Budowa siatek dla metody objętości skończonych. Metoda objętości skończonych. Dzielenie objętości sześcianu na skończone objętości
Zaletą tej metody jest to, że opiera się ona na prawach konserwatorskich. Zatem w przeciwieństwie do metody różnic skończonych, metoda objętości kontrolnych zapewnia konserwatywność schematu numerycznego, co pozwala uzyskać rozwiązania akceptowalne pod względem dokładności nawet na stosunkowo grubych siatkach.
Główna idea metody jest dość prosta i łatwo poddaje się interpretacji fizycznej. Podczas dyskretyzacji równań Naviera-Stokesa uśrednionych przez Reynoldsa, dziedzina obliczeniowa jest dzielona na dużą liczbę nie nakładających się na siebie objętości elementarnych, tak że każda objętość zawiera tylko jeden punkt obliczeniowy (węzłowy). Zbiór objętości elementarnych nazywany jest siatką obliczeniową. Komórki siatki mogą mieć różne kształty. Najczęściej stosowane są sześciany (sześciany) i czworościany (czworościany). Metoda objętości kontrolnej pozwala na użycie komórek o dowolnej liczbie ścian (piramidy, pryzmaty, złożone wielościany itp.).
Rozwiązanie układu równań (1)–(18) przedstawia się jako zbiór wartości pożądanych parametrów w środkach tych objętości. Na przykład, jeśli podzielimy objętość pomieszczenia na 1000 pojedynczych objętości elementarnych (komórek), to w wyniku rozwiązania otrzymamy 1000 wartości temperatury, prędkości, ciśnienia itp. Na ryc. Rysunek 2 przedstawia fragment domeny obliczeniowej. Komórki są numerowane za pomocą indeksów ja, j, k.
Ryż. 2. Fragment domeny obliczeniowej
Całkowanie równań różniczkowych przeprowadza się po każdej objętości elementarnej. Całki oblicza się za pomocą wzorów interpolacyjnych, które służą do określenia wartości pożądanych zmiennych pomiędzy obliczonymi punktami. W rezultacie otrzymuje się dyskretny analog pierwotnych równań w punktach węzłowych, który odzwierciedla prawo zachowania badanych zmiennych w każdej skończonej objętości.
Należy zaznaczyć, że w większości nowoczesnych pakietów obliczeniowych hydrodynamicznych typu „STAR-CD”, „FLUENT”, „CFX” i wielu innych, w celu dyskretyzacji równań modelu realizowana jest metoda objętości kontrolnej.
Siatki obliczeniowe
Proces konstruowania siatki jest jednym z kluczowych momentów przeprowadzenia eksperymentu numerycznego. Wybór i zbudowanie siatki obliczeniowej adekwatnej do rozpatrywanego problemu jest procedurą dość złożoną i czasochłonną. Racjonalny dobór siatki może znacznie uprościć numeryczne rozwiązanie problemu.
Ryż. 3. Konfiguracje komórek siatki
Komórki siatki mogą mieć różne kształty (ryc. 3) i rozmiary, które najlepiej nadają się do rozwiązania konkretnego problemu. Najprostszym typem siatki jest ta, w której komórki są identyczne i mają kształt sześcienny.
Z reguły w pobliżu powierzchni stałych siatka staje się gęstsza, tj. komórki mają mniejszy rozmiar prostopadły do powierzchni. Ma to na celu poprawę dokładności obliczeń w tych obszarach, gdzie gradienty przepływu badanych parametrów zmieniają się szybciej, np. w warstwie przyściennej.
Możesz zwiększyć dokładność obliczeń i zmniejszyć błąd aproksymacji na 2 sposoby:
· zwiększenie kolejności dokładności pobierania próbek;
· zmniejszenie kroku siatki.
Przy rozwiązywaniu problemów niestacjonarnych rozmiary komórek Δx i krok całkowania czasu Δt są powiązane z warunkiem CFL (Courant-Friedrichs-Levy): 
, ty- prędkość.
Uniwersalne programy komputerowe stosowane obecnie w praktyce inżynierskiej umożliwiają pracę na dowolnych nieustrukturyzowanych siatkach z wykorzystaniem elementów silnie skośnych. W tym przypadku rząd dokładności dyskretyzacji z reguły nie przekracza sekundy. Aby uzyskać rozwiązanie wysokiej jakości, konieczne jest budowanie siatek obliczeniowych małymi krokami.
W pakiecie STAR-CCM przestawiono się na zastosowanie komórek wielościennych (podobnych do piłki nożnej), które poprzez połączenie komórek eliminują pojawienie się silnie przekrzywionych komórek.
Główną zaletą siatek nieustrukturyzowanych w porównaniu do siatek zwykłych jest większa elastyczność w dyskretyzacji obszaru fizycznego o złożonym kształcie. W takim przypadku komórki siatki muszą mieć porównywalne objętości lub obszary i nie mogą się przecinać. Do wad tego typu siatek zalicza się jednak zwiększenie wymiaru oczek. Jak pokazuje praktyka, dla tego samego obiektu siatka nieustrukturyzowana, prawidłowo skonstruowana, ma około dwukrotnie więcej komórek niż siatka ustrukturyzowana, co w naturalny sposób prowadzi do wydłużenia czasu obliczeń w stosunku do siatek zwykłych. Jednak w wielu przypadkach siatki niestrukturalne są jedyną możliwą opcją konstrukcyjną ze względu na złożoność geometrii obiektu. Dodatkowo przy racjonalnym wyborze algorytmu tworzenia siatki czas poświęcony na budowę siatki nieustrukturyzowanej okazuje się znacznie krótszy niż czas potrzebny na zbudowanie siatki strukturalnej (o strukturze blokowej). W rezultacie całkowity czas rozwiązania problemu (wliczając czas tworzenia siatki i czas obliczeń) może być znacznie krótszy w przypadku stosowania siatek nieustrukturyzowanych niż w przypadku siatek strukturalnych.
Określenie wymaganego rozmiaru oczek samo w sobie jest bardzo trudnym zadaniem. Uniwersalna metoda, jaką należy się kierować przy wyborze wymiaru siatki, sprowadza się do tego, że otrzymane rozwiązanie nie powinno zmieniać się wraz ze wzrostem liczby komórek (zbieżność siatki).
W przypadku typowych problemów przeprowadzanie badania zbieżności sieci nie jest konieczne, ponieważ można polegać na wcześniej uzyskanych wynikach. Przechodząc do badania nowego typu problemu, konieczne jest przeprowadzenie badania zbieżności sieci i określenie wymagań dla siatki obliczeniowej.
Należy pamiętać, że przy rozwiązywaniu rzeczywistych problemów wentylacji i klimatyzacji charakterystyczna liczba ogniw wynosi z reguły od 500 tysięcy do 3–4 milionów, w zależności od złożoności geometrycznej obiektu, zestawu wymaganych parametrów i specyfiki problem. W tym przypadku czas obliczeń na klastrze składającym się np. z 24 rdzeni może sięgać nawet tygodnia, a przy rozwiązywaniu problemów niestacjonarnych – nawet kilku tygodni.
Pakiet STAR-CCM+ zawiera moduł do tworzenia siatek obliczeniowych. Istnieją również osobne pakiety do generowania siatek, na przykład szeroko stosowany jest ANSYS, ICEM CFD (ICEM). Siatki wbudowane w pakiety zewnętrzne można zaimportować do pakietu STAR-CCM+.
Rozdział 1. Metody dyskretyzacji systemów praw zachowania.
1.1. Technologiczne zasady metod dyskretyzacji problemów wartości początkowej granicy z wykorzystaniem przestrzeni elementów skończonych.
1.1.1. Metody elementów skończonych.
1.1.2. Metody objętości skończonych.
1.2. Schematy podwietrzne na uproszczonych siatkach.
1.3. Metody rozwiązywania stacjonarnego układu równań Naviera-Stokesa.
Rozdział 2. Konstrukcja dyskretnych analogów równań reakcji konwekcja-dyfuzja-reakcja metodą objętości skończonych
2.1. Dyskretyzacja MKO/FE problemów typu konwekcyjno-dyfuzyjnego.
2.1.1. Triangulacja i sposób konstruowania siatki podwójnej.
2.1.2. Integralna postać praw konserwatorskich.
2.1.3. Aproksymacja strumieni dyfuzyjnych i obliczenie macierzy sztywności MKO/FE.
2.1.4. Aproksymacja terminów źródłowych.
2.1.5. Obliczanie macierzy mas MCO/FE.
2.1.6. Uwzględnianie warunków brzegowych.
2.2. Budowa wielowymiarowych schematów wiatrowych na uproszczonych siatkach.
2.2.1. Obliczanie konwekcyjnych macierzy lokalnych.
2.2.2. Schematy ważenia przepływów masowych.
2.2.3. Modyfikacja schematów wykładniczych.
2.2.4. Niektóre właściwości schematów przeciwprądowych i zasady ich budowy.
2.2.5. Analog schematu wykładniczego dla schematów z obliczaniem niewiadomych w środkach komórek.
2.3. Nowe klasy formuł całkowych MKO.
2.3.1. Całkowanie jednomianów współrzędnych barycentrycznych.
2.3.2. O możliwych kombinacjach reprezentacji wielomianowych.
2.3.3. O zwiększaniu rzędu wielomianów interpolacyjnych reprezentacji rozwiązania lokalnego.
2.4.4. Stosowanie niespójnych elementów skończonych.
2.4. Elementarny montaż macierzy globalnych
Rozdział 3. Modelowanie pola przepływu lepkich, nieściśliwych mediów.
3.1. Model matematyczny.
3.2. Integralna postać praw konserwatorskich.
3.3. Uwzględnienie zależności pomiędzy polami prędkości i ciśnienia.
3.3.1. Interpolacja Ry-Chowa do obliczania strumieni masowych.
3.3.2. Dyskretyzacja równania ciągłości.
3.3.3. Uwzględnianie granic przy niezerowym przepływie masowym.
3.3.4. Ogólny schemat iteracji 1.
3.4. Przyspieszenie zbieżności schematów iteracyjnych.
3.4.1. Korekcja pól ciśnienia i prędkości
3.4.2. Ogólny schemat iteracji II.
3.5. Rozwiązywanie układów liniowych równań algebraicznych.
Rozdział 4. Eksperymenty numeryczne.
4.1. Analiza stateczności rozwiązań typu warstwy przyściennej.
4.2. Przyspieszenie przepływu w rurze okrągłej.
4.3. Przepływ w początkowym odcinku gładkiego kanału.
4.4. Laminarny przepływ strumienia z dyszy punktowej (strumień źródłowy)
4,5. Przepływ laminarny za płaskim, asymetrycznym krokiem z tyłu
4.5.1. Obliczenia przy użyciu różnych schematów upstream
4.5.2. Efekt wejściowy przy obliczaniu przepływów za krokiem wstecz przy użyciu MKO/FE na uproszczonych siatkach.
4.5.3. Porównanie różnych metod rozwiązywania układów liniowych równań algebraicznych.
Polecana lista prac dyplomowych
Modelowanie przepływów wewnętrznych lepkiego, nieściśliwego płynu metodą elementów skończonych z wykorzystaniem schematów przeciwprądu 2007, Kandydat nauk fizycznych i matematycznych Gobysh, Albina Władimirowna
Schematy numeryczne oparte na przybliżeniach objętości skończonych/elementów skończonych do rozwiązywania problemów hydrodynamiki długofalowej 2004, kandydat nauk fizycznych i matematycznych Styvrin, Andrey Vadimovich
Technologie równoległe rozwiązywania problemów wartości brzegowych 2005, doktor nauk fizycznych i matematycznych Wasilewski, Jurij Wiktorowicz
Metoda objętości skończonych dla zagadnień konwekcji i dyfuzji oraz modele przepływu dwufazowego 2010, Kandydat nauk fizycznych i matematycznych Nikitin, Kirill Dmitrievich
Trójwymiarowe modelowanie procesów przenoszenia zanieczyszczeń w ośrodkach porowatych o złożonej strukturze 2007, kandydat nauk fizycznych i matematycznych Kapyrin, Iwan Wiktorowicz
Wprowadzenie do rozprawy doktorskiej (część streszczenia) na temat „Technologie metody objętości skończonych/elementów skończonych na siatkach uproszczonych dla problemów typu konwekcyjno-dyfuzyjnego”
Numeryczne rozwiązywanie problemów fizyki matematycznej jest jedną z głównych metod badania zjawisk rzeczywistych. Łączne wykorzystanie eksperymentów obliczeniowych i fizycznych w analizie dowolnego zjawiska pozwala z jednej strony na zmniejszenie liczby kosztownych pomiarów eksperymentalnych, z drugiej zaś na weryfikację i udoskonalanie modeli matematycznych.
Wraz ze wzrostem szybkości systemów obliczeniowych stawiane są nowe wymagania metodom numerycznym rozwiązywania problemów fizyki matematycznej. Ważnym obszarem badań jest rozwój i doskonalenie nowoczesnych metod dyskretyzacji praw zachowania, które dają możliwość symulowania coraz to nowych klas problemów i uzyskiwania znacznie lepszych wyników przy rozwiązywaniu znanych.
Nowoczesne algorytmy obliczeniowe powinny zapewniać najdokładniejszy opis obszarów o złożonej geometrii. Jest to możliwe przy użyciu nieortogonalnych i nieustrukturyzowanych siatek. W porównaniu do dowolnych siatek nieortogonalnych, w przypadku nieustrukturyzowanych siatek uproszczonych (triangulacja w przypadku dwuwymiarowym i podział na czworościany w przypadku trójwymiarowym) lokalne kondensacje są łatwiejsze do wdrożenia (na przykład za krokiem wstecz, w strefie nagłego zwężenia, w sąsiedztwie punktu przyłączenia), a także w razie potrzeby dostosowanie siatki obliczeniowej w zależności od zachowania rozwiązania. Zatem nawet przy dyskretyzacji praw zachowania w geometrycznie prostych dziedzinach, które można dokładnie przedstawić za pomocą zbioru prostokątnych elementów, nieustrukturyzowane uproszczone siatki mają wiele zalet. Pomimo oczywistych zalet siatek nieustrukturyzowanych w aproksymacji dowolnych obszarów i możliwości automatycznego konstruowania uproszczonych podziałów, praktycznie nie są one stosowane w obliczeniowej dynamice płynów i dopiero w ciągu ostatnich 15 lat cieszą się coraz większą popularnością. Według zeznań B. Stouffletta i in. przyczyną tego jest gwałtownie wydłużający się czas obliczeń przy przejściu na podejścia nieustrukturyzowane. Faktem jest, że położenie niezerowych elementów w macierzach dyskretnych analogów zależy od sąsiedztwa węzłów siatki i arbitralnie macierze są przechowywane przy użyciu uniwersalnych formatów i struktur danych. Operacje mnożenia macierzy rzadkiej przez wektor i niepełna faktoryzacja stają się znacznie „droższe”. Jednocześnie układy równań obliczeniowej dynamiki płynów są wzajemnie połączonymi nieliniowymi układami równań, których ukryte schematy rozwiązań mają wielopoziomowy charakter iteracyjny, tak że przy każdej z „globalnych” iteracji konieczne jest rozwiązanie kilku układów liniowe równania algebraiczne. Wraz z pojawieniem się potężnych systemów obliczeniowych, a także dzięki rozwojowi metod adaptacyjnych i wielosieciowych, stało się możliwe wykorzystanie nieustrukturyzowanych siatek i odpowiadających im schematów dyskretyzacji przestrzennej do modelowania procesów hydrogazdynamicznych.
Najpopularniejszą metodą dyskretyzacji w przypadku nieustrukturyzowanym jest metoda elementów skończonych (MES). Zwróćmy uwagę na takie zalety metody, jak zachowanie symetrycznego charakteru części samosprzężonej operatorów różniczkowych w ich dyskretnych odpowiednikach (uzyskuje się to poprzez specjalny dobór przestrzeni funkcji testowych pokrywającej się z przestrzenią funkcji próbnych) , możliwość zwiększenia dokładności aproksymacji poprzez zwiększenie stopnia interpolacji wielomianów interpolacyjnych reprezentacji rozwiązania lokalnego (tzw. wersje MES p i h-p, ), naturalne uwzględnienie warunków brzegowych drugiego i trzeciego rodzaju. W szczególności metoda elementów skończonych ma ugruntowaną bazę technologiczną
Metody aproksymacji iloczynów wewnętrznych przy założeniu odcinkowej wielomianowej reprezentacji rozwiązania i parametrów problemu wartości brzegowych, a mianowicie: wykorzystanie bazowego rozwinięcia odpowiedniej przestrzeni elementów skończonych, klasy wzorów całkowych, które pozwalają na dokładne całkowanie dowolnych iloczynów funkcje bazowe na elementach przegrodowych i krawędziach (ścianach) elementów,
Standardowy aparat interpolacyjny.
Technologie metody pozwalają w prosty i jednolity sposób konstruować dyskretne analogi problemów początkowych wartości brzegowych, z różnymi typami warunków brzegowych, przy założeniu pewnego stopnia gładkości rozwiązania i odcinkowym wielomianowym zachowaniu współczynników równań i warunki brzegowe, .
W wielu zastosowaniach, takich jak modelowanie naddźwiękowych i transsonicznych przepływów gazów oraz obliczenia z wykorzystaniem modeli płytkiej wody, bardzo ważny jest lokalny konserwatyzm schematów stosowanych do dyskretyzacji praw ochrony. Metoda elementów skończonych nie pozwala na prześledzenie z zadowalającą dokładnością cech powstających rozwiązań nieciągłych, a tradycyjnym podejściem do rozwiązywania takich problemów jest metoda objętości skończonych. Dyskretyzując układ praw zachowania metodą objętości skończonych, dziedzinę obliczeniową aproksymuje się zbiorem otwartych objętości skończonych, po czym badacz wykonuje „krok wstecz”, przechodząc do postaci całkowej pierwotnego układu równań; Korzystając ze wzoru Ostrogradskiego-Gaussa przechodzimy od całkowania objętościowego do całki brzegowej, tak że metoda aproksymacji przepływów przez ściany skończonych objętości całkowicie determinuje schemat obliczeniowy. Według monografii S. Patankara „dla większości badaczy zajmujących się hydrodynamiką i przenoszeniem ciepła metoda elementów skończonych nadal wydaje się owiana tajemnicą. Sformułowanie wariacyjne, a nawet metoda Galerkina nie poddają się prostej interpretacji fizycznej”. Jednocześnie schematy objętości skończonych mają pewne fizyczne znaczenie bilansu strumieni i składników źródłowych w każdej ze skończonych objętości, które przybliżają dziedzinę obliczeniową, co czyni metodę objętości skończonych atrakcyjniejszą. „Prostota” MKO jest jedną z przyczyn braku ogólnej podstawy technologicznej metody.
Zatem do zalet klasycznej wersji MKO (metoda skończonej objętości/różnicy skończonej, FVDM) należy lokalny konserwatyzm schematów dyskretnych, większa prostota i przejrzystość oraz możliwość naturalnego uwzględnienia warunków brzegowych drugiego rodzaju. Ponadto w przypadku rozwiązywania problemów z przewagą konwekcji wdrażanie schematów przeciwprądu jest uproszczone, ponieważ przepływy przez ściany o skończonych objętościach są zarówno analizowane, jak i przybliżane.
Próby usystematyzowania przybliżeń objętości skończonych doprowadziły do częściowego połączenia technologii MES i zasady całkowania po objętościach skończonych; najwcześniejsze z nich sięgają prac B. R. Baligi, K. Prakasha i S. Patankara i znane są jako metody CVFEM (metody elementów skończonych oparte na objętości kontrolnej), zwane dalej metodami skończonych objętości/elementów skończonych (FVM/ FE). Autorom metody przyświecał cel polegający na budowie konserwatywnych schematów metody objętości skończonych, wykorzystując jedną z głównych zalet MES – możliwość aproksymacji złożonych geometrii za pomocą siatek nieustrukturyzowanych. Funkcje profilowe w tej klasie metod mają „charakter pomocniczy”, nie podkreśla się przynależności rozwiązania do przestrzeni elementów skończonych. Zestawy barycentryczne stosowane są jako przegrody podwójne.
Po raz pierwszy problem braku uniwersalnych zasad technologicznych metody objętości skończonych/różnic skończonych (MKO/KR, FVDM) został omówiony w pracy Z. Kayi „O metodzie objętości skończonych/elementów”. Autor zwraca uwagę czytelnika na „niesystematyczny charakter metody skończonej objętości/różnicy skończonej”; Przy aproksymacji układów praw zachowania metodą skończonej objętości/różnicy skończonej w ramach tej samej pracy można zastosować przybliżenia różnych klas, co znacznie komplikuje analizę zbieżności takich schematów. Proponuje się rozwiązanie tego problemu - łączne wykorzystanie idei metody elementów skończonych (poszukiwanie rozwiązania w jakiejś przestrzeni elementów skończonych i wykorzystanie odcinkowo wielomianowego zachowania rozwiązania do obliczania przepływów) i całkowej postaci praw zachowania. W ten sposób powstały metody objętości/elementów skończonych (FME/E, „metody pudełkowe”, FVE) w celu stworzenia „bardziej systematycznych technologii objętości skończonych”. Brak ogólnych zasad technologicznych metod skończonych objętości/różnic skończonych odnotowuje się także w pracach Ya.JI. Guryeva i V.P. Ilyin.
Metody objętości skończonych/elementów skończonych (FVE) i metody objętości skończonych/elementów skończonych (CVFEM) wykorzystują spójne przestrzenie elementów skończonych funkcji liniowych na sympleksach i należą do klasy schematów objętości skończonych komórka-wierzchołek, rys. 1, za.
Szereg schematów obliczeniowej dynamiki płynów (modelowanie lepkich, nieściśliwych przepływów) wykorzystuje niespójne przestrzenie elementów skończonych, w szczególności przestrzeń Crouseya-Raviarda liniową na elementach ciągłych w środkach krawędzi funkcji testowych. Metody objętości skończonych wykorzystujące niespójne przestrzenie elementów skończonych zostały zaproponowane przez S. Choi i D. Kwak, badane w szeregu prac innych autorów (tzw. metody subobjętościowe, metoda covolume) i są schematami z obliczaniem niewiadomych w środkach krawędzi ( Najpopularniejszymi schematami rozwiązywania problemów dynamiki gazów i modelowania katastrof antropogenicznych za pomocą równań płytkiej wody są schematy objętości skończonych skupione na komórkach, ryc. 1, f. Ich popularność wynika z faktu, że w przypadku obliczania niewiadomych w centroidach większość schematów dynamiki gazu (schematy S.K. Godunowa, schematy TVD) można przenieść do sieci nieustrukturyzowanych bez zasadniczych zmian technologicznych. o w Ryc.1. Położenie punktów obliczeniowych względem węzłów siatki ES. Niniejsza praca dotyczy przede wszystkim klas metod objętości skończonych z obliczaniem niewiadomych w węzłach triangulacji (MKO/E, MKO/FE) i środkach krawędziowych (metody podobjętościowe), w przyszłości będziemy mówić także o „metodach objętości skończonych wykorzystujących przestrzenie elementów skończonych”. ” Te klasy metod, jak wynika z szeregu badań (, ), dla problemów konwekcyjno-dyfuzyjnych zapewniają lepsze przybliżenia rozwiązania niż metody z obliczaniem niewiadomych w środkach komórek. Jednym z głównych powodów jest to, że w przypadku powyższych metod zachowana jest ciągłość pierwszych pochodnych funkcji testowych na elementach siatki podwójnej. Skutecznym podejściem do rozwiązywania problemów z przewagą konwekcji jest zastosowanie metody Galerkina z symetrycznymi funkcjami testowymi dla części samosprzężonej operatorów różniczkowych oraz poprzedzającymi schematami MCO dla ich części asymetrycznej, tzw. mieszane metody elementów skończonych/objętości (FEM/O, MEV, metoda mieszana elementów/objętości). Praca doktorska poświęcona jest w szczególności doskonaleniu technologii metody objętości skończonych dla wskazanych klas metod (MKO/E, MKO/CE, FEM/O, metody subobjętościowe). W chwili obecnej metody te nie mają ustalonych technologii uwzględniania fragmentarycznie wielomianowego zachowania rozwiązania, terminów źródłowych i współczynników przenoszenia. Możemy wymienić następujące przyczyny niedoskonałości aparatu do dokładnego całkowania wielomianów w metodach objętości skończonych wykorzystujących przestrzenie elementów skończonych: 1. W przeciwieństwie do metody elementów skończonych metoda objętości skończonych nie ma wersji p, ponieważ wraz z wprowadzeniem dodatkowych węzłów i kilku rodzajów podwójnych siatek lokalny konserwatyzm szeregu zmiennych układu praw zachowania w stosunku do „obcych” skończonych objętości zostaje naruszona. Zatem przybliżenia ograniczają się do przestrzeni elementów skończonych niższego rzędu. 2. W porównaniu do metody elementów skończonych metody objętości skończonych charakteryzują się większą swobodą w wyborze przestrzeni funkcji testowych, które w tym przypadku okazują się być związane z położeniem punktów obliczeń niewiadomych w odniesieniu do dyskretyzacji węzły (schematy z położeniem niewiadomych w węzłach, środki krawędzi, sympleksy centroidów) oraz sposób konstruowania siatki podwójnej (z wykorzystaniem zbiorów barycentrycznych, ortocentrycznych, obwodowocentrycznych). W połączeniu z możliwością wykorzystania siatek kolokowanych lub naprzemiennych, daje to pełną różnorodność istniejących schematów MCM w każdej aplikacji. W przypadku metod MCM dyskretyzacji praw zachowania, które wykorzystują przestrzenie elementów skończonych, staranny dobór tych przestrzeni do rozwiązań, współczynników równań i składników źródłowych częściowo traci na znaczeniu, jeśli metoda nie opracowała sposobów uwzględnienia odcinkowych reprezentacji wielomianowych, w szczególności , aparat do dokładnego całkowania wielomianów po elementach siatki podwójnej, subdziedzinach elementów i odcinkach krawędzi granicznych. W konsekwencji wyniki obliczeń z wykorzystaniem skonstruowanych schematów należy rozpatrywać z punktu widzenia efektów całkowania numerycznego, uwzględniając różne metody ich realizacji; znacznie trudniej jest porównywać wyniki badań z pracami innych autorów itp. Zatem niniejsza praca poświęcona jest rewizji istniejących technologii MCM/FEM w celu konstruowania dyskretnych analogów problemów typu konwekcja-dyfuzja. Technologia uwzględniania wielomianowej reprezentacji odcinkowej rozwiązania, współczynników równania i zawartych w warunkach brzegowych oraz składników źródłowych w metodach objętości skończonych z wykorzystaniem przestrzeni elementów skończonych musi spełniać następujące wymagania: 1) umożliwiać dowolne kombinacje reprezentacji wielomianowych współczynników i rozwiązań na elementach przegrody, a także zwiększać stopień wielomianów interpolacyjnych reprezentacji rozwiązań lokalnych; 2) stosować ujednolicone zasady aproksymacji przy obliczaniu udziałów elementów odpowiadających różnym członom równania (czołom dyfuzyjnym, konwekcyjnym, reakcyjnym, członom źródłowym), a także wkładom od krawędzi aproksymujących części granic z określonymi różnymi rodzajami warunków brzegowych na nich; 3) pozwalają na jednorodne uogólnienie na przypadek trójwymiarowy; 4) uwzględniać doświadczenia dobrze rozwiniętych technologii elementów skończonych, w szczególności wykorzystanie bazowego rozszerzania przestrzeni elementów skończonych oraz zalety dokładnego całkowania odcinkowych reprezentacji wielomianowych rozwiązania i współczynników przenikania; 5) zapewnić ujednoliconą podstawę technologiczną dla mieszanych aproksymacji MES/O, które wykorzystują dwa zestawy funkcji testowych – objętość skończoną i element skończony – do aproksymacji jednego równania; 6) zasady technologii powinny pozostać niezmienione przy przejściu od stosowania spójnych przestrzeni elementów skończonych (metody objętości skończonych/elementów skończonych z obliczaniem niewiadomych w węzłach) do stosowania niespójnych elementów skończonych (metody z obliczaniem niewiadomych w środkach krawędzi triangulacji); 7) technologię można zastosować do aproksymacji różnych klas problemów fizycznych. Spośród istniejących technologii metod objętości skończonych wykorzystujących przestrzenie elementów skończonych (metody objętości skończonych (FVE), metody objętości skończonych/elementów skończonych (CVFEM), metody podobjętości, metody mieszanych objętości/elementów (MEV)) nie spotyka się żadnej powyższe wymagania. Dlatego też stworzenie nowych technologii dla tych klas metod wykorzystujących przegrody uproszczone i zbiory barycentryczne jako dualne wydaje się być istotnym tematem badawczym. W przypadku znacznej przewagi konwekcji porównanie różnych schematów dyskretyzacji MCO, a także porównanie obliczeń metodą elementów skończonych i metodą objętości skończonych, sprowadza się w rzeczywistości do porównania odpowiednich schematów przed wiatrem. Najbardziej zbadanymi i często stosowanymi w przypadku nieustrukturyzowanym są schematy podwietrzne z klasy metod objętości skończonych z obliczaniem zmiennych w środkach komórek. Pomimo tego, że krawędzie elementów przegrody nie są równoległe do osi współrzędnych, schematy te w większości przypadków mają charakter jednowymiarowy, gdyż sprowadzają się do rozwiązania problemu zaniku nieciągłości na liniach łączących centroidy sympleksów. Obliczenia z wykorzystaniem takich schematów nie odtwarzają wielowymiarowej struktury przepływu i charakteryzują się nadmiernym rozproszeniem numerycznym. Aby skonstruować wcześniejsze schematy aproksymacji drugiego rzędu, konieczna jest znaczna rozbudowa szablonu, co w przypadku nieustrukturyzowanym prowadzi do znacznej komplikacji odpowiednich struktur danych. Schematy upstream dla schematów z obliczaniem niewiadomych w węzłach triangulacji i punktach środkowych jej krawędzi są obecnie nieliczne (patrz). W niektórych przypadkach zasada aproksymacji upstream sprowadza się do wykorzystania jednej wartości substancji skalarnej – w węźle simpleksowym leżącym powyżej, lub dwóch wartości ważonych – na końcach krawędzi simplex leżącej powyżej. Tylko jeden ze znanych schematów, FLO (Flow Oriented Upwind Scheme), opracowany przez K. Prakasha i S. Patankara, wykorzystuje obliczanie niewiadomych w węzłach – możliwość konstruowania funkcji profilu asymetrycznego. Jednak obliczenia przy użyciu tego schematu uważa się za niezadowalające, ponieważ schemat nie ma właściwości dodatniości, a procesy iteracyjne często się rozchodzą. Oszacowanie dyfuzji numerycznej wprowadzonej przez zastosowanie schematów pod wiatr na uproszczonych siatkach jest problemem samym w sobie. Istniejące prace w tym kierunku, dostarczające teoretycznych szacunków cech zbieżności, ograniczają się do różnorodnych schematów obliczania zmiennych w środkach komórek. Dlatego też szczególne znaczenie ma oszacowanie współczynnika zbieżności schematów MCO/FE pod wiatrem za pomocą serii eksperymentów numerycznych. Zatem konstrukcja i analiza porównawcza systemów MCO/FE pod wiatrem w sieciach nieustrukturyzowanych jest aktualnym tematem badań. Celem pracy jest opracowanie technologii obliczeniowych dla metod objętości skończonych wykorzystujących przestrzenie elementów skończonych do aproksymacji problemów typu konwekcyjno-dyfuzyjnego. Aby osiągnąć ten cel, sformułowano następujące cele badawcze: 1) doskonalenie technologii dyskretyzacji układów praw zachowania z wykorzystaniem metody objętości skończonych/elementów skończonych na siatkach uproszczonych, z wykorzystaniem przegród barycentrycznych jako przegród podwójnych; 2) rozwój technologii aproksymacji zagadnień typu konwekcyjno-dyfuzyjnego ze znaczącymi pierwszymi pochodnymi; budowa, wdrażanie i analiza porównawcza schematów wydobywczych na sieciach nieustrukturyzowanych, w szczególności przeprowadzanie eksperymentów obliczeniowych w celu oceny kolejności aproksymacji proponowanych i najdokładniejszych znanych schematów, a także porównywanie charakterystyk układów wydobywczych w oparciu o MCE/FE i MES; 3) tworzenie, w oparciu o opracowane technologie, pakietów oprogramowania umożliwiających odpowiednią symulację lepkich, nieściśliwych przepływów cieczy i gazów w obszarach skomplikowanych geometrycznie, w przypadkach stacjonarnych i niestacjonarnych. Metody badawcze. Metody matematyki obliczeniowej. Analiza porównawcza technologii dokładnego całkowania wielomianów w metodach elementów skończonych, objętości/elementów skończonych, reszt rozproszonych. Eksperymentalna ocena stopnia zbieżności schematów przepływu pod wiatr dla problemów z rozwiązaniem analitycznym. Obliczenia na zbiorze skondensowanych przegród metodą elementów skończonych, a następnie analiza zbieżności z danymi eksperymentalnymi. Nowość naukowa pracy polega na tym, że: 1. Zaproponowano nową technologię uwzględnienia odcinkowej wielomianowej reprezentacji rozwiązania, współczynników przenoszenia i składników źródłowych przy dyskretyzacji problemów o wartości początkowej i brzegowej metodami skończonych objętości/elementów, skończonych objętości/elementów skończonych i podobjętości. Technologia opiera się na wykorzystaniu bazowego rozszerzania przestrzeni elementów skończonych w kategoriach barycentrycznych współrzędnych symplicjalnych, z dalszą dokładną całką ich jednomianów. Dla schematów MKO/FE, MKO/E z obliczaniem zmiennych w węzłach triangulacji proponowane są trzy klasy wzorów na dokładne całkowanie jednomianów współrzędnych barycentrycznych: po odcinkach siatki podwójnej w elemencie, po podobszarach i odcinkach barycentrycznych krawędzi granicznych. W przypadku metod podobjętościowych wykorzystujących niespójne przestrzenie elementów skończonych proponuje się zastosować zasadę dokładnego całkowania funkcji bazowych i otrzymać odpowiednie wzory całkowe. 2. Zaproponowano metodę konstruowania schematów MCO/FE pod wiatrem na uproszczonych siatkach, opartą na oddzielnym przybliżeniu strumieni masowych i wartości substancji skalarnej na odcinkach siatki dualnej. Wprowadzono pojęcia lokalnej macierzy współczynników wagowych schematu przeciwprądowego, wewnętrznej dla elementów schematów oraz lokalnej dodatniości schematów. Zaproponowano schemat przeciwprądu klasy wykładniczej i zbudowano jego odpowiednik dla MKO z obliczeniem nieznanych sympleksów w środkach ciężkości. 3. Otrzymano eksperymentalne oszacowania stopnia zbieżności schematu „pod wiatr” z ważeniem przepływów masowych i zaproponowanego schematu klas wykładniczych. Wykorzystując rozwiązania typu warstwy przyściennej przeanalizowano stabilność skonstruowanych schematów i porównano je z wcześniejszymi schematami MES. 4. Wykorzystując zaproponowane technologie aproksymacji dla zagadnień typu konwekcja-dyfuzja, utworzono zestaw programów do modelowania lepkich przepływów nieściśliwych w naturalnych zmiennych prędkość-ciśnienie oraz przeprowadzono szereg eksperymentów obliczeniowych potwierdzających skuteczność skonstruowanych schematów. Struktura i zakres rozprawy doktorskiej. Rozprawa składa się ze wstępu, czterech rozdziałów, zakończenia, spisu literatury, aneksu i zawiera 173 strony, w tym 10 tabel i 51 rycin. Bibliografia zawiera 117 tytułów.
Podobne rozprawy w specjalności „Modelowanie matematyczne, metody numeryczne i pakiety oprogramowania”, 05.13.18 kod HAC
Numeryczna metoda obliczania przepływów ściśliwego, lepkiego gazu w szerokim zakresie liczb Macha 2004, kandydat nauk fizycznych i matematycznych Chirkov, Denis Władimirowicz
Metoda numerycznego badania opływu konfiguracji przestrzennych poprzez rozwiązywanie równań Naviera-Stokesa w oparciu o schematy dokładności wyższego rzędu 2010, doktor nauk fizycznych i matematycznych Volkov, Andrey Viktorovich
Numeryczne modelowanie ruchu lepkiego, nieściśliwego płynu o swobodnych granicach z wykorzystaniem metody uogólnionych sąsiadów naturalnych 2008, kandydat nauk fizycznych i matematycznych Rein, Tatyana Sergeevna
Rozwój technologii obliczeń precyzyjnych w oparciu o spektralną metodę elementów skończonych 2007, kandydat nauk fizycznych i matematycznych Poponin, Władimir Siergiejewicz
Badanie przepływów cieczy lepkiej w kanałach o złożonym kształcie 2002, kandydat nauk fizycznych i matematycznych Firsov, Dmitrij Konstantinowicz
Zakończenie rozprawy na temat „Modelowanie matematyczne, metody numeryczne i pakiety oprogramowania”, Voitovich, Tatyana Viktorovna
Wniosek
Niniejsza praca poświęcona jest rozwojowi technologii obliczeniowych dla metod objętości skończonych na siatkach uproszczonych, wykorzystujących przestrzenie elementów skończonych i przegrody barycentryczne jako dualne do aproksymacji problemów typu konwekcyjno-dyfuzyjnego! W pracy uzyskano następujące główne wyniki dla obronności:
1. Zaproponowano nową technologię uwzględnienia odcinkowej wielomianowej reprezentacji rozwiązania, współczynników przenoszenia i składników źródłowych przy dyskretyzacji problemów o wartości początkowej i brzegowej metodami skończonych objętości/elementów, skończonych objętości/elementów skończonych i podobjętości. Technologia opiera się na wykorzystaniu bazowego rozszerzania przestrzeni elementów skończonych w kategoriach barycentrycznych współrzędnych symplicjalnych, z dalszą dokładną całką ich jednomianów. Dla schematów MKO/FE, MKO/E z obliczaniem zmiennych w węzłach triangulacji proponowane są trzy klasy wzorów na dokładne całkowanie jednomianów współrzędnych barycentrycznych: po odcinkach siatki podwójnej w elemencie, po podobszarach i odcinkach barycentrycznych krawędzi granicznych. W przypadku metod podobjętościowych wykorzystujących niespójne przestrzenie elementów skończonych proponuje się zastosować zasadę dokładnego całkowania funkcji bazowych i otrzymać odpowiednie wzory całkowe.
2. Zaproponowano metodę konstruowania schematów MCO/FE pod wiatrem na uproszczonych siatkach, opartą na oddzielnym przybliżeniu strumieni masowych i wartości substancji skalarnej na odcinkach siatki dualnej. Wprowadzono pojęcia lokalnej macierzy współczynników wagowych schematu wydobywczego, wewnętrznej dla elementów schematów oraz lokalnej dodatniości schematów. Zaproponowano schemat przeciwprądu klasy wykładniczej i zbudowano jego odpowiednik dla MKO z obliczeniem nieznanych sympleksów w środkach ciężkości.
3. Uzyskano szacunki eksperymentalne stopnia zbieżności schematu przeciwprądu z ważeniem przepływów masowych i zaproponowanego schematu klas wykładniczych. Wykorzystując rozwiązania typu warstwy przyściennej przeanalizowano stabilność skonstruowanych schematów i porównano je z wcześniejszymi schematami MES. Pokazano, że wypełnione schematy MCO/FE umożliwiają znacznie dokładniejsze śledzenie cech rozwiązań warstwy granicznej niż schematy metody Petrov-Galerkina z asymetrycznymi funkcjami bazowymi (wielomiany Legendre'a), schematy elementów skończonych Rice'a i Schnipkego, a także połączone schematy elementów skończonych wyższego rzędu aproksymacji opracowane przez T. Sheu, S. Wanga i S. Tsai.
4. Wykorzystując zaproponowane schematy aproksymacji dla problemów typu konwekcyjno-dyfuzyjnego, utworzono zestaw programów do modelowania lepkich przepływów nieściśliwych w naturalnych zmiennych prędkość-ciśnienie, na połączonych siatkach, wykorzystując wielomiany interpolacyjne ciśnienia i prędkości tego samego rzędu; W celu potwierdzenia efektywności skonstruowanych układów przeprowadzono szereg eksperymentów obliczeniowych.
5. Dla przepływu odniesienia w kanale za krokiem wstecz po raz pierwszy pokazano interakcję efektu wejściowego i efektu zastosowania aproksymacji upstream.
Tak więc zaproponowana w pracy technologia dyskretyzacji problemów wartości początkowej-brzegowej przy użyciu metody elementów skończonych/objętości skończonych na siatkach uproszczonych jest skutecznym sposobem aproksymacji systemów praw zachowania, opracowane schematy dla wiatrów charakteryzują się dobrą charakterystyką zbieżności, a zastosowanie Metody dyskretyzacji układu równań Naviera-Stokesa z interpolacją tego samego rzędu składowych wektora prędkość-ciśnienie pozwalają na uzyskanie wyników dobrze zgodnych z danymi eksperymentalnymi. Klasy metod objętości skończonych/elementów skończonych na siatkach uproszczonych, których podstawą technologiczną jest dokładna integracja jednomianów współrzędnych barycentrycznych, są efektywnymi metodami modelowania lepkich, nieściśliwych przepływów w obszarach o złożonej geometrii brzegowej.
Lista referencji do badań do rozprawy doktorskiej Kandydat nauk fizycznych i matematycznych Wojtowicz, Tatiana Wiktorowna, 2000
1. Belotserkovsky O.M., Modelowanie numeryczne w mechanice ciągłej. M.: Nauka. Głowa. wyd. fizyka i matematyka Literatura, 1984.
2. A. S. Boldarev, V. A. Gasilov. O. G. Olkhovskaya, W stronę rozwiązania równań hiperbolicznych na siatkach nieustrukturyzowanych // Modelowanie matematyczne. 1996. T. 8, nr 3. s. 51-78.
3. P. A. Voinovich, D. M. Sharov, Modelowanie nieciągłych przepływów gazu w sieciach nieustrukturyzowanych // Modelowanie matematyczne. 1993. T. 5. nr 7, s. 86-114.
4. I.J1. Guryeva, Technologia obliczeniowa metody objętości skończonych // Dis. na stopień kandydata nauk ścisłych. f-m. Nauka. Nowosybirsk 1997. - 115 s.
5. Zhukov M.F., Solonenko O.P., Wysokotemperaturowe strumienie pyłowe w przetwarzaniu materiałów proszkowych. Nowosybirsk IT SB RAS. 1990.
6. V. P. Ilyin, Zrównoważone schematy różnicowe o zwiększonej dokładności na niejednorodnych siatkach prostokątnych. Nowosybirsk 1994. - 31 s. (Preprint/CC SB RAS nr 1031).
7. Ilyin V.P., Turakulov A.A., O przybliżeniach całkowo-bilansowych trójwymiarowych problemów wartości brzegowych. Nowosybirsk, 1993. - 24 s. - (Preprint/CC SB RAS: nr 986).
8. V. M. Kovenya, N. N. Yanenko, Metoda podziału w zagadnieniach dynamiki gazu. Nowosybirsk, Nauka. 1989.
9. A. Ladyzhenskaya, Matematyczne problemy dynamiki lepkiego, nieściśliwego płynu. M.: Tqc. wydawnictwo f.-m. dosł. – 1961.
10. D. Oden, Elementy skończone w mechanice nieliniowej. M.: Mir, 1976.
11. Patankar S., Numeryczne metody rozwiązywania problemów wymiany ciepła i dynamiki płynów. -M.:. Energoatomizdat, 1984.
12. N. Pissanetski S. Technologia macierzy rzadkich. M.: Mirku. 1988.
13. Preparata F. Sheimos M. Geometria obliczeniowa; Wstęp. M.” Mir, 1984.
14. A. A. Samarsky, Wprowadzenie do teorii schematów różnicowych. M.: Nauka, 1971.
15. L Segerlind, Zastosowanie metody elementów skończonych M.: Mir. 1979
16. N. K. Sukanek, R. P. Rhodes, Formułowanie warunku na osi symetrii w numerycznym obliczaniu przepływów symetrycznych // Rocketry and Cosmonautics, 1978. Vol. 16. nr 10). s. 96-98.
17. R. Temam, Równania Naviera-Stokesa, Teoria i analiza numeryczna // M.: Mir. 1981.
18. K. Fletcher, Metody numeryczne oparte na metodzie Galerkina II M.: Mir, 1991
19. D. Shi, Metody numeryczne w zagadnieniach wymiany ciepła. M.; Świat, 1988.
20. G. Schlichting, Teoria warstw brzegowych. M.: Wydawnictwo zagraniczne. oświetlony. 1956.
21. E. P. Shurina, T. V. Voitovich, Analiza algorytmów metod elementów skończonych i metod objętości skończonych na siatkach nieustrukturyzowanych przy rozwiązywaniu równań Naviera-Stokesa // Technologie obliczeniowe. 1997. T. 2. nr 4. s. 84104.
22. E. P. Shurina, O. P. Solonenko, T. V. Voitovich, Nowa technologia metody objętości skończonych na siatkach uproszczonych dla problemów typu konwekcyjno-dyfuzyjnego. Nowosybirsk 1999. -51 e.- (Preprint/ ITAM SB RAS; nr 8-99).
23. I. Yu Chumakov, „Zastosowanie różnych warunków ciśnienia na granicy wylotu przy obliczaniu złożonych wewnętrznych przepływów nieściśliwego płynu w połączonych siatkach”, Vestn. Mówią naukowcy. Ser. Matematyka stosowana i mechanika. 1997. T 1. s. 55-62.
24. N. N. Yanenko, Metoda kroków ułamkowych do rozwiązywania wielowymiarowych problemów fizyki matematycznej. Nowosybirsk: Nauka, 1967.
25. Elementarz skończony. Krajowa Agencja Metod i Standardów Elementów Skończonych //NEL. Glasgow, 1986.
26. K. Ajmani, W-F Ng. SM. Lion, Wstępnie uwarunkowane metody gradientu sprzężonego dla równań Naviera-Stokesa//J. Oblicz. Fiz. 1994. tom. 1 10. s. 68-81.
27. F. Angrand, A Dervieux, Niektóre jawne trójkątne schematy elementów skończonych dla równań Eulera//Int. J.forNumer. Metody w płynach. 1984. tom. 4. s. 749-764.
28. P. Arminjon, A. Dervieux, Konstrukcja sztucznych lepkości TVD-Hke na dwuwymiarowych arbitralnych siatkach MES // J. Comput. Fiz., 1993. tom. 106. s. 176-198.
29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, Eksperymentalne i teoretyczne badanie przepływu krokowego skierowanego do tyłu //J. Mech. Płyn. 1983. tom. 127,473496.
30. F. Babuska, Granice błędów metod elementów skończonych//Numer. Matematyka. 1971, tom 16. s. 322-333.
31. Babuska, B. A. Szabo, I. N. Katz, Wersja p metody elementów skończonych // SIAM J. Numer. Analny. 1981. tom. 18. s. 516-544.
32. P. Balland, E. Suli, Analiza metody skończonej objętości wierzchołka komórki dla problemów hiperbolicznych o zmiennych współczynnikach // SIAM J. Numer. Analny. 1997. Cz. 34. s. 1127-1151.
33. R. E. Bank, B. D. Welfert, A posteriori szacunki błędów dla problemu Stokesa // SIAM J. Numer. Analny. 1991. tom. 28. s. 591-623.
34. T. J. Barth, D. C. Jespersen, The design and application of upwind schemats on unstructured meshes // Artykuł AIAA 89-0336.
35. E. Barton, Numeryczne badanie przepływu przez ograniczony stopień skierowany tyłem do kierunku jazdy // Int. J.ForNumer. Metody w płynach. 1995. tom. 21. s. 653-665.
36. E. Barton, Efekt wejściowy przepływu laminarnego przez geometrię schodkową skierowaną do tyłu // Int. J.forNumer. Metody w płynach. 1995. tom. 25. s. 633-644.
37. S. Benharbit, A. Chalabi, J. P Vila, Lepkość numeryczna i zbieżność metod objętości skończonych dla praw zachowania z warunkami brzegowymi // SIAM J. Nu-mer. Analny. 1995. tom. 32. s. 775-796.
38. Z. Cai, O metodzie elementów skończonych //Numer. Matematyka. 1991 tom. 58 s. 713735.
39. Z. Cai, S. McCormick, O dokładności metody elementów skończonych objętości dla równań dyfuzji na siatkach kompozytowych // SIAM J. Numer. Analny. 1990. tom. 27. s. 636-655.
40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick, Metoda elementów skończonych objętości dla równań dyfuzji w triangulacjach ogólnych // SIAM J. Numer. Analny. 1991 tom 28. s. 392402.
41. M. C. Ciccoli, Algorytmy dekompozycji domeny adaptacyjnej i przybliżanie objętości skończonej/elementów skończonych dla równań adwekcji-dyfuzji // Journal of Scientific Computing. 1996. tom 11. str. 299-341.
42. P. Chatzipantelidis, Metoda objętości skończonych oparta na elemencie Crouzeix-Raviarta dla eliptycznych PDE w dwóch wymiarach //Numer. Math. 1999, tom 82. s. 409-432.
43. K. H. Chen, R H. Pletcher, Zmienna pierwotna – silnie ukryta procedura obliczeniowa dla przepływów lepkich przy wszystkich prędkościach // AIAA J. 1991. tom. 29. P1241-1249.
44. S. Chou, D. Kwak, P. S. Vassilevski, Mieszane metody Covolume dla problemów eliptycznych na siatkach trójkątnych // SIAM J. Numer. Analny. 1998. Cz. 35. s. 1850-1861.
45. Christie, D. F. Griffiths, A. R. Mitchell i O. C. Zienkiewicz, Metody elementów skończonych dla równań różniczkowych drugiego rzędu ze znaczącymi pierwszymi pochodnymi // Int. J. Numer. Metody inż. 1976. tom. 10. 1389-1396.
46. J.-P. Croisille, schematy skrzynek o skończonej objętości // Proc. drugiego stażysty. Symp. on Finite Volumes for Complex Applications, 19-22 lipca 1999, Duisburg, Niemcy. Publikacje naukowe HERMES, Paryż, 1999.
47. V. Cockburn, F. Coquel. P. G. Lefloch, Metoda zbieżności metody objętości skończonych dla wielowymiarowych praw zachowania // SIAM J. Numer. Analny. 1995. tom. 32.687-705.
48. L. Davidson, Metoda korekcji ciśnienia dla siatek nieustrukturyzowanych z dowolnymi objętościami kontrolnymi // Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1998. Cz. 22. s. 265-281.
49. C. Dębiez, A. Dervieux, K. Meg, B. Nkonga, Obliczanie przepływów nieustalonych metodami mieszanymi o objętości skończonej/elementach skończonych pod wiatr // Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1998. Cz. 27. s. 193-206.
50. M. Delanaye, J. A. Essers, Rekonstrukcja kwadratowa Schemat skończonej objętości dla przepływów ściśliwych w nieustrukturyzowanych siatkach adaptacyjnych // Dziennik AIAA. 1997. Cz. 35. s. 631-639.
51. Dervieux A., Stała symulacja Eulera z wykorzystaniem siatek nieustrukturyzowanych // Seria wykładów VKI. 1985. Nr 1884-04.
52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., O całkowaniu elementów skończonych we współrzędnych naturalnych // Int. J. Numer. Metody inż. 1973. tom. 7. 574-575.
53. A. Fezoui, Klasa ukrytych schematów wiatrowych dla symulacji Eulera z siatkami nieustrukturyzowanymi//J. Sotr. Fiz. 1989. tom. 84. s. 174-206.
54. C. Gallo, G. Manzini, Mieszane podejście oparte na elementach skończonych/objętościach skończonych w celu rozwiązania transportu biodegradacji w wodach gruntowych // Int. J. dla numeru. Metody w płynach.1998. Tom. 26. s. 533-556.
55. T. Gallouet, J. P. Vila, Schematy objętości skończonych dla praw zachowania typu mieszanego // SIAM J. Numer. Analny. 1991. tom. 28. s. 1548-1573.
56. P. M. Gresho, S. T. Chan, R. L. Lee, G. D. Upson, Zmodyfikowana metoda elementów skończonych do rozwiązywania zagadnień zależnych od czasu. Nieściśliwe równania Naviera-Stokesa. Część 2: Aplikacje // Int. J. dla numeru. Metody w płynach, 1984. tom. 4. s. 619640.
57. A. Grundmann, H. M. Moller, Niezmiennicze wzory całkowe dla i-simpleksu metodami kombinatonalnymi // SIAM J. Numer. Anal 1978 tom. 15, s. 282-290.
58. W. Hackbusch, O schematach pudełkowych pierwszego i drugiego rzędu // Obliczenia. 1989. tom. 41. s. 277-296.
59. L. P. Hackman, G. D. Raithby, A. B. Strong. Numeryczne prognozy przepływów po schodach skierowanych do tyłu // Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1984. tom. 4. s. 71 1-724.
60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, Ukryta metoda elementów skończonych o mieszanej objętości skończonej do rozwiązywania trójwymiarowych przepływów turbulentnych ściśliwych. J. dla metod numerycznych w płynach, 1997. tom. 25. s. 1241-1261.
61. F. H. Harlow, J. E. Welch, Obliczenia numeryczne lepkości zależnej od czasu, nieściśliwego przepływu płynu o swobodnej powierzchni // Fiz. Płyny. 1965. tom. 8. s. 21822189.
62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, Adaptacyjna metoda elementów skończonych dla dwurównaniowego modelu turbulencji w przepływach ścianowych. J. dla numeru. Metody w płynach. 1997. Cz. 124. s. 101-120.
63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, Implicit Upwind Residual-Distribution Euler i Navier-Stokes Solver on Unstructured Meshes // AIAA Journal, 1996. tom. 34. s. 2021-2028.
64. J. P. Jessee, W. A. Fiveland, „Algorytm wierzchołków komórek dla nieściśliwych równań Naviera-Stokesa na siatkach nieortogonalnych”, Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1996. tom. 23. s. 271-293.
65. Jianguo H., Shitong X., O metodzie elementów skończonych w ogólnych problemach samosprzężonych eliptycznych // SIAM .J Numer. Analny. 1998. Cz. 35. s. 1762-1774.
66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Unstructured Multigridding według aglomeracji objętościowej: stan obecny // Computers Fluids, 1992 tom. 21. s. 397-433.
67. Y. Liu, M. Vinokur, Dokładne całkowanie wielomianów i symetrycznych wzorów kwadraturowych na dowolnych siatkach wielościennych // J. Comput. Fiz. 1998. Cz. 140. s. 122-147.
68. D. Marcum, Modele turbulencji dla obliczeń nieustrukturyzowanych metodą elementów skończonych // Int. J.ForNumer. Metody w płynach. 1995, tom. 20. s. 803-817.
69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, Metoda elementów skończonych równego rzędu o kontrolowanej objętości dla dwuwymiarowego osiowosymetrycznego nieściśliwego przepływu płynu // Int J. For Numer. Metody w płynach. 1994. tom. 18. s. 1-26.
70. S. Mattiussi, Analiza skończonego tom. Metody elementów skończonych i różnic skończonych z wykorzystaniem niektórych pojęć z topologii algebraicznej // J. Comput. Fiz. 1997. Cz. 133. s. 289-309.
71. D. Mavriplis, Rozwiązanie wielosiatkowe dwuwymiarowych równań Eulera na nieustrukturyzowanych siatkach trójkątnych // AIAA Journal, 1988. tom 26. str. 824-831.
72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, „W pełni sprzężone rozwiązania o skończonej objętości nieściśliwych równań Naviera-Stpkesa i energii przy użyciu niedokładnej metody Newtona”, Int. J. Dla numeru. Metody w płynach. 1994. tom. 19. s. 439-455.
73. Y. Murthy, S. Mathur, Przepływ okresowy i wymiana ciepła za pomocą siatek ustrukturyzowanych // Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1997. Cz. 25. s. 659-677.
74. S. Muzaferija, D. Gosman, Procedura CFD o skończonej objętości i strategia adaptacyjnej kontroli błędów siatki o arbitralnej topologii // J. Comput. Fiz., 1997, tom. 138. s. 766-787
75. P. Nithiarasu, O. C. Zienkiewlcz, V. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vazquez, Shock capturing viscosities for the general Fluid Mechanicals Algorytm // Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1998. Cz. 28. s. 1325-1353.
76. K. Ohmori, T. Ushijima, Technika typu upstream stosowana do liniowego, niezgodnego z wymaganiami przybliżenia równań dyfuzji konwekcyjnej // R.A.I.R.O. Analny. Numer.
77. D. Pan, J. C. Cheng, Upwind skończona objętość Navier-Stokes Computations on Uns-structured Triangular Meshes // AIAA Journal, 1993. tom. 31. s. 1618-1625.
78. S. V. Potapov, Mieszany algorytm FE FV w nieliniowej dynamice ciał stałych // Proc. drugiego stażysty. Symp. na skończonych objętościach dla złożonych zastosowań. 19-22 lipca 1999. Duisburg, Niemcy. - Publikacje naukowe HERMES. Paryż. 1999. s. 271278.
79. C. Prakash, S. V. Patankar, Metoda elementów skończonych oparta na objętości kontrolnej do rozwiązywania równań Naviera-Stokesa przy użyciu interpolacji prędkości i ciśnienia równego rzędu //Numer. Przenikanie ciepła. 1985. tom. 8. s. 259-280.
80. S. Ramadhyani, S. V. Patankar, Rozwiązanie równania Poissona: porównanie metod Galerkina i metody objętości kontrolnej // Int. J. Numer. Metody inż. 1980. tom. 15.1395-1418.
81. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M., A naprzemienny schemat kontroli głośności dla nieustrukturyzowanych siatek trójkątnych // Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1995. tom. 25. s. 697-717.
82. P. L. Roe, Przybliżone solwery Riemanna, wektory parametrów i schematy różnicowe //! Sotr. Fiz. 1981. tom. 43. s. 357-372.
83. C. Rohde, Upwind Schematy objętości skończonych dla słabo sprzężonych hiperbolicznych systemów praw zachowania w 2D // Numer. Matematyka. 1998. Cz. 81. s. 85-123.
84. Tony W. H. Sheu, S. K. Wang, S. F. Tsai, Rozwój schematu wysokiej rozdzielczości dla wielowymiarowego równania adwekcji-dyfuzji // J. Sotr. Fiz. 1998. Cz. 144. s. 1-16.
85. Saad Y., Metody iteracyjne dla rzadkich układów liniowych. PSW Publishing Co., Boston, MA, 1995.
86. V. V. K. S. Sai, O. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, Algorytmy ogólnego przeznaczenia a algorytmy specjalne dla przepływów dużych prędkości ze wstrząsami // Int. J. Numer. Met. Płyny. 1998. Cz. 27. s. 57-80.
87. J. L. Sohn, Ocena FIDAP na niektórych klasycznych wzorcach laminarnych i turbulentnych // Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1988. tom. 8. s. 1469-1490.
88. W Stoufflet, Badanie uogólnionego podziału wektora strumienia dla przepływów ściśliwych na siatkach trójkątnych // Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1995. tom. 20. s. 1047-1059.
89. B. Stouflette. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, Numeryczna symulacja trójwymiarowych hipersonicznych przepływów Eulera wokół pojazdów kosmicznych przy użyciu adaptowanych elementów skończonych // AIAA Paper 87-0560.
90. C. Taylor, P. Hood, Numeryczne rozwiązanie równań Naviera-Stokesa z wykorzystaniem techniki elementów skończonych // Komputery i płyny. 1973. tom. 1. s. 73-100.
91. Thomadakis M, Leschziner M., Metoda korekcji ciśnienia w rozwiązaniu nieściśliwych przepływów lepkich na siatkach niestrukturalnych // Int.J. dla metod numerycznych w płynach. -1996. Tom. 22 s. 581-601.
92. A. K. Verma, V. Eswaran, Nakładające się podejście do kontroli głośności w przypadku problemów konwekcyjno-dyfuzyjnych // Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1996. tom. 23. s. 865-882.
93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, O zwartym elemencie skończonym rzędu mieszanego do rozwiązywania trójwymiarowych nieściśliwych równań Naviera-Stokesa // Int. J. dla numeru. Metody w płynach. 1997. Cz. 25. s. 513-522.
94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Implementacja swobodnego warunku brzegowego do równań Naviera-Stokesa // Int. J. Numer. Metody przepływu ciepła i płynów, 1997. tom 7. s. 95-111.
95. D. Winterscheidt, K. S. Surana, p-Version Sformułowanie metodą najmniejszych kwadratów metodą elementów skończonych dla dwuwymiarowego, nieściśliwego przepływu płynu // Int. J. Numer. Met. Płyny, 1994. Cz. 18. s. 43-69.
96. A. M. Winslow, Numeryczne rozwiązanie quasilinearnego równania Poissona w niejednorodnej siatce trójkątów, J. Comput. Fiz. 1967. tom. 2. 149-172.
97. A. Younes, R. Mose. P. Ackerera. G. Chavent, Nowe sformułowanie mieszanej metody elementów skończonych do rozwiązywania eliptycznych i parabolicznych PDE z elementami trójkątnymi // J. Comput. Fiz., 1999. Cz. 149. s. 148-167.
98. P.J. Zwart, G. D. Raithby, M. J. Raw, Zintegrowana metoda objętości skończonych czasoprzestrzennych i jej zastosowanie do problemów ruchomych granic // J. Comput. Fiz. 1999. Cz. 154. s. 497-519.
99. O. C. Zienkiewicz, Metoda elementów skończonych w naukach inżynieryjnych // McGraw-Hill London. 1971.
100. OC Zienkiewicz, R. Codina, Ogólny algorytm przepływu ściśliwego i nieściśliwego. Część 1: Schemat podziału oparty na charakterystyce // Int. J. Numer. Met. Płyny. 1995. tom. 20. s. 869-885.
101. S. M. Rhie i W. L. Chow, Numeryczne badanie przepływu turbulentnego obok izolowanego płata z separacją krawędzi spływu // AIAA Paper No. 82-0998. 1982.
102. R. I. Issa, Rozwiązanie niejawnie dyskretyzowanych równań przepływu płynu metodą operator-splitting//J. Oblicz. Fiz. Tom. 62. s. 40-65.1985.
103. J. Kim, S. J. Kline, J. P. Johnston, Investigation of a Reattaching Turbulent Shear Layer: Flow Over a Backward-Facing Step, Journal of Fluids Eng., tom. 102, s. 302-308.117. http://www.ict.nsc.ru/linpar
Należy pamiętać, że teksty naukowe przedstawione powyżej zostały zamieszczone wyłącznie w celach informacyjnych i zostały uzyskane poprzez rozpoznawanie oryginalnego tekstu rozprawy doktorskiej (OCR). Dlatego mogą zawierać błędy związane z niedoskonałymi algorytmami rozpoznawania. W dostarczanych przez nas plikach PDF prac dyplomowych i abstraktów nie ma tego typu błędów.
Jakiś czas temu poszukiwałem opisu operacji i procesów zachodzących w bibliotece modelowania numerycznego OpenFOAM. Znalazłem wiele abstrakcyjnych opisów działania metody objętości skończonych, klasycznych schematów różnicowych i różnych równań fizycznych. Chciałem dowiedzieć się bardziej szczegółowo - skąd wzięły się te wartości w takim a takim pliku wyjściowym przy takiej a takiej iteracji, jakie wyrażenia kryją się za pewnymi parametrami w plikach ustawień fvSchemes, fvSolution?
Dla tych, którzy również są tym zainteresowani - ten artykuł. Ci, którzy dobrze znają OpenFOAM lub metody w nim zaimplementowane - piszą o znalezionych błędach i nieścisłościach w wiadomości prywatnej.
Było już kilka artykułów na temat OpenFOAM na Habré:
Dlatego nie będę się rozwodzić nad tym, że jest to „otwarta (GPL) platforma do symulacji numerycznych, przeznaczona do symulacji związanych z rozwiązywaniem równań różniczkowych cząstkowych metodą objętości skończonych i szeroko stosowana do rozwiązywania problemów w mechanice ciągłej”.
Dziś na prostym przykładzie opiszę operacje jakie zachodzą podczas obliczeń w OpenFOAM.
Zatem biorąc pod uwagę geometrię - sześcian o boku 1 metra:
Stoimy przed zadaniem modelowania propagacji przepływu określonego pola skalarnego (temperatury, ilości materii), które wyraża się następującym równaniem transportu (1) wewnątrz objętości ciała.
(1) 
,
Gdzie na przykład wielkość skalarna wyraża temperaturę [K] lub stężenie określonej substancji i wyraża przenikanie substancji, przepływ masowy [kg/s].
Równanie to służy na przykład do modelowania propagacji ciepła 
,
gdzie k jest przewodnością cieplną, a temperaturą [K].
W rzeczywistości operatorem rozbieżności jest
operatora.
Przypomnę, że istnieje operator nabla (operator Hamiltona), który zapisuje się następująco: 
,
Gdzie i, j, k są wektorami jednostkowymi.
Jeśli skalarnie pomnożymy operator nabla przez wielkość wektora, otrzymamy rozbieżność tego wektora:
„Z punktu widzenia fizyki rozbieżność pola wektorowego jest wskaźnikiem, w jakim stopniu dany punkt w przestrzeni jest źródłem lub ujściem tego pola”
Jeśli pomnożysz operator nabla przez skalar, otrzymasz gradient tego skalara:
Gradient pokazuje wzrost lub spadek wielkości skalara w pewnym kierunku.
Warunki brzegowe problemu są następujące: istnieje ściana wejściowa, ściana wyjściowa, a pozostałe ściany to gładkie ściany.
Dzielenie objętości sześcianu na skończone objętości
Nasza siatka będzie bardzo prosta - dzielimy sześcian na 5 równych komórek wzdłuż osi Z.
Wiele formuł
Metoda objętości skończonych przewiduje, że (1) w postaci całkowej (2) będzie spełniony dla każdej skończonej objętości.
(2)
,
Gdzie jest geometryczny środek końcowej objętości.
Środek końcowej objętości
Uprośćmy i przekształćmy pierwszy człon wyrażenia (2) w następujący sposób:
(2.1) (HJ-3.12)*
Jak widać, założyliśmy, że wielkość skalarna zmienia się liniowo w skończonej objętości, a wartość wielkości w pewnym punkcie wewnątrz skończonej objętości można obliczyć jako:
Aby uprościć drugi wyraz wyrażenia (2), używamy uogólnionego twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego: całka z rozbieżności pola wektorowego po objętości jest równa strumieniowi wektora przez powierzchnię ograniczającą daną objętość. W ludzkim języku „suma wszystkich przepływów do/z skończonej objętości jest równa sumie przepływów przez ściany tej skończonej objętości”:
(2.3)
,
Gdzie jest zamknięta powierzchnia ograniczająca objętość,
- wektor skierowany wzdłuż normalnej od objętości.
wektor s
Biorąc pod uwagę, że skończona objętość jest ograniczona zbiorem płaskich ścian, wyrażenie (2.3) można przekształcić na sumę całek po powierzchni:
(2.4) (HJ-3.13)
,
Gdzie wyraża wartość zmiennej w środku twarzy,
- wektor powierzchniowy, wychodzący ze środka twarzy, skierowany od komórki (lokalnie), od komórki o niższym indeksie do komórki o wyższym indeksie (globalnie).
Trochę więcej o wektorze S
Aby nie przechowywać dwukrotnie tych samych parametrów wektorowych, ponieważ Jest oczywiste, że dla dwóch sąsiednich komórek wektor normalny do krawędzi między komórkami, skierowany od środka komórki, będzie się różnił jedynie znakiem kierunku. Dlatego pomiędzy krawędzią a komórką powstała relacja właściciel-sąsiad. Jeżeli wektor pola (globalny, dodatni kierunek od komórki o niższym indeksie do komórki o większym indeksie) wskazuje OD środka komórki, to taka zależność między komórką a wektorem, a dokładniej między komórką a twarz, jest oznaczony jako właściciel). Jeśli ten wektor wskazuje wnętrze danej komórki, to sąsiada. Kierunek wpływa na znak wartości (+ dla właściciela i - dla sąsiada) i jest to ważne przy sumowaniu, patrz poniżej.
O schematach różnicowych
Wartość w środku twarzy oblicza się na podstawie wartości w środkach sąsiednich komórek - ta metoda wyrażania nazywa się schematem różnicowym. W OpenFOAM typ schematu różnic jest określony w pliku /system/fvSchematy:DivSchemes (domyślnie brak; div(phi,psi) Gauss linear; )
Gaus- oznacza, że wybrany jest schemat różnicy centralnej;
liniowy- oznacza, że interpolacja od środków komórek do środków ścian będzie przebiegać liniowo.
Załóżmy, że nasza wielkość skalarna zmienia się liniowo w skończonej objętości od środka do krawędzi. Następnie wartość przybliżoną w środku twarzy zostanie obliczona według wzoru:
Gdzie są wagi i są obliczane jako
Gdzie są objętości komórek.
W przypadku komórek skośnych istnieją bardziej złożone wzory do obliczania wag przybliżonych.
Zatem wartości phi_f w środkach krawędzi komórek są obliczane na podstawie wartości w środkach komórek. Wartości gradientu grad(phi) są obliczane na podstawie wartości phi_f.
Cały ten algorytm można przedstawić w postaci następującego pseudokodu.
1. Deklarujemy tablicę gradientów o skończonych objętościach, inicjujemy ją zerami 2. Przechodzimy przez wszystkie ściany wewnętrzne (które nie są brzegami) > Obliczamy strumień_f = phi_f*S_f. Oblicz wartości phi_f na podstawie wartości phi w centach komórek > Dodaj flux_f do gradientu elementu właściciela i -flux_f do gradientu elementu sąsiedniego 3. Iteruj po wszystkich ścianach granicznych > Oblicz flux_f = phi_f*S_f > Dodaj flux_f do gradientu elementu właściciela (sąsiad - ściany graniczne nie mają elementów) 4. Przejdźmy przez wszystkie elementy > Podziel uzyskaną sumę gradientu przez objętość elementu
Próbkowanie czasowe
Biorąc pod uwagę (2.1) i (2.4), wyrażenie (2) przyjmuje postać:
(3)
Zgodnie z metodą objętości skończonych przeprowadza się dyskretyzację czasu i wyrażenie (3) zapisuje się jako:
(4)
Zintegrujmy (4):
(4.1)
Podzielmy lewą i prawą stronę na:
(5)
Dane do matrycy próbkowania
Teraz możemy otrzymać układ równań liniowych dla każdej skończonej objętości.Poniżej znajduje się numeracja węzłów siatki, z której będziemy korzystać. 
Współrzędne węzła są przechowywane w /constant/polyMesh/points
24
((0 0 0)
(1 0 0)
(0 1 0)
(1 1 0)
(0 0 0.2)
(1 0 0.2)
(0 1 0.2)
(1 1 0.2)
(0 0 0.4)
(1 0 0.4)
(0 1 0.4)
(1 1 0.4)
(0 0 0.6)
(1 0 0.6)
(0 1 0.6)
(1 1 0.6)
(0 0 0.8)
(1 0 0.8)
(0 1 0.8)
(1 1 0.8)
(0 0 1)
(1 0 1)
(0 1 1)
(1 1 1))
Numeracja węzłów-środków komórek (50, 51 - środki ścian granicznych): 
Numeracja węzłów środkowych ściany: 
Objętości elementów:
Współczynniki interpolacyjne potrzebne do obliczenia wartości na ścianach komórek. Indeks dolny „e” oznacza „prawą krawędź komórki”. Po prawej stronie względem widoku, jak na rysunku „Numerowanie węzłów-środków komórek”:
Tworzenie macierzy próbkowania
Dla P = 0.
Wyrażenie (5) opisujące zachowanie wielkości
Zostanie przekształcony w układ liniowych równań algebraicznych, każde o postaci:
Lub według wskaźników punktów na twarzach
Wszystkie przepływy do/z komórki można wyrazić jako sumę
Gdzie na przykład jest współczynnikiem linearyzacji przepływu w punkcie środkowym komórki E,
- współczynnik linearyzacji przepływu w punkcie środkowym ściany,
- część nieliniowa (na przykład stała).
Zgodnie z numeracją twarzy wyrażenie przybierze postać: 
Biorąc pod uwagę warunki brzegowe elementu P_0, liniowe równanie algebraiczne można przedstawić jako
...zastąp otrzymane wcześniej współczynniki...
Strumień z wlotu „a” jest kierowany do ogniwa i dlatego ma znak ujemny.
Ponieważ w naszym wyrażeniu kontrolnym oprócz składnika dyfuzyjnego mamy również człon czasowy, ale końcowe równanie wygląda następująco
Dla P = 1.
Dla P = 4.
Układ liniowych równań algebraicznych (SLAE) można przedstawić w postaci macierzowej jako
A(i,j) === 40,5 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40,5
psi = wymiary; internalField niejednolita lista
Na podstawie czego uzyskiwane są wartości wektora
Następnie wektor jest podstawiany do SLAE i następuje nowa iteracja obliczenia wektora.
I tak dalej, aż rozbieżność osiągnie wymagane limity.
