Jak znaleźć zakres serii danych. Charakterystyka statystyczna Średnia arytmetyczna szeregu Rozstęp szeregu Tryb szeregu Mediana szeregu

Średnia arytmetyczna ciągu liczb – Jest to suma tych liczb podzielona przez liczbę wyrazów.

Średnia arytmetyczna nazywana jest średnią wartością szeregu liczbowego.

Przykład: Znajdźmy przeciętny cyfry 2, 6, 9, 15.

Rozwiązanie. Mamy cztery liczby. Oznacza to, że ich sumę należy podzielić przez 4. Będzie to średnia arytmetyczna tych liczb:
(2 + 6 + 9 + 15) : 4 = 8.

Średnia geometryczna szeregu liczb- Ten n-ty pierwiastek potęgi z iloczynu tych liczb.

Przykład: Znajdź średnią liczby geometryczne 2, 4, 8.

Rozwiązanie. Mamy trzy liczby. Oznacza to, że musimy znaleźć trzeci pierwiastek ich iloczynu. Będzie to średnia geometryczna tych liczb:

3 √ 2 4 8 = 3 √64 = 4

Zakres ciąg liczb to różnica między największą i najmniejszą z tych liczb.

Przykład: Znajdź zakres liczb 2, 5, 8, 12, 33.

Rozwiązanie: Największa liczba to 33, najmniejsza to 2. Zatem zakres wynosi 31:

Moda ciąg liczb to liczba, która pojawia się w danym szeregu częściej niż inne.

Przykład: Znajdź tryb ciągu liczb 1, 7, 3, 8, 7, 12, 22, 7, 11, 22, 8.

Rozwiązanie: W tym szeregu liczb najczęściej (3 razy) pojawia się liczba 7. Jest to postać danego ciągu liczb.

Mediana.

W uporządkowanym szeregu liczb:

Mediana liczby nieparzystej to liczba zapisana w środku.

Przykład: W szeregu liczb 2, 5, 9, 15, 21 medianą jest liczba 9 znajdująca się pośrodku.

Mediana parzystej liczby liczb jest średnią arytmetyczną dwóch liczb pośrodku.

Przykład: Znajdź medianę liczb 4, 5, 7, 11, 13, 19.

Rozwiązanie: Istnieje parzysta liczba liczb (6). Dlatego szukamy nie jednej, ale dwóch liczb zapisanych w środku. To są liczby 7 i 11. Znajdź średnią arytmetyczną tych liczb:

(7 + 11) : 2 = 9.

Liczba 9 jest medianą tego ciągu liczb.

W nieuporządkowanej serii liczb:

Mediana dowolnego ciągu liczb nazywa się medianą odpowiedniego uporządkowanego szeregu.

Przykład 1: Znajdź medianę dowolnego ciągu liczb 5, 1, 3, 25, 19, 17, 21.

Rozwiązanie: Ułóż liczby w kolejności rosnącej:

1, 3, 5, 17 , 19, 21, 25.

Pośrodku znajduje się liczba 17. Jest to mediana tego ciągu liczb.

Przykład 2: Dodajmy jeszcze jedną liczbę do naszego dowolnego ciągu liczb, tak aby szereg był parzysty, i znajdźmy medianę:

5, 1, 3, 25, 19, 17, 21, 19.

Rozwiązanie: Budujemy ponownie uporządkowaną serię:

1, 3, 5, 17 , 19 , 19, 21, 25.

Pośrodku znajdowały się liczby 17 i 19. Znajdź ich średnią wartość:

(17 + 19) : 2 = 18.

Liczba 18 jest medianą tego ciągu liczb.

Pierwszy poziom

Statystyka. Podstawowe pojęcia i definicje (2019)

Ludmiła Prokofiewna Kalugina (lub po prostu „Mymra”) we wspaniałym filmie „Romans biurowy” nauczyła Nowoseltsewa: „Statystyka jest nauką, nie toleruje przybliżeń”. Aby nie wpaść w gorącą rękę surowego szefa Kaługiny (a jednocześnie łatwo rozwiązać zadania z Unified State Exam i State Exam z elementami statystyki), postaramy się zrozumieć niektóre pojęcia statystyki, które mogą się przydać nie tylko na ciernistej drodze zdobycia egzaminu Unified State Examination, ale także po prostu w życiu codziennym.

Czym więc jest statystyka i dlaczego jest potrzebna? Słowo „statystyka” pochodzi od Słowo łacińskie„status” (status), czyli „stan i stan rzeczy/rzeczy”. Statystyka zajmuje się badaniem ilościowej strony masowych zjawisk i procesów społecznych w formie liczbowej, identyfikując szczególne wzorce. Obecnie statystyka jest wykorzystywana w niemal wszystkich obszarach życie publiczne, począwszy od mody, gotowania, ogrodnictwa po astronomię, ekonomię, medycynę.

Przede wszystkim zapoznając się ze statystyką należy zapoznać się z podstawowymi charakterystykami statystycznymi wykorzystywanymi do analizy danych. Zacznijmy od tego!

Charakterystyka statystyczna

Główne cechy statystyczne próbki danych (co to za „próbka”!? Nie przejmuj się, wszystko jest pod kontrolą, to niezrozumiałe słowo służy tylko do zastraszenia, w rzeczywistości słowo „próbka” oznacza po prostu dane które będziesz studiować) obejmują:

1. wielkość próbki,
2. zakres próbek,
3. przeciętny,
4. moda,
5. mediana,
6. częstotliwość,
7. częstotliwość względna.

Przestań, przestań, przestań! Ile nowych słów! Porozmawiajmy o wszystkim w porządku.

Wolumen i zakres

Na przykład poniższa tabela pokazuje wzrost zawodników reprezentacji narodowej w piłce nożnej:

Wybór ten jest reprezentowany przez elementy. Zatem wielkość próby jest równa.

Zasięg prezentowanej próbki wynosi cm.

Przeciętny

Niezbyt jasne? Spójrzmy na nasze przykład.

Określ średni wzrost zawodników.

Cóż, możemy zaczynać? Już to ustaliliśmy; .

Możemy od razu bezpiecznie podstawić wszystko do naszej formuły:

Zatem średni wzrost zawodnika drużyny narodowej wynosi cm.

Albo tak przykład:

Przez tydzień uczniowie klas 9. proszeni byli o rozwiązanie jak największej liczby przykładów z zeszytu zadań. Poniżej podano liczbę przykładów rozwiązywanych przez uczniów tygodniowo:

Znajdź średnią liczbę rozwiązanych problemów.

Zatem w tabeli przedstawiono dane dotyczące studentów. Zatem, . Cóż, najpierw znajdźmy sumę (całkowitą liczbę) wszystkich problemów rozwiązanych przez dwudziestu uczniów:

Teraz możemy bezpiecznie przystąpić do obliczania średniej arytmetycznej rozwiązanych problemów, wiedząc, że:

W ten sposób średnio uczniowie 9. klasy rozwiązywali każde zadanie.

Oto kolejny przykład do wzmocnienia.

Przykład.

Na rynku pomidory sprzedają sprzedawcy, a ceny za kg rozkładają się następująco (w rublach): . Co jest Średnia cena kilogram pomidorów na rynku?

Rozwiązanie.

A więc, co jest w środku w tym przykładzie równa się? Zgadza się: siedmiu sprzedawców oferuje siedem cen, co oznacza! . Cóż, uporządkowaliśmy wszystkie komponenty, teraz możemy zacząć obliczać średnią cenę:

Cóż, wpadłeś na to? Następnie wykonaj obliczenia samodzielnie przeciętny w następujących próbkach:

Odpowiedzi: .

Tryb i mediana

Spójrzmy jeszcze raz na nasz przykład z reprezentacją narodową w piłce nożnej:

Jaki jest tryb w tym przykładzie? Jaka jest najczęstsza liczba w tej próbce? Zgadza się, jest to liczba, ponieważ dwóch graczy ma cm wzrostu; wzrost pozostałych graczy nie powtarza się. Wszystko tutaj powinno być jasne i zrozumiałe, a słowo powinno być znajome, prawda?

Przejdźmy do mediany, powinieneś ją znać z kursu geometrii. Ale nie jest mi trudno przypomnieć wam to w geometrii mediana(przetłumaczone z łaciny jako „środek”) - odcinek wewnątrz trójkąta łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku. Słowo kluczoweŚRODEK. Jeśli znasz tę definicję, łatwo będzie ci zapamiętać, czym jest mediana w statystyce.

Cóż, wróćmy do naszej próbki piłkarzy?

Czy zauważyłeś w definicji mediany ważny punkt, którego jeszcze tu nie spotkaliśmy? Oczywiście „jeśli ta seria zostanie zamówiona”! Może zrobimy porządek? Aby zachować porządek w szeregu liczb, możesz ustawić wartości wzrostu piłkarzy zarówno w kolejności malejącej, jak i rosnącej. Wygodniej jest mi ułożyć tę serię w kolejności rosnącej (od najmniejszej do największej). Oto co dostałem:

Zatem szereg został posortowany. Jaki jeszcze ważny punkt istnieje przy określaniu mediany? Zgadza się, parzysta i nieparzysta liczba członków w próbie. Czy zauważyłeś, że nawet definicje są różne dla ilości parzystych i nieparzystych? Tak, masz rację, trudno tego nie zauważyć. A jeśli tak, to musimy zdecydować, czy w naszej próbie mamy parzystą liczbę graczy, czy nieparzystą? Zgadza się – jest nieparzysta liczba graczy! Teraz możemy zastosować do naszej próby mniej trudną definicję mediany dla nieparzystej liczby członków w próbie. Szukamy liczby znajdującej się w środku naszego uporządkowanego szeregu:

No cóż, mamy liczby, co oznacza, że ​​na krawędziach zostało pięć liczb, a wysokość cm będzie medianą w naszej próbie. Nie takie trudne, prawda?

Teraz spójrzmy na przykład z naszymi zdesperowanymi dziećmi z klasy 9, które rozwiązywały przykłady w ciągu tygodnia:

Czy jesteś gotowy szukać trybu i mediany w tej serii?

Na początek uporządkujmy ten ciąg liczb (ułóżmy od najmniejszej liczby do największej). Rezultatem jest taka seria:

Teraz możemy bezpiecznie określić modę w tej próbce. Która liczba występuje częściej niż inne? Zgadza się! Zatem, moda w tej próbce jest równa.

Znaleźliśmy modę, teraz możemy zacząć znajdować medianę. Ale najpierw odpowiedz mi: o jaką wielkość próbki chodzi? Czy policzyłeś? Zgadza się, wielkość próby jest równa. A jest liczbą parzystą. Zatem definicję mediany stosujemy dla szeregu liczb o parzystej liczbie elementów. Oznacza to, że musimy znaleźć w naszej uporządkowanej serii przeciętny dwie liczby zapisane pośrodku. Jakie dwie liczby znajdują się w środku? Zgadza się, i!

Zatem mediana tej serii będzie przeciętny liczby i:

- mediana rozważaną próbkę.

Częstotliwość i częstotliwość względna

To jest częstotliwość określa, jak często dana wartość powtarza się w próbce.

Spójrzmy na nasz przykład z piłkarzami. Mamy przed sobą uporządkowaną serię:

Częstotliwość to liczba powtórzeń dowolnej wartości parametru. W naszym przypadku można to tak rozpatrywać. Ilu graczy jest wysokich? Zgadza się, jeden gracz. Zatem częstotliwość spotkań gracza o wzroście w naszej próbie jest równa. Ilu graczy jest wysokich? Tak, znowu jeden gracz. Częstotliwość spotkań z zawodnikiem o wzroście w naszej próbie jest równa. Zadając te pytania i odpowiadając na nie, możesz utworzyć następującą tabelę:

Cóż, wszystko jest dość proste. Pamiętaj, że suma częstotliwości musi być równa liczbie elementów w próbie (wielkości próby). Oznacza to, że w naszym przykładzie:

Przejdźmy do kolejnej cechy – częstotliwości względnej.

Wróćmy jeszcze raz do naszego przykładu z piłkarzami. Obliczyliśmy częstości dla każdej wartości, znamy także całkowitą ilość danych w serii. Obliczamy względną częstotliwość dla każdej wartości wzrostu i otrzymujemy następującą tabelę:

Teraz utwórz samodzielnie tabele częstości i częstotliwości względnych na przykład z dziewięcioklasistami rozwiązującymi problemy.

Graficzna reprezentacja danych

Bardzo często dla przejrzystości dane prezentowane są w formie wykresów/wykresów. Spójrzmy na główne:

1. wykres słupkowy,
2. wykres kołowy,
3. wykres słupkowy,
4. wielokąt

Wykres kolumnowy

Wykresy kolumnowe stosuje się wtedy, gdy chcą pokazać dynamikę zmian danych w czasie lub rozkład danych uzyskanych w wyniku badania statystycznego.

Dla przykładu mamy następujące dane dotyczące ocen pisemnych praca testowa w jednej klasie:

Tyle mamy osób, które otrzymały taką ocenę częstotliwość. Wiedząc o tym, możemy stworzyć następującą tabelę:

Teraz możemy budować wizualne wykresy słupkowe w oparciu o taki wskaźnik jak częstotliwość(oś pozioma pokazuje wyniki na Oś pionowa pomijamy liczbę uczniów, którzy otrzymali odpowiednie oceny):

Lub możemy skonstruować odpowiedni wykres słupkowy na podstawie częstotliwości względnej:

Rozważmy przykład typu zadania B3 z Unified State Examination.

Przykład.

Wykres przedstawia rozkład produkcji ropy naftowej w krajach na całym świecie (w tonach) w roku 2011. Wśród krajów pierwsze miejsce w produkcji ropy naftowej zajmowały Arabia Saudyjska, siódme miejsce – United Zjednoczone Emiraty Arabskie. Na którym miejscu znalazły się Stany Zjednoczone?

Odpowiedź: trzeci.

Wykres kołowy

Aby wizualnie przedstawić związek między częściami badanej próbki, jest wygodny w użyciu wykresy kołowe.

Korzystając z naszej tabeli z względnymi częstościami rozkładu ocen w klasie, możemy skonstruować wykres kołowy, dzieląc okrąg na sektory proporcjonalne do względnych częstotliwości.

Wykres kołowy zachowuje swoją przejrzystość i wyrazistość jedynie w przypadku niewielkiej liczby części populacji. W naszym przypadku takich części są cztery (zgodnie z możliwymi szacunkami), zatem zastosowanie tego typu diagramu jest dość efektywne.

Spójrzmy na przykład typu zadania 18 z Państwowego Inspektoratu Egzaminacyjnego.

Przykład.

Wykres przedstawia rozkład wydatków rodzinnych podczas wakacji nad morzem. Ustal, na co rodzina wydała najwięcej?

Odpowiedź: zakwaterowanie.

Wielokąt

Dynamikę zmian danych statystycznych w czasie często przedstawia się za pomocą wielokąta. Aby skonstruować wielokąt, zaznacz płaszczyzna współrzędnych punkty, których odcięte to momenty w czasie, a rzędne to odpowiadające im dane statystyczne. Łącząc te punkty sukcesywnie odcinkami uzyskujemy linię łamaną, którą nazywamy wielokątem.

Tutaj na przykład podane są średnie miesięczne temperatury powietrza w Moskwie.

Uczyńmy dane danymi bardziej wizualnymi - zbudujemy wielokąt.

Oś pozioma pokazuje miesiące, a oś pionowa pokazuje temperaturę. Budujemy odpowiednie punkty i łączymy je. Oto co się stało:

Zgadzam się, od razu stało się jaśniejsze!

Wielokąt służy również do wizualnego przedstawienia rozkładu danych uzyskanych w wyniku badania statystycznego.

Oto skonstruowany wielokąt na naszym przykładzie z rozkładem punktacji:

Rozważmy typowe zadanie B3 z egzaminu Unified State Examination.

Przykład.

Na rysunku pogrubione kropki pokazują cenę aluminium na koniec notowań giełdowych we wszystkie dni robocze od sierpnia do sierpnia danego roku. Daty miesiąca podano poziomo, a cenę tony aluminium w dolarach amerykańskich podano pionowo. Dla przejrzystości pogrubione punkty na rysunku są połączone linią. Na podstawie wykresu określ, w którym dniu cena aluminium na koniec notowań była najniższa w danym okresie.

Odpowiedź: .

wykres słupkowy

Serie danych interwałowych przedstawiono za pomocą histogramu. Histogram to figura schodkowa złożona z zamkniętych prostokątów. Podstawa każdego prostokąta jest równa długości przedziału, a wysokość jest równa częstotliwości lub częstotliwości względnej. Zatem na histogramie, w przeciwieństwie do zwykłego wykresu słupkowego, podstawy prostokąta nie są wybierane arbitralnie, ale są ściśle określone przez długość przedziału.

Dla przykładu mamy następujące dane o przyroście zawodników powołanych do kadry narodowej:

Więc jest nam dane częstotliwość(liczba graczy o odpowiednim wzroście). Możemy uzupełnić tabelę, obliczając częstotliwość względną:

Cóż, teraz możemy zbudować histogramy. Najpierw zbudujmy w oparciu o częstotliwość. Oto co się stało:

A teraz, w oparciu o dane dotyczące częstotliwości względnej:

Przykład.

Na wystawę innowacyjne technologie Przybyli przedstawiciele firm. Wykres przedstawia rozkład tych spółek według liczby zatrudnionych pracowników. Linia pozioma przedstawia liczbę pracowników w firmie, linia pionowa pokazuje liczbę firm podany numer pracownicy.

Jaki procent stanowią firmy zatrudniające łącznie więcej niż jedną osobę?

Odpowiedź: .

Krótkie podsumowanie

Wielkość próbki- liczba elementów w próbce.

Zakres próbek- różnica między wartością maksymalną a wartości minimalne przykładowe elementy.

Średnia arytmetyczna szeregu liczb jest ilorazem podzielenia sumy tych liczb przez ich liczbę (wielkość próby).

Tryb szeregu liczbowego- liczba najczęściej spotykana w danej serii.

Medianauporządkowany ciąg liczb z nieparzystą liczbą wyrazów- liczba, która będzie w środku.

Mediana uporządkowanego ciągu liczb z parzystą liczbą wyrazów- średnia arytmetyczna dwóch liczb zapisanych pośrodku.

Częstotliwość- liczba powtórzeń pewna wartość parametr w wyborze.

Częstotliwość względna

Dla przejrzystości wygodnie jest przedstawić dane w formie odpowiednich wykresów/wykresów

• ELEMENTY STATYSTYKI. KRÓTKO O NAJWAŻNIEJSZYCH RZECZACH.

Próbkowanie statystyczne- określona liczba obiektów wybranych z ogólnej liczby obiektów do badań.

Wielkość próby to liczba elementów zawartych w próbie.

Rozpiętość próbki to różnica pomiędzy wartościami maksymalnymi i minimalnymi elementów próbki.

Lub zakres próbek

Przeciętny ciągu liczb jest ilorazem dzielenia sumy tych liczb przez ich liczbę

Formą ciągu liczbowego jest liczba, która pojawia się najczęściej w danym szeregu.

Mediana szeregu liczb o parzystej liczbie wyrazów jest średnią arytmetyczną dwóch liczb zapisanych pośrodku, jeśli ten szereg jest uporządkowany.

Częstotliwość oznacza liczbę powtórzeń, ile razy w danym okresie wystąpiło określone zdarzenie, ujawniła się dana właściwość obiektu lub zaobserwowany parametr osiągnął określoną wartość.

Częstotliwość względna jest stosunkiem częstotliwości do całkowitej liczby danych w serii.

Slepniew Paweł

Na kursie algebry w siódmej klasie podręcznik pod redakcją Telyakovsky'ego zawiera materiał ze statystyki „Średnia arytmetyczna, zakres i tryb”. Uczeń w swojej pracy podaje przykłady rozważenia tego tematu, które zasugerowali jego koledzy z klasy.

Pobierać:

Zapowiedź:

Departament Edukacji MU MO „Rejon Tarbagatai”

MBOU „Zawodska OOSH”

„Średnia arytmetyczna, zakres i tryb”

Ukończył: Slepnev Pavel, uczeń 7. klasy

Doradca naukowy:

Marina Ulakhanova Rodionowna,

nauczyciel matematyki

rok 2012

Strona wprowadzająca 3

Część główna Strona 4-9

Teoria zagadnienia s. 4-6

Miniprojekty s. 7-9

Podsumowanie Strona 9

Referencje Strona 10

Wstęp

Znaczenie

W tym roku szkolnym rozpoczęliśmy naukę dwóch przedmiotów: algebry i geometrii. Ucząc się algebry, niektóre rzeczy są mi znane z kursów 5 i 6 klasy, niektóre studiujemy dokładniej i głębiej, uczymy się wielu nowych rzeczy. Nowością w studiowaniu algebry jest zapoznanie się z pewnymi cechami statystycznymi: zakresem i modą. Ze średnią arytmetyczną zetknęliśmy się już wcześniej. Interesujące okazało się również to, że cechy te wykorzystywane są nie tylko na lekcjach matematyki, ale także w życiu, w praktyce (w produkcji, w rolnictwo w sporcie itp.).

Sformułowanie problemu

Kiedy rozwiązywaliśmy problemy do tego punktu zajęć, zrodził się pomysł, aby sami stworzyć problemy i przygotować do nich prezentacje, czyli w pewnym sensie zacząć tworzyć własną księgę problemów. Każdy wymyśla problem, robi prezentację, jakby każdy pracował nad własnym miniprojektem, a na zajęciach wspólnie wszystko rozwiązujemy i omawiamy. Jeśli zostaną popełnione błędy, poprawiamy je. A na koniec publicznie brońcie tych miniprojektów.

Cel mojej pracy: badanie statystyki.

Cele: rozpocząć opracowywanie podręcznika problemów statystycznych w formie prezentacji komputerowych.

Przedmiot badań: statystyka.

Przedmiot badań: charakterystyka statystyczna (średnia arytmetyczna, zakres, moda).

Metody badawcze:

1. Studiowanie literatury na ten temat.
2. Analiza danych.
3. Korzystanie z zasobów Internetu.
4. Korzystanie z Power Pointa.
5. Uogólnienie zebrane materiały w tym temacie.

Głównym elementem.

Teoria zagadnienia

Studiując rozdział „Charakterystyki statystyczne” zapoznaliśmy się z następującymi pojęciami: średnia arytmetyczna, zakres, tryb. Cechy te są wykorzystywane w statystykach. Nauka ta bada wielkość poszczególnych grup ludności w kraju i jego regionach, produkcję i konsumpcję różnego rodzaju produktów, transport towarów i pasażerów różne rodzaje transport, Zasoby naturalne i tak dalej.

„Statystyka wie wszystko” – zapewniali Ilf i Pietrow w swojej słynnej powieści „Dwanaście krzeseł” i kontynuowali: „Wiadomo, ile jedzenia rocznie zjada przeciętny obywatel republiki... Wiadomo, ilu myśliwych, baletnic, maszyny, rowery, pomniki znajdujące się w kraju, latarnie morskie i maszyny do szycia...Ileż życia, pełnego zapału, namiętności i myśli, patrzy na nas z tabel statystycznych!..” Ten ironiczny opis daje dość dokładne pojęcie o statystyce (od łacińskiego status - stan) - nauce badającej , przetwarza i analizuje dane ilościowe dotyczące najróżniejszych zjawisk masowych w życiu.

Statystyka gospodarcza bada zmiany cen, podaży i popytu na towary, przewiduje wzrost i spadek produkcji i konsumpcji.

Statystyka medyczna bada skuteczność różnych leków i metod leczenia, prawdopodobieństwo wystąpienia określonej choroby w zależności od wieku, płci, dziedziczności, warunków życia, złe nawyki, przewiduje rozprzestrzenianie się epidemii.

Statystyka demograficzna bada współczynnik urodzeń, wielkość populacji i jej skład (wiek, kraj, zawód).

Istnieją również statystyki finansowe, podatkowe, biologiczne i meteorologiczne.

W kurs szkolny algebrę, rozważamy pojęcia i metody statystyki opisowej, która zajmuje się pierwotnym przetwarzaniem informacji i obliczaniem najbardziej orientacyjnych charakterystyki numeryczne. Według angielskiego statystyka R. Fishera: „Statystykę można scharakteryzować jako naukę o redukcji i analizie materiału uzyskanego z obserwacji”. Cały zestaw danych liczbowych uzyskanych w próbce można (warunkowo) zastąpić kilkoma parametrami numerycznymi, z których część już rozważaliśmy na lekcjach - średnia arytmetyczna, zakres, tryb. wyniki badania statystyczne są szeroko stosowane do wniosków praktycznych i naukowych, dlatego ważna jest umiejętność określenia tych cech statystycznych.

Charakterystyki statystyczne można obecnie znaleźć wszędzie. Na przykład spis ludności. Dzięki temu spisowi państwo będzie wiedziało, ile pieniędzy potrzeba na budowę mieszkań, szkół, szpitali, ile osób potrzebuje mieszkań, ile dzieci jest w rodzinie, ilu jest bezrobotnych, jaki jest poziom wynagrodzeń itp. Wyniki tego spisu zostaną porównane z poprzednim, zobaczą, czy w tym czasie w kraju poprawiła się, czy sytuacja się pogorszyła, będzie można porównać dane z wynikami w innych krajach. W przemyśle bardzo ważne ma modę. Na przykład produkt, na który jest duże zapotrzebowanie, zawsze zostanie sprzedany, a fabryki będą miały dużo pieniędzy. A takich przykładów jest wiele.

Wyniki badań statystycznych są powszechnie wykorzystywane do wniosków praktycznych i naukowych.

Definicja 1. Średnia arytmetyczna ciągu liczb jest ilorazem podzielenia sumy tych liczb przez liczbę wyrazów.

Przykład: Podczas nauki obciążenie nauką Wybraliśmy grupę 12 uczniów klas 7. Poproszono ich o zanotowanie czasu (w minutach) poświęconego na odrabianie zadań domowych z algebry. Otrzymaliśmy następujące dane:

23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Dzięki tej serii danych możesz określić, ile minut średnio uczniowie spędzają na odrabianiu zadań domowych z algebry. Aby to zrobić, musisz dodać wskazane 12 liczb i podzielić uzyskaną sumę

o 12: ==27.

Wynikowa liczba 27 nazywana jest średnią arytmetyczną rozważanego szeregu liczb.

Średnia arytmetyczna to ważna cecha liczbę liczb, ale czasami warto rozważyć inne przeciętny.

Definicja 2. Formą ciągu liczb jest liczba, która pojawia się w danym szeregu częściej niż inne.

Przykład: Analizując informacje o czasie spędzonym przez uczniów na odrabianiu zadań domowych z algebry, możemy interesować się nie tylko średnią arytmetyczną i zakresem uzyskanych szeregów danych, ale także innymi wskaźnikami. Ciekawostką jest na przykład to, jakie zużycie czasu charakteryzuje się wybraną grupą studentów, tj. która liczba występuje najczęściej w serii danych. Łatwo zauważyć, że w naszym przykładzie jest to liczba 25. Mówią, że liczba 25 jest modą rozpatrywanego szeregu.

Seria liczb może mieć więcej niż jeden tryb lub może nie mieć żadnego trybu. Na przykład w szeregu liczb 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 54, 52, 47, 52 dwie postacie to liczby 47 i 52, ponieważ każda z nich występuje trzy razy w ciągu szereg, a pozostałe liczby – mniej niż trzykrotność.

W seriach liczbowych 69, 68, 66, 70, 67, 62, 71, 74, 63, 73, 72 nie ma trybu.

Tryb serii danych zwykle znajduje się, gdy chce się zidentyfikować jakiś typowy wskaźnik. Tryb jest wskaźnikiem szeroko stosowanym w statystykach. Jednym z najczęstszych zastosowań mody jest badanie popytu. Na przykład, podejmując decyzję o tym, w jaką gramaturę opakowań zapakować masło, jakie loty otworzyć itp., najpierw bada się popyt i identyfikuje modę - najczęstsza kolejność.

Jednak znalezienie średniej arytmetycznej lub trybu nie zawsze pozwala na wyciągnięcie miarodajnych wniosków na podstawie danych statystycznych. Jeśli dysponujemy serią danych, to aby na ich podstawie wyciągnąć trafne wnioski i wiarygodne prognozy, oprócz wartości średnich musimy także wskazać, jak bardzo wykorzystywane dane różnią się od siebie. Jedną ze statystycznych miar różnicy lub rozproszenia danych jest zasięg.

Definicja 3. Rozstęp szeregu liczb to różnica pomiędzy największą i najmniejszą z tych liczb.

Przykład: W powyższym przykładzie odkryliśmy, że uczniowie spędzali średnio 27 minut na zadaniach domowych z algebry. Analiza serii danych pokazuje jednak, że czas spędzony przez część uczniów różni się istotnie od 27 minut, tj. od średniej arytmetycznej. Największe zużycie wynosi 37 minut, a najniższe 18 minut. Różnica pomiędzy najwyższym i najniższym zużyciem czasu wynosi 19 minut. W tym przypadku brana jest pod uwagę inna cecha statystyczna – zakres. Rozstęp serii wyznacza się, gdy chcemy określić, jak duży jest rozrzut danych w serii.

Mini projekty

A teraz chciałbym zaprezentować efekty naszej pracy: miniprojekty stworzenia zeszytu problemów statystycznych.

Pracuję w salonie Super-auto na stanowisku głównego kierownika działu sprzedaży. Nasz salon udostępnił samochody do udziału w zabawie z napędem na wszystkie koła. W zeszłym roku na wystawie i sprzedaży nasze samochody odniosły sukces! Wyniki sprzedaży przedstawiają się następująco:

Dział sprzedaży musi podsumować wyniki wystawy:

1. Ile samochodów sprzedawano średnio dziennie?
2. Jaki jest rozkład liczby samochodów w okresie wystawienniczo-sprzedażowym?
3. Ile samochodów sprzedawano najczęściej dziennie?

Odpowiedź: średnio sprzedawano 150 samochodów dziennie, zakres liczby sprzedanych samochodów wynosił 150, najczęściej sprzedawano 100 samochodów dziennie.

Ja, Anastasia Volochkova, została zaproszona do jury finału konkursu Lód i Ogień. Zawody odbyły się w mieście St. Petersburgu. Do finału dotarły trzy pary najsilniejszych łyżwiarzy: 1 para. Batueva Alina i Khlebodarov Kirill, druga para. Selyanskaya Julia i Kushnarev Pavel, 3 pary. Zaigraeva Anastasia i Afanasyev Dmitry. Jury: Anastasia Volochkova, Elena Malysheva, Alexey Dalmatov. Jury przyznało następującą punktację:

Znajdź średnią arytmetyczną, zakres i modę w serii oszacowań dla każdej pary.

Odpowiedź:

W tym roku odwiedziłem St. Petersburg na konkursie tańca towarzyskiego. W konkursie wzięły udział trzy piękne pary: Elena Sushentsova i Kirill Khlebodarov, Alina Batueva i Pavel Slepnev, Victoria Dzhaniashvili i Valery Tkachev.

Za swoje występy pary otrzymały następujące oceny:

Znajdź średnie oszacowanie, zakres i tryb.

Odpowiedź:

Jestem kierownikiem sklepu modne ubrania i „Modne” dodatki. Sklep nieźle zarabia. Wyniki sprzedaży za ubiegły rok:

Przez pierwsze 2-3 miesiące zysk sięgał 2 milionów miesięcznie. Następnie zysk wzrósł do 4 milionów. Najbardziej dobre miesiące były: grudzień i maj. W maju kupowaliśmy sukienki głównie na studniówki, a w grudniu na sylwestra.

Pytanie do mojego głównego księgowego: jakie są efekty naszej pracy za ten rok?

Odpowiedź:

Zorganizowaliśmy warsztaty tuningowe „Turbo”. W pierwszym tygodniu naszej pracy zarobiliśmy: pierwszego dnia – 120 000 dolarów, drugiego dnia – 350 000 dolarów, trzeciego dnia – 99 000 dolarów, czwartego dnia – 120 000 dolarów. Oblicz, co nasze średni dochód dziennie, jaka jest różnica pomiędzy najwyższymi i najniższymi zarobkami i jaka kwota powtarza się najczęściej?

Odpowiedź: średnia arytmetyczna – 172 250 dolarów, zakres – 251 000 dolarów, tryb – 120 000 dolarów.

Wniosek

Podsumowując, chcę powiedzieć, że uwielbiam ten temat. Charakterystyki statystyczne są bardzo wygodne i można je stosować wszędzie. Ogólnie rzecz biorąc, porównują, dążą do postępu i pomagają poznać opinię ludzi. W trakcie pracy nad tym tematem zapoznałem się z nauką o statystyce, poznałem pewne pojęcia (średnia arytmetyczna, zakres i moda), w których można zastosować tę naukę, oraz poszerzyłem swoją wiedzę z zakresu informatyki. Myślę, że nasze problemy jako przykłady opanowania tych koncepcji przydadzą się innym! Będziemy nadal poznawać tę naukę i tworzyć własne problemy!

Tak zakończyła się moja podróż do świata matematyki, informatyki i statystyki. Ale myślę, że nie ostatni. Jest jeszcze wiele rzeczy, które chcę wiedzieć! Jak powiedział Galileo Galilei: „Natura formułuje swoje prawa w języku matematyki”. A ja chcę opanować ten język!

Bibliografia

1. Bunimowicz E.A., Bulychev V.A. « Prawdopodobieństwo i statystyka na kursie matematyki Szkoła średnia”, M.: Uniwersytet Pedagogiczny „Pierwszy września”, 2005
2. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. „Algebra, klasa 7”, M: „Prosveshcheniye”, 2009
3. Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. « Algebra. Elementy statystyki i rachunku prawdopodobieństwa”, klasy 7 – 9. – M.: Edukacja, 2005.

Recenzja

Przedmiotem badań studenta jest statystyka.

Przedmiotem badań są charakterystyki statystyczne (średnia arytmetyczna, rozstęp, moda).

Student zapoznał się ze źródłami naukowymi i zasobami internetowymi, aby zapoznać się z teorią zagadnienia.

Wybrany temat jest odpowiedni dla uczniów wykazujących zainteresowanie matematyką, informatyką i statystyką. Dla jego wieku przeanalizowano wystarczający materiał, wybrano dane i uogólniono. Student posiada wystarczającą wiedzę z zakresu ICT.

Praca jest wykonana zgodnie z wymaganiami.

Na zakończenie pracy wyciąga się wnioski i przedstawia praktyczny produkt: prezentacje problemów w statystyce. Cieszę się, że ktoś tak pasjonuje się matematyką.

Opiekun naukowy: Ulakhanova MR,

nauczyciel matematyki

Rozwiązywanie problemów na temat: „Cechy statystyczne. Średnia arytmetyczna, zakres, tryb i mediana

Algebra-

7. klasa

Informacje historyczne

• Średnia arytmetyczna, zakres i tryb wykorzystywane są w statystyce – nauce zajmującej się pozyskiwaniem, przetwarzaniem i analizą danych ilościowych o różnorodnych zjawiskach masowych zachodzących w przyrodzie i społeczeństwie.
• Słowo „statystyka” pochodzi od łacińskiego słowa status, które oznacza „stan rzeczy”. Statystyka bada wielkość poszczególnych grup ludności kraju i jego regionów, produkcję i konsumpcję
• różne rodzaje produktów, transport towarów i pasażerów różnymi środkami transportu, zasoby naturalne itp.
• Wyniki badań statystycznych są powszechnie wykorzystywane do wniosków praktycznych i naukowych.

Przeciętny– iloraz dzielenia sumy wszystkich liczb przez liczbę wyrazów

• Zakres– różnica między największą i najmniejszą liczbą tego szeregu
• Moda to liczba występująca najczęściej w zbiorze liczb
• Mediana– z uporządkowanego ciągu liczb o nieparzystej liczbie wyrazów jest liczbą zapisaną pośrodku, a medianą uporządkowanego ciągu liczb o parzystej liczbie wyrazów jest średnia arytmetyczna obu liczb zapisanych pośrodku. Mediana dowolnego szeregu liczb jest medianą odpowiedniego uporządkowanego szeregu.

• Przeciętny ,

• zakres i moda
• wykorzystywane są w statystyce – nauce,
• który zajmuje się przyjmowaniem,

przetwarzanie i analiza

dane ilościowe na temat różnych

• występujące zjawiska masowe

w naturze i

• Społeczeństwo.

Zadanie nr 1

• Seria liczb:
• 18 ; 13; 20; 40; 35.
• Znajdź średnią arytmetyczną tego szeregu:

• Rozwiązanie:
• (18+13+20+40+35):5=25,5
• Odpowiedź: 25,5 – średnia arytmetyczna

Problem nr 2

• Seria liczb:
• 35;16;28;5;79;54.

• Znajdź zakres serii:

• Rozwiązanie:

• Największa liczba to 79,
• Najbardziej mały numer 5.
• Zakres rzędów: 79 – 5 = 74.
• Odpowiedź: 74

Problem nr 3

• Seria liczb:
• 23; 18; 25; 20; 25; 25; 32; 37; 34; 26; 34; 2535;16;28;5;79;54.

• Znajdź zakres serii:

• Rozwiązanie:
• Największe zużycie czasu to 37 minut,
• a najmniejszy to 18 minut.
• Znajdźmy zakres szeregu:
• 37 – 18 = 19 (min)

Problem nr 4

• Seria liczb:
• 65; 12; 48; 36; 7; 12
• Znajdź modę szeregu:

• Rozwiązanie:

• Moda z tej serii: 12.
• Odpowiedź: 12

Problem nr 5

• Seria liczb może mieć więcej niż jeden tryb,
• albo może nie.

• Rząd: 47, 46, 50, 47, 52, 49, 45, 43, 53, 47, 52
• dwa tryby - 47 i 52.

• Rząd: 69, 68, 66, 70, 67, 71, 74, 63, 73, 72 nie ma mody.

Problem nr 5

• Seria liczb:
• 28; 17; 51; 13; 39
• Znajdź medianę tego szeregu:

• Rozwiązanie:

• Najpierw uporządkuj liczby rosnąco:
• 13; 17; 28; 39; 51.
• Mediana – 28.
• Odpowiedź: 28

Problem nr 6

Organizacja prowadziła codzienną ewidencję listów otrzymanych w ciągu miesiąca.

W efekcie otrzymaliśmy następującą serię danych:

39, 42, 40, 0, 56, 36, 24, 21, 35, 0, 58, 31, 49, 38, 24, 35, 0, 52, 40, 42, 40,

39, 54, 0, 64, 44, 50, 37, 32, 38.

Dla otrzymanych serii danych znajdź średnią arytmetyczną,

Jakie jest praktyczne znaczenie tych wskazań?

Problem nr 7

Zarejestrowany koszt (w rublach) paczki masło„Nezhenka” w sklepach w dzielnicy: 26, 32, 31, 33, 24, 27, 37.

O ile średnia arytmetyczna tego zbioru liczb różni się od jego mediany?

Rozwiązanie.

Posortujmy ten zbiór liczb w kolejności rosnącej:

24, 26, 27, 31, 32, 33, 37.

Ponieważ liczba elementów szeregu jest nieparzysta, mediana jest

wartość zajmująca środek szeregu liczbowego, czyli M = 31.

Obliczmy średnią arytmetyczną tego zbioru liczb – m.

m= 24+ 26+ 27+ 31+ 32+ 33+ 37 = 210 ═ 30

M – m = 31 – 30 = 1

Twórczy

Badając obciążenie pracą uczniów, wyodrębniono grupę 12 uczniów klas siódmych. Poproszono ich o zapisanie czasu (w minutach) poświęconego danego dnia na odrabianie zadań domowych z algebry. Otrzymaliśmy następujące dane: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25. Badając obciążenie pracą uczniów, wyodrębniono grupę 12 uczniów klas siódmych. Poproszono ich o zapisanie czasu (w minutach) poświęconego danego dnia na odrabianie zadań domowych z algebry. Otrzymaliśmy następujące dane: 23, 18, 25, 20, 25, 25, 32, 37, 34, 26, 34, 25.

Średnia arytmetyczna szeregu. Średnia arytmetyczna szeregu liczb to iloraz dzielenia sumy tych liczb przez liczbę wyrazów. Średnia arytmetyczna ciągu liczb to iloraz podzielenia sumy tych liczb przez liczbę wyrazów.():12=27

Zakres wierszy. Rozstęp szeregu to różnica między największą i najmniejszą z tych liczb. Rozstęp szeregu to różnica między największą i najmniejszą z tych liczb. Największe zużycie czasu to 37 minut, a najmniejsze 18 minut. Znajdźmy zakres szeregu: 37 – 18 = 19 (min)

Seria o modzie. Tryb ciągu liczbowego to liczba, która pojawia się w danym szeregu częściej niż inne. Tryb ciągu liczbowego to liczba, która pojawia się w danym szeregu częściej niż inne. Modą naszego szeregu jest liczba - 25. Modą naszego szeregu jest liczba - 25. Szereg liczb może mieć więcej niż jeden tryb, ale nie musi. 1) 47,46,50,47,52,49,45,43,53,53,47,52 – dwa tryby 47 i 52. 2) 69,68,66,70,67,71,74,63, 73,72 – brak mody.

Średnia arytmetyczna, rozstęp i moda wykorzystywane są w statystyce – nauce zajmującej się pozyskiwaniem, przetwarzaniem i analizą danych ilościowych na temat różnorodnych zjawisk masowych zachodzących w przyrodzie i społeczeństwie. Średnia arytmetyczna, rozstęp i moda wykorzystywane są w statystyce – nauce zajmującej się pozyskiwaniem, przetwarzaniem i analizą danych ilościowych na temat różnorodnych zjawisk masowych zachodzących w przyrodzie i społeczeństwie. Statystyka bada liczbę poszczególnych grup ludności kraju i jego regionów, produkcję i spożycie różnego rodzaju produktów, przewóz towarów i pasażerów różnymi środkami transportu, zasoby naturalne itp. Statystyka bada liczbę poszczególnych grup ludności danego kraju kraju i jego regionów, produkcji i konsumpcji różnego rodzaju produktów, transportu towarów i pasażerów różnymi środkami transportu, zasobów naturalnych itp.

1. Znajdź średnią arytmetyczną i zakres szeregu liczb: a) 24,22,27,20,16,37; b)30,5,23,5,28, Znajdź średnią arytmetyczną, zakres i modę pewnej liczby liczb: a)32,26,18,26,15,21,26; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; b) -21, -33, -35, -19, -20, -22; c) 61,64,64,83,61,71,70; c) 61,64,64,83,61,71,70; d) -4, -6, 0, 4, 0, 6, 8, -12. d) -4,-6, 0, 4, 0, 6, 8, W ciągu liczb 3, 8, 15, 30, __, 24 brakuje jednej liczby. Znajdź ją jeśli: a) średnia arytmetyczna seria to 18; a) średnia arytmetyczna szeregu wynosi 18; b) zakres szeregu wynosi 40; b) zakres szeregu wynosi 40; c) modą szeregu jest 24. c) modą szeregu jest 24.

4. Na świadectwie ukończenia szkoły średniej czterech znajomych – absolwentów szkoły – miało następujące oceny: Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4, 4; Ilyin: 4,4,5,5,4,4,4,5,5,5,4,4,5,4,4; Semenow: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Semenow: 3,4,3,3,3,3,4,3,3,3,3,4,4,5,4; Popow: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Popow: 5,5,5,5,5,4,4,5,5,5,5,5,4,4,4; Romanow: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Romanow: 3,3,4,4,4,4,4,3,4,4,4,5,3,4,4. Z jaką średnią ocen każdy z tych absolwentów ukończył szkołę? Wskaż najbardziej typową ocenę dla każdego z nich w certyfikacie. Jakich statystyk użyłeś, aby odpowiedzieć? Z jaką średnią ocen każdy z tych absolwentów ukończył szkołę? Wskaż najbardziej typową ocenę dla każdego z nich w certyfikacie. Jakich statystyk użyłeś, aby odpowiedzieć?

Niezależna praca Opcja 1. Opcja Biorąc pod uwagę ciąg liczb: 35, 44, 37, 31, 41, 40, 31, 29. Znajdź średnią arytmetyczną, zakres i modę. 2. W ciągu liczb 4, 9, 16, 31, _, 25 4, 9, 16, 31, _, 25 brakuje jednej liczby. brakuje jednego numeru. Znajdź, jeśli: Znajdź, jeśli: a) średnia arytmetyczna a) średnia arytmetyczna wynosi 19; niektóre równają się 19; b) zakres szeregu – 41. b) zakres szeregu – 41. Opcja Biorąc pod uwagę ciąg liczb: 38, 42, 36, 45, 48, 45,45, 42. Znajdź średnią arytmetyczną, zakres i modę zakresu . 2. W szeregu liczb 5, 10, 17, 32, _, 26 brakuje jednej liczby. Znajdź go, jeśli: a) średnia arytmetyczna wynosi 19; b) zakres szeregu wynosi 41.

Mediana uporządkowanego ciągu liczb o nieparzystej liczbie liczb to liczba zapisana pośrodku, a mediana uporządkowanego ciągu liczb o parzystej liczbie liczb to średnia arytmetyczna dwóch liczb zapisanych pośrodku. Mediana uporządkowanego ciągu liczb o nieparzystej liczbie liczb to liczba zapisana pośrodku, a mediana uporządkowanego ciągu liczb o parzystej liczbie liczb to średnia arytmetyczna dwóch liczb zapisanych pośrodku. Tabela przedstawia zużycie energii elektrycznej w styczniu przez mieszkańców dziewięciu mieszkań: Tabela przedstawia zużycie energii elektrycznej w styczniu przez mieszkańców dziewięciu mieszkań: Numer mieszkania Zużycie energii elektrycznej

Stwórzmy uporządkowany szereg: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91,93. 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 91 to mediana tego szeregu. 78 to mediana tego szeregu. Mając szereg uporządkowany: Mając szereg uporządkowany: 64, 72, 72, 75, 78, 82, 85, 88, 91, 93. ():2 = 80 – mediana. ():2 = 80 – mediana.

1. Znajdź medianę ciągu liczb: a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; a) 30, 32, 37, 40, 41, 42, 45, 49, 52; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; b) 102, 104, 205, 207, 327, 408, 417; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; c) 16, 18, 20, 22, 24, 26; d) 1,2, 1,4, 2,2, 2,6, 3,2, 3,8, 4,4, 5,6. d) 1,2, 1,4, 2,2, 2,6, 3,2, 3,8, 4,4, 5,6. 2. Znajdź średnią arytmetyczną i medianę szeregu liczb: a) 27, 29, 23, 31,21,34; a) 27, 29, 23, 31,21,34; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; b) 56, 58, 64, 66, 62, 74; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; c) 3,8, 7,2, 6,4, 6,8, 7,2; d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6. d) 21,6, 37,3, 16,4, 12, 6.

3. Tabela przedstawia liczbę zwiedzających wystawę różne dni tygodnie: Znajdź medianę podanych serii danych. W jakie dni tygodnia liczba zwiedzających wystawę była większa od mediany? Dni tygodnia pon. wt. wt. śr. śr. czw. pt. pt. sob. niedz. niedz. Liczba odwiedzających

4. Poniżej przedstawiono średni dzienny przerób cukru (w tysiącach kwintali) przez cukrownie danego regionu: (w tysiącach kwintalów) przez cukrownie danego regionu: 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5 , 12,4, 12,2, 13,2, 13,7, 18,0, 18,6, 12,2, 18,5, 12,4, 14, 2, 17, 8. 14, 2, 17,8. Dla prezentowanego szeregu znajdź średnią arytmetyczną, modę, zakres i medianę. Dla prezentowanego szeregu znajdź średnią arytmetyczną, modę, zakres i medianę. 5. Organizacja prowadziła codzienną ewidencję listów otrzymanych w ciągu miesiąca. W rezultacie otrzymaliśmy następujące serie danych: 39, 43, 40, 0,56, 38, 24, 21, 35, 38, 0,58, 31, 49, 38, 25, 34, 0,52, 40 , 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 43, 40, 0, 56, 38, 24, 21, 35, 38, 0, 58, 31, 49, 38, 25 , 34, 0 , 52, 40, 42, 40, 39, 54, 0, 64, 44, 50, 38, 37, 32. Znajdź dla prezentowanego szeregu średnią arytmetyczną, modę, zakres i medianę. Dla prezentowanego szeregu znajdź średnią arytmetyczną, modę, zakres i medianę.

Praca domowa. Na zawodach w łyżwiarstwie figurowym występ zawodnika oceniano na następujące punkty: Na zawodach w łyżwiarstwie figurowym występ zawodnika oceniano na następujące punkty: 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5.1; 5.1; 5,4; 5,5; 5.3. 5,2; 5,4; 5,5; 5,4; 5.1; 5.1; 5,4; 5,5; 5.3. Dla wynikowej serii liczb znajdź średnią arytmetyczną, zakres i modę. Dla wynikowej serii liczb znajdź średnią arytmetyczną, zakres i modę.