Konštrukcia sietí pre metódu konečných objemov. Metóda konečného objemu. Rozdelenie objemu kocky na konečné objemy
Výhodou tejto metódy je, že je založená na zákonoch zachovania. Metóda kontrolného objemu preto na rozdiel od metódy konečných rozdielov zabezpečuje konzervatívnosť numerickej schémy, čo umožňuje získať riešenia, ktoré sú z hľadiska presnosti prijateľné aj na relatívne hrubých mriežkach.
Hlavná myšlienka metódy je pomerne jednoduchá a ľahko prístupná fyzickej interpretácii. Pri diskretizácii Reynoldsovho priemeru Navier-Stokesových rovníc sa výpočtová oblasť rozdelí na veľký počet neprekrývajúcich sa elementárnych objemov, takže každý objem obsahuje iba jeden výpočtový (uzlový) bod. Súbor elementárnych objemov sa nazýva výpočtová sieť. Bunky mriežky môžu mať rôzne tvary. Najčastejšie sa používajú šesťsteny (šesťsteny) a štvorsteny (štvorsteny). Metóda kontrolného objemu umožňuje použitie buniek s ľubovoľným počtom plôch (pyramídy, hranoly, zložité mnohosteny atď.).
Riešenie systému rovníc (1) – (18) je reprezentované ako množina hodnôt požadovaných parametrov v stredoch týchto objemov. Ak napríklad rozdelíme objem miestnosti na 1000 jednotlivých elementárnych objemov (buniek), výsledkom riešenia bude 1000 hodnôt teploty, rýchlosti, tlaku atď. Na obr. Obrázok 2 zobrazuje fragment výpočtovej domény. Bunky sú očíslované indexmi i, j, k.
Ryža. 2. Fragment výpočtovej oblasti
Integrácia diferenciálnych rovníc sa vykonáva pre každý elementárny objem. Integrály sa počítajú pomocou interpolačných vzorcov, ktoré sa používajú na určenie hodnôt požadovaných premenných medzi vypočítanými bodmi. Výsledkom je, že sa získa diskrétny analóg pôvodných rovníc v uzlových bodoch, ktorý odráža zákon zachovania študovaných premenných v každom konečnom objeme.
Je potrebné poznamenať, že vo väčšine moderných výpočtových hydrodynamických balíkov, ako sú „STAR-CD“, „FLUENT“, „CFX“ a mnohých ďalších, je metóda riadenia objemu implementovaná na diskretizáciu modelových rovníc.
Výpočtové mriežky
Proces konštrukcie siete je jedným z kľúčových momentov vykonávania numerického experimentu. Výber a zostavenie výpočtovej siete adekvátnej pre uvažovaný problém je pomerne zložitý a časovo náročný postup. Racionálny výber siete môže výrazne zjednodušiť numerické riešenie úlohy.
Ryža. 3. Konfigurácie buniek mriežky
Bunky mriežky môžu mať rôzne tvary (obr. 3) a veľkosti, ktoré sú najvhodnejšie na riešenie konkrétneho problému. Najjednoduchší typ mriežky je, keď sú bunky identické a majú kubický tvar.
Spravidla sa v blízkosti pevných povrchov sieťka stáva hustejšou, t.j. bunky majú menšiu veľkosť kolmo k povrchu. Toto sa robí na zlepšenie presnosti výpočtov v tých oblastiach, kde sa gradienty prúdenia študovaných parametrov menia rýchlejšie, napríklad v hraničnej vrstve.
Môžete zvýšiť presnosť výpočtov a znížiť chybu aproximácie dvoma spôsobmi:
· zvýšenie poradia presnosti vzorkovania;
· zníženie kroku mriežky.
Pri riešení nestacionárnych problémov veľkosti buniek Δx a krok časovej integrácie Δt súvisia s podmienkou CFL (Courant-Friedrichs-Levy): 
, u- rýchlosť.
Univerzálne počítačové programy v súčasnosti používané v inžinierskej praxi umožňujú prácu s ľubovoľnými neštruktúrovanými sieťami s použitím vysoko šikmých prvkov. V tomto prípade poradie presnosti diskretizácie spravidla nepresahuje druhú. Na získanie kvalitného riešenia je potrebné zostaviť výpočtové siete s malými krokmi.
Balík STAR-CCM prešiel na použitie polyedrických buniek (podobných futbalovej lopte), ktoré spojením buniek eliminujú výskyt veľmi zošikmených buniek.
Hlavnou výhodou neštruktúrovaných sietí v porovnaní s bežnými sieťami je väčšia flexibilita pri diskretizácii fyzickej oblasti zložitého tvaru. V tomto prípade musia mať bunky mriežky porovnateľné objemy alebo plochy a nesmú sa pretínať. Medzi nevýhody tohto typu pletiva však patrí zväčšenie rozmeru pletiva. Ako ukazuje prax, pre ten istý objekt má neštruktúrovaná sieť, ak je správne skonštruovaná, približne dvakrát toľko buniek ako štruktúrovaná, čo prirodzene vedie k zvýšeniu výpočtového času v porovnaní s bežnými sieťami. V mnohých prípadoch sú však neštruktúrované siete jedinou možnou konštrukčnou možnosťou kvôli zložitosti geometrie objektu. Navyše, pri racionálnej voľbe sieťového algoritmu sa čas strávený na konštrukcii neštruktúrovanej siete ukazuje ako výrazne kratší ako čas potrebný na zostavenie štruktúrovanej (blokovo štruktúrovanej) siete. Výsledkom je, že celkový čas strávený riešením problému (vrátane času vytvárania siete a času výpočtu) môže byť pri použití neštruktúrovaných sietí oveľa kratší ako v prípade štruktúrovaných sietí.
Určenie požadovanej veľkosti ôk je samo o sebe veľmi náročná úloha. Univerzálna metóda, ktorú treba dodržať pri výbere rozmeru mriežky, spočíva v tom, že výsledné riešenie by sa pri zvyšovaní počtu buniek nemalo meniť (konvergencia mriežky).
Pre typické problémy nie je potrebné vykonať štúdiu konvergencie siete, pretože sa môžete spoľahnúť na predtým získané výsledky. Pri prechode na štúdium nového typu problému je nevyhnutné vykonať štúdiu konvergencie siete a určiť požiadavky na výpočtovú sieť.
Všimnite si, že pri riešení reálnych problémov vetrania a klimatizácie je charakteristický počet buniek spravidla od 500 tisíc do 3 - 4 miliónov v závislosti od geometrickej zložitosti objektu, súboru požadovaných parametrov a špecifík problém. V tomto prípade môže výpočtový čas na klastri pozostávajúcom napríklad z 24 jadier dosiahnuť až týždeň a pri riešení nestacionárnych problémov až niekoľko týždňov.
Balík STAR-CCM+ obsahuje modul na vytváranie výpočtových sietí. Existujú aj samostatné balíčky na generovanie sietí, napríklad široko používaný je ANSYS, ICEM CFD (ICEM). Siete zabudované v externých balíkoch je možné importovať do balíka STAR-CCM+.
Kapitola 1. Metódy diskretizácie systémov zákonov zachovania.
1.1. Technologické princípy diskretizačných metód pre počiatočno-okrajové úlohy využívajúce priestory konečných prvkov.
1.1.1. Metódy konečných prvkov.
1.1.2. Metódy konečných objemov.
1.2. Schémy proti vetru na jednoduchých mriežkach.
1.3. Metódy riešenia stacionárneho systému Navier-Stokesových rovníc.
Kapitola 2. Konštrukcia diskrétnych analógov konvektívne-difúzno-reakčných rovníc pomocou metódy konečných objemov
2.1. MKO/FE diskretizácia problémov konvektívno-difúzneho typu.
2.1.1. Triangulácia a spôsob konštrukcie dvojitej siete.
2.1.2. Integrálna forma zákonov zachovania.
2.1.3. Aproximácia difúznych tokov a výpočet matice tuhosti MKO/FE.
2.1.4. Aproximácia zdrojových termínov.
2.1.5. Výpočet hmotnostnej matice MCO/FE.
2.1.6. Účtovanie okrajových podmienok.
2.2. Konštrukcia viacrozmerných schém proti vetru na jednoduchých mriežkach.
2.2.1. Výpočet konvekčných lokálnych matíc.
2.2.2. Schémy s vážením hmotnostných tokov.
2.2.3. Modifikácia exponenciálnych schém.
2.2.4. Niektoré vlastnosti protiprúdových schém a princípy ich konštrukcie.
2.2.5. Analóg exponenciálnej schémy pre schémy s výpočtom neznámych v strede buniek.
2.3. Nové triedy integrálnych vzorcov MKO.
2.3.1. Integrácia monomiálov barycentrických súradníc.
2.3.2. O možných kombináciách polynomických zobrazení.
2.3.3. Na zvýšenie rádu interpolačných polynómov reprezentácie lokálneho riešenia.
2.4.4. Použitie nekonzistentných konečných prvkov.
2.4. Elementárne zostavovanie globálnych matíc
Kapitola 3. Modelovanie prietokového poľa viskóznych nestlačiteľných médií.
3.1. Matematický model.
3.2. Integrálna forma zákonov zachovania.
3.3. Berúc do úvahy vzťah medzi rýchlostnými a tlakovými poľami.
3.3.1. Ry-Chowova interpolácia na výpočet hmotnostných tokov.
3.3.2. Diskretizácia rovnice kontinuity.
3.3.3. Účtovanie hraníc s nenulovým hmotnostným tokom.
3.3.4. Všeobecná schéma iterácie 1.
3.4. Urýchlenie konvergencie iteračných schém.
3.4.1. Korekcia tlakových a rýchlostných polí
3.4.2. Všeobecná schéma iterácie II.
3.5. Riešenie sústav lineárnych algebraických rovníc.
Kapitola 4. Numerické experimenty.
4.1. Analýza stability pre riešenia typu hraničnej vrstvy.
4.2. Zrýchlenie prietoku v okrúhlom potrubí.
4.3. Prietok v počiatočnej časti hladkého kanála.
4.4. Laminárne prúdenie prúdu z bodovej dýzy (zdrojový prúd)
4.5. Laminárne prúdenie za plochým asymetrickým zadným schodíkom
4.5.1. Výpočet pomocou rôznych upstream schém
4.5.2. Vstupný efekt pri výpočte prietokov za spätným krokom pomocou MKO/FE na jednoduchých mriežkach.
4.5.3. Porovnanie rôznych metód riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc.
Odporúčaný zoznam dizertačných prác
Modelovanie vnútorných tokov viskóznej nestlačiteľnej tekutiny metódou konečných prvkov pomocou schém protiprúdenia 2007, kandidát fyzikálnych a matematických vied Gobysh, Albina Vladimirovna
Numerické schémy založené na aproximáciách konečných objemov / konečných prvkov na riešenie problémov hydrodynamiky s dlhými vlnami 2004, kandidát fyzikálnych a matematických vied Styvrin, Andrey Vadimovich
Paralelné technológie na riešenie hraničných úloh 2005, doktor fyzikálnych a matematických vied Vasilevskij, Jurij Viktorovič
Metóda konečných objemov pre konvekčno-difúzne problémy a modely dvojfázového prúdenia 2010, kandidát fyzikálnych a matematických vied Nikitin, Kirill Dmitrievich
Trojrozmerné modelovanie procesov prenosu nečistôt v poréznych médiách komplexnej štruktúry 2007, kandidát fyzikálnych a matematických vied Kapyrin, Ivan Viktorovič
Úvod dizertačnej práce (časť abstraktu) na tému „Technológie metódy konečných objemov/konečných prvkov na jednoduchých sieťach pre problémy konvekčno-difúzneho typu“
Numerické riešenie problémov matematickej fyziky je jednou z hlavných metód štúdia reálnych javov. Kombinované využitie výpočtových a fyzikálnych experimentov pri analýze akéhokoľvek javu umožňuje na jednej strane znížiť počet nákladných experimentálnych meraní a na druhej strane overiť a zlepšiť matematické modely.
S rastúcou rýchlosťou výpočtových systémov sa kladú nové požiadavky na numerické metódy riešenia problémov matematickej fyziky. Dôležitou oblasťou výskumu je vývoj a zdokonaľovanie moderných metód diskretizácie zákonov ochrany, ktoré poskytujú možnosť simulovať stále nové triedy problémov a dosahovať výrazne lepšie výsledky pri riešení známych.
Moderné výpočtové algoritmy by mali poskytovať čo najpresnejší popis oblastí so zložitou geometriou. To je možné pomocou neortogonálnych a neštruktúrovaných sietí. V porovnaní s ľubovoľnými neortogonálnymi sieťami sa pre neštruktúrované jednoduché siete (triangulácia v dvojrozmernom prípade a rozdelenie na štvorsteny v trojrozmernom prípade) ľahšie implementujú lokálne kondenzácie (napríklad za krokom dozadu, v zóne náhleho zúženia v blízkosti bodu pripojenia) a v prípade potreby aj prispôsobenie výpočtovej siete v závislosti od správania sa riešenia. Takže aj pri diskretizácii zákonov zachovania v geometricky jednoduchých doménach, ktoré môžu byť presne reprezentované súborom pravouhlých prvkov, majú neštruktúrované jednoduché siete množstvo výhod. Napriek zjavným výhodám neštruktúrovaných mriežok na aproximáciu ľubovoľných oblastí a možnosti automatickej konštrukcie jednoduchých oddielov sa vo výpočtovej dynamike tekutín prakticky nepoužívali a až v posledných 15 rokoch sa stali čoraz obľúbenejšími. Podľa svedectva B. Stouffletta a kol. je to dôvodom prudko sa zvyšujúci čas výpočtu pri prechode na neštruktúrované prístupy. Faktom je, že pozícia nenulových prvkov v maticiach diskrétnych analógov závisí od priľahlosti uzlov mriežky a ľubovoľne sa matice ukladajú pomocou univerzálnych formátov a dátových štruktúr. Operácie násobenia riedkej matice vektorom a neúplnej faktorizácie sú oveľa „drahšie“. Sústavy výpočtových rovníc dynamiky tekutín sú zároveň prepojené nelineárne sústavy rovníc, ktorých implicitné schémy riešenia majú viacúrovňový iteračný charakter, takže pri každej z „globálnych“ iterácií je potrebné riešiť niekoľko sústav lineárne algebraické rovnice. Práve s príchodom výkonných výpočtových systémov, ako aj vďaka vývoju adaptívnych a multigridových metód, bolo možné použiť neštruktúrované siete a zodpovedajúce priestorové diskretizačné schémy na modelovanie hydro-plynových procesov.
Najbežnejšou metódou diskretizácie v neštruktúrovanom prípade je metóda konečných prvkov (MKP). Všimnime si také výhody metódy, ako je zachovanie symetrickej povahy samoadjungovanej časti diferenciálnych operátorov v ich diskrétnych analógoch (to sa dosahuje špeciálnym výberom priestoru testovacích funkcií, ktorý sa zhoduje s priestorom skúšobných funkcií) , možnosť zvýšenia presnosti aproximácie zvýšením miery interpolačných polynómov reprezentácie lokálneho riešenia (tzv. p a h-p verzie MKP, ), prirodzené zohľadnenie okrajových podmienok druhého a tretieho druhu. Metóda konečných prvkov má ustálený technologický základ, najmä
Metódy aproximácie vnútorných súčinov za predpokladu po častiach polynomickej reprezentácie riešenia a parametrov okrajovej úlohy, a to: použitie bázického rozkladu zodpovedajúceho priestoru konečných prvkov, triedy integrálnych vzorcov, ktoré umožňujú presnú integráciu ľubovoľného produkty základných funkcií nad deliacimi prvkami a hranami (plochami) prvkov,
Štandardný interpolačný aparát.
Technológie metódy umožňujú jednoducho a jednotne konštruovať diskrétne analógy počiatočných okrajových úloh s rôznymi typmi okrajových podmienok za predpokladu určitého stupňa plynulosti riešenia a po častiach polynomického správania koeficientov rovníc a okrajové podmienky, .
V mnohých aplikáciách, ako je modelovanie nadzvukových a transsonických tokov plynu a výpočty pomocou modelov plytkej vody, je veľmi dôležitý lokálny konzervativizmus schém používaných na diskretizáciu zákonov ochrany. Metóda konečných prvkov neumožňuje s uspokojivou presnosťou sledovať znaky vznikajúcich nespojitých riešení a tradičným prístupom k riešeniu takýchto problémov je metóda konečných objemov. Pri diskretizácii systému zákonov zachovania metódou konečných objemov sa výpočtová oblasť aproximuje množinou otvorených konečných objemov, potom výskumník urobí „krok späť“ a presunie sa k integrálnej forme pôvodného systému rovníc; Pomocou Ostrogradského-Gaussovho vzorca prechádzame od objemovej integrácie k hraničnému integrálu, takže metóda aproximácie tokov cez steny konečných objemov úplne určuje výpočtovú schému. Podľa monografie S. Patankara "pre väčšinu výskumníkov pracujúcich v oblasti hydrodynamiky a prenosu tepla sa zdá, že metóda konečných prvkov je stále zahalená rúškom tajomstva. Variačná formulácia a dokonca ani Galerkinova metóda nie sú vhodné na jednoduchú fyzikálnu interpretáciu." Schémy konečných objemov majú zároveň určitý fyzikálny význam rovnováhy tokov a zdrojových členov v každom z konečných objemov, ktoré aproximujú výpočtovú oblasť, čo robí metódu konečných objemov atraktívnejšou. „Jednoduchosť“ MKO je jedným z dôvodov chýbajúceho všeobecného technologického základu pre túto metódu.
Medzi výhody klasickej verzie MKO (metóda konečných objemov/konečných rozdielov, FVDM) teda patrí lokálna konzervativnosť diskrétnych schém, väčšia jednoduchosť a prehľadnosť a možnosť prirodzeného zohľadnenia okrajových podmienok druhého druhu. Navyše v prípade riešenia problémov s prevahou konvekcie sa zjednodušuje implementácia protiprúdových schém, pretože prietoky cez steny konečných objemov sú analyzované aj aproximované veličiny.
Pokusy o systematizáciu aproximácií konečných objemov viedli k čiastočnej kombinácii MKP technológií a princípu integrácie nad konečnými objemami; najstaršie z nich siahajú k práci B. R. Baligu, K. Prakasha a S. Patankara a sú známe ako metódy CVFEM (control-volume-based finite element methods), ďalej označované ako metódy konečných prvkov (FVM/). FE). Autori metódy sledovali cieľ zostrojiť konzervatívne schémy metódy konečných objemov s využitím jednej z hlavných výhod MKP - schopnosti aproximovať zložité geometrie pomocou neštruktúrovaných sietí. Profilové funkcie v tejto triede metód sú „pomocného charakteru“, príslušnosť riešenia k priestorom konečných prvkov sa nezdôrazňuje. Barycentrické sady sa používajú ako dvojitá priečka.
Prvýkrát sa problém nedostatku univerzálnych technologických princípov metódy konečných objemov/konečných rozdielov (MKO/KR, FVDM) rozoberá v práci Z. Kaya „O metóde konečných objemov/prvkov“. Autor upozorňuje čitateľa na „nesystematickosť metódy konečný objem/konečná diferencia“; Pri aproximácii systémov zákonov zachovania metódou konečný objem/konečný rozdiel možno v rámci tej istej práce použiť aproximácie rôznych tried, čo značne komplikuje analýzu konvergencie takýchto schém. Navrhuje sa riešenie tohto problému - spoločné využitie myšlienok metódy konečných prvkov (hľadanie riešenia v nejakom priestore konečných prvkov a využitie po častiach polynomické správanie riešenia na výpočet tokov) a integrálna forma zákonov zachovania. Metódy konečných objemov/prvkov (FME/E, „box methods“, FVE) teda vznikli v snahe vytvoriť „systematickejšie technológie konečných objemov“. Absencia všeobecných technologických princípov metód konečných objemov/konečných rozdielov je zaznamenaná aj v prácach Ya.JI. Guryeva a V.P. Ilyin.
Metódy konečných objemov/konečných prvkov (FVE) a metódy konečných objemov/konečných prvkov (CVFEM) využívajú konzistentné priestory konečných prvkov funkcií lineárnych na simplexoch a patria do triedy bunkovo-vrcholových schém konečných objemov, Obr. 1, a.
Množstvo výpočtových schém dynamiky tekutín (modelovanie viskóznych nestlačiteľných tokov) používa nekonzistentné priestory konečných prvkov, najmä Crousey-Raviardov priestor lineárny na prvkoch spojitých v stredoch okrajov testovacích funkcií. Metódy konečných objemov využívajúce nekonzistentné priestory konečných prvkov navrhli S. Choi a D. Kwak, študovali ich v množstve prác iných autorov (tzv. subvolume methods, covolume method) a sú to schémy s výpočtom neznámych v stredoch. okrajov ( Najbežnejšie schémy na riešenie problémov dynamiky plynu a modelovanie antropogénnych katastrof pomocou rovníc plytkej vody sú schémy konečného objemu zamerané na bunky, obr. 1, f. Ich popularita je spôsobená tým, že v prípade výpočtu neznámych v centroidoch je možné väčšinu schém dynamiky plynu (schémy S.K. Godunova, schémy TVD) preniesť do neštruktúrovaných sietí bez zásadných technologických zmien. o a v Obr.1. Umiestnenie výpočtových bodov vo vzťahu k uzlom siete FE. Táto práca sa primárne zaoberá triedami metód konečných objemov s výpočtom neznámych na triangulačných uzloch (MKO/E, MKO/FE) a okrajových stredoch (subobjemové metódy), v budúcnosti povieme aj „metódy konečných objemov využívajúce priestory konečných prvkov. “ Tieto triedy metód podľa viacerých štúdií (, ) pre konvekčno-difúzne problémy poskytujú lepšie priblíženia k riešeniu ako metódy s výpočtom neznámych v centrách buniek. Jedným z hlavných dôvodov je, že pre vyššie uvedené metódy je zachovaná kontinuita prvých derivácií testovacích funkcií na prvkoch duálnej siete. Efektívnym prístupom k riešeniu problémov s prevahou konvekcie je použitie Galerkinovej metódy so symetrickými testovacími funkciami pre samoadjungovanú časť diferenciálnych operátorov a upstream schém MCO pre ich asymetrickú časť, tzv. zmiešané metódy konečných prvkov/objemov (FEM/O, MEV, zmiešaná metóda prvkov/objemov). Dizertačná práca je venovaná najmä zdokonaleniu technológií metódy konečných objemov pre uvedené triedy metód (MKO/E, MKO/CE, MKP/O, subobjemové metódy). V súčasnosti tieto metódy nemajú zavedené technológie na zohľadnenie po častiach polynomické správanie riešenia, zdrojové členy a koeficienty prenosu. Môžeme uviesť nasledujúce dôvody nedokonalosti aparátu na presnú integráciu polynómov v metódach konečných objemov pomocou priestorov konečných prvkov: 1. Metóda konečných objemov na rozdiel od metódy konečných prvkov nemá p-verziu, keďže so zavedením ďalších uzlov a niekoľkých typov duálnych sietí, lokálny konzervativizmus množstva premenných systému zákonov zachovania vo vzťahu na „cudzí“ konečný objem je porušený. Aproximácie sú teda obmedzené na priestory konečných prvkov nižšieho rádu. 2. V porovnaní s metódou konečných prvkov sa metódy konečných objemov vyznačujú väčšou voľnosťou vo výbere priestorov testovacích funkcií, čo sa v tomto prípade ukazuje ako spojené s umiestnením bodov výpočtu neznámych vo vzťahu k diskretizácii. uzly (schémy s umiestnením neznámych v uzloch, stredy hrán, centroidy simplexy) a spôsob konštrukcie duálnej siete (pomocou barycentrických, ortocentrických, cirkumcentrických množín). V kombinácii so schopnosťou používať usporiadané alebo rozložené mriežky to poskytuje plnú rozmanitosť existujúcich schém MCM v každej aplikácii. Pre metódy MCM na diskretizáciu zákonov zachovania, ktoré využívajú priestory konečných prvkov, starostlivý výber týchto priestorov na riešenie, koeficienty rovníc a zdrojové členy čiastočne stráca svoj význam, ak metóda nemá vyvinuté prostriedky na zohľadnenie po častiach polynomických reprezentácií, najmä , prístroj na presnú integráciu polynómov cez prvky duálnej siete, subdomény prvkov a segmenty okrajových hrán. V dôsledku toho by sa výsledky výpočtov pomocou vytvorených schém mali posudzovať z hľadiska účinkov numerickej integrácie, berúc do úvahy rôzne metódy ich implementácie; výrazne sa sťažuje porovnávanie výsledkov výskumu s prácami iných autorov a pod. Táto práca je teda venovaná revízii existujúcich MCM/FEM technológií pre konštrukciu diskrétnych analógov problémov typu konvekcia-difúzia. Technológia zohľadňovania po častiach polynomiálnej reprezentácie riešenia, koeficientov rovnice a koeficientov zahrnutých v okrajových podmienkach, ako aj zdrojových členov v metódach konečných objemov využívajúcich priestory konečných prvkov, musí spĺňať tieto požiadavky: 1) umožniť ľubovoľné kombinácie polynómových reprezentácií koeficientov a riešení na deliacich prvkoch, ako aj zvýšenie stupňa interpolačných polynómov lokálnej reprezentácie riešenia; 2) používať jednotné princípy aproximácie pri výpočte príspevkov prvkov zodpovedajúcich rôznym členom rovnice (difúzne, konvekčné, reakčné členy, zdrojové členy), ako aj príspevky od hrán, ktoré aproximujú časti hraníc s rôznymi typmi špecifikovaných okrajových podmienok na nich; 3) umožňujú homogénne zovšeobecnenie na trojrozmerný prípad; 4) brať do úvahy skúsenosti s dobre vyvinutými technológiami konečných prvkov, najmä použitie základného rozšírenia priestorov konečných prvkov a výhody presnej integrácie po častiach polynomických reprezentácií riešenia a koeficientov prenosu; 5) poskytnúť jednotný technologický základ pre zmiešané FEM/O aproximácie, ktoré využívajú dve sady testovacích funkcií – konečný objem a konečný prvok – na aproximáciu jednej rovnice; 6) princípy technológie by mali zostať nezmenené počas prechodu od používania konzistentných priestorov konečných prvkov (metódy konečných objemov/konečných prvkov s výpočtom neznámych v uzloch) k používaniu nekonzistentných konečných prvkov (metódy s výpočtom neznámych v stredoch triangulačných hrán); 7) technológiu možno použiť na aproximáciu rôznych tried fyzikálnych problémov. Z existujúcich technológií metód konečných objemov využívajúcich priestory konečných prvkov (metódy konečných objemov/prvkov (FVE), metódy konečných objemov/konečných prvkov (CVFEM), subobjemové metódy, zmiešané objemovo/prvkové metódy (MEV)) nespĺňa žiadna vyššie uvedené požiadavky. Preto sa ako relevantná výskumná téma javí vytváranie nových technológií pre tieto triedy metód využívajúce jednoduché partície a barycentrické množiny ako duálne. V prípade výraznej prevahy konvekcie, porovnanie rôznych diskretizačných schém MCO, ako aj porovnanie výpočtov pomocou metódy konečných prvkov a metódy konečných objemov, vlastne prichádza k porovnaniu zodpovedajúcich schém protivetru. Najviac študované a často používané v neštruktúrovanom prípade sú protiveterné schémy triedy metód konečných objemov s výpočtom premenných v stredoch buniek. Napriek tomu, že okraje deliacich prvkov nie sú rovnobežné so súradnicovými osami, tieto schémy sú vo väčšine prípadov jednorozmernej povahy, pretože riešia problém rozpadu diskontinuity na čiarach spájajúcich ťažiská simplexov. Výpočty využívajúce takéto schémy nereprodukujú viacrozmernú štruktúru toku a majú nadmernú číselnú difúziu. Na zostavenie upstream aproximačných schém druhého rádu je potrebné výrazné rozšírenie šablóny, čo v neštruktúrovanom prípade vedie k značnej komplikácii zodpovedajúcich dátových štruktúr. Upstream schém pre schémy s výpočtom neznámych v triangulačných uzloch a stredoch ich hrán je v súčasnosti málo (pozri). V niektorých prípadoch princíp aproximácie proti prúdu spočíva v použití jednej hodnoty skalárnej látky - v simplexnom uzle ležiacom proti prúdu alebo dvoch vážených hodnôt - na koncoch simplexnej hrany ležiacej proti prúdu. Len jedna zo známych schém, FLO (Flow Oriented Upwind Scheme), ktorú vyvinuli K. Prakash a S. Patankar, využíva výhodu výpočtu neznámych v uzloch – schopnosť konštruovať funkcie asymetrického profilu. Výpočty pomocou tejto schémy sa však považujú za neuspokojivé, pretože schéma nemá vlastnosť pozitivity a iteračné procesy sa často líšia. Odhad numerickej difúzie zavedenej použitím schém proti vetru na jednoduchých sieťach je problém sám osebe. Existujúce práce v tomto smere poskytujúce teoretické odhady konvergenčných charakteristík sú obmedzené na rôzne schémy na výpočet premenných v centrách buniek. Preto je mimoriadne dôležité odhadnúť mieru konvergencie schém MCO/FE proti vetru pomocou série numerických experimentov. Konštrukcia a porovnávacia analýza schém MCO/FE proti vetru na neštruktúrovaných sieťach je teda aktuálnou témou výskumu. Cieľom práce je vyvinúť výpočtové technológie pre metódy konečných objemov využívajúce priestory konečných prvkov na aproximáciu problémov konvektívno-difúzneho typu. Na dosiahnutie tohto cieľa boli formulované nasledujúce výskumné ciele: 1) zlepšenie technológií na diskretizáciu systémov zákonov zachovania metódou konečných objemov/konečných prvkov na jednoduchých mriežkach, využívajúcich barycentrické priečky ako duálne priečky; 2) vývoj technológií na aproximáciu problémov konvekčno-difúzneho typu s významnými prvými deriváciami; budovanie, implementácia a porovnávacia analýza upstream schém na neštruktúrovaných sieťach, najmä vykonávanie výpočtových experimentov na posúdenie poradia aproximácie navrhovaných a najpresnejších známych schém, ako aj porovnanie charakteristík upstream schém založených na MCE/FE a MKP; 3) vytvorenie softvérových balíkov na základe vyvinutých technológií, ktoré umožňujú adekvátne simulovať viskózne nestlačiteľné prúdy kvapalín a plynov v geometricky zložitých oblastiach, v stacionárnych a nestacionárnych prípadoch. Výskumné metódy. Metódy výpočtovej matematiky. Porovnávacia analýza technológií na presnú integráciu polynómov v metódach konečných prvkov, konečných objemov/prvkov, distribuovaných zvyškov. Experimentálne hodnotenie miery konvergencie schém prúdenia proti vetru pre problémy s analytickým riešením. Výpočty na množine kondenzovaných partícií konečných prvkov, po ktorých nasleduje analýza konvergencie k experimentálnym údajom. Vedecká novinka práce je nasledovná: 1. Navrhuje sa nová technológia na zohľadnenie po častiach polynomiálnej reprezentácie riešenia, prenosových koeficientov a zdrojových členov pri diskretizácii počiatočných okrajových úloh pomocou metód konečných objemov/prvkov, konečných objemov/konečných prvkov a podobjemov. Technológia je založená na využití bázického rozšírenia priestorov konečných prvkov v zmysle barycentrických jednoduchých súradníc, s ďalšou presnou integráciou ich monomílov. Pre schémy MKO/FE, MKO/E s výpočtom premenných na triangulačných uzloch sa navrhujú tri triedy vzorcov na presnú integráciu monomálov barycentrických súradníc: nad segmentmi duálnej siete v prvku, nad barycentrickými podoblasťami a segmentmi. hraničných hrán. Pre podobjemové metódy využívajúce nekonzistentné priestory konečných prvkov sa navrhuje použiť princíp presnej integrácie bázových funkcií a získať zodpovedajúce integrálne vzorce. 2. Navrhuje sa metóda na konštrukciu schém MCO/FE proti vetru na jednoduchých mriežkach, ktorá je založená na oddelenej aproximácii hmotnostných tokov a hodnôt skalárnych substancií na segmentoch duálnej mriežky. Zavádzajú sa koncepty lokálnej matice váhových koeficientov protiprúdovej schémy, internej s prvkami schém, a lokálna pozitivita schém. Bola navrhnutá protiprúdová schéma exponenciálnej triedy a jej analóg bol skonštruovaný pre MKO s výpočtom neznámych simplexov v barycentrách. 3. Boli získané experimentálne odhady miery konvergencie protiveternej schémy s vážením hmotnostných tokov a navrhnutá schéma exponenciálnych tried. Pomocou riešení typu hraničná vrstva bola analyzovaná stabilita vytvorených schém a porovnaná s nadradenými schémami MKP. 4. S využitím navrhnutých aproximačných technológií pre problémy konvekčno-difúzneho typu bol vytvorený súbor programov na modelovanie viskózneho nestlačiteľného prúdenia v prirodzených premenných rýchlosti a tlaku a bolo vykonaných množstvo výpočtových experimentov potvrdzujúcich účinnosť zostrojených schém. Štruktúra a rozsah dizertačnej práce. Dizertačná práca pozostáva z úvodu, štyroch kapitol, záveru, zoznamu literatúry, prílohy a obsahuje 173 strán vrátane 10 tabuliek a 51 obrázkov. Bibliografia obsahuje 117 titulov.
Podobné dizertačné práce v odbore "Matematické modelovanie, numerické metódy a softvérové balíky", 13.05.18 kód HAC
Numerická metóda na výpočet prietokov stlačiteľného viskózneho plynu v širokom rozsahu Machových čísel 2004, kandidát fyzikálnych a matematických vied Chirkov, Denis Vladimirovič
Metóda numerickej štúdie prúdenia okolo priestorových konfigurácií riešením Navier-Stokesových rovníc na základe schém s vysokou presnosťou 2010, doktor fyzikálnych a matematických vied Volkov, Andrey Viktorovič
Numerické modelovanie pohybu viskóznej nestlačiteľnej tekutiny s voľnými hranicami metódou zovšeobecnených prirodzených susedov 2008, kandidát fyzikálnych a matematických vied Rein, Tatyana Sergeevna
Vývoj vysoko presnej výpočtovej techniky založenej na spektrálnej metóde konečných prvkov 2007, kandidát fyzikálnych a matematických vied Poponin, Vladimír Sergejevič
Štúdium prúdenia viskóznej tekutiny v kanáloch zložitého tvaru 2002, kandidát fyzikálnych a matematických vied Firsov, Dmitrij Konstantinovič
Záver dizertačnej práce na tému „Matematické modelovanie, numerické metódy a softvérové balíky“, Voitovich, Tatyana Viktorovna
Záver
Táto práca je venovaná vývoju výpočtových technológií pre metódy konečných objemov na jednoduchých mriežkach, využívajúcich priestory konečných prvkov a barycentrické partície ako duálne na aproximáciu problémov konvektívno-difúzneho typu! Práca priniesla tieto hlavné výsledky na obhajobu:
1. Navrhuje sa nová technológia na zohľadnenie po častiach polynomiálnej reprezentácie riešenia, prenosových koeficientov a zdrojových členov pri diskretizácii počiatočných okrajových úloh pomocou metód konečných objemov/prvkov, konečných objemov/konečných prvkov a podobjemov. Technológia je založená na využití bázického rozšírenia priestorov konečných prvkov v zmysle barycentrických jednoduchých súradníc, s ďalšou presnou integráciou ich monomílov. Pre schémy MKO/FE, MKO/E s výpočtom premenných na triangulačných uzloch sa navrhujú tri triedy vzorcov na presnú integráciu monomálov barycentrických súradníc: nad segmentmi duálnej siete v prvku, nad barycentrickými podoblasťami a segmentmi. hraničných hrán. Pre podobjemové metódy využívajúce nekonzistentné priestory konečných prvkov sa navrhuje použiť princíp presnej integrácie bázových funkcií a získať zodpovedajúce integrálne vzorce.
2. Navrhuje sa metóda na konštrukciu schém MCO/FE proti vetru na jednoduchých mriežkach, ktorá je založená na oddelenej aproximácii hmotnostných tokov a hodnôt skalárnych substancií na segmentoch duálnej mriežky. Zavádzajú sa koncepty lokálnej matice váhových koeficientov nadradenej schémy, interných prvkov schém, a lokálnej pozitivity schém. Bola navrhnutá protiprúdová schéma exponenciálnej triedy a jej analóg bol skonštruovaný pre MKO s výpočtom neznámych simplexov v barycentrách.
3. Boli získané experimentálne odhady rýchlosti konvergencie protiprúdovej schémy s vážením hmotnostných tokov a navrhnutou exponenciálnou schémou tried. Pomocou riešení typu hraničná vrstva bola analyzovaná stabilita vytvorených schém a porovnaná s nadradenými schémami MKP. Ukazuje sa, že dokončené schémy MCO/FE umožňujú sledovať vlastnosti riešení hraničnej vrstvy oveľa presnejšie ako schémy Petrov-Galerkinovej metódy s asymetrickými bázovými funkciami (Legendre polynómy), schémy konečných prvkov Ricea a Schnipkeho, ako aj kombinované schémy konečných prvkov vyššieho rádu aproximácie, ktoré vyvinuli T. Sheu, S. Wang a S. Tsai.
4. Použitím navrhnutých aproximačných schém pre úlohy konvektívneho difúzneho typu bol vytvorený súbor programov na modelovanie viskóznych nestlačiteľných tokov v prirodzených premenných rýchlosť-tlak, na kombinovaných mriežkach s použitím interpolačných polynómov tlaku a rýchlosti rovnakého rádu; Na potvrdenie účinnosti zostrojených obvodov sa uskutočnilo množstvo výpočtových experimentov.
5. Pre referenčný tok v kanáli za krokom vzad je po prvýkrát znázornená interakcia vstupného efektu a efektu použitia aproximácií proti prúdu.
Technológia navrhovaná v práci na diskretizáciu problémov s počiatočnou hranicou pomocou metódy konečných prvkov/konečného objemu na jednoduchých mriežkach je teda efektívnym spôsobom aproximácie systémov zákonov zachovania, vyvinuté schémy proti vetru majú dobré konvergenčné charakteristiky a použitie diskretizačné metódy pre systém Navier-Stokesových rovníc s interpoláciou rovnakého rádu pre zložky vektora rýchlosť-tlak umožňujú získať výsledky, ktoré sú v dobrej zhode s experimentálnymi údajmi. Triedy metód konečných objemov/konečných prvkov na jednoduchých sieťach, ktorých technologickým základom je presná integrácia monomálov barycentrických súradníc, sú efektívnymi metódami na modelovanie viskóznych nestlačiteľných tokov v oblastiach so zložitou geometriou hraníc.
Zoznam odkazov na výskum dizertačnej práce Kandidát fyzikálnych a matematických vied Voitovich, Tatyana Viktorovna, 2000
1. Belotserkovsky O.M., Numerické modelovanie v mechanike kontinua. M.: Veda. Hlava. vyd. fyzika a matematika literatúra, 1984.
2. A. S. Boldarev, V. A. Gasilov. O. G. Olkhovskaya, Smerom k riešeniu hyperbolických rovníc na neštruktúrovaných mriežkach // Matematické modelovanie. 1996. T. 8, č. 3. s. 51-78.
3. P. A. Voinovich, D. M. Sharov, Modelovanie diskontinuálnych tokov plynu na neštruktúrovaných sieťach // Mathematical Modeling. 1993. T. 5. č. 7, s. 86-114.
4. I. J1. Guryeva, Výpočtová technológia metódy konečných objemov // Dis. na titul kandidát vied. f.-m. Sci. Novosibirsk 1997. - 115 s.
5. Žukov M.F., Solonenko O.P., Vysokoteplotné prašné trysky pri spracovaní práškových materiálov. Novosibirsk IT SB RAS. 1990.
6. V. P. Ilyin, Vyvážené diferenčné schémy zvýšenej presnosti na nerovnomerných pravouhlých mriežkach. Novosibirsk 1994. - 31 s.(Preprint/CC SB RAS č. 1031).
7. Ilyin V.P., Turakulov A.A., O integro-balančných aproximáciách trojrozmerných okrajových úloh. Novosibirsk, 1993. - 24 s. - (Predtlač/CC SB RAS: č. 986).
8. V. M. Kovenya, N. N. Yanenko, Metóda štiepenia v problémoch dynamiky plynov. Novosibirsk, Veda. 1989.
9. A. Ladyzhenskaya, Matematické problémy v dynamike viskóznej nestlačiteľnej tekutiny. M.: Tqc. vydavateľstvo f.-m. lit.- 1961.
10. D. Oden, Konečné prvky v mechanike nelineárneho kontinua. M.: Mir, 1976.
11. Patankar S., Numerické metódy riešenia problémov prenosu tepla a dynamiky tekutín. -M.:. Energoatomizdat, 1984.
12. N. Pissanetski S. Technológia riedkych matíc. M.: Mir. 1988.
13. Preparata F. Sheimos M. Výpočtová geometria; Úvod. M." Mir, 1984.
14. A. A. Samarsky, Úvod do teórie diferenčných schém. M.: Nauka, 1971.
15. L Segerlind, Aplikácia metódy konečných prvkov M.: Mir. 1979
16. N. K. Sukanek, R. P. Rhodes, Formulácia podmienky na osi symetrie pri numerickom výpočte symetrických tokov // Rocketry and Cosmonautika, 1978. Vol. 16. No. 10). s. 96-98.
17. R. Temam, Navier-Stokesove rovnice, Teória a numerická analýza // M.: Mir. 1981.
18. K. Fletcher, Numerické metódy založené na Galerkinovej metóde II M.: Mir, 1991
19. D. Shi, Numerické metódy v problémoch prenosu tepla. M.; Svet, 1988.
20. G. Schlichting, Teória hraničnej vrstvy. M.: Zahraničné vydavateľstvo. lit. 1956.
21. E. P. Shurina, T. V. Voitovich, Analýza algoritmov pre metódy konečných prvkov a konečných objemov na neštruktúrovaných sieťach pri riešení Navier-Stokesových rovníc // Výpočtové technológie. 1997. T. 2. č. 4. P. 84104.
22. E. P. Shurina, O. P. Solonenko, T. V. Voitovich, Nová technológia metódy konečných objemov na simpliciálnych mriežkach pre problémy konvekčno-difúzneho typu. Novosibirsk 1999. -51 e.- (Predtlač/ ITAM SB RAS; č. 8-99).
23. I. Yu. Chumakov, Použitie rôznych podmienok pre tlak na hranici výstupu pri výpočte zložitých vnútorných tokov nestlačiteľnej tekutiny na kombinovaných mriežkach // Vestn. hovoria vedci. Ser. Aplikovaná matematika a mechanika. 1997. T 1. S. 55-62.
24. N. N. Yanenko, Metóda zlomkových krokov na riešenie viacrozmerných problémov matematickej fyziky. Novosibirsk: Nauka, 1967.
25. Primér konečných prvkov. Národná agentúra pre metódy a štandardy konečných prvkov //NEL. Glasgow, 1986.
26. K. Ajmani, W-F Ng. PANI. Lion, Predkondicionované metódy konjugovaného gradientu pre Navier-Stokesove rovnice//J. Výpočet. Phys. 1994. Vol. 1 10. S. 68-81.
27. F. Angrand, A Dervieux, Niektoré explicitné trojuholníkové schémy konečných prvkov pre Eulerove rovnice//Int. J.forNumer. Metódy v kvapalinách. 1984. Vol. 4. S. 749-764.
28. P. Arminjon, A. Dervieux, Konštrukcia umelých viskozít TVD-Hke na dvojrozmerných ľubovoľných FEM mriežkach // J. Comput. Phys., 1993. Vol. 106. S. 176-198.
29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, Experimentálne a teoretické skúmanie spätného prúdenia v smere vzad //J. Fluid Mech. 1983. Vol. 127,473496.
30. F. Babuska, Medze chýb pre metódy konečných prvkov//Číslo. Matematika. 1971, zväzok 16. S. 322-333.
31. Babuska, B. A. Szabo, I. N. Katz, P-verzia metódy konečných prvkov // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Vol. 18. S. 516-544.
32. P. Balland, E. Suli, Analýza metódy konečných objemov buniek a vrcholov pre hyperbolické problémy s premenlivými koeficientmi // SIAM J. Numer. Anal. 1997. Vol. 34. S. 1127-1151.
33. R. E. Bank, B. D. Welfert, A posteriori odhady chýb pre Stokesov problém // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. str. 591-623.
34. T. J. Barth, D. C. Jespersen, Návrh a aplikácia schém proti vetru na neštruktúrovaných sieťach // AIAA paper 89-0336.
35. E. Barton, Numerická štúdia prietoku cez obmedzený krok smerom dozadu // Int. J.ForNumer. Metódy v kvapalinách. 1995. Vol. 21. str. 653-665.
36. E. Barton, Vstupný efekt laminárneho prúdenia cez dozadu smerujúcu stupňovitú geometriu // Int. J.forNumer. Metódy v kvapalinách. 1995. Vol. 25. str. 633-644.
37. S. Benharbit, A. Chalabi, J. P Vila, Numerická viskozita a konvergencia metód konečných objemov pre zákony zachovania s okrajovými podmienkami // SIAM J. Nu-mer. Anal. 1995. Vol. 32. P 775-796.
38. Z. Cai, O metóde konečných objemových prvkov //Numer. Matematika. 1991 Vol. 58 P. 713735.
39. Z. Cai, S. McCormick, O presnosti metódy konečných objemových prvkov pre difúzne rovnice na kompozitných mriežkach // SIAM J. Numer. Anal. 1990. Vol. 27. str. 636-655.
40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick, Metóda konečných objemových prvkov pre difúzne rovnice na všeobecných trianguláciách // SIAM J. Numer. Anal. 1991, zväzok 28. str. 392402.
41. M. C. Ciccoli, Adaptive Domain Decomposition Algorithms and Finite Volume/Finite Element Approximation for Advektion-Diffusion Equations // Journal of Scientific Computing. 1996. Vol 11. P 299-341.
42. P. Chatzipantelidis, Metóda konečných objemov založená na elemente Crouzeix-Raviart pre eliptické PDR v dvoch rozmeroch //Numer. Math. 1999, Vol. 82. S. 409-432.
43. K. H. Chen, R H. Pletcher, Primitívna premenná- silne implicitný postup výpočtu pre viskózne toky pri všetkých rýchlostiach // AIAA J. 1991. Vol. 29. P1241-1249.
44. S. Chou, D. Kwak, P. S. Vassilevski, Zmiešané Covolume metódy pre eliptické problémy na trojuholníkových mriežkach // SIAM J. Numer. Anal. 1998. Vol. 35. S. 1850-1861.
45. Christie, D. F. Griffiths, A. R. Mitchell a O. C. Zienkiewicz, Metódy konečných prvkov pre diferenciálne rovnice druhého rádu s významnými prvými deriváciami // Int. J. Numer. Metódy Ing. 1976. Vol. 10. 1389-1396.
46. J.-P. Croisille, Schémy konečných objemov // Proc. druhého stážistu. Symp. o konečných objemoch pre komplexné aplikácie, 19.-22. júla 1999, Duisburg, Nemecko. HERMES Science Publications, Paríž, 1999.
47. V. Cockburn, F. Coquel. P. G. Lefloch, Konvergencia metódy konečných objemov pre viacrozmerné zákony zachovania // SIAM J. Numer. Anal. 1995. Vol. 32,687-705.
48. L. Davidson, Metóda korekcie tlaku pre neštruktúrované siete s ľubovoľnými kontrolnými objemami // Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1998. Vol. 22. S. 265-281.
49. C. Debiez, A. Dervieux, K. Meg, B. Nkonga, Výpočet nestacionárnych tokov so zmiešanými metódami konečných objemov/konečných prvkov proti vetru // Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1998. Vol. 27. S. 193-206.
50. M. Delanaye, J. A. Essers, Quadratic-reconstruction Schéma konečného objemu pre stlačiteľné toky na neštruktúrovaných adaptívnych mriežkach // AIAA Journal. 1997. Vol. 35. str. 631-639.
51. Dervieux A., Steady Euler simulácia s použitím neštruktúrovaných sietí // Séria VKI Lectures. 1985. Číslo 1884-04.
52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., O integrácii konečných prvkov v prirodzených súradniciach // Int. J. Numer. Metódy Ing. 1973. Vol. 7. 574-575.
53. A. Fezoui, Trieda implicitných schém proti vetru pre Eulerove simulácie s neštruktúrovanými sieťami//J. Sotr. Phys. 1989. Vol. 84. S. 174-206.
54. C. Gallo, G. Manzini, Zmiešaný prístup konečných prvkov/konečného objemu na riešenie biodegradačného transportu v podzemnej vode // Int. J. pre Numer. Methods in Fluids.1998. Vol. 26. S. 533-556.
55. T. Gallouet, J. P. Vila, Schémy konečných objemov pre zákony zachovania zmiešaného typu // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Vol. 28. S. 1548-1573.
56. P. M. Gresho, S. T. Chan, R. L. Lee, G. D. Upson, Modifikovaná metóda konečných prvkov na riešenie závislosti od času. Nestlačiteľné Navier-Stokesove rovnice. Časť 2: Žiadosti // Int. J. pre Numer. Methods in Fluids, 1984. Vol. 4. P. 619640.
57. A. Grundmann, H. M. Moller, Invariantné integračné vzorce pre i-simplex kombinačnými metódami // SIAM J. Numer. Anal 1978 Vol. 15, str. 282-290.
58. W. Hackbusch, O krabicových schémach prvého a druhého rádu // Computing. 1989. Vol. 41. str. 277-296.
59. L. P. Hackman, G. D. Raithby, A. B. Strong. Numerické predpovede tokov cez kroky smerujúce dozadu // Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1984. Vol. 4. S. 71 1-724.
60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, Implicitná zmiešaná metóda konečných objemovo konečných prvkov na riešenie 3D turbulentných stlačiteľných tokov. J. for Numeric Methods in Fluids, 1997. Vol. 25. S. 1241-1261.
61. F. H. Harlow, J. E. Welch, Numerický výpočet časovo závislého viskozitného nestlačiteľného toku tekutiny s voľným povrchom // Phys. Kvapaliny. 1965. Zv. 8. P. 21822189.
62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, Adaptívna metóda konečných prvkov pre dvojrovnicový model turbulencie v tokoch ohraničených stenou. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1997. Vol. 124. P 101-120.
63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, Implicitný Upwind Residual-Distribution Euler and Navier-Stokes Solver on Unstructured Meshes // AIAA Journal, 1996. Vol. 34. S. 2021-2028.
64. J. P. Jessee, W. A. Fiveland, „Algoritmus bunka-vrchol pre nestlačiteľné Navier-Stokesove rovnice na neortogonálnych mriežkach“, Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1996. Vol. 23. S. 271-293.
65. Jianguo H., Shitong X., O metóde konečných objemových prvkov pre všeobecné samoadjungované eliptické problémy // SIAM .J Numer. Anal. 1998. Vol. 35. S. 1762-1774.
66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Unstructured Multigridding by volume aglomeration: current status // Computers Fluids, 1992 Vol. 21. str. 397-433.
67. Y. Liu, M. Vinokur, Presná integrácia polynómov a symetrických kvadratúrnych vzorcov nad ľubovoľnými polyedrickými sieťami // J. Výpočet. Phys. 1998. Vol. 140. S. 122-147.
68. D. Marcum, Turbulenčné modely pre neštruktúrované výpočty konečných prvkov // Int. J.ForNumer. Metódy v kvapalinách. 1995, zv. 20. str. 803-817.
69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, Co-located equal-order control-volume finite Element method for dvojrozmerné osovo symetrické nestlačiteľné prúdenie tekutiny // Int J. For Numer. Metódy v kvapalinách. 1994. Vol. 18. S. 1-26.
70. S. Mattiussi, An Analysis of Finite Vol. Metódy konečných prvkov a konečných rozdielov využívajúce niektoré koncepty z algebraickej topológie // J. Compput. Phys. 1997. Vol. 133. S. 289-309.
71. D. Mavriplis, Multigridové riešenie dvojrozmerných Eulerových rovníc na neštruktúrovaných trojuholníkových sieťach // AIAA Journal, 1988. Vol 26. S. 824-831.
72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, "Plne spojené konečné objemové riešenia nestlačiteľných Navier-Stpkesových a energetických rovníc pomocou nepresnej Newtonovej metódy," Int. J. For Numer. Metódy v kvapalinách. 1994. Vol. 19. str. 439-455.
73. Y. Murthy, S. Mathur, Periodické prúdenie a prenos tepla pomocou neštruktúrovaných sietí // Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1997. Vol. 25. str. 659-677.
74. S. Muzaferija, D. Gosman, Postup konečných objemov CFD a adaptívna stratégia riadenia chýb sietí ľubovoľnej topológie // J. Comput. Phys., 1997, zv. 138. str. 766-787
75. P. Nithiarasu, O. C. Zienkiewlcz, V. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vazquez, Viskozity zachytávajúce šok pre algoritmus všeobecnej mechaniky tekutín // Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1998. Vol. 28. S. 1325-1353.
76. K. Ohmori, T. Ushijima, Technika protiprúdneho typu aplikovaná na lineárnu nekonformnú konečnoprvkovú aproximáciu rovníc konvekčnej difúzie // R.A.I.R.O. Anal. Numer.
77. D. Pan, J. C. Cheng, Upwind finite volume Navier-Stokes Computations on Uns-structured Triangular Meshes // AIAA Journal, 1993. Vol. 31. S. 1618-1625.
78. S. V. Potapov, Zmiešaný FE FV algoritmus v nelineárnej dynamike pevných látok // Proc. druhého stážistu. Symp. o konečných objemoch pre zložité aplikácie. 19. - 22. júla 1999. Duisburg, Nemecko. - vedecké publikácie HERMES. Paríž. 1999. S. 271278.
79. C. Prakash, S. V. Patankar, Riadiaca objemová metóda konečných prvkov na riešenie Navierových-Stokesových rovníc pomocou interpolácie rýchlosti a tlaku rovnakého rádu //Numer. Prenos tepla. 1985. Vol. 8. S. 259-280.
80. S. Ramadhyani, S. V. Patankar, Riešenie Poissonovej rovnice: porovnanie Galerkinovej a kontrolno-objemovej metódy // Int. J. Numer. Metódy Ing. 1980. Vol. 15,1395-1418.
81. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M., Schéma odstupňovaného ovládania hlasitosti pre neštruktúrované trojuholníkové mriežky // Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1995. Vol. 25. str. 697-717.
82. P. L. Roe, Približné Riemannove riešiče, vektory parametrov a schémy rozdielov //! Sotr. Phys. 1981. Vol. 43. S. 357-372.
83. C. Rohde, Upwind Schémy konečných objemov pre slabo viazané hyperbolické systémy zákonov zachovania v 2D // Numer. Matematika. 1998. Vol. 81. S. 85-123.
84. Tony W. H. Sheu, S. K. Wang, S. F. Tsai, Vývoj schémy s vysokým rozlíšením pre viacrozmernú advekčno-difúznu rovnicu // J. Sotr. Phys. 1998. Vol. 144. S. 1-16.
85. Saad Y., Iteratívne metódy pre riedke lineárne systémy. PSW Publishing Co., Boston, MA, 1995.
86. V. V. K. S. Sai, O. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, Všeobecné verzus špeciálne algoritmy pre vysokorýchlostné toky s rázmi // Int. J. Numer. Meth. Kvapaliny. 1998. Vol. 27. S. 57-80.
87. J. L. Sohn, Hodnotenie FIDAP na niektorých klasických laminárnych a turbulentných benchmarkoch // Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1988. Vol. 8. S. 1469-1490.
88. In Stoufflet, Investigation of generalized tok vector splitting for stlačiteľné toky na trojuholníkových sieťach // Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1995. Vol. 20. str. 1047-1059.
89. B. Stuflette. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, Numerická simulácia 3-D hypersonických Eulerových tokov okolo vesmírnych vozidiel pomocou upravených konečných prvkov // AIAA Paper 87-0560.
90. C. Taylor, P. Hood, Numerické riešenie Navier-Stokesových rovníc pomocou techniky konečných prvkov // Computers and Fluids. 1973. Vol. 1. S. 73-100.
91. Thomadakis M, Leschziner M., Metóda korekcie tlaku na riešenie nestlačiteľných viskóznych tokov na neštruktúrovaných mriežkach // Int.J. pre Numerické metódy v kvapalinách. -1996. Vol. 22 P 581-601.
92. A. K. Verma, V. Eswaran, Prekrývajúci sa prístup k regulácii hlasitosti pre problémy konvekcie-difúzie // Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1996. Vol. 23. str. 865-882.
93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, O kompaktnom konečnom prvku zmiešaného poriadku na riešenie trojrozmerných nestlačiteľných Navier-Stokesových rovníc // Int. J. pre Numer. Metódy v kvapalinách. 1997. Vol. 25. S. 513-522.
94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Implementácia voľnej okrajovej podmienky do Navier-Stokesových rovníc // Int. J. Numer. Methods Heat and Fluid Flow, 1997. Vol.7. S. 95-111.
95. D. Winterscheidt, K. S. Surana, p-Verzia formulácie konečných prvkov najmenších štvorcov pre dvojrozmerné, nestlačiteľné prúdenie tekutiny // Int. J. Numer. Meth. Fluids, 1994. Vol. 18. S. 43-69.
96. A. M. Winslow, Numerické riešenie kvázilineárnej Poissonovej rovnice v sieti nerovnomerných trojuholníkov, J. Computing. Phys. 1967. Zv. 2. 149-172.
97. A. Younes, R. Mose. P. Ackerer. G. Chavent, Nová formulácia zmiešanej metódy konečných prvkov na riešenie eliptických a parabolických PDR s trojuholníkovými prvkami // J. Compput. Phys., 1999. Vol. 149. S. 148-167.
98. P.J. Zwart, G. D. Raithby, M. J. Raw, Integrovaná metóda konečných objemov v časopriestore a jej aplikácia na problémy s pohyblivými hranicami // J. Compput. Phys. 1999. Vol. 154. S. 497-519.
99. O. C. Zienkiewicz, Metóda konečných prvkov v inžinierskej vede // McGraw-Hill London. 1971.
100. O.C. Zienkiewicz, R. Codina, Všeobecný algoritmus pre stlačiteľné a nestlačiteľné prúdenie. Časť 1: Rozdelená schéma založená na charakteristikách // Int. J. Numer. Meth. Kvapaliny. 1995. Vol. 20. str. 869-885.
101. S. M. Rhie a W. L. Chow, Numerická štúdia turbulentného prúdenia okolo izolovaného krídla krídla s oddelením odtokovej hrany // AIAA Paper No. 82-0998. 1982.
102. R. I. Issa, Riešenie implicitne diskretizovaných rovníc prúdenia tekutín operátorovým delením//J. Výpočet. Phys. Vol. 62. S. 40-65.1985.
103. J. Kim, S. J. Kline, J. P. Johnston, Investigation of a Reattaching Turbulent Shear Layer: Flow Over a Backward-Facing Step, Journal of Fluids Eng., Vol. 102, s. 302-308.117. http://www.ict.nsc.ru/linpar
Upozorňujeme, že vyššie uvedené vedecké texty sú zverejnené len na informačné účely a boli získané prostredníctvom rozpoznávania textu pôvodnej dizertačnej práce (OCR). Preto môžu obsahovať chyby spojené s nedokonalými rozpoznávacími algoritmami. V súboroch PDF dizertačných prác a abstraktov, ktoré dodávame, sa takéto chyby nevyskytujú.
Pred časom som hľadal popis operácií a procesov vyskytujúcich sa v knižnici numerického modelovania OpenFOAM. Našiel som veľa abstraktných popisov fungovania metódy konečných objemov, klasických diferenčných schém a rôznych fyzikálnych rovníc. Chcel som vedieť podrobnejšie - odkiaľ sa vzali tieto hodnoty v takom a takom výstupnom súbore v takej a takej iterácii, aké výrazy sú za určitými parametrami v súboroch nastavení fvSchemes, fvSolution?
Pre tých, ktorých to tiež zaujíma - tento článok. Tí, ktorí dobre poznajú OpenFOAM alebo metódy v ňom implementované - napíšte o zistených chybách a nepresnostiach v osobnej správe.
Na Habré už bolo pár článkov o OpenFOAM:
Preto sa nebudem pozastavovať nad tým, že ide o „otvorenú (GPL) platformu pre numerickú simuláciu, ktorá je navrhnutá pre simulácie spojené s riešením parciálnych diferenciálnych rovníc pomocou metódy konečných objemov a je široko používaná na riešenie problémov v mechanike kontinua.
Dnes na jednoduchom príklade popíšem operácie, ktoré sa vyskytujú pri výpočtoch v OpenFOAM.
Takže vzhľadom na geometriu - kocka so stranou 1 meter:
Stojíme pred úlohou namodelovať šírenie prúdenia určitého skalárneho poľa (teplota, množstvo hmoty), ktoré je dané nasledujúcou transportnou rovnicou (1) vo vnútri objemu telesa.
(1) 
,
Kde skalárna veličina napríklad vyjadruje teplotu [K] alebo koncentráciu určitej látky a vyjadruje prenos látky, hmotnostný tok [kg/s].
Táto rovnica sa používa napríklad na modelovanie šírenia tepla 
,
kde k je tepelná vodivosť a je teplota [K].
Operátor divergencie v skutočnosti je
operátor .
Dovoľte mi pripomenúť, že existuje operátor nabla (operátor Hamilton), ktorý je napísaný takto: 
,
Kde i, j, k sú jednotkové vektory.
Ak skalárne vynásobíme operátor nabla vektorovou veličinou, dostaneme divergenciu tohto vektora:
"Z hľadiska fyziky je divergencia vektorového poľa indikátorom rozsahu, v akom je daný bod v priestore zdrojom alebo ponorom tohto poľa."
Ak vynásobíte operátor nabla skalárom, dostanete gradient tohto skalára:
Gradient ukazuje zvýšenie alebo zníženie v určitom smere veľkosti skaláru.
Okrajové podmienky problému sú nasledovné: existuje vstupná plocha, výstupná plocha a zostávajúce plochy sú hladké steny.
Rozdelenie objemu kocky na konečné objemy
Naša mriežka bude veľmi jednoduchá - kocku rozdelíme na 5 rovnakých buniek pozdĺž osi Z.
Veľa vzorcov
Metóda konečných objemov zabezpečuje, že (1) v integrálnom tvare (2) bude splnené pre každý konečný objem.
(2)
,
Kde je geometrický stred konečného objemu.
Stred konečného objemu
Zjednodušme a transformujme prvý výraz (2) takto:
(2.1) (HJ-3.12)*
Ako vidíte, predpokladali sme, že skalárne množstvo sa vo vnútri konečného objemu lineárne mení a hodnotu množstva v určitom bode vnútri konečného objemu možno vypočítať ako:
Na zjednodušenie druhého výrazu (2) použijeme zovšeobecnenú Gaussovu-Ostrogradského vetu: integrál divergencie vektorového poľa nad objemom sa rovná vektorovému toku cez povrch ohraničujúci daný objem. V ľudskom jazyku „súčet všetkých tokov do/z konečného objemu sa rovná súčtu tokov cez steny tohto konečného objemu“:
(2.3)
,
Kde je uzavretý povrch obmedzujúci objem,
- vektor smerujúci pozdĺž normály z objemu.
Vektor S
Vzhľadom na to, že konečný objem je obmedzený množinou plochých plôch, výraz (2.3) možno transformovať na súčet integrálov na povrchu:
(2.4) (HJ-3.13)
,
Kde vyjadruje hodnotu premennej v strede tváre,
- plošný vektor, vychádzajúci zo stredu tváre, smerujúci preč od bunky (lokálne), preč od bunky s nižším indexom k bunke s vyšším indexom (globálny).
Trochu viac o vektore S
Aby sa tie isté vektorové parametre neukladali dvakrát, pretože Je zrejmé, že pre dve susedné bunky sa normálový vektor k okraju medzi bunkami, nasmerovaný preč od stredu bunky, bude líšiť iba v smerovom znamienku. Preto sa medzi okrajom a bunkou vytvoril vzťah vlastník – sused. Ak plošný vektor (globálny, kladný smer od bunky s nižším indexom k bunke s väčším indexom) označuje OD stredu bunky, takýto vzťah medzi bunkou a vektorom, presnejšie medzi bunkou a tvár, označuje sa vlastník). Ak tento vektor ukazuje vnútri príslušnej bunky, potom sused. Smer ovplyvňuje znamienko hodnoty (+ pre vlastníka a - pre suseda) a to je dôležité pri sčítaní, pozri nižšie.
O rozdielových schémach
Hodnota v strede tváre sa vypočíta prostredníctvom hodnôt v stredoch susedných buniek - tento spôsob vyjadrenia sa nazýva rozdielová schéma. V OpenFOAM je typ rozdielovej schémy špecifikovaný v súbore /system/fvSchemes:DivSchemes ( predvolené žiadne; div(phi,psi) Gauss lineárne; )
Gauss- znamená, že je zvolená centrálna rozdielová schéma;
lineárne- znamená, že interpolácia zo stredov buniek do stredov plôch bude prebiehať lineárne.
Predpokladajme, že naša skalárna veličina sa vo vnútri konečného objemu lineárne mení od stredu k okrajom. Potom sa hodnota približná v strede tváre vypočíta podľa vzorca:
Kde sú váhy a sú vypočítané ako
Kde sú objemy buniek.
Pre prípady zošikmených buniek existujú zložitejšie vzorce na výpočet aproximačných váh.
Hodnoty phi_f v stredoch okrajov buniek sa teda vypočítajú na základe hodnôt v stredoch buniek. Hodnoty gradientu grad(phi) sa vypočítavajú na základe hodnôt phi_f.
A celý tento algoritmus môže byť reprezentovaný vo forme nasledujúceho pseudokódu.
1. Vyhlásime pole gradientov konečných objemov, inicializujeme ho nulami 2. Prejdeme cez všetky vnútorné plochy (ktoré nie sú hraničné) > Vypočítame flux_f = phi_f*S_f. Vypočítajte hodnoty phi_f na základe hodnôt phi v centoch buniek > Pridajte flux_f k gradientu prvku vlastníka a -flux_f k gradientu susedného prvku 3. Iterujte cez všetky hraničné plochy > Vypočítajte flux_f = phi_f*S_f > Pridajte flux_f k gradientu prvku vlastníka (neighbour - hraničné plochy nemajú žiadne prvky) 4. Poďme cez všetky prvky > Vydeľte výsledný súčet gradientu objemom prvku
Vzorkovanie času
Berúc do úvahy (2.1) a (2.4), výraz (2) má formu:
(3)
Podľa metódy konečných objemov sa vykoná časová diskretizácia a výraz (3) sa zapíše ako:
(4)
Poďme integrovať (4):
(4.1)
Rozdeľme ľavú a pravú stranu na:
(5)
Údaje pre vzorkovaciu maticu
Teraz môžeme získať systém lineárnych rovníc pre každý konečný objem.Nižšie je uvedené číslovanie uzlov mriežky, ktoré použijeme. 
Súradnice uzla sú uložené v /constant/polyMesh/points
24
((0 0 0)
(1 0 0)
(0 1 0)
(1 1 0)
(0 0 0.2)
(1 0 0.2)
(0 1 0.2)
(1 1 0.2)
(0 0 0.4)
(1 0 0.4)
(0 1 0.4)
(1 1 0.4)
(0 0 0.6)
(1 0 0.6)
(0 1 0.6)
(1 1 0.6)
(0 0 0.8)
(1 0 0.8)
(0 1 0.8)
(1 1 0.8)
(0 0 1)
(1 0 1)
(0 1 1)
(1 1 1))
Číslovanie uzlov-stredov buniek (50, 51 - stredy hraničných plôch): 
Číslovanie stredových uzlov tváre: 
Objemy prvkov:
Interpolačné koeficienty potrebné na výpočet hodnôt na plochách buniek. Dolný index „e“ označuje „pravý okraj bunky“. Vpravo vzhľadom na pohľad, ako na obrázku „Číslovanie uzlov-centier buniek“:
Tvorba vzorkovacej matrice
Pre P = 0.
Výraz (5) popisujúci správanie sa veličiny
Bude transformovaný do systému lineárnych algebraických rovníc, pričom každá má tvar:
Alebo podľa indexov bodov na tvárach
A všetky toky do/z bunky môžu byť vyjadrené ako súčet
Kde je napríklad koeficient linearizácie prietoku v strede bunky E,
- koeficient linearizácie toku v stredovom bode tváre,
- nelineárna časť (napríklad konštantná).
Podľa číslovania tvárí bude mať výraz podobu: 
Ak vezmeme do úvahy okrajové podmienky pre prvok P_0, lineárna algebraická rovnica môže byť reprezentovaná ako
...nahradiť predtým získané koeficienty...
Tok zo vstupu"a smeruje do bunky, a preto má záporné znamienko.
Keďže v našom riadiacom výraze máme okrem difúzneho člena aj časový člen, ale výsledná rovnica vyzerá takto
Pre P = 1.
Pre P = 4.
Systém lineárnych algebraických rovníc (SLAE) môže byť reprezentovaný vo forme matice ako
A(i,j) === 40,5 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40,5
Psi = rozmery; internalField neuniformný zoznam
Na základe čoho sa získajú hodnoty pre vektor
Potom sa vektor dosadí do SLAE a dôjde k novej iterácii výpočtu vektora.
A tak ďalej, kým nezrovnalosť nedosiahne požadované hranice.
