Sonlu hacim yöntemi için ağların oluşturulması. Sonlu hacim yöntemi. Bir küpün hacminin sonlu hacimlere bölünmesi
Bu yöntemin avantajı korunum yasalarına dayanmasıdır. Bu nedenle, sonlu farklar yönteminin aksine, kontrol hacmi yöntemi muhafazakar bir sayısal şema sağlar ve bu da nispeten kaba ızgaralarda bile doğruluk açısından kabul edilebilir çözümler elde etmeyi mümkün kılar.
Yöntemin ana fikri oldukça basittir ve fiziksel yoruma kolaylıkla uygundur. Reynolds ortalamalı Navier-Stokes denklemlerini ayrıklaştırırken, hesaplama alanı çok sayıda örtüşmeyen temel hacimlere bölünür, böylece her hacim yalnızca bir hesaplama (düğüm) noktası içerir. Temel hacimler kümesine hesaplama ağı denir. Izgara hücreleri farklı şekillerde olabilir. En yaygın kullanılanlar altı yüzlüler (altı yüzlüler) ve tetrahedronlardır (dört yüzlüler). Kontrol hacmi yöntemi, isteğe bağlı sayıda yüze (piramitler, prizmalar, karmaşık çokyüzlüler vb.) sahip hücrelerin kullanılmasına izin verir.
(1)-(18) denklem sisteminin çözümü, bu hacimlerin merkezlerinde istenen parametrelerin değerlerinin bir kümesi olarak temsil edilir. Örneğin, bir odanın hacmini 1000 ayrı temel hacme (hücrelere) bölersek, çözümün bir sonucu olarak 1000 sıcaklık, hız, basınç vb. değerlerine sahip olacağız. Şekil 2 hesaplama alanının bir parçasını göstermektedir. Hücreler indekslerle numaralandırılmıştır ben, j, k.
Pirinç. 2. Hesaplama alanının parçası
Diferansiyel denklemlerin entegrasyonu her temel hacim üzerinde gerçekleştirilir. İntegraller, hesaplanan noktalar arasında istenen değişkenlerin değerlerini belirlemek için kullanılan enterpolasyon formülleri kullanılarak hesaplanır. Sonuç olarak, her sonlu hacimde incelenen değişkenlerin korunumu yasasını yansıtan, düğüm noktalarındaki orijinal denklemlerin ayrı bir analoğu elde edilir.
"STAR-CD", "FLUENT", "CFX" ve diğerleri gibi modern hesaplamalı hidrodinamik paketlerin çoğunda, model denklemlerini ayrıklaştırmak için kontrol hacmi yönteminin uygulandığı unutulmamalıdır.
Hesaplama ızgaraları
Bir ağ oluşturma süreci, sayısal bir deney yürütmenin en önemli anlarından biridir. Göz önünde bulundurulan soruna uygun bir hesaplama ağının seçilmesi ve oluşturulması oldukça karmaşık ve zaman alıcı bir prosedürdür. Rasyonel bir ağ seçimi, problemin sayısal çözümünü önemli ölçüde basitleştirebilir.
Pirinç. 3. Izgara hücresi konfigürasyonları
Izgara hücreleri, belirli bir sorunu çözmek için en uygun olan farklı şekillere (Şekil 3) ve boyutlara sahip olabilir. En basit ızgara türü, hücrelerin aynı olması ve kübik bir şekle sahip olmasıdır.
Kural olarak, katı yüzeylerin yakınında ağ daha yoğun hale gelir, yani hücreler yüzeye dik olarak daha küçük bir boyuta sahiptir. Bu, örneğin sınır tabakasında incelenen parametrelerin akış gradyanlarının daha hızlı değiştiği alanlarda hesaplamaların doğruluğunu artırmak için yapılır.
Hesaplamaların doğruluğunu 2 şekilde artırabilir ve yaklaşım hatasını azaltabilirsiniz:
· örnekleme doğruluğu sırasının arttırılması;
· ızgara adımının azaltılması.
Durağan olmayan problemleri çözerken, Δx hücre boyutları ve Δt zaman entegrasyon adımı CFL (Courant-Friedrichs-Levy) koşuluyla ilişkilidir: 
, sen- hız.
Şu anda mühendislik uygulamalarında kullanılan evrensel bilgisayar programları, oldukça çarpık elemanlar kullanan keyfi yapılandırılmamış ağlar üzerinde çalışmaya izin vermektedir. Bu durumda, ayrıklaştırma doğruluğu sırası, kural olarak ikinciyi aşmaz. Yüksek kaliteli bir çözüm elde etmek için küçük adımlarla hesaplamalı ızgaralar oluşturmak gerekir.
STAR-CCM paketi, hücreleri birleştirerek oldukça çarpık hücrelerin görünümünü ortadan kaldıran çokyüzlü hücrelerin (futbol topuna benzer) kullanımına geçmiştir.
Yapılandırılmamış ağların normal ağlara göre temel avantajı, karmaşık şekilli fiziksel bir bölgenin ayrıklaştırılmasında daha fazla esnekliktir. Bu durumda ızgara hücreleri karşılaştırılabilir hacimlere veya alanlara sahip olmalı ve kesişmemelidir. Ancak bu ağ tipinin dezavantajları arasında ağ boyutunun artması yer alır. Uygulamada görüldüğü gibi, aynı nesne için, yapılandırılmamış bir ağ, doğru şekilde oluşturulduğunda, yapılandırılmış olanın yaklaşık iki katı kadar hücreye sahiptir ve bu da doğal olarak normal ağlara göre hesaplama süresinde bir artışa yol açar. Ancak çoğu durumda, nesne geometrisinin karmaşıklığından dolayı yapılandırılmamış ağlar mümkün olan tek yapım seçeneğidir. Ek olarak, ağ oluşturma algoritmasının rasyonel seçimiyle, yapılandırılmamış bir ağ oluşturmak için harcanan sürenin, yapılandırılmış (blok yapılı) bir ağ oluşturmak için gereken süreden önemli ölçüde daha az olduğu ortaya çıkıyor. Sonuç olarak, problemi çözmek için harcanan toplam süre (mesh oluşturma süresi ve hesaplama süresi dahil), yapılandırılmamış ağlar kullanıldığında, yapılandırılmış ağlara göre çok daha az olabilir.
Gerekli ağ boyutunun belirlenmesi başlı başına çok zor bir iştir. Izgara boyutunu seçerken izlenmesi gereken evrensel yöntem, hücre sayısı arttığında (ızgara yakınsaması) ortaya çıkan çözümün değişmemesi gerektiği gerçeğine dayanmaktadır.
Tipik problemler için, önceden elde edilen sonuçlara güvenebileceğiniz için grid yakınsama çalışmasının yapılması gerekli değildir. Yeni bir problem türünü incelemek için harekete geçtiğinizde, ızgara yakınsaması çalışmasının yürütülmesi ve hesaplamalı ızgaranın gerekliliklerinin belirlenmesi zorunludur.
Gerçek havalandırma ve iklimlendirme problemlerini çözerken, nesnenin geometrik karmaşıklığına, gerekli parametreler kümesine ve özelliklerine bağlı olarak karakteristik hücre sayısının kural olarak 500 bin ila 3-4 milyon arasında olduğunu unutmayın. sorun. Bu durumda, örneğin 24 çekirdekten oluşan bir küme üzerindeki hesaplama süresi bir haftaya kadar çıkabilir ve durağan olmayan problemleri çözerken birkaç haftaya kadar çıkabilir.
STAR-CCM+ paketi hesaplamalı ağlar oluşturmaya yönelik bir modül içerir. Ağ oluşturmak için ayrı paketler de vardır; örneğin yaygın olarak kullanılanı ANSYS, ICEM CFD'dir (ICEM). Harici paketlerde yerleşik ağlar STAR-CCM+ paketine aktarılabilir.
Bölüm 1. Koruma yasaları sistemlerini ayrıklaştırma yöntemleri.
1.1. Sonlu elemanlar uzaylarını kullanan başlangıç-sınır değer problemleri için ayrıklaştırma yöntemlerinin teknolojik ilkeleri.
1.1.1. Sonlu elemanlar yöntemleri.
1.1.2. Sonlu hacim yöntemleri.
1.2. Basit ızgaralarda rüzgara karşı şemalar.
1.3. Navier-Stokes denklemlerinin durağan sistemini çözme yöntemleri.
Bölüm 2. Sonlu hacim yöntemini kullanarak konvektif difüzyon reaksiyon denklemlerinin ayrık analoglarının oluşturulması
2.1. Konvektif difüzyon tipi problemlerin MKO/FE ayrıklaştırılması.
2.1.1. Üçgenleme ve ikili ağ oluşturma yöntemi.
2.1.2. Koruma yasalarının ayrılmaz formu.
2.1.3. Difüzyon akılarının yaklaşımı ve MKO/FE sertlik matrisinin hesaplanması.
2.1.4. Kaynak terimlerinin yaklaşımı.
2.1.5. MCO/FE kütle matrisinin hesaplanması.
2.1.6. Sınır koşullarının muhasebeleştirilmesi.
2.2. Basit ızgaralar üzerinde çok boyutlu rüzgara karşı şemaların inşası.
2.2.1. Konvektif yerel matrislerin hesaplanması.
2.2.2. Kütle akışlarının tartıldığı şemalar.
2.2.3. Üstel şemaların değiştirilmesi.
2.2.4. Karşı akış şemalarının bazı özellikleri ve yapım ilkeleri.
2.2.5. Hücre merkezlerinde bilinmeyenlerin hesaplanmasına yönelik şemalar için üstel şemanın bir benzeri.
2.3. MKO integral formüllerinin yeni sınıfları.
2.3.1. Barisantrik koordinatların monomlarının integrali.
2.3.2. Polinom temsillerinin olası kombinasyonları üzerine.
2.3.3. Yerel çözüm gösteriminin enterpolasyon polinomlarının sırasının arttırılması üzerine.
2.4.4. Tutarsız sonlu elemanların kullanımı.
2.4. Küresel matrislerin öğe bazında montajı
Bölüm 3. Viskoz sıkıştırılamaz ortamın akış alanının modellenmesi.
3.1. Matematiksel model.
3.2. Koruma yasalarının ayrılmaz formu.
3.3. Hız ve basınç alanları arasındaki ilişkiyi dikkate alarak.
3.3.1. Kütle akılarının hesaplanması için Ry-Chow enterpolasyonu.
3.3.2. Süreklilik denkleminin ayrıklaştırılması.
3.3.3. Sıfır olmayan kütle akışına sahip sınırların hesaba katılması.
3.3.4. Genel yineleme şeması 1.
3.4. Yinelemeli şemaların yakınsamasını hızlandırmak.
3.4.1. Basınç ve hız alanlarının düzeltilmesi
3.4.2. Genel yineleme şeması II.
3.5. Lineer cebirsel denklem sistemlerinin çözümü.
Bölüm 4. Sayısal deneyler.
4.1. Sınır tabaka tipi çözümler için stabilite analizi.
4.2. Yuvarlak bir boruda akışın hızlandırılması.
4.3. Pürüzsüz bir kanalın başlangıç bölümündeki akış.
4.4. Bir nokta nozuldan (kaynak jet) bir jetin laminer akışı
4.5. Düz asimetrik bir arka adımın arkasındaki laminer akış
4.5.1. Çeşitli yukarı akış şemaları kullanılarak hesaplama
4.5.2. Basit ızgaralarda MKO/FE kullanarak geriye doğru bir adımın arkasındaki akışları hesaplarken girdi etkisi.
4.5.3. Doğrusal cebirsel denklem sistemlerini çözmek için farklı yöntemlerin karşılaştırılması.
Önerilen tez listesi
Viskoz sıkıştırılamaz bir akışkanın iç akışlarının karşı akış şemaları kullanılarak sonlu elemanlar yöntemi ile modellenmesi 2007, Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı Gobysh, Albina Vladimirovna
Uzun dalga hidrodinamik problemlerini çözmek için sonlu hacim/sonlu eleman yaklaşımlarına dayalı sayısal şemalar 2004, fiziksel ve matematik bilimleri adayı Styvrin, Andrey Vadimovich
Sınır değeri problemlerini çözmek için paralel teknolojiler 2005, Fiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru Vasilevski, Yuri Viktorovich
Taşınım-difüzyon problemleri ve iki fazlı akış modelleri için sonlu hacim yöntemi 2010, Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı Nikitin, Kirill Dmitrievich
Karmaşık yapılı gözenekli ortamlarda safsızlık transfer işlemlerinin üç boyutlu modellenmesi 2007, Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı Kapyrin, Ivan Viktorovich
Tezin tanıtımı (özetin bir kısmı) “Konvektif difüzyon tipi problemler için basit ızgaralar üzerinde sonlu hacim/sonlu elemanlar yöntemi teknolojileri” konulu
Matematiksel fizik problemlerinin sayısal çözümü, gerçek olayları incelemenin ana yöntemlerinden biridir. Herhangi bir olgunun analizinde hesaplamalı ve fiziksel deneylerin bir arada kullanılması, bir yandan pahalı deneysel ölçümlerin sayısının azaltılmasına, diğer yandan da matematiksel modellerin doğrulanmasına ve geliştirilmesine olanak sağlar.
Hesaplama sistemlerinin hızı arttıkça, matematiksel fizik problemlerinin çözümü için sayısal yöntemlere yeni talepler getirilmektedir. Sürekli yeni sorun sınıflarını simüle etme ve bilinen sorunları çözerken önemli ölçüde daha iyi sonuçlar elde etme yeteneği sağlayan koruma yasalarını ayrıklaştırmaya yönelik modern yöntemlerin geliştirilmesi ve iyileştirilmesi önemli bir araştırma alanıdır.
Modern hesaplamalı algoritmalar, karmaşık geometriye sahip alanların en doğru tanımını sağlamalıdır. Bu, ortogonal olmayan ve yapılandırılmamış ağlar kullanılarak mümkündür. Rastgele ortogonal olmayan ağlarla karşılaştırıldığında, yapılandırılmamış basit ağlar için (iki boyutlu durumda üçgenleme ve üç boyutlu durumda tetrahedronlara bölme), yerel yoğunlaşmaların uygulanması daha kolaydır (örneğin, bir arka adımın arkasında, bir bölgede). bağlantı noktasının yakınında ani daralma) ve ayrıca gerekirse çözümün davranışına bağlı olarak hesaplama ağının uyarlanması. Bu nedenle, dikdörtgen elemanların bir koleksiyonuyla doğru bir şekilde temsil edilebilen geometrik olarak basit alanlarda koruma yasalarını ayrıklaştırırken bile, yapılandırılmamış basit ağların bir takım avantajları vardır. Rastgele bölgelerin yakınlaştırılmasında yapılandırılmamış ızgaraların bariz avantajlarına ve basit bölümlerin otomatik olarak oluşturulabilmesine rağmen, bunlar hesaplamalı akışkanlar dinamiğinde pratikte kullanılmamıştır ve yalnızca son 15 yılda giderek daha popüler hale gelmiştir. B. Stoufflett ve arkadaşlarının ifadesine göre bunun nedeni, yapılandırılmamış yaklaşımlara geçerken hesaplama süresinin hızla artmasıdır. Gerçek şu ki, ayrık analogların matrislerindeki sıfır olmayan elemanların konumu ızgara düğümlerinin bitişikliğine bağlıdır ve matrisler keyfi olarak evrensel formatlar ve veri yapıları kullanılarak depolanır. Seyrek bir matrisin bir vektörle çarpılması ve eksik çarpanlara ayırma işlemleri çok daha "pahalı" hale gelir. Aynı zamanda, hesaplamalı akışkanlar dinamiği denklem sistemleri, örtülü çözüm şemaları çok seviyeli yinelemeli bir yapıya sahip olan, birbirine bağlı doğrusal olmayan denklem sistemleridir, böylece her "küresel" yinelemede birkaç sistemin çözülmesi gerekir. doğrusal cebirsel denklemler. Hidro-gazdinamik süreçlerin modellenmesi için yapılandırılmamış ızgaraların ve buna karşılık gelen mekansal ayrıklaştırma şemalarının kullanılması, güçlü hesaplama sistemlerinin ortaya çıkışının yanı sıra uyarlanabilir ve çoklu ızgara yöntemlerinin geliştirilmesi sayesinde mümkün hale geldi.
Yapılandırılmamış durumda en yaygın ayrıklaştırma yöntemi sonlu elemanlar yöntemidir (FEM). Yöntemin, diferansiyel operatörlerin kendine eşlenik kısmının simetrik yapısının ayrık analoglarında korunması gibi avantajlarını not edelim (bu, deneme fonksiyonlarının uzayıyla çakışan test fonksiyonlarının uzayının özel bir seçimiyle elde edilir) , yerel çözüm temsilinin enterpolasyon polinomlarının derecesini artırarak yaklaşımın doğruluğunu arttırma olasılığı (FEM'in p ve h-p versiyonları olarak adlandırılır), ikinci ve üçüncü tür sınır koşullarının doğal olarak dikkate alınması. Sonlu elemanlar yönteminin yerleşik bir teknolojik temeli vardır, özellikle
Bir sınır değer probleminin çözümünün ve parametrelerinin parçalı bir polinom temsili varsayımı altında iç çarpımlara yaklaşma yöntemleri, yani: karşılık gelen sonlu eleman uzayının temel ayrıştırmasının kullanılması, keyfi doğru bir şekilde entegre olmayı mümkün kılan integral formül sınıfları. bölme elemanları ve elemanların kenarları (yüzleri) üzerindeki temel fonksiyonların çarpımları,
Standart enterpolasyon aparatı.
Yöntemin teknolojileri, çözümün belirli bir derecede düzgünlüğü ve denklemlerin katsayılarının parçalı polinom davranışı varsayımı altında çeşitli sınır koşulları ile başlangıç sınır değeri problemlerinin ayrık analoglarının basit ve düzgün bir şekilde oluşturulmasını mümkün kılar. sınır şartları , .
Süpersonik ve transonik gaz akışlarının modellenmesi ve sığ su modelleri kullanılarak yapılan hesaplamalar gibi bir dizi uygulamada, korunum yasalarını ayrıklaştırmak için kullanılan şemaların yerel muhafazakarlığı çok önemlidir. Sonlu elemanlar yöntemi, ortaya çıkan süreksiz çözümlerin özelliklerinin tatmin edici bir doğrulukla izlenmesine izin vermez ve bu tür sorunların çözümüne yönelik geleneksel yaklaşım, sonlu hacim yöntemidir. Bir korunum yasaları sistemini sonlu hacim yöntemiyle ayrıklaştırırken, hesaplama alanı bir dizi açık sonlu hacimle yaklaşık olarak hesaplanır, ardından araştırmacı orijinal denklem sisteminin integral formuna geçerek bir "geri adım" atar; Ostrogradsky-Gauss formülünü kullanarak hacim entegrasyonundan sınır integraline geçiyoruz, böylece sonlu hacimlerin yüzeylerinden geçen akışları yaklaşıklaştırma yöntemi hesaplama şemasını tamamen belirliyor. S. Patankar'ın monografisine göre, "Hidrodinamik ve ısı transferi alanında çalışan çoğu araştırmacı için sonlu elemanlar yöntemi hâlâ gizemini koruyor. Değişken formülasyon ve hatta Galerkin yöntemi bile basit fiziksel yorumlamaya uygun değil." Aynı zamanda, sonlu hacim şemaları, hesaplama alanına yaklaşan sonlu hacimlerin her birindeki akış ve kaynak terimlerinin dengesinin belirli bir fiziksel anlamına sahiptir ve bu da sonlu hacim yöntemini daha çekici hale getirir. MKO'nun "basitliği", yöntem için genel bir teknolojik temelin bulunmamasının nedenlerinden biridir.
Dolayısıyla, MKO'nun klasik versiyonunun (sonlu hacim/sonlu farklar yöntemi, FVDM) avantajları arasında ayrık şemaların yerel muhafazakarlığı, daha fazla basitlik ve netlik ve ikinci türden sınır koşullarının doğal olarak dikkate alınma olasılığı yer alır. Ek olarak, konveksiyonun baskın olduğu problemlerin çözülmesi durumunda, sonlu hacimlerin yüzlerinden geçen akışlar hem analiz edildiğinden hem de yaklaşık miktarlarda olduğundan, ters akış şemalarının uygulanması basitleştirilmiştir.
Sonlu hacim yaklaşımlarını sistematikleştirme girişimleri, FEM teknolojilerinin ve sonlu hacimler üzerinde entegrasyon ilkesinin kısmi bir kombinasyonuna yol açtı; Bunlardan en eskisi B. R. Baliga, K. Prakash ve S. Patankar'ın çalışmalarına kadar uzanır ve CVFEM yöntemleri (kontrol hacmine dayalı sonlu elemanlar yöntemleri) olarak bilinir; bundan sonra sonlu hacim/sonlu elemanlar yöntemleri (FVM/sonlu elemanlar yöntemleri) olarak anılacaktır. FE). Yöntemin yazarları, FEM'in ana avantajlarından birini (yapılandırılmamış ağlar kullanarak karmaşık geometrilere yaklaşma yeteneği) kullanarak sonlu hacim yönteminin konservatif şemalarını oluşturma hedefini takip etti. Bu yöntemler sınıfındaki profil fonksiyonları “yardımcı niteliktedir”; çözümün sonlu eleman uzaylarına ait olduğu vurgulanmamıştır. Barisentrik setler ikili bölme olarak kullanılır.
Sonlu hacim/sonlu farklar yönteminin (MKO/KR, FVDM) evrensel teknolojik ilkelerinin bulunmaması sorunu ilk kez Z. Kaya'nın “Sonlu hacim/elemanlar yöntemi üzerine” çalışmasında tartışılmıştır. Yazar, okuyucunun dikkatini "sonlu hacim/sonlu farklar yönteminin sistematik olmayan doğasına" çekiyor; Korunum kanunları sistemlerini sonlu hacim/sonlu farklar yöntemiyle yaklaşıklaştırırken, aynı çalışma içinde çeşitli sınıfların yaklaşımları kullanılabilir, bu da bu tür şemaların yakınsaklığının analizini önemli ölçüde karmaşıklaştırır. Bu soruna bir çözüm önerilmiştir - sonlu elemanlar yöntemi fikirlerinin (bazı sonlu elemanlar uzayında bir çözüm aramak ve akışı hesaplamak için çözümün parçalı polinom davranışını kullanmak) ve korunum yasalarının integral formunun ortak kullanımı. Böylece, sonlu hacim/eleman yöntemleri (FME/E, “kutu yöntemleri”, FVE), “daha sistematik sonlu hacim teknolojileri” yaratma çabasıyla ortaya çıktı. Sonlu hacim/sonlu farklar yöntemlerinin genel teknolojik ilkelerinin bulunmadığı, Ya.JI.'nin çalışmalarında da belirtilmektedir. Guryeva ve V.P. Ilyin.
Sonlu hacim/sonlu eleman yöntemleri (FVE) ve sonlu hacim/sonlu eleman yöntemleri (CVFEM), simpleksler üzerinde doğrusal fonksiyonların tutarlı sonlu eleman uzaylarını kullanır ve hücre-tepe sonlu hacim şemaları sınıfına aittir, Şekil 1.1. 1 A.
Bir dizi hesaplamalı akışkanlar dinamiği şeması (viskoz sıkıştırılamaz akışların modellenmesi), tutarsız sonlu eleman uzaylarını, özellikle test fonksiyonlarının kenarlarının merkezlerinde sürekli olan elemanlar üzerinde doğrusal Crousey-Raviard uzayını kullanır. Tutarsız sonlu eleman uzaylarını kullanan sonlu hacim yöntemleri, S. Choi ve D. Kwak tarafından önerilmiş, diğer yazarların bir dizi çalışmasında incelenmiştir (alt hacim yöntemleri, ortak hacim yöntemi olarak adlandırılan) ve merkezlerde bilinmeyenlerin hesaplanmasını içeren şemalardır. kenarların ( Gaz dinamiği problemlerini çözmek ve sığ su denklemlerini kullanarak antropojenik felaketleri modellemek için en yaygın şemalar hücre merkezli sonlu hacim şemalarıdır, Şekil 1.1. 1, f.Popülerlikleri, merkezlerdeki bilinmeyenlerin hesaplanması durumunda, çoğu gaz dinamiği şemasının (S.K. Godunov şemaları, TVD şemaları) temel teknolojik değişiklikler olmadan yapılandırılmamış ızgaralara aktarılabilmesinden kaynaklanmaktadır. o bir içeri Şekil 1. FE ızgara düğümlerine göre hesaplama noktalarının konumu. Bu çalışma öncelikle üçgenleme düğümlerindeki (MKO/E, MKO/FE) ve kenar merkezlerindeki (alt hacim yöntemleri) bilinmeyenlerin hesaplanmasıyla sonlu hacim yöntemleri sınıflarını ele almaktadır; gelecekte ayrıca “sonlu eleman uzaylarını kullanan sonlu hacim yöntemleri” diyeceğiz. ” Bir dizi çalışmaya göre (, ), bu yöntem sınıfları, konveksiyon-difüzyon problemleri için, hücrelerin merkezlerinde bilinmeyenlerin hesaplanmasına ilişkin yöntemlere göre çözüme daha iyi yaklaşımlar sağlar. Bunun ana nedenlerinden biri, yukarıda sıralanan yöntemler için, test fonksiyonlarının ilk türevlerinin ikili ağ elemanları üzerindeki sürekliliğinin korunmasıdır. Konveksiyonun baskın olduğu problemleri çözmeye yönelik etkili bir yaklaşım, diferansiyel operatörlerin kendine eş olan kısmı için simetrik test fonksiyonlarına sahip Galerkin yönteminin ve sözde asimetrik kısımları için yukarı akış MCO şemalarının kullanılmasıdır. karışık sonlu eleman/hacim yöntemleri (FEM/O, MEV, karışık eleman/hacim yöntemi). Tez çalışması özellikle belirtilen yöntem sınıfları (MKO/E, MKO/CE, FEM/O, alt hacim yöntemleri) için sonlu hacim yöntemi teknolojilerinin geliştirilmesine ayrılmıştır. Şu anda bu yöntemler, çözümün parçalı polinom davranışını, kaynak terimlerini ve aktarım katsayılarını hesaba katacak yerleşik teknolojilere sahip değildir. Sonlu elemanlar uzaylarını kullanan sonlu hacim yöntemlerinde polinomların tam entegrasyonu için aparatın kusurlu olmasının nedenlerini şu şekilde sıralayabiliriz: 1. Sonlu elemanlar yönteminden farklı olarak, sonlu hacim yönteminin bir p-versiyonu yoktur, çünkü ek düğümlerin ve çeşitli ikili ağ türlerinin eklenmesiyle, koruma yasaları sisteminin bir dizi değişkeninin yerel muhafazakarlığı bağlantılıdır. sonlu hacimlerin "yabancı" hale getirilmesi ihlal edilmiştir. Bu nedenle, yaklaşımlar düşük dereceli sonlu eleman uzaylarıyla sınırlıdır. 2. Sonlu elemanlar yöntemiyle karşılaştırıldığında, sonlu hacim yöntemleri, test fonksiyonlarının uzaylarının seçiminde daha fazla özgürlük ile karakterize edilir; bu durumda, bu durumda, ayrıklaştırmaya göre bilinmeyenlerin hesaplama noktalarının konumu ile ilgili olduğu ortaya çıkar. düğümler (düğümlerdeki bilinmeyenlerin konumu, kenarların orta noktaları, ağırlık merkezleri simpleksleri içeren şemalar) ve ikili bir ızgara oluşturma yöntemi (barisentrik, ortosentrik, çevresel kümeler kullanılarak). Yan yana veya kademeli ızgaraları kullanma yeteneği ile birleştiğinde bu, her uygulamada mevcut MCM şemalarının tüm çeşitliliğini sağlar. Sonlu eleman uzaylarını kullanan koruma yasalarını ayrıklaştırmaya yönelik MCM yöntemleri için, çözüm için bu uzayların dikkatli bir şekilde seçilmesi, denklem katsayıları ve kaynak terimler, eğer yöntem, özellikle parçalı polinom temsillerini hesaba katacak gelişmiş araçlara sahip değilse, kısmen anlamını kaybeder. , polinomların ikili ağın elemanları, elemanların alt alanları ve sınır kenarlarının bölümleri üzerinde tam entegrasyonu için aparat. Sonuç olarak, oluşturulan şemalar kullanılarak yapılan hesaplamaların sonuçları, çeşitli uygulama yöntemleri dikkate alınarak sayısal entegrasyonun etkileri açısından değerlendirilmelidir; araştırma sonuçlarını diğer yazarların vb. çalışmalarıyla karşılaştırmak çok daha zor hale geliyor. Dolayısıyla bu çalışma, konveksiyon-difüzyon tipi problemlerin ayrık analoglarını oluşturmak için mevcut MCM/FEM teknolojilerinin revizyonuna ayrılmıştır. Çözümün parçalı polinom temsilini, denklemin katsayılarını ve sınır koşullarına dahil olanları ve ayrıca sonlu elemanlar uzaylarını kullanan sonlu hacim yöntemlerindeki kaynak terimlerini hesaba katan teknoloji aşağıdaki gereksinimleri karşılamalıdır: 1) bölme elemanları üzerindeki katsayıların ve çözümlerin polinom temsillerinin keyfi kombinasyonlarına izin vermenin yanı sıra, yerel çözüm temsilinin enterpolasyon polinomlarının derecesini arttırmaya izin verin; 2) denklemin çeşitli terimlerine (difüzyon, konvektif, reaksiyon terimleri, kaynak terimleri) karşılık gelen elemanların katkılarının yanı sıra belirtilen farklı sınır koşullarıyla sınır kısımlarına yaklaşan kenarlardan gelen katkıları hesaplarken birleşik yaklaşım ilkelerini kullanır onlar üzerinde; 3) üç boyutlu duruma homojen bir genelleme yapılmasına izin verin; 4) iyi geliştirilmiş sonlu eleman teknolojilerine ilişkin deneyimi, özellikle sonlu eleman uzaylarının temel genişletmesinin kullanımını ve çözüm ve transfer katsayılarının parçalı polinom temsillerini doğru bir şekilde entegre etmenin avantajlarını dikkate almak; 5) bir denklemi yaklaşık olarak hesaplamak için iki test fonksiyonu seti (sonlu hacim ve sonlu eleman) kullanan karma FEM/O yaklaşımları için birleşik bir teknolojik temel sağlamak; 6) Tutarlı sonlu eleman uzaylarının kullanımından (düğümlerde bilinmeyenlerin hesaplandığı sonlu hacim/sonlu elemanlar yöntemleri) tutarsız sonlu elemanların kullanımına (merkezlerde bilinmeyenlerin hesaplandığı yöntemler) geçiş sırasında teknolojinin ilkeleri değişmeden kalmalıdır. üçgenleme kenarları); 7) teknoloji çeşitli fiziksel problem sınıflarına yaklaşmak için kullanılabilir. Sonlu eleman uzaylarını kullanan mevcut sonlu hacim yöntemleri teknolojilerinden (sonlu hacim/eleman yöntemleri (FVE), sonlu hacim/sonlu elemanlar yöntemleri (CVFEM), alt hacim yöntemleri, karışık hacim/eleman yöntemleri (MEV)) hiçbiri karşılamıyor yukarıdaki gereksinimler. Bu nedenle, basit bölmeler ve barisentrik kümeleri ikili olarak kullanan bu yöntem sınıfları için yeni teknolojilerin oluşturulması, ilgili bir araştırma konusu gibi görünmektedir. Konveksiyonun önemli bir baskınlığı durumunda, çeşitli MCO ayrıklaştırma şemalarının karşılaştırılması ve ayrıca sonlu elemanlar yöntemi ve sonlu hacim yöntemi kullanılarak yapılan hesaplamaların karşılaştırılması, aslında ilgili ters rüzgar şemalarının karşılaştırılması anlamına gelir. Yapılandırılmamış durumda en çok çalışılan ve sıklıkla kullanılan, hücrelerin merkezlerindeki değişkenlerin hesaplanmasıyla sonlu hacim yöntemleri sınıfının rüzgara karşı şemalarıdır. Bölme elemanlarının kenarlarının koordinat eksenlerine paralel olmamasına rağmen, bu şemalar çoğu durumda tek boyutlu niteliktedir, çünkü onları birleştiren çizgilerdeki süreksizliğin bozulması problemini çözmeye gelirler. simplekslerin ağırlık merkezleri. Bu tür şemaları kullanan hesaplamalar, akışın çok boyutlu yapısını yeniden oluşturmaz ve aşırı sayısal yayılmaya neden olur. Yukarı yönde ikinci dereceden yaklaşım şemaları oluşturmak için şablonun önemli ölçüde genişletilmesi gerekir; bu, yapılandırılmamış durumda karşılık gelen veri yapılarında önemli bir komplikasyona yol açar. Üçgenleme düğümlerinde ve kenarlarının orta noktalarında bilinmeyenlerin hesaplanmasına yönelik şemalar için yukarı akış şemaları şu anda az sayıdadır (bkz.). Bazı durumlarda, yukarı akış yaklaşımı ilkesi, yukarı yönde uzanan bir simpleks kenarının uçlarında, yukarı yönde uzanan bir simpleks düğümünde veya iki ağırlıklı değerde skaler bir maddenin bir değerinin kullanılmasına iner. Bilinen şemalardan yalnızca biri, K. Prakash ve S. Patankar tarafından geliştirilen FLO (Akış Odaklı Rüzgara Karşı Şema), düğümlerdeki bilinmeyenlerin hesaplanmasından - asimetrik profil fonksiyonları oluşturma yeteneğinden - yararlanır. Ancak bu şemayı kullanan hesaplamalar yetersiz kabul edilir, çünkü şema pozitiflik özelliğine sahip değildir ve yinelemeli süreçler sıklıkla farklılık gösterir. Basit ızgaralarda rüzgara karşı şemaların kullanılmasıyla ortaya çıkan sayısal yayılımın tahmin edilmesi başlı başına bir sorundur. Yakınsama özelliklerinin teorik tahminlerini sağlayan bu yöndeki mevcut çalışmalar, hücrelerin merkezlerindeki değişkenlerin hesaplanmasına yönelik çeşitli şemalarla sınırlıdır. Bu nedenle, bir dizi sayısal deney kullanarak rüzgara karşı MCO/FE şemalarının yakınsama oranının tahmin edilmesi özellikle önemlidir. Dolayısıyla, yapılandırılmamış şebekelerde rüzgara karşı MCO/FE şemalarının inşası ve karşılaştırmalı analizi güncel bir araştırma konusudur. Çalışmanın amacı, konvektif difüzyon tipi problemleri yaklaşık olarak tahmin etmek için sonlu elemanlar uzaylarını kullanan sonlu hacim yöntemleri için hesaplama teknolojileri geliştirmektir. Bu amaca ulaşmak için aşağıdaki araştırma hedefleri formüle edilmiştir: 1) basit ızgaralar üzerinde sonlu hacim/sonlu elemanlar yöntemini kullanarak, barisentrik bölmeleri ikili bölmeler olarak kullanarak, korunum yasaları sistemlerinin ayrıklaştırılmasına yönelik teknolojilerin geliştirilmesi; 2) önemli birinci türevlerle konvektif difüzyon tipi problemlerin yaklaşımına yönelik teknolojilerin geliştirilmesi; Yapılandırılmamış şebekelerde yukarı akış şemalarının inşası, uygulanması ve karşılaştırmalı analizi, özellikle önerilen ve bilinen en doğru şemaların yakınsama sırasını değerlendirmek için hesaplamalı deneyler yapılması ve ayrıca MCE/FE'ye dayalı yukarı akış şemalarının özelliklerinin karşılaştırılması ve FEM; 3) gelişmiş teknolojilere dayanarak, sabit ve sabit olmayan durumlarda geometrik olarak karmaşık alanlarda sıvı ve gazların viskoz sıkıştırılamaz akışlarını yeterince simüle etmeyi mümkün kılan yazılım paketlerinin oluşturulması. Araştırma Yöntemleri. Hesaplamalı matematik yöntemleri. Sonlu elemanlar yöntemlerinde, sonlu hacimlerde/elemanlarda, dağıtılmış artıklarda polinomların tam entegrasyonuna yönelik teknolojilerin karşılaştırmalı analizi. Analitik çözümlü problemler için rüzgara karşı akış şemalarının yakınsama oranının deneysel değerlendirmesi. Bir dizi yoğunlaştırılmış sonlu eleman bölümü üzerinde hesaplamalar ve ardından deneysel verilere yakınsama analizi. Eserin bilimsel yeniliği şu şekildedir: 1. Sonlu hacimler/elemanlar, sonlu hacimler/sonlu elemanlar ve alt hacimler yöntemlerini kullanarak başlangıç-sınır değeri problemlerini ayrıklaştırırken çözümün parçalı polinom gösterimini, transfer katsayılarını ve kaynak terimlerini dikkate alan yeni bir teknoloji önerilmiştir. Teknoloji, sonlu eleman uzaylarının barisantrik basit koordinatlar cinsinden temel genişlemesinin, tek terimlilerin daha kesin entegrasyonuyla kullanılmasına dayanmaktadır. Üçgenleme düğümlerindeki değişkenlerin hesaplanmasıyla birlikte MKO/FE, MKO/E şemaları için, barisantrik koordinatların monomlarının tam entegrasyonuna yönelik üç formül sınıfı önerilmektedir: bir elemandaki ikili ağın bölümleri üzerinden, barisentrik alt bölgeler ve bölümler üzerinden sınır kenarlarından. Tutarsız sonlu eleman uzaylarını kullanan alt hacim yöntemleri için, temel fonksiyonların tam entegrasyonu ilkesinin kullanılması önerilir ve karşılık gelen integral formülleri elde edilir. 2. Basit ızgaralar üzerinde rüzgara karşı MCO/FE şemaları oluşturmak için, ikili ızgaranın bölümleri üzerindeki kütle akılarının ve skaler madde değerlerinin ayrı yaklaşımlarına dayanan bir yöntem önerilmektedir. Şemaların elemanlarına içsel olan bir karşı akım şemasının ağırlık katsayılarının yerel matrisi ve şemaların yerel pozitifliği kavramları tanıtılmaktadır. Üstel sınıfın bir ters akış şeması önerilmiş ve bunun analogu, barycenter'lardaki bilinmeyen simplekslerin hesaplanmasıyla MKO için oluşturulmuştur. 3. Kütle akışlarının ağırlığı ve önerilen üstel sınıf şeması ile rüzgara karşı şemanın yakınsama oranına ilişkin deneysel tahminler elde edilmiştir. Sınır katmanı tipi çözümler kullanılarak oluşturulan şemaların stabilitesi analiz edildi ve yukarı akışlı FEM şemalarıyla karşılaştırıldı. 4. Konveksiyon-difüzyon tipi problemler için önerilen yaklaşım teknolojilerini kullanarak, doğal hız-basınç değişkenlerinde viskoz sıkıştırılamaz akışları modellemek için bir dizi program oluşturuldu ve oluşturulan şemaların etkinliğini doğrulayan bir dizi hesaplamalı deney gerçekleştirildi. Tezin yapısı ve kapsamı. Tez, giriş, dört bölüm, sonuç, kaynakça listesi, eklerden oluşmakta olup 10 tablo ve 51 şekil olmak üzere 173 sayfadan oluşmaktadır. Bibliyografya 117 başlık içermektedir.
Benzer tezler "Matematiksel modelleme, sayısal yöntemler ve yazılım paketleri" uzmanlığında, 05.13.18 HAC kodu
Geniş bir Mach sayısı aralığında sıkıştırılabilir viskoz gaz akışlarını hesaplamak için sayısal yöntem 2004, Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı Chirkov, Denis Vladimirovich
Yüksek dereceli doğruluk şemalarına dayalı Navier-Stokes denklemlerini çözerek mekansal konfigürasyonlar etrafındaki akışın sayısal olarak incelenmesine yönelik yöntem 2010, Fiziksel ve Matematik Bilimleri Doktoru Volkov, Andrey Viktorovich
Serbest sınırları olan viskoz sıkıştırılamaz bir akışkanın hareketinin genelleştirilmiş doğal komşular yöntemini kullanarak sayısal modellenmesi 2008, Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı Rein, Tatyana Sergeevna
Spektral sonlu elemanlar yöntemine dayalı yüksek hassasiyetli bilgi işlem teknolojisinin geliştirilmesi 2007, fiziksel ve matematik bilimleri adayı Poponin, Vladimir Sergeevich
Karmaşık şekilli kanallardaki viskoz sıvı akışlarının incelenmesi 2002, fiziksel ve matematik bilimleri adayı Firsov, Dmitry Konstantinovich
Tezin sonucu “Matematiksel modelleme, sayısal yöntemler ve yazılım paketleri” konulu Voitovich, Tatyana Viktorovna
Çözüm
Bu çalışma, basit ızgaralar üzerinde sonlu hacim yöntemleri için hesaplama teknolojilerinin geliştirilmesine, konvektif difüzyon tipi problemlerin yaklaşıklaştırılması için ikili olanlar olarak sonlu eleman uzayları ve barisantrik bölmelerin kullanılmasına adanmıştır! Çalışma savunma için aşağıdaki ana sonuçları elde etti:
1. Sonlu hacimler/elemanlar, sonlu hacimler/sonlu elemanlar ve alt hacimler yöntemlerini kullanarak başlangıç-sınır değeri problemlerini ayrıklaştırırken çözümün parçalı polinom gösterimini, transfer katsayılarını ve kaynak terimlerini dikkate alan yeni bir teknoloji önerilmiştir. Teknoloji, sonlu eleman uzaylarının barisantrik basit koordinatlar cinsinden temel genişlemesinin, tek terimlilerin daha kesin entegrasyonuyla kullanılmasına dayanmaktadır. Üçgenleme düğümlerindeki değişkenlerin hesaplanmasıyla birlikte MKO/FE, MKO/E şemaları için, barisantrik koordinatların monomlarının tam entegrasyonuna yönelik üç formül sınıfı önerilmektedir: bir elemandaki ikili ağın bölümleri üzerinden, barisentrik alt bölgeler ve bölümler üzerinden sınır kenarlarından. Tutarsız sonlu eleman uzaylarını kullanan alt hacim yöntemleri için, temel fonksiyonların tam entegrasyonu ilkesinin kullanılması önerilir ve karşılık gelen integral formülleri elde edilir.
2. Basit ızgaralar üzerinde rüzgara karşı MCO/FE şemaları oluşturmak için, ikili ızgaranın bölümleri üzerindeki kütle akılarının ve skaler madde değerlerinin ayrı yaklaşımlarına dayanan bir yöntem önerilmektedir. Şemaların elemanlarına içsel olan bir yukarı akış şemasının ağırlık katsayılarının yerel matrisi ve şemaların yerel pozitifliği kavramları tanıtılmaktadır. Üstel sınıfın bir ters akış şeması önerilmiş ve bunun analogu, barycenter'lardaki bilinmeyen simplekslerin hesaplanmasıyla MKO için oluşturulmuştur.
3. Kütle akışlarının ağırlığı ve önerilen üstel sınıf şeması ile rüzgara karşı şemanın yakınsama oranına ilişkin deneysel tahminler elde edilmiştir. Sınır katmanı tipi çözümler kullanılarak oluşturulan şemaların stabilitesi analiz edildi ve yukarı akışlı FEM şemalarıyla karşılaştırıldı. Tamamlanan MCO/FE şemalarının, sınır tabakası çözümlerinin özelliklerinin, asimetrik temel fonksiyonlara (Legendre polinomları) ve Rice ve Schnipke'nin sonlu eleman şemalarına sahip Petrov-Galerkin yöntemi şemalarından çok daha doğru bir şekilde izlenmesini mümkün kıldığı gösterilmiştir. ve ayrıca T. Sheu, S. Wang ve S. Tsai tarafından geliştirilen daha yüksek düzeyde bir yaklaşıma sahip birleşik sonlu eleman şemaları.
4. Konvektif difüzyon tipi problemler için önerilen yaklaşım şemalarını kullanarak, aynı derecedeki basınç ve hız enterpolasyon polinomlarını kullanarak, birleşik ızgaralar üzerinde doğal hız-basınç değişkenlerinde viskoz sıkıştırılamaz akışları modellemek için bir dizi program oluşturuldu; Oluşturulan devrelerin etkinliğini doğrulamak için bir dizi hesaplamalı deney yapıldı.
5. Geri adımın arkasındaki bir kanaldaki referans akış için, giriş etkisinin etkileşimi ve yukarı akış yaklaşımlarının kullanılmasının etkisi ilk kez gösterilmiştir.
Bu nedenle, basit ızgaralar üzerinde sonlu elemanlar/sonlu hacim yöntemini kullanarak başlangıç-sınır değeri problemlerini ayrıklaştırmaya yönelik çalışmada önerilen teknoloji, korunum yasaları sistemlerini tahmin etmenin etkili bir yoludur, geliştirilen rüzgara karşı şemalar iyi yakınsama özelliklerine sahiptir ve Hız-basınç vektörünün bileşenleri için aynı sıralı enterpolasyona sahip bir Navier-Stokes denklemleri sistemi için ayrıklaştırma yöntemleri, deneysel verilerle iyi uyum içinde olan sonuçların elde edilmesine olanak tanır. Teknolojik temeli barisantrik koordinatların tek terimlilerinin tam entegrasyonu olan basit ağlar üzerindeki sonlu hacim/sonlu elemanlar yöntemleri sınıfları, karmaşık sınır geometrisine sahip alanlarda viskoz sıkıştırılamaz akışları modellemek için etkili yöntemlerdir.
Tez araştırması için referans listesi Fiziksel ve Matematik Bilimleri Adayı Voitovich, Tatyana Viktorovna, 2000
1. Belotserkovsky O.M., Sürekli ortam mekaniğinde sayısal modelleme. M.: Bilim. KAFA. ed. fizik ve matematik edebiyat, 1984.
2. A. S. Boldarev, V. A. Gasilov. O. G. Olkhovskaya, Yapılandırılmamış ızgaralarda hiperbolik denklemlerin çözümüne doğru // Matematiksel modelleme. 1996. T.8, No.3. s. 51-78.
3. P. A. Voinovich, D. M. Sharov, Yapılandırılmamış ızgaralarda süreksiz gaz akışlarının modellenmesi // Matematiksel Modelleme. 1993. T. 5. No. 7, s. 86-114.
4.I.J1. Guryeva, Sonlu hacim yönteminin hesaplamalı teknolojisi // Dis. Bilim Adayı derecesi için. f.-m. Bilim. Novosibirsk 1997. - 115 s.
5. Zhukov M.F., Solonenko O.P., Toz malzemelerin işlenmesinde yüksek sıcaklıkta tozlu jetler. Novosibirsk BT SB RAS. 1990.
6. V. P. Ilyin, Düzgün olmayan dikdörtgen ızgaralarda artan doğruluğun dengeli fark şemaları. Novosibirsk 1994. - 31 sayfa (Önbaskı/CC SB RAS No. 1031).
7. Ilyin V.P., Turakulov A.A., Üç boyutlu sınır değer problemlerinin integral denge yaklaşımları üzerine. Novosibirsk, 1993. - 24 s. - (Önbaskı/CC SB RAS: No. 986).
8. V. M. Kovenya, N. N. Yanenko, Gaz dinamiği problemlerinde bölme yöntemi. Novosibirsk, Bilim. 1989.
9. A. Ladyzhenskaya, Viskoz sıkıştırılamaz akışkanın dinamiğinde matematiksel problemler. M.: Tqc. yayınevi f.-m. yanıyor.- 1961.
10. D. Oden, Doğrusal olmayan sürekli ortam mekaniğinde sonlu elemanlar. M.: Mir, 1976.
11. Patankar S., Isı transferi ve akışkanlar dinamiği problemlerinin çözümü için sayısal yöntemler. -M.:. Energoatomizdat, 1984.
12. N. Pissanetski S. Seyrek matrislerin teknolojisi. M.: Mir. 1988.
13. Preparata F. Sheimos M. Hesaplamalı geometri; Giriiş. M." Mir, 1984.
14. A. A. Samarsky, Fark şemaları teorisine giriş. M.: Nauka, 1971.
15. L Segerlind, Sonlu elemanlar yönteminin uygulanması M.: Mir. 1979
16. N. K. Sukanek, R. P. Rhodes, Simetrik akışların sayısal hesaplanmasında simetri eksenindeki koşulun formülasyonu // Rocketry and Cosmonautics, 1978. Cilt 16. No. 10). s. 96-98.
17. R. Temam, Navier-Stokes denklemleri, Teori ve sayısal analiz // M.: Mir. 1981.
18. K. Fletcher, Galerkin yöntemine dayalı sayısal yöntemler II M.: Mir, 1991
19. D. Shi, Isı transferi problemlerinde sayısal yöntemler. M.; Dünya, 1988.
20. G. Schlichting, Sınır Tabakası Teorisi. M.: Yabancı yayınevi. Aydınlatılmış. 1956.
21. E. P. Shurina, T. V. Voitovich, Navier-Stokes denklemlerini çözerken yapılandırılmamış ağlar üzerinde sonlu elemanlar ve sonlu hacim yöntemleri için algoritmaların analizi // Hesaplamalı teknolojiler. 1997. T. 2. No. 4. P. 84104.
22. E. P. Shurina, O. P. Solonenko, T. V. Voitovich, Konvektif difüzyon tipi problemler için basit ızgaralar üzerinde sonlu hacim yönteminin yeni teknolojisi. Novosibirsk 1999. -51 e.- (Önbaskı/ ITAM SB RAS; No. 8-99).
23. I. Yu.Chumakov, "Birleşik ızgaralarda sıkıştırılamaz akışkanın karmaşık iç akışlarını hesaplarken çıkış sınırında basınç için farklı koşulların kullanılması" Vestn. onlar söylüyor Bilim insanları. Ser. Uygulamalı matematik ve mekanik. 1997. T 1. S. 55-62.
24. N. N. Yanenko, Matematiksel fiziğin çok boyutlu problemlerini çözmek için kesirli adımlar yöntemi. Novosibirsk: Nauka, 1967.
25. Sonlu Elemanlar Astarı. Sonlu Elemanlar Yöntemleri ve Standartları Ulusal Ajansı //NEL. Glasgow, 1986.
26. K. Ajmani, W-F Ng. HANIM. Lion, Navier-Stokes Denklemleri için önceden koşullandırılmış eşlenik gradyan yöntemleri//J. Hesapla. Fizik. 1994. Cilt. 1 10. S. 68-81.
27. F. Angrand, A Dervieux, Euler denklemleri için bazı açık üçgen sonlu eleman şemaları//Int. J.forNumer. Akışkanlarda Yöntemler. 1984. Cilt. 4. S. 749-764.
28. P. Arminjon, A. Dervieux, İki Boyutlu Keyfi FEM Izgaralarında TVD-Hke Yapay Viskozitelerin Oluşturulması // J. Comput. Phys., 1993. Cilt. 106. S. 176-198.
29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, Geriye bakan adım akışının deneysel ve teorik incelenmesi //J. Akışkan Mekanizması 1983. Cilt. 127.473496.
30. F. Babuska, Sonlu elemanlar yöntemleri için hata sınırları//Numer. Matematik. 1971 Cilt 16. S.322-333.
31. Babuska, B. A. Szabo, I. N. Katz, Sonlu elemanlar yönteminin p versiyonu // SIAM J. Numer. Anal. 1981. Cilt. 18. S. 516-544.
32. P. Balland, E. Suli, Değişken katsayılı hiperbolik problemler için hücre-tepe sonlu hacim yönteminin analizi // SIAM J. Numer. Anal. 1997. Cilt. 34. S. 1127-1151.
33. R. E. Bank, B. D. Welfert, Stokes problemi için posteriori hata tahminleri // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Cilt. 28. S. 591-623.
34. T. J. Barth, D. C. Jespersen, Yapılandırılmamış ağlarda rüzgara karşı şemaların tasarımı ve uygulaması // AIAA kağıdı 89-0336.
35. E. Barton, Geriye bakan sınırlı bir adımdaki akışın sayısal bir çalışması // Int. J.ForNumer. Akışkanlarda Yöntemler. 1995. Cilt. 21. S. 653-665.
36. E. Barton, Laminer akışın geriye bakan adım geometrisi üzerindeki giriş etkisi // Int. J.forNumer. Akışkanlarda Yöntemler. 1995. Cilt. 25. S. 633-644.
37. S. Benharbit, A. Chalabi, J. P Vila, Sınır koşullarıyla koruma yasaları için sayısal viskozite ve sonlu hacim yöntemlerinin yakınsaması // SIAM J. Nu-mer. Anal. 1995. Cilt. 32.P 775-796.
38. Z. Cai, Sonlu Hacim Elemanları Yöntemi Üzerine //Numer. Matematik. 1991 Cilt. 58 S.713735.
39. Z. Cai, S. McCormick, Kompozit ızgaralarda difüzyon denklemleri için sonlu hacim elemanları yönteminin doğruluğu üzerine // SIAM J. Numer. Anal. 1990. Cilt. 27. S. 636-655.
40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick, Genel üçgenlemelerde difüzyon denklemleri için sonlu hacim elemanları yöntemi // SIAM J. Numer. Anal. 1991 Cilt 28. S. 392402.
41. M. C. Ciccoli, Adaptif Alan Ayrıştırma Algoritmaları ve Adveksiyon-Difüzyon Denklemleri için Sonlu Hacim/Sonlu Eleman Yaklaşımı // Journal of Scientific Computing. 1996. Cilt 11. S 299-341.
42. P. Chatzipantelidis, İki boyutlu eliptik PDE'ler için Crouzeix-Raviart elemanını temel alan sonlu hacim yöntemi //Numer. Math. 1999, Cilt. 82. S. 409-432.
43. K. H. Chen, R H. Pletcher, İlkel değişken - tüm hızlarda viskoz akışlar için güçlü bir şekilde örtülü hesaplama prosedürü // AIAA J. 1991. Cilt. 29.P1241-1249.
44. S. Chou, D. Kwak, P. S. Vassilevski, Üçgen ızgaralarda eliptik problemler için Karışık Covolume yöntemleri // SIAM J. Numer. Anal. 1998. Cilt. 35. S. 1850-1861.
45. Christie, D. F. Griffiths, A. R. Mitchell ve O. C. Zienkiewicz, Önemli birinci türevlere sahip ikinci dereceden diferansiyel denklemler için sonlu elemanlar yöntemleri // Int. J.Numer. Yöntem Müh. 1976. Cilt. 10. 1389-1396.
46. J.-P. Croisille, Sonlu Hacimli Kutu Şemaları // Proc. İkinci Stajyer. Semp. Karmaşık Uygulamalar için Sonlu Hacimler üzerine, 19-22 Temmuz., 1999, Duisburg, Almanya. HERMES Bilim Yayınları, Paris, 1999.
47. V. Cockburn, F. Coquel. P. G. Lefloch, Çok boyutlu koruma yasaları için sonlu hacim yönteminin yakınsaması // SIAM J. Numer. Anal. 1995. Cilt. 32.687-705.
48. L. Davidson, İsteğe bağlı kontrol hacimlerine sahip yapılandırılmamış ağlar için bir basınç düzeltme yöntemi // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1998. Cilt. 22. S. 265-281.
49. C. Debiez, A. Dervieux, K. Meg, B. Nkonga, Karışık sonlu hacim/sonlu eleman yukarı rüzgar yöntemleriyle kararsız akışların hesaplanması // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1998. Cilt. 27. S. 193-206.
50. M. Delanaye, J. A. Essers, Yapılandırılmamış uyarlanabilir ızgaralarda sıkıştırılabilir akışlar için ikinci dereceden yeniden yapılanma sonlu hacim şeması // AIAA Journal. 1997. Cilt. 35. S. 631-639.
51. Dervieux A., Yapılandırılmamış ağlar kullanan Steady Euler simülasyonu // VKI Lectures serisi. 1985. Sayı 1884-04.
52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., Doğal koordinatlarda sonlu elemanlar entegrasyonu üzerine // Int. J.Numer. Yöntem Müh. 1973. Cilt. 7.574-575.
53. A. Fezoui, Yapılandırılmamış ağlara sahip Euler simülasyonları için örtülü ters rüzgar şemaları sınıfı//J. Sotr. Fizik. 1989. Cilt. 84. S. 174-206.
54. C. Gallo, G. Manzini, Yeraltı suyunda biyolojik bozunma taşınımını çözmek için karışık sonlu elemanlar/sonlu hacim yaklaşımı // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler.1998. Cilt 26. S. 533-556.
55. T. Gallouet, J. P. Vila, Karışık tipte koruma yasaları için sonlu hacim şemaları // SIAM J. Numer. Anal. 1991. Cilt. 28. S. 1548-1573.
56. P.M. Gresho, S.T. Chan, R.L. Lee, G.D. Upson, Zamana bağlı çözüm için değiştirilmiş bir sonlu elemanlar yöntemi. Sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemleri. Bölüm 2: Uygulamalar // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler, 1984. Cilt. 4. S. 619640.
57. A. Grundmann, H. M. Moller, Kombinatonal yöntemlerle i-simplex için değişmez entegrasyon formülleri // SIAM J. Numer. Anal 1978 Cilt. 15, s. 282-290.
58. W. Hackbusch, Birinci ve ikinci dereceden kutu şemalarında // Hesaplama. 1989. Cilt. 41. S.277-296.
59. L.P. Hackman, G.D. Raithby, A.B. Strong. Geriye bakan adımlar üzerinden akışların sayısal tahminleri // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1984. Cilt. 4. S.71 1-724.
60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, 3 boyutlu türbülanslı sıkıştırılabilir akışları çözmek için örtülü bir karma sonlu hacim-sonlu elemanlar yöntemi.Int. J. Akışkanlarda Sayısal Yöntemler için, 1997. Cilt. 25. S. 1241-1261.
61. F. H. Harlow, J. E. Welch, Serbest yüzeyli akışkanın zamana bağlı viskozite sıkıştırılamaz akışının sayısal hesabı // Phys. Sıvılar. 1965. Cilt. 8. S.21822189.
62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, Duvarla sınırlı akışlarda iki denklemli türbülans modeli için uyarlanabilir sonlu elemanlar yöntemi.Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1997. Cilt. 124.P 101-120.
63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, Yapılandırılmamış Ağlarda Örtülü Rüzgara Karşı Artık Dağıtım Euler ve Navier-Stokes Çözücü // AIAA Journal, 1996. Cilt. 34. S. 2021-2028.
64. J. P. Jessee, W. A. Fiveland, “Ortogonal olmayan ızgaralar üzerinde sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemleri için bir hücre köşe algoritması,” Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1996. Cilt. 23. S. 271-293.
65. Jianguo H., Shitong X., Genel kendine eşlenik eliptik problemler için sonlu hacim elemanları yöntemi üzerine // SIAM .J Numer. Anal. 1998. Cilt. 35. S. 1762-1774.
66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Hacim aglomerasyonuna göre Yapılandırılmamış Çoklu Izgara: mevcut durum // Computers Fluids, 1992 Cilt. 21. S. 397-433.
67. Y. Liu, M. Vinokur, Polinomların ve simetrik kareleme formüllerinin rastgele çokyüzlü ızgaralar üzerinde tam entegrasyonu // J. Comput. Fizik. 1998. Cilt. 140. S. 122-147.
68. D. Marcum, Yapılandırılmamış sonlu elemanlar hesaplamaları için türbülans modelleri // Int. J.ForNumer. Akışkanlarda Yöntemler. 1995, Cilt. 20. S.803-817.
69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, İki boyutlu eksenel simetrik sıkıştırılamaz akışkan akışı için eş konumlu eşit dereceli kontrol hacimli sonlu elemanlar yöntemi // Int J. Numer için. Akışkanlarda Yöntemler. 1994. Cilt. 18. S.1-26.
70. S. Mattiussi, Sonlu Cilt Analizi. Cebirsel Topolojiden Bazı Kavramları Kullanan Sonlu Elemanlar ve Sonlu Farklar Yöntemleri // J. Comput. Fizik. 1997. Cilt. 133. S. 289-309.
71. D. Mavriplis, Yapılandırılmamış üçgen ağlarda iki boyutlu Euler denklemlerinin çok ızgaralı çözümü // AIAA Journal, 1988. Cilt 26. S. 824-831.
72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, "Sıkıştırılamaz Navier-Stpkes'in tam bağlı sonlu hacim çözümleri ve kesin olmayan bir Newton yöntemi kullanılarak enerji denklemleri," Int. J. Numer için. Akışkanlarda Yöntemler. 1994. Cilt. 19. S. 439-455.
73. Y. Murthy, S. Mathur, Yapılandırılmış ağlar kullanılarak periyodik akış ve ısı transferi // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1997. Cilt. 25. S. 659-677.
74. S. Muzaferija, D. Gosman, Sonlu Hacim CFD Prosedürü ve Keyfi Topoloji Izgaralarının Uyarlanabilir Hata Kontrol Stratejisi // J. Comput. Phys., 1997, Cilt. 138. S.766-787
75. P. Nithiarasu, O. C. Zienkiewlcz, V. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vazquez, Genel akışkanlar mekaniği algoritması için şok yakalama viskoziteleri // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1998. Cilt. 28. S. 1325-1353.
76. K. Ohmori, T. Ushijima, Konvektif difüzyon denklemlerinin doğrusal uyumsuz sonlu eleman yaklaşımına uygulanan yukarı akış tipi bir teknik // R.A.I.R.O. Anal. Numara.
77. D. Pan, J. C. Cheng, Rüzgara Karşı Sonlu Hacimli Navier-Stokes Hesaplamaları Yapısız Üçgen Ağlar // AIAA Journal, 1993. Cilt. 31. S. 1618-1625.
78. S. V. Potapov, Doğrusal olmayan katı dinamiğinde karma bir FE FV algoritması // Proc. İkinci Stajyer. Semp. Karmaşık Uygulamalar için Sonlu Hacimler Üzerine. 19-22 Temmuz 1999. Duisburg, Almanya. - HERMES Bilim Yayınları. Paris. 1999. S. 271278.
79. C. Prakash, S. V. Patankar, Navier-Stokes denklemlerini eşit dereceli hız-basınç enterpolasyonu kullanarak çözmek için kontrol hacmi tabanlı sonlu elemanlar yöntemi //Numer. Isı transferi. 1985. Cilt. 8. S. 259-280.
80. S. Ramadhyani, S. V. Patankar, Poisson denkleminin çözümü: Galerkin ve kontrol hacmi yöntemlerinin karşılaştırılması // Int. J.Numer. Yöntem Müh. 1980. Cilt. 15.1395-1418.
81. Rida S., McKenty F., Meng F.L., Reggio M., Yapılandırılmamış üçgen ızgaralar için kademeli bir ses kontrol şeması // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1995. Cilt. 25. S. 697-717.
82. P. L. Roe, Yaklaşık Riemann Çözücüler, Parametre Vektörleri ve Fark Şemaları //! Sotr. Fizik. 1981. Cilt. 43. S. 357-372.
83. C. Rohde, Rüzgara Karşı 2D // Numer'da zayıf eşleşmiş hiperbolik korunum yasaları sistemleri için sonlu hacim şemaları. Matematik. 1998. Cilt. 81. S.85-123.
84. Tony W.H. Sheu, S.K. Wang, S.F. Tsai, Çok boyutlu bir adveksiyon-difüzyon denklemi için yüksek çözünürlüklü bir şemanın geliştirilmesi // J. Sotr. Fizik. 1998. Cilt. 144. S.1-16.
85. Saad Y., Seyrek Doğrusal Sistemler için İteratif Yöntemler. PSW Publishing Co., Boston, MA, 1995.
86. V. V. K. S. Sai, O. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, Şoklu yüksek hızlı akışlar için genel amaca karşı özel algoritmalar // Int. J.Numer. Met. Sıvılar. 1998. Cilt. 27. S. 57-80.
87. J. L. Sohn, FIDAP'ın bazı klasik laminer ve türbülans kriterlerine göre değerlendirilmesi // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1988. Cilt. 8. S. 1469-1490.
88. Stoufflet'te, Üçgen ağlarda sıkıştırılabilir akışlar için genelleştirilmiş akı vektörü bölünmesinin incelenmesi // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1995. Cilt. 20. S. 1047-1059.
89. B. Stouflette. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, Uyarlanmış sonlu elemanlar kullanılarak uzay araçları etrafında 3 boyutlu hipersonik Euler akışlarının sayısal simülasyonu // AIAA Paper 87-0560.
90. C. Taylor, P. Hood, Navier-Stokes denklemlerinin sonlu elemanlar tekniği kullanılarak sayısal çözümü // Bilgisayarlar ve Akışkanlar. 1973. Cilt. 1. S. 73-100.
91. Thomadakis M, Leschziner M., Yapılandırılmamış ızgaralarda sıkıştırılamaz viskoz akışların çözümü için bir basınç düzeltme yöntemi // Int.J. Akışkanlarda Sayısal Yöntemler için. -1996. Cilt 22 S 581-601.
92. A. K. Verma, V. Eswaran, Konveksiyon-difüzyon problemleri için örtüşen hacim kontrolü yaklaşımı // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1996. Cilt. 23. S. 865-882.
93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Üç boyutlu sıkıştırılamaz Navier-Stokes denklemlerini çözmek için kompakt, karma sıralı sonlu elemanlar üzerinde // Int. Numer için J. Akışkanlarda Yöntemler. 1997. Cilt. 25. S. 513-522.
94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Navier-Stokes denklemlerine serbest sınır koşulunun uygulanması // Int. J.Numer. Yöntemler Isı ve Akışkan Akışı, 1997. Cilt 7. S.95-111.
95. D. Winterscheidt, K. S. Surana, iki boyutlu, sıkıştırılamaz akışkan akışı için p-Versiyonu en küçük kareler sonlu eleman formülasyonu // Int. J.Numer. Met. Sıvılar, 1994. Cilt. 18. S.43-69.
96. A. M. Winslow, Düzgün olmayan üçgen ağda yarı doğrusal Poisson denkleminin sayısal çözümü, J. Comput. Fizik. 1967. Cilt. 2. 149-172.
97. A. Younes, R. Mose. P. Ackerer. G. Chavent, Eliptik ve parabolik PDE'yi üçgen elemanlarla çözmek için karışık sonlu elemanlar yönteminin yeni bir formülasyonu // J. Comput. Phys., 1999. Cilt. 149. S. 148-167.
98.P.J. Zwart, G. D. Raithby, M. J. Raw, Entegre uzay-zaman sonlu hacim yöntemi ve hareketli sınır problemlerine uygulanması // J. Comput. Fizik. 1999. Cilt. 154. S. 497-519.
99. O. C. Zienkiewicz, Mühendislik Biliminde Sonlu Elemanlar Yöntemi // McGraw-Hill London. 1971.
100.O.C. Zienkiewicz, R. Codina, Sıkıştırılabilir ve sıkıştırılamaz akış için genel bir algoritma. Bölüm 1: Bölünmüş, karakteristik tabanlı şema // Int. J.Numer. Met. Sıvılar. 1995. Cilt. 20. S. 869-885.
101. S. M. Rhie ve W. L. Chow, Arka kenar ayrımı ile izole edilmiş bir kanat profilinden geçen türbülanslı akışın sayısal bir çalışması // AIAA Kağıt No. 82-0998. 1982.
102. R. I. Issa, Örtük olarak ayrıklaştırılmış akışkan akış denklemlerinin operatör bölmeyle çözümü//J. Hesapla. Fizik. Cilt 62. S. 40-65.1985.
103. J. Kim, S. J. Kline, J. P. Johnston, Yeniden Bağlanan Türbülanslı Kesme Katmanının İncelenmesi: Geriye Dönük Bir Adım Üzerindeki Akış, Journal of Fluids Eng., Cilt. 102, s. 302-308.117. http//www.ict.nsc.ru/linpar
Yukarıda sunulan bilimsel metinlerin yalnızca bilgilendirme amaçlı olarak yayınlandığını ve orijinal tez metni tanıma (OCR) yoluyla elde edildiğini lütfen unutmayın. Bu nedenle kusurlu tanıma algoritmalarıyla ilişkili hatalar içerebilirler. Teslim ettiğimiz tez ve özetlerin PDF dosyalarında bu tür hatalar bulunmamaktadır.
Bir süre önce OpenFOAM sayısal modelleme kütüphanesinde meydana gelen operasyonların ve süreçlerin bir tanımını arıyordum. Sonlu hacim yönteminin işleyişine ilişkin pek çok soyut açıklama, klasik fark şemaları ve çeşitli fiziksel denklemler buldum. Daha ayrıntılı olarak bilmek istedim - bu değerler falan filan çıktı dosyasında falan filan yinelemede nereden geldi, fvSchemes, fvSolution ayar dosyalarındaki belirli parametrelerin arkasında hangi ifadeler var?
Bununla da ilgilenenler için - bu makale. OpenFOAM'u veya içinde uygulanan yöntemleri iyi bilenler, kişisel bir mesajda bulunan hatalar ve yanlışlıklar hakkında yazar.
Habré'de OpenFOAM hakkında zaten birkaç makale vardı:
Bu nedenle, bunun “sonlu hacim yöntemini kullanarak kısmi diferansiyel denklemlerin çözülmesiyle ilgili simülasyonlar için tasarlanmış ve sürekli ortam mekaniğindeki problemleri çözmek için yaygın olarak kullanılan, sayısal simülasyon için açık (GPL) bir platform” olduğu gerçeği üzerinde durmayacağım.
Bugün OpenFOAM'da hesaplamalar sırasında meydana gelen işlemleri anlatmak için basit bir örnek kullanacağım.
Yani, geometri göz önüne alındığında - kenarı 1 metre olan bir küp:
Aşağıdaki taşıma denklemi (1) ile verilen belirli bir skaler alanın (sıcaklık, madde miktarı) vücut hacmi içindeki akış yayılımını modelleme göreviyle karşı karşıyayız.
(1) 
,
Örneğin skaler bir niceliğin sıcaklığı [K] veya belirli bir maddenin konsantrasyonunu ifade ettiği ve bir maddenin transferini, kütle akışını [kg/s] ifade ettiği durumlarda.
Bu denklem örneğin ısı yayılımını modellemek için kullanılır 
,
burada k termal iletkenliktir ve sıcaklıktır [K].
Diverjans operatörü aslında
Şebeke .
Şu şekilde yazılan bir nabla operatörü (Hamilton operatörü) olduğunu hatırlatayım: 
,
Burada i, j, k birim vektörlerdir.
Nabla operatörünü bir vektör miktarıyla skaler olarak çarparsak, bu vektörün diverjansını elde ederiz:
“Fizik açısından bakıldığında, bir vektör alanının ıraksaması, uzaydaki belirli bir noktanın ne ölçüde bu alanın kaynağı veya havuzu olduğunun bir göstergesidir”
Nabla operatörünü bir skalerle çarparsanız o skalerin gradyanını elde edersiniz:
Gradyan, bir skalerin büyüklüğünde belirli bir yöndeki artışı veya azalmayı gösterir.
Problemin sınır koşulları şu şekildedir: Bir giriş yüzü, bir çıkış yüzü vardır ve geri kalan yüzler düzgün duvarlardır.
Bir küpün hacminin sonlu hacimlere bölünmesi
Izgaramız çok basit olacak - küpü Z ekseni boyunca 5 eşit hücreye bölüyoruz.
Çok sayıda formül
Sonlu hacimler yöntemi, her sonlu hacim için (2) integral formundaki (1)'in karşılanacağını öngörmektedir.
(2)
,
Son hacmin geometrik merkezi nerede?
Son hacmin merkezi
İfadenin (2) birinci terimini aşağıdaki gibi sadeleştirip dönüştürelim:
(2.1) (HJ-3.12)*
Gördüğünüz gibi, skaler miktarın sonlu hacim içinde doğrusal olarak değiştiğini ve miktarın sonlu hacmin içindeki bir noktadaki değerinin şu şekilde hesaplanabileceğini varsaydık:
İfadenin ikinci terimini (2) basitleştirmek için genelleştirilmiş Gauss-Ostrogradsky teoremini kullanıyoruz: vektör alanının hacim üzerindeki diverjansının integrali, verilen hacmi sınırlayan yüzeyden geçen vektör akısına eşittir. İnsan dilinde, "sonlu bir hacme giren/sonlu bir hacimden gelen tüm akışların toplamı, bu sonlu hacmin yüzlerinden geçen akışların toplamına eşittir":
(2.3)
,
Hacmi sınırlayan kapalı yüzey nerede,
- hacimden normal boyunca yönlendirilmiş vektör.
vektör S
Sonlu hacmin bir dizi düz yüzle sınırlı olduğu göz önüne alındığında, ifade (2.3) yüzey üzerindeki integrallerin toplamına dönüştürülebilir:
(2.4) (HJ-3.13)
,
Yüzün ortasındaki değişkenin değerini ifade eden Where,
- yüzün merkezinden çıkan, hücreden uzağa (yerel olarak), daha düşük indeksli hücreden daha yüksek indeksli (global) hücreye doğru yönlendirilen alan vektörü.
S vektörü hakkında biraz daha
Aynı vektör parametrelerini iki kez saklamamak için, çünkü İki komşu hücre için, hücreler arasındaki kenara, hücrenin merkezinden uzağa yönlendirilen normal vektörün yalnızca yön işareti açısından farklılık göstereceği açıktır. Böylece uç ile hücre arasında bir sahip-komşu ilişkisi oluştu. Alan vektörü (daha düşük indeksli bir hücreden daha büyük indeksli bir hücreye küresel, pozitif yön) hücrenin merkezinden İLERİ gösteriyorsa, hücre ile vektör arasında ve daha kesin olarak hücre ile vektör arasında böyle bir ilişki vardır. yüz, sahip olarak gösterilir). Eğer bu vektör söz konusu hücrenin içini işaret ediyorsa o zaman komşudur. Yön, değerin işaretini etkiler (sahip için + ve komşu için -) ve bu, toplama yaparken önemlidir, aşağıya bakın.
Fark şemaları hakkında
Yüzün ortasındaki değer, bitişik hücrelerin merkezlerindeki değerler aracılığıyla hesaplanır - bu ifade yöntemine fark şeması denir. OpenFOAM'da fark şemasının türü dosyada belirtilir. /system/fvSchemes:DivSchemes ( varsayılan yok; div(phi,psi) Gauss doğrusal; )
Gauss- merkezi fark şemasının seçildiği anlamına gelir;
doğrusal- hücrelerin merkezlerinden yüzlerin merkezlerine enterpolasyonun doğrusal olarak gerçekleşeceği anlamına gelir.
Skaler miktarımızın sonlu hacim içinde merkezden kenarlara doğru doğrusal olarak değiştiğini varsayalım. Daha sonra yüzün merkezinde yaklaşık değer aşağıdaki formüle göre hesaplanacaktır:
Ağırlıklar nerede ve şu şekilde hesaplanır:
Hücre hacimleri nerede?
Çarpık hücre durumları için, yaklaşık ağırlıkların hesaplanmasına yönelik daha karmaşık formüller vardır.
Böylece hücre kenar merkezlerindeki phi_f değerleri, hücre merkezlerindeki değerler esas alınarak hesaplanır. Gradyan değerleri grad(phi), phi_f değerlerine göre hesaplanır.
Ve bu algoritmanın tamamı aşağıdaki sözde kod biçiminde temsil edilebilir.
1. Sonlu hacimlerin gradyanlarının bir dizisini beyan ederiz, sıfırlarla başlatırız 2. Tüm iç yüzlerden geçeriz (bunlar sınır değildir) > Akı_f = phi_f*S_f'yi hesaplarız. Hücre sentlerindeki phi değerlerine göre phi_f değerlerini hesaplayın > Sahip elemanın gradyanına flux_f ekleyin ve komşu elemanın gradyanına -flux_f ekleyin 3. Tüm sınır yüzleri üzerinde yineleme yapın > flux_f = phi_f*S_f'yi hesaplayın > Sahibi elemanın gradyanına flux_f ekleyin (komşu -sınır yüzlerinin elemanı yoktur) 4. Tüm elemanları gözden geçirelim > Ortaya çıkan gradyan toplamını elemanın hacmine bölelim
Zaman örneklemesi
(2.1) ve (2.4) dikkate alındığında ifade (2) şu şekli alır:
(3)
Sonlu hacimler yöntemine göre zaman ayrıklaştırması yapılır ve ifade (3) şu şekilde yazılır:
(4)
(4)'ün integralini alalım:
(4.1)
Sol ve sağ tarafları ikiye ayıralım:
(5)
Örnekleme matrisi verileri
Artık her sonlu hacim için bir doğrusal denklem sistemi elde edebiliriz.Aşağıda kullanacağımız grid düğümlerinin numaralandırması verilmiştir. 
Düğüm koordinatları /constant/polyMesh/points dosyasında saklanır
24
((0 0 0)
(1 0 0)
(0 1 0)
(1 1 0)
(0 0 0.2)
(1 0 0.2)
(0 1 0.2)
(1 1 0.2)
(0 0 0.4)
(1 0 0.4)
(0 1 0.4)
(1 1 0.4)
(0 0 0.6)
(1 0 0.6)
(0 1 0.6)
(1 1 0.6)
(0 0 0.8)
(1 0 0.8)
(0 1 0.8)
(1 1 0.8)
(0 0 1)
(1 0 1)
(0 1 1)
(1 1 1))
Hücrelerin düğüm merkezlerinin numaralandırılması (50, 51 - sınır yüzlerinin merkezleri): 
Yüz merkezi düğümlerinin numaralandırılması: 
Eleman hacimleri:
Hücre yüzlerindeki değerleri hesaplamak için gereken enterpolasyon katsayıları. "e" alt simgesi "hücrenin sağ kenarını" belirtir. Görünüme göre sağ, “Hücrelerin düğüm merkezlerinin numaralandırılması” şeklinde olduğu gibi:
Örnekleme matrisinin oluşumu
P = 0 için.
Miktarın davranışını açıklayan ifade (5)
Her biri aşağıdaki biçimde olan doğrusal cebirsel denklemler sistemine dönüştürülecektir:
Veya yüzlerdeki noktaların indekslerine göre
Ve bir hücreye giden/hücreden gelen tüm akışlar toplam olarak ifade edilebilir
Örneğin, E hücresinin merkez noktasındaki akış doğrusallaştırma katsayısı nerede,
- yüzün merkez noktasındaki akış doğrusallaştırma katsayısı,
- doğrusal olmayan kısım (örneğin sabit).
Yüzlerin numaralandırılmasına göre ifade şu şekilde olacaktır: 
P_0 elemanının sınır koşulları dikkate alındığında doğrusal cebirsel denklem şu şekilde temsil edilebilir:
...önceden elde edilen katsayıları değiştirin...
A girişinden gelen akış hücreye yönlendirilir ve bu nedenle negatif işarete sahiptir.
Kontrol ifademizde difüzyon terimine ek olarak bir zaman terimi de olduğundan, son denklem şuna benzer:
P = 1 için.
P = 4 için.
Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi (SLAE), matris biçiminde şu şekilde temsil edilebilir:
A(i,j) === 40,5 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40,5
Psi = boyutlar; internalField düzensiz listesi
Vektörün değerlerinin elde edildiği temelde
Daha sonra vektör SLAE'ye yerleştirilir ve vektör hesaplamasında yeni bir yineleme gerçekleşir.
Ve bu, tutarsızlık gerekli sınırlara ulaşana kadar devam eder.
