowe postaci 5 x 2 −2 x −3=0, tutaj główny współczynnik to 5, drugi współczynnik to −2, a wyraz wolny to −3. Zauważ, że gdy współczynniki b i/lub c są ujemne, jak w podanym przykładzie, używana jest skrócona postać równania kwadratowego postaci 5 x 2 −2 x −3=0, a nie 5 x 2 +(− 2 )x+(-3)=0 .

Warto zauważyć, że gdy współczynniki a i / lub b są równe 1 lub −1, to zwykle nie występują one wprost w zapisie równania kwadratowego, co wynika ze specyfiki zapisu takiego . Na przykład w równaniu kwadratowym y 2 −y+3=0 wiodący współczynnik wynosi jeden, a współczynnik przy y wynosi −1.

Zredukowane i niezredukowane równania kwadratowe

W zależności od wartości współczynnika wiodącego rozróżnia się równania kwadratowe zredukowane i niezredukowane. Podajmy odpowiednie definicje.

Definicja.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik wiodący wynosi 1 zredukowane równanie kwadratowe. W W przeciwnym razie równanie kwadratowe jest niezredukowany.

Według ta definicja, równania kwadratowe x 2 −3 x+1=0 , x 2 −x−2/3=0 itd. - zredukowane, w każdym z nich pierwszy współczynnik jest równy jeden. I 5 x 2 −x−1=0 , itd. - niezredukowane równania kwadratowe, których współczynniki wiodące są różne od 1 .

Z dowolnego niezredukowanego równania kwadratowego, dzieląc obie jego części przez wiodący współczynnik, można przejść do zredukowanego. To działanie jest transformacją równoważną, to znaczy otrzymane w ten sposób zredukowane równanie kwadratowe ma takie same pierwiastki jak pierwotne niezredukowane równanie kwadratowe lub, podobnie jak ono, nie ma pierwiastków.

Weźmy przykład, w jaki sposób przeprowadzane jest przejście z nieredukowanego równania kwadratowego do zredukowanego.

Przykład.

Z równania 3 x 2 +12 x−7=0 przejdź do odpowiedniego zredukowanego równania kwadratowego.

Rozwiązanie.

Wystarczy, że wykonamy dzielenie obu części pierwotnego równania przez wiodący współczynnik 3, jest on niezerowy, więc możemy wykonać tę czynność. Mamy (3 x 2 +12 x−7):3=0:3 , czyli to samo co (3 x 2):3+(12 x):3−7:3=0 , i tak dalej (3 :3) x 2 +(12:3) x−7:3=0 , skąd . Otrzymaliśmy więc zredukowane równanie kwadratowe, które jest równoważne pierwotnemu.

Odpowiedź:

Kompletne i niezupełne równania kwadratowe

W definicji równania kwadratowego występuje warunek a≠0. Warunek ten jest konieczny, aby równanie a x 2 +b x+c=0 było dokładnie kwadratowe, ponieważ przy a=0 staje się równaniem liniowym postaci b x+c=0 .

Jeśli chodzi o współczynniki b i c, mogą one być równe zero, zarówno osobno, jak i razem. W takich przypadkach równanie kwadratowe nazywa się niepełnym.

Definicja.

Nazywamy równanie kwadratowe a x 2 +b x+c=0 niekompletny, jeżeli co najmniej jeden ze współczynników b , c jest równy zeru.

z kolei

Definicja.

Uzupełnij równanie kwadratowe jest równaniem, w którym wszystkie współczynniki są różne od zera.

Nazwy te nie są nadawane przypadkowo. Stanie się to jasne z następującej dyskusji.

Jeżeli współczynnik b jest równy zeru, to równanie kwadratowe przyjmuje postać a x 2 +0 x+c=0 , i jest równoważne równaniu a x 2 +c=0 . Jeśli c=0, czyli równanie kwadratowe ma postać a x 2 +b x+0=0, to można je zapisać jako a x 2 +b x=0. A przy b=0 i c=0 otrzymujemy równanie kwadratowe a·x2 =0. Otrzymane równania różnią się od pełnego równania kwadratowego tym, że ich lewe strony nie zawierają ani wyrazu ze zmienną x, ani wyrazu wolnego, ani obu. Stąd ich nazwa - niepełne równania kwadratowe.

Zatem równania x 2 +x+1=0 i −2 x 2 −5 x+0,2=0 są przykładami pełnych równań kwadratowych, a x 2 = 0, −2 x 2 = 0, 5 x 2 +3 =0 , −x 2 −5 x=0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi.

Rozwiązywanie niepełnych równań kwadratowych

Z informacji z poprzedniego akapitu wynika, że ​​tak trzy rodzaje niepełnych równań kwadratowych:

• a x 2 = 0 , odpowiadają temu współczynniki b = 0 i c = 0;
• ax2 +c=0 gdy b=0;
• i a x 2 + b x = 0, gdy c = 0 .

Przeanalizujmy po kolei, jak rozwiązuje się niezupełne równania kwadratowe każdego z tych typów.

za x 2 \u003d 0

Zacznijmy od rozwiązania niezupełnych równań kwadratowych, w których współczynniki b i c są równe zeru, czyli równań postaci a x 2 = 0. Równanie a·x 2 =0 jest równoważne równaniu x 2 =0, które otrzymujemy z oryginału dzieląc obie jego części przez niezerową liczbę a. Oczywiście pierwiastek równania x 2 \u003d 0 wynosi zero, ponieważ 0 2 \u003d 0. Równanie to nie ma innych pierwiastków, co zresztą wyjaśnia się, że dla dowolnej niezerowej liczby p występuje nierówność p 2 > 0, co oznacza, że ​​dla p ≠ 0 równość p 2 = 0 nigdy nie jest osiągnięta.

Tak więc niepełne równanie kwadratowe a x 2 \u003d 0 ma jeden pierwiastek x \u003d 0.

Jako przykład podajemy rozwiązanie niepełnego równania kwadratowego −4·x 2 =0. Jest to równoważne równaniu x 2 \u003d 0, jego jedynym pierwiastkiem jest x \u003d 0, dlatego oryginalne równanie ma pojedynczy pierwiastek zero.

Krótkie rozwiązanie w tym przypadku można wydać w następujący sposób:
−4 x 2 \u003d 0,
x 2 \u003d 0,
x=0 .

ax2 +c=0

Rozważmy teraz, jak rozwiązuje się niezupełne równania kwadratowe, w których współczynnik b jest równy zero, a c≠0, czyli równania postaci a x 2 +c=0. Wiemy, że przeniesienie wyrazu z jednej strony równania na drugą o przeciwnym znaku, a także dzielenie obu stron równania przez liczbę niezerową daje równanie równoważne. Można zatem przeprowadzić następujące równoważne przekształcenia niepełnego równania kwadratowego a x 2 +c=0:

• przenieść c do prawa strona, co daje równanie a x 2 =−c ,
• i dzielimy obie jego części przez a , otrzymujemy .

Otrzymane równanie pozwala nam wyciągnąć wnioski na temat jego korzeni. W zależności od wartości a i c wartość wyrażenia może być ujemna (na przykład, jeśli a=1 i c=2 , to ) lub dodatnia (na przykład, jeśli a=−2 i c=6 , to ) nie jest równe zeru , bo z warunku c≠0 . Osobno przeanalizujemy przypadki i .

Jeśli , to równanie nie ma pierwiastków. To stwierdzenie wynika z faktu, że kwadrat dowolnej liczby jest liczbą nieujemną. Wynika z tego, że gdy , to dla dowolnej liczby p równość nie może być prawdziwa.

Jeśli , to sytuacja z pierwiastkami równania jest inna. W tym przypadku, jeśli sobie przypomnimy, pierwiastek równania natychmiast staje się oczywisty, jest to liczba, ponieważ. Łatwo się domyślić, że liczba jest również pierwiastkiem równania , rzeczywiście . To równanie nie ma innych pierwiastków, co można wykazać na przykład przez sprzeczność. Zróbmy to.

Oznaczmy właśnie dźwięczne pierwiastki równania jako x 1 i −x 1 . Załóżmy, że równanie ma inny pierwiastek x 2 różny od wskazanych pierwiastków x 1 i −x 1 . Wiadomo, że podstawienie do równania zamiast x jego pierwiastków zamienia równanie w prawdziwą równość liczbową. Dla x 1 i −x 1 mamy , a dla x 2 mamy . Własności równości liczbowych pozwalają nam wykonywać odejmowanie wyraz po wyrazie prawdziwych równości liczbowych, więc odejmowanie odpowiednich części równości daje x 1 2 − x 2 2 = 0. Własności operacji na liczbach pozwalają nam przepisać wynikową równość jako (x 1 − x 2)·(x 1 + x 2)=0 . Wiemy, że iloczyn dwóch liczb jest równy zero wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jedna z nich jest równa zeru. Zatem z otrzymanej równości wynika, że ​​x 1 −x 2 =0 i/lub x 1 +x 2 =0 , czyli to samo, x 2 = x 1 i/lub x 2 = −x 1 . Doszliśmy więc do sprzeczności, skoro na początku powiedzieliśmy, że pierwiastek równania x 2 jest różny od x 1 i −x 1 . Dowodzi to, że równanie nie ma innych pierwiastków niż i .

Podsumujmy informacje zawarte w tym akapicie. Niezupełne równanie kwadratowe a x 2 +c=0 jest równoważne równaniu , które

• nie ma korzeni, jeśli
• ma dwa pierwiastki i jeśli .

Rozważ przykłady rozwiązywania niepełnych równań kwadratowych postaci a·x 2 +c=0 .

Zacznijmy od równania kwadratowego 9 x 2 +7=0 . Po przeniesieniu wyrazu swobodnego na prawą stronę równania przyjmie on postać 9·x 2 =−7. Dzieląc obie strony wynikowego równania przez 9 , dochodzimy do . Ponieważ po prawej stronie otrzymujemy liczbę ujemną, równanie to nie ma pierwiastków, zatem pierwotne niepełne równanie kwadratowe 9 x 2 +7=0 nie ma pierwiastków.

Rozwiążmy jeszcze jedno niezupełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0. Dziewiątkę przenosimy na prawą stronę: -x 2 \u003d -9. Teraz dzielimy obie części przez −1, otrzymujemy x 2 = 9. Prawa strona zawiera liczbę dodatnią, z której wnioskujemy, że lub . Po zapisaniu ostatecznej odpowiedzi: niepełne równanie kwadratowe −x 2 +9=0 ma dwa pierwiastki x=3 lub x=−3.

a x 2 + b x = 0

Pozostaje zająć się rozwiązaniem ostatniego typu niezupełnych równań kwadratowych dla c=0 . Niepełne równania kwadratowe postaci a x 2 +b x=0 pozwalają rozwiązać metoda faktoryzacji. Oczywiście możemy, znajdujący się po lewej stronie równania, dla którego wystarczy wyjąć wspólny czynnik x z nawiasów. To pozwala nam przejść od pierwotnego niepełnego równania kwadratowego do równoważnego równania postaci x·(a·x+b)=0 . To równanie jest równoważne zbiorowi dwóch równań x=0 i a x+b=0 , z których ostatnie jest liniowe i ma pierwiastek x=−b/a .

Zatem niepełne równanie kwadratowe a x 2 +b x=0 ma dwa pierwiastki x=0 i x=−b/a.

Aby skonsolidować materiał, przeanalizujemy rozwiązanie konkretnego przykładu.

Przykład.

Rozwiązać równanie.

Rozwiązanie.

Wyciągamy x z nawiasów, to daje równanie. Jest to równoważne dwóm równaniom x=0 i . Rozwiązujemy otrzymane równanie liniowe: i dzielenie pomieszane numery NA ułamek wspólny, znaleźliśmy . Dlatego pierwiastki pierwotnego równania to x=0 i .

Po nabraniu niezbędnej praktyki rozwiązania takich równań można krótko zapisać:

Odpowiedź:

x=0 , .

Wyróżnik, wzór pierwiastków równania kwadratowego

Aby rozwiązać równania kwadratowe, istnieje wzór na pierwiastek. Zapiszmy wzór pierwiastków równania kwadratowego: , Gdzie re=b 2 −4 za do- tak zwana dyskryminator równania kwadratowego. Notacja zasadniczo oznacza, że ​​.

Warto wiedzieć, w jaki sposób uzyskano wzór na pierwiastek i jak jest on stosowany do znajdowania pierwiastków równań kwadratowych. Zajmijmy się tym.

Wyprowadzenie wzoru pierwiastków równania kwadratowego

Rozwiążmy równanie kwadratowe a·x 2 +b·x+c=0 . Wykonajmy kilka równoważnych przekształceń:

• Możemy podzielić obie części tego równania przez niezerową liczbę a, w wyniku czego otrzymamy zredukowane równanie kwadratowe.
• Teraz wybierz pełny kwadrat po jego lewej stronie: . Następnie równanie przybierze postać .
• Na tym etapie możliwe jest przeprowadzenie przeniesienia dwóch ostatnich wyrazów na prawą stronę o przeciwnym znaku, mamy .
• Przekształćmy też wyrażenie po prawej stronie: .

W rezultacie dochodzimy do równania , które jest równoważne oryginalnemu równaniu kwadratowemu a·x 2 +b·x+c=0 .

Rozwiązywaliśmy już równania o podobnej formie w poprzednich akapitach podczas analizy. To pozwala nam wyciągnąć następujące wnioski dotyczące pierwiastków równania:

• jeśli , to równanie nie ma rzeczywistych rozwiązań;
• jeśli , to równanie ma zatem postać , z której widoczny jest jego jedyny pierwiastek;
• jeśli , to lub , co jest takie samo jak lub , czyli równanie ma dwa pierwiastki.

Tak więc obecność lub brak pierwiastków równania, a tym samym pierwotnego równania kwadratowego, zależy od znaku wyrażenia po prawej stronie. Z kolei o znaku tego wyrażenia decyduje znak licznika, gdyż mianownik 4 a 2 jest zawsze dodatni, czyli znak wyrażenia b 2 −4 a c . To wyrażenie b 2 −4 a c nazywa się dyskryminator równania kwadratowego i oznaczone literą D. Stąd istota dyskryminatora jest jasna - na podstawie jego wartości i znaku stwierdza się, czy równanie kwadratowe ma rzeczywiste pierwiastki, a jeśli tak, to jaka jest ich liczba - jeden lub dwa.

Wracamy do równania , przepisujemy je stosując notację dyskryminatora: . I dochodzimy do wniosku:

• jeśli D<0 , то это уравнение не имеет действительных корней;
• jeśli D=0, to równanie to ma jeden pierwiastek;
• ostatecznie, jeśli D>0, to równanie ma dwa pierwiastki lub , które można zapisać w postaci lub , a po rozwinięciu i sprowadzeniu ułamków do wspólnego mianownika otrzymujemy .

Wyprowadziliśmy więc wzory na pierwiastki równania kwadratowego, wyglądają one jak , gdzie wyróżnik D jest obliczany ze wzoru D=b 2 −4 a c .

Z ich pomocą, z dodatnim wyróżnikiem, można obliczyć oba pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego. Gdy dyskryminator jest równy zeru, oba wzory dają ten sam pierwiastek odpowiadający jedynemu rozwiązaniu równania kwadratowego. A przy ujemnym wyróżniku, próbując użyć wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, mamy do czynienia z wyodrębnieniem pierwiastka kwadratowego z Liczba ujemna co wyprowadza nas poza granice i program nauczania. Z ujemnym wyróżnikiem równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków, ale ma parę złożony koniugat korzenie, które można znaleźć przy użyciu tych samych formuł korzeni, które otrzymaliśmy.

Algorytm rozwiązywania równań kwadratowych za pomocą wzorów pierwiastkowych

W praktyce, rozwiązując równanie kwadratowe, możesz od razu użyć wzoru na pierwiastek, za pomocą którego obliczysz ich wartości. Ale chodzi bardziej o znalezienie złożonych korzeni.

Jednak w kurs szkolny algebry zazwyczaj nie dotyczą złożonych równań, ale rzeczywistych pierwiastków równania kwadratowego. W takim przypadku wskazane jest, aby najpierw znaleźć dyskryminator przed użyciem wzorów na pierwiastki równania kwadratowego, upewnić się, że nie jest on ujemny (w przeciwnym razie możemy stwierdzić, że równanie nie ma rzeczywistych pierwiastków), a następnie obliczyć wartości pierwiastków.

Powyższe rozumowanie pozwala nam pisać algorytm rozwiązywania równania kwadratowego. Aby rozwiązać równanie kwadratowe a x 2 + b x + c \u003d 0, potrzebujesz:

• korzystając ze wzoru na wyróżnik D=b 2 −4 a c oblicz jego wartość;
• wywnioskować, że równanie kwadratowe nie ma pierwiastków rzeczywistych, jeśli wyróżnik jest ujemny;
• obliczyć jedyny pierwiastek równania, korzystając ze wzoru, jeśli D=0;
• znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste równania kwadratowego za pomocą wzoru na pierwiastek, jeśli wyróżnik jest dodatni.

Tutaj tylko zauważmy, że jeśli dyskryminator jest równy zeru, to formuła również może być użyta, da taką samą wartość jak .

Możesz przejść do przykładów zastosowania algorytmu do rozwiązywania równań kwadratowych.

Przykłady rozwiązywania równań kwadratowych

Rozważ rozwiązania trzech równań kwadratowych z wyróżnikiem dodatnim, ujemnym i zerowym. Zajmując się ich rozwiązaniem, przez analogię możliwe będzie rozwiązanie dowolnego innego równania kwadratowego. Zaczynajmy.

Przykład.

Znajdź pierwiastki równania x 2 +2 x−6=0 .

Rozwiązanie.

W tym przypadku mamy następujące współczynniki równania kwadratowego: a=1 , b=2 i c=−6 . Zgodnie z algorytmem najpierw musisz obliczyć dyskryminator, w tym celu podstawiamy wskazane a, b i c do wzoru dyskryminacyjnego, mamy re=b 2 −4 a c=2 2 −4 1 (−6)=4+24=28. Ponieważ 28>0, czyli wyróżnik jest większy od zera, równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdźmy je według wzoru pierwiastki , dostajemy , tutaj możemy uprościć wyrażenia uzyskane przez wykonanie rozkładając znak pierwiastka następnie redukcja frakcji:

Odpowiedź:

Przejdźmy do następnego typowego przykładu.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe −4 x 2 +28 x−49=0 .

Rozwiązanie.

Zaczynamy od znalezienia wyróżnika: D=28 2 −4 (−4) (−49)=784−784=0. Dlatego to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek, który znajdujemy jako , to znaczy

Odpowiedź:

x=3,5 .

Pozostaje rozważyć rozwiązanie równań kwadratowych z ujemnym wyróżnikiem.

Przykład.

Rozwiąż równanie 5 y 2 +6 y+2=0 .

Rozwiązanie.

Oto współczynniki równania kwadratowego: a=5 , b=6 i c=2 . Zastępując te wartości formułą dyskryminacyjną, mamy D=b 2 −4 a c=6 2 −4 5 2=36−40=−4. Wyróżnik jest ujemny, dlatego to równanie kwadratowe nie ma rzeczywistych pierwiastków.

Jeśli chcesz określić złożone pierwiastki, używamy dobrze znanego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego i wykonujemy operacje na liczbach zespolonych:

Odpowiedź:

nie ma prawdziwych korzeni, złożone korzenie to: .

Jeszcze raz zauważamy, że jeśli dyskryminator równania kwadratowego jest ujemny, to szkoła zwykle od razu zapisuje odpowiedź, w której wskazuje, że nie ma prawdziwych pierwiastków i nie znajduje pierwiastków zespolonych.

Wzór na pierwiastek dla parzystych drugich współczynników

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego , gdzie D=b 2 −4 a c pozwala uzyskać bardziej zwarty wzór, który pozwala rozwiązywać równania kwadratowe z parzystym współczynnikiem w x (lub po prostu ze współczynnikiem, który wygląda jak 2 n , na przykład, lub 14 ln5=2 7 ln5 ). Wyprowadźmy ją.

Powiedzmy, że musimy rozwiązać równanie kwadratowe postaci a x 2 +2 n x + c=0 . Znajdźmy jego korzenie, korzystając ze znanej nam formuły. W tym celu obliczamy dyskryminator D=(2 n) 2 −4 za c=4 n 2 −4 za c=4 (n 2 −a c), a następnie używamy wzoru na pierwiastek:

Oznaczmy wyrażenie n 2 −a c jako D 1 (czasami oznaczamy je jako D"). Wówczas wzór na pierwiastki rozważanego równania kwadratowego o drugim współczynniku 2 n przyjmuje postać , gdzie re 1 = n 2 − za do .

Łatwo zauważyć, że D=4·D 1 , czyli D 1 = D/4 . Innymi słowy, D 1 jest czwartą częścią wyróżnika. Jest oczywiste, że znak D 1 jest taki sam jak znak D . Oznacza to, że znak D 1 jest również wskaźnikiem obecności lub braku pierwiastków równania kwadratowego.

Tak więc, aby rozwiązać równanie kwadratowe z drugim współczynnikiem 2 n, potrzebujesz

• Oblicz re 1 = n 2 − a · c ;
• Jeśli D1<0 , то сделать вывод, что действительных корней нет;
• Jeśli D 1 = 0, oblicz jedyny pierwiastek równania za pomocą wzoru;
• Jeśli D 1 > 0, znajdź dwa pierwiastki rzeczywiste za pomocą wzoru.

Rozważ rozwiązanie przykładu, używając formuły pierwiastka uzyskanej w tym akapicie.

Przykład.

Rozwiąż równanie kwadratowe 5 x 2 −6 x−32=0 .

Rozwiązanie.

Drugi współczynnik tego równania można przedstawić jako 2·(−3) . Oznacza to, że możesz przepisać oryginalne równanie kwadratowe w postaci 5 x 2 +2 (−3) x−32=0 , tutaj a=5 , n=−3 i c=−32 , i obliczyć czwartą część dyskryminator: re 1 =n 2 −a c=(−3) 2 −5 (−32)=9+160=169. Ponieważ jego wartość jest dodatnia, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste. Znajdujemy je za pomocą odpowiedniej formuły głównej:

Zauważ, że możliwe było użycie zwykłego wzoru na pierwiastki równania kwadratowego, ale w tym przypadku należałoby wykonać więcej pracy obliczeniowej.

Odpowiedź:

Uproszczenie postaci równań kwadratowych

Czasami przed przystąpieniem do obliczania pierwiastków równania kwadratowego za pomocą wzorów nie zaszkodzi zadać pytanie: „Czy można uprościć postać tego równania”? Zgadzam się, że pod względem obliczeniowym łatwiej będzie rozwiązać równanie kwadratowe 11 x 2 −4 x −6=0 niż 1100 x 2 −400 x−600=0 .

Zwykle uproszczenie postaci równania kwadratowego uzyskuje się przez pomnożenie lub podzielenie obu stron równania przez pewną liczbę. Na przykład w poprzednim akapicie udało nam się uzyskać uproszczenie równania 1100 x 2 −400 x −600=0, dzieląc obie strony przez 100 .

Podobną transformację przeprowadza się za pomocą równań kwadratowych, których współczynniki nie są . W tym przypadku obie części równania są zwykle dzielone przez bezwzględne wartości jego współczynników. Weźmy na przykład równanie kwadratowe 12 x 2 −42 x+48=0. bezwzględne wartości jego współczynników: gcd(12, 42, 48)= gcd(gcd(12, 42), 48)= gcd(6, 48)=6 . Dzieląc obie części pierwotnego równania kwadratowego przez 6 , otrzymujemy równoważne równanie kwadratowe 2 x 2 −7 x+8=0 .

A mnożenie obu części równania kwadratowego jest zwykle wykonywane w celu pozbycia się współczynników ułamkowych. W tym przypadku mnożenie odbywa się na mianownikach jego współczynników. Na przykład, jeśli obie części równania kwadratowego zostaną pomnożone przez LCM(6, 3, 1)=6 , to przyjmie prostszą postać x 2 +4 x−18=0 .

Podsumowując ten akapit, zauważamy, że prawie zawsze pozbywamy się minusa na wiodącym współczynniku równania kwadratowego, zmieniając znaki wszystkich wyrazów, co odpowiada pomnożeniu (lub podzieleniu) obu części przez −1. Na przykład zwykle z równania kwadratowego −2·x 2 −3·x+7=0 dochodzimy do rozwiązania 2·x 2 +3·x−7=0 .

Zależność między pierwiastkami a współczynnikami równania kwadratowego

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego wyraża pierwiastki równania pod względem jego współczynników. Na podstawie formuły pierwiastków można uzyskać inne zależności między pierwiastkami a współczynnikami.

Najbardziej znane i stosowane wzory z twierdzenia Vieta o formie i . W szczególności dla danego równania kwadratowego suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi o przeciwnym znaku, a iloczyn pierwiastków jest wyrazem wolnym. Na przykład z postaci równania kwadratowego 3 x 2 −7 x+22=0 możemy od razu powiedzieć, że suma jego pierwiastków wynosi 7/3, a iloczyn pierwiastków to 22/3.

Korzystając z już napisanych wzorów, możesz uzyskać szereg innych relacji między pierwiastkami i współczynnikami równania kwadratowego. Na przykład możesz wyrazić sumę kwadratów pierwiastków równania kwadratowego za pomocą jego współczynników: .

Bibliografia.

• Algebra: podręcznik na 8 komórek. ogólne wykształcenie instytucje / [Yu. N. Makarychev, NG Mindyuk, KI Neshkov, SB Suvorova]; wyd. SA Telyakovsky. - 16 wyd. - M. : Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8 klasa. O 14.00 Część 1. Podręcznik dla uczniów placówek oświatowych / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, wymazane. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2 .

Równania kwadratowe. dyskryminujący. Rozwiązanie, przykłady.

Uwaga!
Są dodatkowe
materiał w sekcji specjalnej 555.
Dla tych, którzy zdecydowanie „nie bardzo…”
I dla tych, którzy "bardzo...")

Rodzaje równań kwadratowych

Co to jest równanie kwadratowe? Jak to wygląda? W terminie równanie kwadratowe słowo kluczowe to "kwadrat". Oznacza to, że w równaniu Koniecznie musi być x do kwadratu. Oprócz tego w równaniu może być (lub nie może być!) Tylko x (do pierwszego stopnia) i tylko liczba (Wolny Członek). I nie powinno być x w stopniu większym niż dwa.

Z matematycznego punktu widzenia równanie kwadratowe jest równaniem postaci:

Tutaj a, b i c- kilka liczb. b i c- absolutnie dowolny, ale A- wszystko oprócz zera. Na przykład:

Tutaj A =1; B = 3; C = -4

Tutaj A =2; B = -0,5; C = 2,2

Tutaj A =-3; B = 6; C = -18

No to masz pomysł...

W tych równaniach kwadratowych po lewej stronie jest Pełen zestaw członkowie. x kwadrat ze współczynnikiem A, x do pierwszej potęgi ze współczynnikiem B I wolny członek

Takie równania kwadratowe nazywane są kompletny.

I jeśli B= 0, co otrzymamy? Mamy X zniknie w pierwszym stopniu. Dzieje się tak od pomnożenia przez zero.) Okazuje się na przykład:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x2 +4x=0

I tak dalej. A jeśli oba współczynniki B I C są równe zeru, to sprawa jest jeszcze prostsza:

2x 2 \u003d 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Takie równania, w których czegoś brakuje, nazywamy niepełne równania kwadratowe. Co jest całkiem logiczne.) Proszę zauważyć, że x do kwadratu występuje we wszystkich równaniach.

Swoją drogą dlaczego A nie może być zero? I zamiast tego zastępujesz A zero.) X w kwadracie zniknie! Równanie stanie się liniowe. A robi się to inaczej...

To wszystkie główne typy równań kwadratowych. Kompletne i niekompletne.

Rozwiązywanie równań kwadratowych.

Rozwiązanie pełnych równań kwadratowych.

Równania kwadratowe są łatwe do rozwiązania. Według formuł i jasnych prostych zasad. Na pierwszym etapie potrzebujesz dane równanie prowadzić do standardowy widok, tj. do widoku:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu.) Najważniejsze jest prawidłowe określenie wszystkich współczynników, A, B I C.

Wzór na znalezienie pierwiastków równania kwadratowego wygląda następująco:

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący. Ale więcej o nim poniżej. Jak widać, aby znaleźć x, używamy tylko a, b i c. Te. współczynniki z równania kwadratowego. Po prostu ostrożnie zastąp wartości a, b i c do tego wzoru i policz. Zastąpić swoimi znakami! Na przykład w równaniu:

A =1; B = 3; C= -4. Tutaj piszemy:

Przykład prawie rozwiązany:

Oto odpowiedź.

Wszystko jest bardzo proste. I jak myślisz, nie możesz się pomylić? No tak, jak...

Najczęstsze błędy to mylenie ze znakami wartości a, b i c. A raczej nie z ich znakami (gdzie tu się mylić?), ale z podstawieniem wartości ujemnych do wzoru na obliczenie pierwiastków. Tutaj zapisuje się szczegółowy zapis formuły z określonymi liczbami. W przypadku problemów z obliczeniami, więc zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj A = -6; B = -5; C = -1

Powiedzmy, że wiesz, że rzadko otrzymujesz odpowiedzi za pierwszym razem.

Cóż, nie bądź leniwy. Napisanie dodatkowej linii zajmie 30 sekund.I liczba błędów gwałtownie spadnie. Piszemy więc szczegółowo, ze wszystkimi nawiasami i znakami:

Malowanie tak starannie wydaje się niezwykle trudne. Ale tylko się wydaje. Spróbuj. Cóż, lub wybierz. Co jest lepsze, szybkie czy właściwe? Poza tym sprawię, że będziesz szczęśliwy. Po jakimś czasie nie będzie trzeba tak dokładnie wszystkiego malować. Po prostu okaże się, że jest dobrze. Zwłaszcza jeśli używasz praktyczne techniki które opisano poniżej. Ten zły przykład z mnóstwem minusów zostanie rozwiązany łatwo i bez błędów!

Ale często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Czy wiedziałeś?) Tak! Ten niepełne równania kwadratowe.

Rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych.

Można je również rozwiązać za pomocą ogólnego wzoru. Musisz tylko poprawnie dowiedzieć się, co jest tutaj równe a, b i c.

Realizowany? W pierwszym przykładzie a = 1; b = -4; A C? W ogóle nie istnieje! Cóż, tak, zgadza się. W matematyce oznacza to, że do = 0 ! To wszystko. Zastąp zero w formule zamiast C, i wszystko nam się ułoży. Podobnie z drugim przykładem. Tylko zero, którego tutaj nie mamy Z, A B !

Ale niepełne równania kwadratowe można rozwiązać znacznie łatwiej. Bez żadnych formuł. Rozważ pierwsze niepełne równanie. Co można zrobić po lewej stronie? Możesz wyjąć X z nawiasów! Wyjmijmy to.

I co z tego? I fakt, że iloczyn jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy którykolwiek z czynników jest równy zeru! nie wierzysz? Cóż, wymyśl dwie liczby różne od zera, które po pomnożeniu dadzą zero!
Nie działa? Coś...
Dlatego śmiało możemy napisać: x 1 = 0, x 2 = 4.

Wszystko. To będą pierwiastki naszego równania. Oba pasują. Podstawiając dowolne z nich do pierwotnego równania, otrzymujemy poprawną tożsamość 0 = 0. Jak widać, rozwiązanie jest znacznie prostsze niż ogólny wzór. Nawiasem mówiąc, zauważam, który X będzie pierwszy, a który drugi - jest to absolutnie obojętne. Łatwo pisać w kolejności x 1- cokolwiek jest mniejsze x2- to, co jest więcej.

Drugie równanie również można łatwo rozwiązać. Przesuwamy 9 na prawą stronę. Otrzymujemy:

Pozostaje wyodrębnić pierwiastek z 9 i to wszystko. Dostawać:

również dwa korzenie . x 1 = -3, x 2 = 3.

W ten sposób rozwiązywane są wszystkie niepełne równania kwadratowe. Albo usuwając X z nawiasów, albo po prostu przenosząc liczbę w prawo, a następnie wyodrębniając pierwiastek.
Bardzo trudno jest pomylić te metody. Po prostu dlatego, że w pierwszym przypadku trzeba będzie wyodrębnić pierwiastek z X, co jest jakoś niezrozumiałe, aw drugim przypadku nie ma co wyciągać z nawiasów...

dyskryminujący. Formuła dyskryminacyjna.

magiczne słowo dyskryminujący ! Rzadki licealista nie słyszał tego słowa! Wyrażenie „decyduj poprzez dyskryminującego” jest uspokajające i uspokajające. Bo nie ma co czekać na sztuczki od dyskryminatora! Jest prosty i bezproblemowy w użyciu.) Przypominam najbardziej ogólny wzór na rozwiązanie każdy równania kwadratowe:

Wyrażenie pod znakiem pierwiastka nazywa się dyskryminatorem. Wyróżnik jest zwykle oznaczony literą D. Formuła dyskryminacyjna:

re = b 2 - 4ac

A co jest takiego szczególnego w tym wyrażeniu? Dlaczego zasługuje na specjalną nazwę? Co znaczenie wyróżnika? Mimo wszystko -B, Lub 2a w tej formule nie nazywają konkretnie ... Litery i litery.

Chodzi o to. Rozwiązując równanie kwadratowe za pomocą tego wzoru, jest to możliwe tylko trzy przypadki.

1. Wyróżnik jest dodatni. Oznacza to, że możesz wyodrębnić z niego root. Inną kwestią jest to, czy korzeń jest ekstrahowany dobrze, czy źle. Ważne jest, co jest zasadniczo wyodrębniane. Wtedy twoje równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki. Dwa różne rozwiązania.

2. Wyróżnik wynosi zero. Wtedy masz jedno rozwiązanie. Ponieważ dodanie lub odjęcie zera w liczniku niczego nie zmienia. Ściśle mówiąc, nie jest to pojedynczy korzeń, ale dwa identyczne. Ale w uproszczonej wersji zwykle się o tym mówi jedno rozwiązanie.

3. Wyróżnik jest ujemny. Liczba ujemna nie bierze pierwiastka kwadratowego. Cóż, w porządku. Oznacza to, że nie ma rozwiązań.

Szczerze mówiąc, o godz proste rozwiązanie równania kwadratowe, pojęcie dyskryminatora nie jest szczególnie wymagane. Podstawiamy wartości współczynników we wzorze i rozważamy. Tam wszystko okazuje się samo, dwa korzenie i jeden, a nie jeden. Jednak przy rozwiązywaniu bardziej złożonych zadań, bez wiedzy znaczenie i formuła dyskryminacyjna niewystarczająco. Zwłaszcza - w równaniach z parametrami. Takie równania to akrobacje dla GIA i Jednolitego Egzaminu Państwowego!)

Więc, jak rozwiązywać równania kwadratowe przez wyróżnik, który zapamiętałeś. Lub nauczyłem się, co też nie jest złe.) Wiesz, jak poprawnie zidentyfikować a, b i c. Czy wiesz jak uważnie podstaw je do formuły głównej i uważnie policz wynik. Czy rozumiesz to słowo kluczowe Tutaj - uważnie?

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów. Właśnie te, które wynikają z nieuwagi ... Dla których jest to bolesne i obraźliwe ...

Pierwsza recepcja . Nie bądź leniwy przed rozwiązaniem równania kwadratowego, aby doprowadzić je do standardowej postaci. Co to znaczy?
Załóżmy, że po wszelkich przekształceniach otrzymasz następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzeni! Prawie na pewno pomieszasz szanse a, b i c. Poprawnie zbuduj przykład. Najpierw x do kwadratu, potem bez kwadratu, potem wolny element. Lubię to:

I znowu, nie spiesz się! Minus przed x do kwadratu może cię bardzo zdenerwować. Łatwo zapomnieć... Pozbądź się minusa. Jak? Tak, jak nauczano w poprzednim temacie! Musimy pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:

A teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład. Zdecyduj sam. Powinieneś skończyć z pierwiastkami 2 i -1.

Drugie przyjęcie. Sprawdź swoje korzenie! Zgodnie z twierdzeniem Viety. Nie martw się, wszystko ci wyjaśnię! Kontrola Ostatnia rzecz równanie. Te. ten, za pomocą którego zapisaliśmy formułę pierwiastków. Jeśli (jak w tym przykładzie) współczynnik za = 1, łatwo sprawdź korzenie. Wystarczy je pomnożyć. Powinieneś otrzymać bezpłatny termin, tj. w naszym przypadku -2. Uwaga, nie 2, ale -2! Wolny Członek ze swoim znakiem . Jeśli się nie udało, oznacza to, że gdzieś już nawalili. Wyszukaj błąd.

Jeśli się udało, musisz złożyć korzenie. Ostatnia i ostateczna kontrola. Powinien być stosunek B Z naprzeciwko podpisać. W naszym przypadku -1+2 = +1. Współczynnik B, które znajduje się przed x, jest równe -1. Więc wszystko się zgadza!
Szkoda, że ​​jest to takie proste tylko dla przykładów, gdzie x do kwadratu jest czyste, ze współczynnikiem za = 1. Ale przynajmniej sprawdź w takich równaniach! Wszystko mniej błędów będzie.

Recepcja trzecia . Jeśli twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Pomnóż równanie przez wspólny mianownik, jak opisano w lekcji „Jak rozwiązywać równania? Transformacje tożsamościowe”. Podczas pracy z ułamkami błędy z jakiegoś powodu wspinają się ...

Nawiasem mówiąc, obiecałem zły przykład z mnóstwem minusów dla uproszczenia. Proszę! Tutaj jest.

Aby nie pomylić się w minusach, mnożymy równanie przez -1. Otrzymujemy:

To wszystko! Decydowanie jest zabawne!

Podsumujmy więc temat.

Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem doprowadzamy równanie kwadratowe do standardowej postaci, budujemy je Prawidłowy.

2. Jeśli przed x w kwadracie występuje ujemny współczynnik, eliminujemy go, mnożąc całe równanie przez -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni współczynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik dla niego równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić za pomocą twierdzenia Vieta. Zrób to!

Teraz możesz zdecydować.)

Rozwiąż równania:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3 x + 8 = 0

x 2 - 4 x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Odpowiedzi (w nieładzie):

x 1 = 0
x 2 = 5

x 1,2 =2

x 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - dowolna liczba

x 1 = -3
x 2 = 3

żadnych rozwiązań

x 1 = 0,25
x 2 \u003d 0,5

Czy wszystko pasuje? Świetnie! Równania kwadratowe nie są twoje ból głowy. Pierwsze trzy się sprawdziły, ale reszta nie? Wtedy problem nie leży w równaniach kwadratowych. Problem tkwi w identycznych przekształceniach równań. Zerknij na link, jest pomocny.

Nie do końca działa? A może w ogóle nie działa? W takim razie pomoże ci sekcja 555. Tam wszystkie te przykłady są posortowane według kości. Seans główny błędy w rozwiązaniu. Oczywiście opisane jest również zastosowanie identycznych przekształceń w rozwiązywaniu różnych równań. Bardzo pomaga!

Jeśli podoba Ci się ta strona...

Przy okazji, mam dla ciebie jeszcze kilka interesujących stron.)

Możesz ćwiczyć rozwiązywanie przykładów i sprawdzać swój poziom. Testowanie z natychmiastową weryfikacją. Nauka - z zainteresowaniem!)

możesz zapoznać się z funkcjami i pochodnymi.

W tym artykule rozważymy rozwiązanie niepełnych równań kwadratowych.

Ale najpierw powtórzmy, jakie równania nazywamy kwadratowymi. Nazywa się równanie postaci ax 2 + bx + c \u003d 0, gdzie x jest zmienną, a współczynniki a, b i c są pewnymi liczbami, a a ≠ 0 kwadrat. Jak widać, współczynnik przy x 2 nie jest równy zeru, a zatem współczynniki przy x lub wolnym wyrazie mogą być równe zeru, w tym przypadku otrzymujemy niepełne równanie kwadratowe.

Istnieją trzy rodzaje niepełnych równań kwadratowych:

1) Jeśli b \u003d 0, c ≠ 0, to ax 2 + c \u003d 0;

2) Jeśli b ≠ 0, c \u003d 0, to ax 2 + bx \u003d 0;

3) Jeśli b \u003d 0, c \u003d 0, to topór 2 \u003d 0.

• Zobaczmy, jak się rozwiążą równania postaci ax 2 + c = 0.

Aby rozwiązać równanie, przenosimy wolny termin z na prawą stronę równania, otrzymujemy

topór 2 = ‒s. Ponieważ a ≠ 0, to dzielimy obie części równania przez a, a następnie x 2 \u003d -c / a.

Jeśli ‒с/а > 0, to równanie ma dwa pierwiastki

x = ±√(–c/a) .

Jeśli ‒c/a< 0, то это уравнение решений не имеет. Более наглядно решение данных уравнений представлено на схеме.

Spróbujmy zrozumieć na przykładach, jak rozwiązywać takie równania.

Przykład 1. Rozwiąż równanie 2x 2 - 32 = 0.

Odpowiedź: x 1 \u003d - 4, x 2 \u003d 4.

Przykład 2. Rozwiąż równanie 2x 2 + 8 = 0.

Odpowiedź: Równanie nie ma rozwiązań.

• Zobaczmy, jak się rozwiążą równania postaci ax 2 + bx = 0.

Aby rozwiązać równanie ax 2 + bx \u003d 0, rozkładamy je na czynniki, to znaczy wyjmujemy x z nawiasów, otrzymujemy x (ax + b) \u003d 0. Produkt wynosi zero, jeśli co najmniej jeden z czynniki są zerowe. Wtedy albo х = 0 albo ах + b = 0. Rozwiązując równanie ах + b = 0, otrzymujemy ах = – b, skąd х = – b/a. Równanie postaci ax 2 + bx \u003d 0 ma zawsze dwa pierwiastki x 1 \u003d 0 i x 2 \u003d - b / a. Zobacz jak rozwiązanie równań tego typu wygląda na diagramie.

Utrwalmy naszą wiedzę na konkretnym przykładzie.

Przykład 3. Rozwiąż równanie 3x 2 - 12x = 0.

x(3x - 12) = 0

x \u003d 0 lub 3x - 12 \u003d 0

Odpowiedź: x 1 = 0, x 2 = 4.

• Równania trzeciego typu ax 2 = 0 rozwiązać bardzo prosto.

Jeśli ax 2 \u003d 0, to x 2 \u003d 0. Równanie ma dwa równe pierwiastki x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 0.

Dla jasności rozważ diagram.

Rozwiązując przykład 4, upewnimy się, że równania tego typu są rozwiązywane w bardzo prosty sposób.

Przykład 4 Rozwiąż równanie 7x 2 = 0.

Odpowiedź: x 1, 2 = 0.

Nie zawsze od razu wiadomo, jakiego rodzaju niezupełne równanie kwadratowe mamy do rozwiązania. Rozważ następujący przykład.

Przykład 5 Rozwiązać równanie

Pomnóż obie strony równania przez wspólny mianownik, czyli przez 30

tnijmy się

5 (5x 2 + 9) - 6 (4x 2 - 9) \u003d 90.

Otwórzmy nawiasy

25x2 + 45 - 24x2 + 54 = 90.

Oto podobne

Przenieśmy 99 z lewej strony równania na prawo, zmieniając znak na przeciwny

Odpowiedź: brak korzeni.

Przeanalizowaliśmy, jak rozwiązuje się niezupełne równania kwadratowe. Mam nadzieję, że teraz nie będziesz miał trudności z takimi zadaniami. Zachowaj ostrożność przy określaniu typu niepełnego równania kwadratowego, wtedy odniesiesz sukces.

Jeśli masz jakieś pytania na ten temat, zapisz się na moje lekcje, wspólnie rozwiążemy problemy.

strona, z pełnym lub częściowym kopiowaniem materiału, wymagany jest link do źródła.