ბადეების აგება სასრული მოცულობის მეთოდისთვის. სასრული მოცულობის მეთოდი. კუბის მოცულობის დაყოფა სასრულ მოცულობებად

მათემატიკური ფიზიკის ამოცანების რიცხვითი ამოხსნა რეალური ფენომენების შესწავლის ერთ-ერთი მთავარი მეთოდია. გამოთვლითი და ფიზიკური ექსპერიმენტების კომბინირებული გამოყენება ნებისმიერი ფენომენის ანალიზში საშუალებას იძლევა, ერთის მხრივ, შეამციროს ძვირადღირებული ექსპერიმენტული გაზომვების რაოდენობა, ხოლო მეორეს მხრივ, გადაამოწმოს და გააუმჯობესოს მათემატიკური მოდელები.

გამოთვლითი სისტემების სიჩქარის მატებასთან ერთად, ახალი მოთხოვნები ჩნდება მათემატიკური ფიზიკის ამოცანების გადაჭრის ციფრულ მეთოდებზე. კვლევის მნიშვნელოვანი სფეროა კონსერვაციის კანონების დისკრეტიზაციის თანამედროვე მეთოდების შემუშავება და დახვეწა, რომლებიც უზრუნველყოფენ პრობლემების მუდმივად ახალი კლასის სიმულაციის შესაძლებლობას და მნიშვნელოვნად უკეთესი შედეგების მიღებას ცნობილი პრობლემების გადაჭრისას.

თანამედროვე გამოთვლითი ალგორითმები უნდა უზრუნველყოფდნენ რთული გეომეტრიის მქონე ტერიტორიების ყველაზე ზუსტ აღწერას. ეს შესაძლებელია არაორთოგონალური და არასტრუქტურირებული ბადეების გამოყენებით. თვითნებურ არაორთოგონალურ ბადეებთან შედარებით, არასტრუქტურირებული მარტივი ბადეებისთვის (სამკუთხედი ორგანზომილებიან შემთხვევაში და დაყოფა ტეტრაედრონებად სამგანზომილებიან შემთხვევაში), ადგილობრივი კონდენსაციის განხორციელება უფრო ადვილია (მაგალითად, უკანა საფეხურის უკან, ზონაში. უეცარი შევიწროების, მიმაგრების წერტილის სიახლოვეს) და ასევე, საჭიროების შემთხვევაში, გამოთვლითი ბადის ადაპტაცია ხსნარის ქცევიდან გამომდინარე. ამრიგად, მაშინაც კი, როდესაც გეომეტრიულად მარტივ დომენებში კონსერვაციის კანონების დისკრეტიზაცია ხდება, რომლებიც შეიძლება ზუსტად იყოს წარმოდგენილი მართკუთხა ელემენტების კოლექციით, არასტრუქტურირებულ მარტივ ბადეებს აქვს მრავალი უპირატესობა. არასტრუქტურირებული ბადეების აშკარა უპირატესობების მიუხედავად თვითნებური რეგიონების მიახლოებისთვის და მარტივი ტიხრების ავტომატურად აგების შესაძლებლობის მიუხედავად, ისინი პრაქტიკულად არ გამოიყენებოდა გამოთვლითი სითხის დინამიკაში და მხოლოდ ბოლო 15 წლის განმავლობაში გახდა უფრო პოპულარული. B. Stoufflett-ის და სხვების ჩვენებით, ამის მიზეზი არის მკვეთრად მზარდი გამოთვლის დრო არასტრუქტურირებულ მიდგომებზე გადასვლისას. ფაქტია, რომ არანულოვანი ელემენტების პოზიცია დისკრეტული ანალოგების მატრიცებში დამოკიდებულია ქსელის კვანძების მიმდებარეობაზე და თვითნებურად, მატრიცები ინახება უნივერსალური ფორმატებისა და მონაცემთა სტრუქტურების გამოყენებით. მწირი მატრიცის ვექტორზე გამრავლების ოპერაციები და არასრული ფაქტორიზაცია ბევრად უფრო „ძვირი“ ხდება. ამავდროულად, გამოთვლითი სითხის დინამიკის განტოლებების სისტემები არის განტოლებათა ურთიერთდაკავშირებული არაწრფივი სისტემები, რომელთა ამოხსნის იმპლიციტური სქემები მრავალ დონის იტერაციულ ხასიათს ატარებენ, ასე რომ, თითოეულ "გლობალურ" გამეორებაზე აუცილებელია რამდენიმე სისტემის ამოხსნა. წრფივი ალგებრული განტოლებები. მძლავრი გამოთვლითი სისტემების მოსვლასთან ერთად, ასევე ადაპტაციური და მულტიქსელური მეთოდების განვითარების წყალობით, შესაძლებელი გახდა არასტრუქტურირებული ბადეებისა და შესაბამისი სივრცითი დისკრეტიზაციის სქემების გამოყენება ჰიდრო-გაზდინამიკური პროცესების მოდელირებისთვის.

დისკრეტიზაციის ყველაზე გავრცელებული მეთოდი არასტრუქტურირებულ შემთხვევაში არის სასრული ელემენტების მეთოდი (FEM). მოდით აღვნიშნოთ მეთოდის ისეთი უპირატესობები, როგორიცაა დიფერენციალური ოპერატორების თვითდაკავშირებული ნაწილის სიმეტრიული ბუნების შენარჩუნება მათ დისკრეტულ ანალოგებში (ეს მიიღწევა ტესტის ფუნქციების სივრცის სპეციალური არჩევით, რომელიც ემთხვევა საცდელი ფუნქციების სივრცეს). , მიახლოების სიზუსტის გაზრდის შესაძლებლობა ადგილობრივი ამონახსნის პოლინომების ინტერპოლაციის ხარისხის გაზრდით (ე.წ. p და h-p ვერსიები FEM, ), მეორე და მესამე სახის სასაზღვრო პირობების ბუნებრივი გათვალისწინება. სასრულ ელემენტების მეთოდს აქვს ჩამოყალიბებული ტექნოლოგიური საფუძველი, კერძოდ

შიდა პროდუქტების მიახლოების მეთოდები სასაზღვრო ამოცანის ამოხსნის და პარამეტრების ცალმხრივი პოლინომიური წარმოდგენის დაშვებით, კერძოდ: სასრული ელემენტების შესაბამისი სივრცის საფუძვლის გაფართოების გამოყენება, ინტეგრალური ფორმულების კლასები, რომლებიც საშუალებას იძლევა ზუსტი ინტეგრირება თვითნებური პროდუქტების. ბაზისი ფუნქციონირებს დანაყოფების ელემენტებზე და ელემენტების კიდეებზე (სახეებზე),

სტანდარტული ინტერპოლაციის აპარატი.

მეთოდის ტექნოლოგიები შესაძლებელს ხდის საწყისი სასაზღვრო ამოცანების დისკრეტული ანალოგების მარტივად და ერთგვაროვან აგებას, სხვადასხვა ტიპის სასაზღვრო პირობებით ამონახსნის გარკვეული სიგლუვისა და განტოლებების კოეფიციენტების ცალმხრივი პოლინომიური ქცევის დაშვებით. სასაზღვრო პირობები , .

რიგ აპლიკაციებში, როგორიცაა ზებგერითი და ტრანსონური გაზის ნაკადების მოდელირება და გამოთვლები ზედაპირული წყლის მოდელების გამოყენებით, ძალზე მნიშვნელოვანია კონსერვაციის კანონების დისკრეტიზაციისთვის გამოყენებული სქემების ადგილობრივი კონსერვატიზმი. სასრული ელემენტების მეთოდი არ იძლევა საშუალებას დამაკმაყოფილებელი სიზუსტით თვალყური ადევნოთ წარმოქმნილი წყვეტილი ამონახსნების მახასიათებლებს და ასეთი პრობლემების გადაჭრის ტრადიციული მიდგომა არის სასრული მოცულობის მეთოდი. კონსერვაციის კანონების სისტემის დისკრეტიზაციისას სასრული მოცულობის მეთოდით, გამოთვლითი დომენი მიახლოებულია ღია სასრული მოცულობების სიმრავლით, შემდეგ მკვლევარი დგამს „უკან ნაბიჯს“, გადადის განტოლებათა ორიგინალური სისტემის ინტეგრალურ ფორმაზე; ოსტროგრადსკი-გაუსის ფორმულის გამოყენებით, ჩვენ გადავდივართ მოცულობითი ინტეგრაციიდან სასაზღვრო ინტეგრალზე, ასე რომ სასრული მოცულობების სახეებზე ნაკადების მიახლოების მეთოდი მთლიანად განსაზღვრავს გამოთვლით სქემას. ს. პატანკარის მონოგრაფიის მიხედვით, "ჰიდროდინამიკისა და სითბოს გადაცემის სფეროში მომუშავე მკვლევართა უმრავლესობისთვის სასრული ელემენტების მეთოდი ჯერ კიდევ საიდუმლოებით არის მოცული. ვარიაციული ფორმულირება და თუნდაც გალერკინის მეთოდი არ ექვემდებარება მარტივ ფიზიკურ ინტერპრეტაციას." ამავდროულად, სასრულ მოცულობის სქემებს აქვთ გარკვეული ფიზიკური მნიშვნელობა ნაკადების ბალანსისა და წყაროს ტერმინების თითოეულ სასრულ მოცულობაში, რომელიც უახლოვდება გამოთვლით დომენს, რაც სასრულ მოცულობის მეთოდს უფრო მიმზიდველს ხდის. MKO-ს „სიმარტივობა“ მეთოდის ზოგადი ტექნოლოგიური საფუძვლის არარსებობის ერთ-ერთი მიზეზია.

ასე რომ, MKO-ს კლასიკური ვერსიის უპირატესობებში (სასრული მოცულობა/სასრული სხვაობის მეთოდი, FVDM) მოიცავს დისკრეტული სქემების ლოკალურ კონსერვატიზმს, უფრო დიდ სიმარტივეს და სიცხადეს და მეორე სახის სასაზღვრო პირობების ბუნებრივად გათვალისწინების შესაძლებლობას. გარდა ამისა, კონვექციის უპირატესობის მქონე პრობლემების გადაჭრის შემთხვევაში, კონტრნაკადის სქემების განხორციელება გამარტივებულია, რადგან სასრული მოცულობების სახეებზე ნაკადები გაანალიზებულია და მიახლოებული რაოდენობებიც.

სასრულ მოცულობის მიახლოებების სისტემატიზაციის მცდელობებმა განაპირობა FEM ტექნოლოგიების ნაწილობრივი კომბინაცია და სასრულ მოცულობებზე ინტეგრაციის პრინციპი; მათგან ყველაზე ადრეული ბრუნდება ბ.რ.ბალიგას, კ.პრაკაშის და ს.პატანკარის ნაშრომში და ცნობილია, როგორც CVFEM მეთოდები (სასრულო ელემენტების კონტროლის მოცულობაზე დაფუძნებული მეთოდები), შემდგომში მოხსენიებული, როგორც სასრული მოცულობის/სასრული ელემენტების მეთოდები (FVM/ FE). მეთოდის ავტორები მიზნად ისახავდნენ სასრული მოცულობის მეთოდის კონსერვატიული სქემების აგების მიზანს, FEM-ის ერთ-ერთი მთავარი უპირატესობის გამოყენებით - რთული გეომეტრიების მიახლოების უნარი არასტრუქტურირებული ბადეების გამოყენებით. პროფილის ფუნქციები ამ კლასის მეთოდებში არის „დამხმარე ხასიათის“; ამოხსნის კუთვნილება სასრულ ელემენტების სივრცეებში არ არის ხაზგასმული. ბარიცენტრული კომპლექტები გამოიყენება როგორც ორმაგი დანაყოფი.

სასრული მოცულობის/სასრული სხვაობის მეთოდის (MKO/KR, FVDM) უნივერსალური ტექნოლოგიური პრინციპების არარსებობის პრობლემა პირველად განხილულია ზ.კაიას ნაშრომში „სასრული მოცულობის/ელემენტის მეთოდის შესახებ“. ავტორი მკითხველის ყურადღებას ამახვილებს „სასრული მოცულობის/სასრული სხვაობის მეთოდის არასისტემატურ ხასიათზე“; კონსერვაციის კანონების სისტემების სასრული მოცულობის/სასრული სხვაობის მეთოდით დაახლოებისას შეიძლება გამოყენებულ იქნას სხვადასხვა კლასის მიახლოებები ერთი და იგივე ნაწარმოების ფარგლებში, რაც მნიშვნელოვნად ართულებს ასეთი სქემების კონვერგენციის ანალიზს. შემოთავაზებულია ამ პრობლემის გადაწყვეტა - სასრული ელემენტების მეთოდის იდეების ერთობლივი გამოყენება (ამოხსნის ძიება სასრულ ელემენტთა სივრცეში და გამოსავლის ცალმხრივი პოლინომიური ქცევის გამოყენება ნაკადების გამოსათვლელად) და კონსერვაციის კანონების ინტეგრალური ფორმა. ამრიგად, სასრული მოცულობის/ელემენტის მეთოდები (FME/E, „ყუთის მეთოდები“, FVE) წარმოიშვა „უფრო სისტემატური სასრული მოცულობის ტექნოლოგიების“ შექმნის მცდელობისას. სასრული მოცულობის/სასრული სხვაობის მეთოდების ზოგადი ტექნოლოგიური პრინციპების არარსებობა ასევე შეინიშნება Ya.JI-ს ნაშრომებში. გურიევა და V.P. ილინი.

სასრული მოცულობის/სასრული ელემენტის მეთოდები (FVE) და სასრული მოცულობის/სასრული ელემენტების მეთოდები (CVFEM) იყენებენ ფუნქციების თანმიმდევრულ სასრულ ელემენტის სივრცეებს, რომლებიც ხაზოვანია სიმპლექსებზე და მიეკუთვნება უჯრედის წვერო სასრული მოცულობის სქემების კლასს, ნახ. 1, ა.

სითხის დინამიკის გამოთვლითი სქემები (ბლანტი შეკუმშვადი ნაკადების მოდელირება) იყენებს არათანმიმდევრულ სასრულ ელემენტების სივრცეებს, კერძოდ, კრუზეი-რავიარდის სივრცეს ხაზოვანი ელემენტებზე, რომლებიც უწყვეტია ტესტის ფუნქციების კიდეების ცენტრებში. სასრული მოცულობის მეთოდები არათანმიმდევრული სასრული ელემენტების სივრცეების გამოყენებით შემოთავაზებული იყო ს. ჩოისა და დ. კვაკის მიერ, შესწავლილი იქნა სხვა ავტორების რიგ ნაშრომებში (ე.წ. ქვემოცულობის მეთოდები, თანამოცულობითი მეთოდი) და არის სქემები ცენტრებში უცნობის გამოთვლით. კიდეები (

გაზის დინამიკის პრობლემების გადაჭრისა და ანთროპოგენური კატასტროფების მოდელირების ყველაზე გავრცელებული სქემები ზედაპირული წყლის განტოლებების გამოყენებით არის უჯრედზე ორიენტირებული სასრული მოცულობის სქემები, ნახ. 1, ვ. მათი პოპულარობა განპირობებულია იმით, რომ ცენტროიდებში უცნობის გამოთვლის შემთხვევაში, გაზის დინამიკის სქემების უმეტესობა (S.K. Godunov სქემები, TVD სქემები) შეიძლება გადავიდეს არასტრუქტურირებულ ბადეებზე ფუნდამენტური ტექნოლოგიური ცვლილებების გარეშე. o a in

ნახ.1. საანგარიშო წერტილების მდებარეობა FE ბადის კვანძებთან მიმართებაში.

ეს ნაშრომი უპირველეს ყოვლისა განიხილავს სასრული მოცულობის მეთოდების კლასებს სამკუთხედის კვანძებში (MKO/E, MKO/FE) და კიდეების ცენტრებში (ქვემოცულობის მეთოდები) უცნობის გამოთვლით; მომავალში ჩვენ ასევე ვიტყვით „სასრული მოცულობის მეთოდებს სასრული ელემენტების სივრცეების გამოყენებით. ” მეთოდების ეს კლასები, რიგი კვლევების მიხედვით (, ), კონვექციურ-დიფუზიური პრობლემებისთვის იძლევა უკეთეს მიახლოებას ამონახსნებისთვის, ვიდრე უჯრედების ცენტრებში უცნობის გამოთვლის მეთოდები. ერთ-ერთი მთავარი მიზეზი ის არის, რომ ზემოთ ჩამოთვლილი მეთოდებისთვის შენარჩუნებულია ტესტის ფუნქციების პირველი წარმოებულების უწყვეტობა ორმაგი ბადის ელემენტებზე.

კონვექციის დომინანტური პრობლემების გადაჭრის ეფექტური მიდგომაა გალერკინის მეთოდის გამოყენება სიმეტრიული ტესტის ფუნქციებით დიფერენციალური ოპერატორების თვითდაკავშირებული ნაწილისთვის და MCO სქემების ზემოთ მათი ასიმეტრიული ნაწილისთვის, ე.წ. შერეული სასრული ელემენტის/მოცულობის მეთოდები (FEM/O, MEV, შერეული ელემენტის/მოცულობის მეთოდი).

სადისერტაციო ნაშრომი ეძღვნება, კერძოდ, სასრული მოცულობის მეთოდის ტექნოლოგიების დახვეწას მეთოდთა მითითებული კლასებისთვის (MKO/E, MKO/CE, FEM/O, ქვემოცულობის მეთოდები). ამ დროისთვის, ამ მეთოდებს არ გააჩნიათ დადგენილი ტექნოლოგიები ამოხსნის ცალმხრივი პოლინომიური ქცევის, წყაროს პირობებისა და გადაცემის კოეფიციენტების გასათვალისწინებლად. ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვთვალოთ აპარატის არასრულყოფილების შემდეგი მიზეზები სასრული მოცულობის მეთოდებში პოლინომების ზუსტი ინტეგრაციისთვის სასრულ ელემენტების სივრცეების გამოყენებით:

1. სასრული ელემენტების მეთოდისგან განსხვავებით, სასრული მოცულობის მეთოდს არ აქვს p-ვერსია, ვინაიდან დამატებითი კვანძების და რამდენიმე ტიპის ორმაგი ბადეების შემოღებით, კონსერვაციის კანონების სისტემის რიგი ცვლადების ლოკალური კონსერვატიზმია. დარღვეულია სასრული ტომების „უცხო“. ამრიგად, მიახლოებები შემოიფარგლება ქვედა რიგის სასრულ ელემენტების სივრცეებით.

2. სასრული ელემენტების მეთოდთან შედარებით სასრული მოცულობის მეთოდებს ახასიათებთ მეტი თავისუფლება სატესტო ფუნქციების სივრცეების არჩევისას, რაც ამ შემთხვევაში გამოდის დაკავშირებული უცნობების გამოთვლის წერტილების მდებარეობასთან დისკრეტიზაციასთან მიმართებაში. კვანძები (სქემები უცნობების მდებარეობით კვანძებში, კიდეების შუა წერტილებით, ცენტროიდების სიმპლექსები) და ორმაგი ბადის აგების მეთოდი (ბარიცენტრული, ორთოცენტრული, წრეწირული სიმრავლეების გამოყენებით). კომბინირებული ან ეტაპობრივი ბადეების გამოყენების უნართან ერთად, ეს იძლევა MCM სქემების სრულ მრავალფეროვნებას თითოეულ აპლიკაციაში.

კონსერვაციის კანონების დისკრეტიზაციის MCM მეთოდებისთვის, რომლებიც იყენებენ სასრული ელემენტების სივრცეებს, ამ სივრცეების ფრთხილად შერჩევა ამოხსნისთვის, განტოლებების კოეფიციენტები და წყაროს ტერმინები ნაწილობრივ კარგავს თავის მნიშვნელობას, თუ მეთოდს არ აქვს შემუშავებული საშუალებები ცალმხრივი პოლინომიური წარმოდგენების გასათვალისწინებლად, კერძოდ. , პოლინომების ზუსტი ინტეგრაციის აპარატი ორმაგი ბადის ელემენტებზე, ელემენტების ქვედომენებზე და საზღვრის კიდეების სეგმენტებზე. შედეგად, აგებული სქემების გამოყენებით გამოთვლების შედეგები განხილული უნდა იყოს რიცხვითი ინტეგრაციის ეფექტების თვალსაზრისით, მათი განხორციელების სხვადასხვა მეთოდების გათვალისწინებით; მნიშვნელოვნად რთულდება კვლევის შედეგების შედარება სხვა ავტორების ნაშრომებთან და ა.შ.

ამრიგად, ეს ნაშრომი ეძღვნება არსებული MCM/FEM ტექნოლოგიების გადახედვას კონვექციურ-დიფუზიური ტიპის პრობლემების დისკრეტული ანალოგების ასაგებად.

ამონახსნის ცალმხრივი პოლინომიური წარმოდგენის, განტოლების კოეფიციენტებისა და სასაზღვრო პირობებში შეტანილი კოეფიციენტების გათვალისწინების ტექნოლოგია, ასევე სასრული მოცულობის მეთოდებში სასრული ელემენტების სივრცეების გამოყენებით წყაროს პირობები უნდა აკმაყოფილებდეს შემდეგ მოთხოვნებს:

1) დაუშვას კოეფიციენტებისა და ამონახსნების პოლინომური წარმოდგენის თვითნებური კომბინაციები დანაყოფების ელემენტებზე, აგრეთვე ადგილობრივი ამონახსნის პოლინომების ინტერპოლაციის ხარისხის გაზრდა;

2) გამოიყენეთ მიახლოების ერთიანი პრინციპები განტოლების სხვადასხვა ტერმინების შესაბამისი ელემენტების (დიფუზია, კონვექციური, რეაქციის ტერმინები, წყაროს ტერმინები) წვლილის გაანგარიშებისას, აგრეთვე კიდეებიდან, რომლებიც აახლოებენ საზღვრების ნაწილებს სხვადასხვა ტიპის სასაზღვრო პირობებით. მათზე;

3) დაუშვას სამგანზომილებიანი შემთხვევის ერთგვაროვანი განზოგადება;

4) გავითვალისწინოთ სასრული ელემენტების კარგად განვითარებული ტექნოლოგიების გამოცდილება, კერძოდ, სასრული ელემენტების სივრცის ბაზის გაფართოების გამოყენება და ამონახსნისა და გადაცემის კოეფიციენტების ცალმხრივი პოლინომიური წარმოდგენების ზუსტი ინტეგრირების უპირატესობები;

5) უზრუნველყოს ერთიანი ტექნოლოგიური საფუძველი შერეული FEM/O მიახლოებით, რომლებიც იყენებენ ტესტის ფუნქციების ორ კომპლექტს - სასრულ მოცულობას და სასრულ ელემენტს - ერთი განტოლების მიახლოებისთვის;

6) ტექნოლოგიის პრინციპები უცვლელი უნდა დარჩეს თანმიმდევრული სასრული ელემენტების სივრცეების (სასრული მოცულობის/სასრული ელემენტების მეთოდები კვანძებში უცნობის გამოთვლით) არათანმიმდევრული სასრულ ელემენტების გამოყენებაზე გადასვლისას (ცენტრებში უცნობის გამოთვლის მეთოდები). სამკუთხედის კიდეები);

7) ტექნოლოგია შეიძლება გამოყენებულ იქნას ფიზიკური პრობლემების სხვადასხვა კლასის მიახლოებით.

სასრული მოცულობის მეთოდების არსებული ტექნოლოგიებიდან სასრული ელემენტების სივრცეების გამოყენებით (სასრული მოცულობის/ელემენტის მეთოდები (FVE), სასრული მოცულობის/სასრული ელემენტების მეთოდები (CVFEM), ქვემოცულობითი მეთოდები, შერეული მოცულობის/ელემენტის მეთოდები (MEV)), არც ერთი არ აკმაყოფილებს. ზემოაღნიშნული მოთხოვნები. ამგვარად, ახალი ტექნოლოგიების შექმნა ამ კლასის მეთოდებისთვის მარტივი დანაყოფებისა და ბარიცენტრული კომპლექტების გამოყენებით, როგორც ორმაგი, როგორც ჩანს, შესაბამისი კვლევის თემაა.

კონვექციის მნიშვნელოვანი დომინირების შემთხვევაში, სხვადასხვა MCO დისკრეტიზაციის სქემების შედარება, ისევე როგორც გამოთვლების შედარება სასრული ელემენტების მეთოდისა და სასრული მოცულობის მეთოდის გამოყენებით, რეალურად მოდის შესაბამისი ქარის საწინააღმდეგო სქემების შედარებამდე.

ყველაზე შესწავლილი და ხშირად გამოყენებული არასტრუქტურირებულ შემთხვევაში არის სასრული მოცულობის მეთოდების კლასის ქარის საწინააღმდეგო სქემები უჯრედების ცენტრებში ცვლადების გაანგარიშებით. იმისდა მიუხედავად, რომ დანაყოფის ელემენტების კიდეები არ არის კოორდინატთა ღერძების პარალელურად, ეს სქემები უმეტეს შემთხვევაში ერთგანზომილებიანი ხასიათისაა, რადგან ისინი აგვარებენ უწყვეტობის დაშლის პრობლემას დამაკავშირებელ ხაზებზე. სიმპლექსების ცენტროიდები. ასეთი სქემების გამოყენებით გამოთვლები არ ასახავს ნაკადის მრავალგანზომილებიან სტრუქტურას და აქვს გადაჭარბებული რიცხვითი დიფუზია. მეორე რიგის მიახლოების სქემების ასაგებად საჭიროა შაბლონის მნიშვნელოვანი გაფართოება, რაც არასტრუქტურირებულ შემთხვევაში იწვევს მონაცემთა შესაბამისი სტრუქტურების მნიშვნელოვან გართულებას.

სამკუთხედის კვანძებზე და მისი კიდეების შუა წერტილებზე უცნობი სქემების სქემების სქემები ამჟამად ცოტაა (იხ.). ზოგიერთ შემთხვევაში, ზემო დინების მიახლოების პრინციპი მოდის სკალარული ნივთიერების ერთი მნიშვნელობის გამოყენებაზე - ზემოთ მდებარე სიმპლექსის კვანძზე, ან ორი შეწონილი მნიშვნელობის - ზემოთ მდებარე სიმპლექსის კიდის ბოლოებზე. მხოლოდ ერთი ცნობილი სქემა, FLO (Flow Oriented Upwind Scheme), რომელიც შემუშავებულია კ.პრაკაშისა და ს.პატანკარის მიერ, იყენებს კვანძებში უცნობის გამოთვლას - ასიმეტრიული პროფილის ფუნქციების აგების შესაძლებლობას. მაგრამ ამ სქემის გამოყენებით გამოთვლები არადამაკმაყოფილებლად ითვლება, რადგან სქემას არ აქვს პოზიტიურობის თვისება და განმეორებითი პროცესები ხშირად განსხვავდება.

გამარტივებულ ბადეებზე ქარის საწინააღმდეგო სქემების გამოყენებით დანერგილი რიცხვითი დიფუზიის შეფასება თავისთავად პრობლემას წარმოადგენს. ამ მიმართულებით არსებული სამუშაოები, რომლებიც უზრუნველყოფენ კონვერგენციის მახასიათებლების თეორიულ შეფასებებს, შემოიფარგლება უჯრედების ცენტრებში ცვლადების გამოთვლის სხვადასხვა სქემებით. ამიტომ, ქარის საწინააღმდეგო MCO/FE სქემების კონვერგენციის სიჩქარის შეფასებას რიცხვითი ექსპერიმენტების სერიის გამოყენებით განსაკუთრებული მნიშვნელობა აქვს.

ასე რომ, ქარის საწინააღმდეგო MCO/FE სქემების მშენებლობა და შედარებითი ანალიზი არასტრუქტურირებულ ბადეებზე არის აქტუალური კვლევის თემა.

სამუშაოს მიზანია სასრული მოცულობის მეთოდების გამოთვლითი ტექნოლოგიების შემუშავება სასრული ელემენტების სივრცეების გამოყენებით კონვექციურ-დიფუზიური ტიპის ამოცანების მიახლოებით. ამ მიზნის მისაღწევად ჩამოყალიბდა კვლევის შემდეგი მიზნები:

1) კონსერვაციის კანონების სისტემების დისკრეტიზაციის ტექნოლოგიების გაუმჯობესება სასრულ ბადეებზე სასრული მოცულობის/სასრული ელემენტის მეთოდით, ბარიცენტრული ტიხრების ორმაგი დანაყოფების გამოყენებით;

2) კონვექციურ-დიფუზიური ტიპის ამოცანების დაახლოების ტექნოლოგიების შემუშავება მნიშვნელოვანი პირველი წარმოებულებით; არასტრუქტურირებულ ბადეებზე ზედა დინების სქემების მშენებლობა, განხორციელება და შედარებითი ანალიზი, კერძოდ, გამოთვლითი ექსპერიმენტების ჩატარება შემოთავაზებული და ყველაზე ზუსტი ცნობილი სქემების მიახლოების თანმიმდევრობის შესაფასებლად, ასევე MCE/FE-ზე დაფუძნებული ზედა დინების სქემების მახასიათებლების შედარება. FEM;

3) განვითარებულ ტექნოლოგიებზე დაფუძნებული პროგრამული პაკეტების შექმნა, რაც შესაძლებელს ხდის სითხეებისა და აირების ბლანტი შეკუმშვის ნაკადების ადეკვატურად სიმულაციას გეომეტრიულად რთულ ადგილებში, სტაციონარულ და არასტაციონალურ შემთხვევებში.

Კვლევის მეთოდები. გამოთვლითი მათემატიკის მეთოდები. სასრული ელემენტების მეთოდებში პოლინომების ზუსტი ინტეგრაციის ტექნოლოგიების შედარებითი ანალიზი, სასრული მოცულობები/ელემენტები, განაწილებული ნარჩენები. ქარის საწინააღმდეგო დინების სქემების კონვერგენციის სიჩქარის ექსპერიმენტული შეფასება ანალიტიკური ამოხსნის მქონე ამოცანებისათვის. გამოთვლები შედედებული სასრული ელემენტების დანაყოფების კომპლექტზე, რასაც მოჰყვება ექსპერიმენტულ მონაცემებთან კონვერგენციის ანალიზი.

ნაშრომის სამეცნიერო სიახლე ასეთია:

1. შემოთავაზებულია ახალი ტექნოლოგია ამონახსნის ცალმხრივი პოლინომიური წარმოდგენის, გადაცემის კოეფიციენტებისა და წყაროს ტერმინების გათვალისწინებისას საწყის-საზღვრის ამოცანების დისკრეტიზაციისას სასრული მოცულობების/ელემენტების, სასრული მოცულობების/სასრული ელემენტების და ქვემოცულობების მეთოდების გამოყენებით. ტექნოლოგია დაფუძნებულია სასრული ელემენტების სივრცეების ბაზისური გაფართოების გამოყენებაზე ბარიცენტრული მარტივი კოორდინატების თვალსაზრისით, მათი მონომების შემდგომი ზუსტი ინტეგრაციით. MKO/FE, MKO/E სქემებისთვის ცვლადების გამოთვლით სამკუთხედის კვანძებზე, შემოთავაზებულია ფორმულების სამი კლასი ბარიცენტრული კოორდინატების მონომების ზუსტი ინტეგრაციისთვის: ელემენტის ორმაგი ბადის სეგმენტებზე, ბარიცენტრულ ქვერეგიონებსა და სეგმენტებზე. სასაზღვრო კიდეებიდან. ქვემოცულობითი მეთოდებისთვის, რომლებიც იყენებენ არათანმიმდევრულ სასრულ ელემენტებს, შემოთავაზებულია საბაზისო ფუნქციების ზუსტი ინტეგრაციის პრინციპის გამოყენება და შესაბამისი ინტეგრალური ფორმულების მიღება.

2. შემოთავაზებულია მეთოდი ქარის საწინააღმდეგო MCO/FE სქემების ასაგებად მარტივ ბადეებზე, მასობრივი ნაკადების და სკალარული ნივთიერების მნიშვნელობების ცალკეული მიახლოების საფუძველზე ორმაგი ბადის სეგმენტებზე. შემოღებულია სქემების ელემენტების შიდა სქემის წონის კოეფიციენტების ლოკალური მატრიცის ცნებები და სქემების ლოკალური პოზიტიურობა. შემოთავაზებულია ექსპონენციალური კლასის კონტრნაკადის სქემა და მისი ანალოგი აშენდა MKO-სთვის ბარიცენტრებში უცნობი სიმპლექსების გაანგარიშებით.

3. მიღებული იქნა ქარის საწინააღმდეგო სქემის კონვერგენციის სიჩქარის ექსპერიმენტული შეფასებები მასობრივი ნაკადების აწონვით და შემოთავაზებული ექსპონენციალური კლასის სქემა. სასაზღვრო ფენის ტიპის გადაწყვეტილებების გამოყენებით გაანალიზდა აგებული სქემების სტაბილურობა და შედარება FEM სქემებთან.

4. კონვექციურ-დიფუზიური ტიპის ამოცანების შემოთავაზებული მიახლოების ტექნოლოგიების გამოყენებით შეიქმნა პროგრამების ნაკრები ბლანტი შეკუმშვადი ნაკადების მოდელირებისთვის ბუნებრივ სიჩქარე-წნევის ცვლადებში და ჩატარდა რიგი გამოთვლითი ექსპერიმენტები, რომლებიც ადასტურებდა აგებული სქემების ეფექტურობას.

დისერტაციის სტრუქტურა და მოცულობა. დისერტაცია შედგება შესავლისგან, ოთხი თავისგან, დასკვნისგან, ცნობარების ჩამონათვალისგან, დანართისგან და შეიცავს 173 გვერდს, მათ შორის 10 ცხრილს და 51 ფიგურას. ბიბლიოგრაფია შეიცავს 117 სათაურს.

დასკვნა

ეს ნაშრომი ეძღვნება სასრულ ბადეებზე სასრული მოცულობის მეთოდების გამოთვლითი ტექნოლოგიების შემუშავებას, სასრული ელემენტების სივრცეების და ბარიცენტრული ტიხრების გამოყენებით, როგორც ორმაგი, კონვექციურ-დიფუზიური ტიპის ამოცანების მიახლოებისთვის! სამუშაომ მიიღო შემდეგი ძირითადი შედეგები თავდაცვისთვის:

1. შემოთავაზებულია ახალი ტექნოლოგია ამონახსნის ცალმხრივი პოლინომიური წარმოდგენის, გადაცემის კოეფიციენტებისა და წყაროს ტერმინების გათვალისწინებისას საწყის-საზღვრის ამოცანების დისკრეტიზაციისას სასრული მოცულობების/ელემენტების, სასრული მოცულობების/სასრული ელემენტების და ქვემოცულობების მეთოდების გამოყენებით. ტექნოლოგია დაფუძნებულია სასრული ელემენტების სივრცეების ბაზისური გაფართოების გამოყენებაზე ბარიცენტრული მარტივი კოორდინატების თვალსაზრისით, მათი მონომების შემდგომი ზუსტი ინტეგრაციით. MKO/FE, MKO/E სქემებისთვის ცვლადების გამოთვლით სამკუთხედის კვანძებზე, შემოთავაზებულია ფორმულების სამი კლასი ბარიცენტრული კოორდინატების მონომების ზუსტი ინტეგრაციისთვის: ელემენტის ორმაგი ბადის სეგმენტებზე, ბარიცენტრულ ქვერეგიონებსა და სეგმენტებზე. სასაზღვრო კიდეებიდან. ქვემოცულობითი მეთოდებისთვის, რომლებიც იყენებენ არათანმიმდევრულ სასრულ ელემენტებს, შემოთავაზებულია საბაზისო ფუნქციების ზუსტი ინტეგრაციის პრინციპის გამოყენება და შესაბამისი ინტეგრალური ფორმულების მიღება.

2. შემოთავაზებულია მეთოდი ქარის საწინააღმდეგო MCO/FE სქემების ასაგებად მარტივ ბადეებზე, მასობრივი ნაკადების და სკალარული ნივთიერების მნიშვნელობების ცალკეული მიახლოების საფუძველზე ორმაგი ბადის სეგმენტებზე. შემოღებულია ზედა დინების სქემის წონის კოეფიციენტების ლოკალური მატრიცის ცნებები, სქემების ელემენტების შიდა და სქემების ლოკალური პოზიტიურობის შესახებ. შემოთავაზებულია ექსპონენციალური კლასის კონტრნაკადის სქემა და მისი ანალოგი აშენდა MKO-სთვის ბარიცენტრებში უცნობი სიმპლექსების გაანგარიშებით.

3. მიღებული იქნა კონტრნაკადის სქემის კონვერგენციის სიჩქარის ექსპერიმენტული შეფასებები მასობრივი ნაკადების შეწონვით და შემოთავაზებული ექსპონენციალური კლასის სქემა. სასაზღვრო ფენის ტიპის გადაწყვეტილებების გამოყენებით გაანალიზდა აგებული სქემების სტაბილურობა და შედარება FEM სქემებთან. ნაჩვენებია, რომ დასრულებული MCO/FE სქემები შესაძლებელს ხდის სასაზღვრო ფენების გადაწყვეტილებების თავისებურებების თვალყურის დევნებას ბევრად უფრო ზუსტად, ვიდრე პეტროვ-გალერკინის მეთოდის სქემები ასიმეტრიული საბაზისო ფუნქციებით (ლეჟანდრის პოლინომები), რაისისა და შნიპკეს სასრულ ელემენტების სქემები. ასევე ტ.შეუს, ს.ვანგის და ს.ცაის მიერ შემუშავებული უფრო მაღალი რიგის მიახლოების სასრულ ელემენტების კომბინირებული სქემები.

4. კონვექციურ-დიფუზიური ტიპის ამოცანების შემოთავაზებული მიახლოების სქემების გამოყენებით შეიქმნა პროგრამების ნაკრები ბლანტი შეკუმშვადი ნაკადების მოდელირებისთვის ბუნებრივ სიჩქარე-წნევის ცვლადებში, გაერთიანებულ ბადეებზე, იმავე რიგის წნევისა და სიჩქარის ინტერპოლაციის პოლინომების გამოყენებით; ჩატარდა არაერთი გამოთვლითი ექსპერიმენტი აგებული სქემების ეფექტურობის დასადასტურებლად.

5. საცნობარო ნაკადისთვის არხში უკანა საფეხურის მიღმა, პირველად ნაჩვენებია შეყვანის ეფექტის ურთიერთქმედება და ზემოთ დინების მიახლოებების გამოყენების ეფექტი.

ასე რომ, ნაშრომში შემოთავაზებული ტექნოლოგია საწყის სასაზღვრო მნიშვნელობის ამოცანების დისკრეტიზაციისთვის სასრულ ბადეებზე სასრული ელემენტის/სასრული მოცულობის მეთოდის გამოყენებით ეფექტური გზაა კონსერვაციის კანონების სისტემების მიახლოებისთვის, შემუშავებულ ქარის საწინააღმდეგო სქემებს აქვთ კარგი კონვერგენციის მახასიათებლები და გამოყენება ნავიე-სტოქსის განტოლებების სისტემის დისკრეტიზაციის მეთოდები სიჩქარე-წნევის ვექტორის კომპონენტებისთვის ერთიდაიგივე რიგის ინტერპოლაციით საშუალებას გაძლევთ მიიღოთ შედეგები, რომლებიც კარგად შეესაბამება ექსპერიმენტულ მონაცემებს. გამარტივებულ ბადეებზე სასრული მოცულობის/სასრული ელემენტის მეთოდების კლასები, რომელთა ტექნოლოგიური საფუძველია ბარიცენტრული კოორდინატების მონომების ზუსტი ინტეგრაცია, არის ეფექტური მეთოდები ბლანტი შეკუმშვადი ნაკადების მოდელირებისთვის რთული სასაზღვრო გეომეტრიის მქონე ადგილებში.

1. ბელოცერკოვსკი O.M., რიცხვითი მოდელირება უწყვეტი მექანიკაში. მ.: მეცნიერება. უფროსი. რედ. ფიზიკა და მათემატიკა ლიტერატურა, 1984 წ.

2. ა.ს.ბოლდარევი, ვ.ა.გასილოვი. O. G. Olkhovskaya, ჰიპერბოლური განტოლებების ამოხსნისკენ არასტრუქტურირებულ ბადეებზე // მათემატიკური მოდელირება. 1996. T. 8, No3. გვ.51-78.

3. პ.ა.ვოინოვიჩი, დ.მ. შაროვი, უწყვეტი აირის ნაკადების მოდელირება არასტრუქტურირებულ ბადეებზე // მათემატიკური მოდელირება. 1993. T. 5. No7, გვ.86-114.

4. I. J1. გურიევა, სასრული მოცულობის მეთოდის გამოთვლითი ტექნოლოგია // დის. მეცნიერებათა კანდიდატის ხარისხის მისაღებად. ვ.-მ. მეცნიერ. ნოვოსიბირსკი 1997. - 115გვ.

5. ჟუკოვი მ.ფ., სოლონენკო ო.პ., მაღალი ტემპერატურის მტვრიანი ჭავლები ფხვნილის მასალების დამუშავებაში. ნოვოსიბირსკი IT SB RAS. 1990 წ.

6. V. P. Ilyin, გაზრდილი სიზუსტის ბალანსირებული განსხვავება სქემები არაერთგვაროვან მართკუთხა ბადეებზე. ნოვოსიბირსკი 1994. - 31 გვ (Preprint/CC SB RAS No1031).

7. ილინი ვ.პ., ტურაკულოვი ა.ა., სამგანზომილებიანი სასაზღვრო ამოცანების ინტეგრაბალანსის მიახლოებების შესახებ. ნოვოსიბირსკი, 1993. - 24გვ. - (Preprint/CC SB RAS: No. 986).

8. V. M. Kovenya, N. N. Yanenko, გაყოფის მეთოდი გაზის დინამიკის ამოცანებში. ნოვოსიბირსკი, მეცნიერება. 1989 წ.

9. ა. ლადიჟენსკაია, მათემატიკური ამოცანები ბლანტი შეკუმშვადი სითხის დინამიკაში. მ.: Tqc. გამომცემლობა ფ.-მ. განათება - 1961 წ.

10. დ.ოდენი, სასრული ელემენტები არაწრფივი კონტინიუმის მექანიკაში. მ.: მირი, 1976 წ.

11. პატანკარ ს., სითბოს გადაცემისა და სითხის დინამიკის ამოცანების გადაჭრის რიცხვითი მეთოდები. -მ.:. ენერგოატომიზდატი, 1984 წ.

12. N. Pissanetski S. მწირი მატრიცების ტექნოლოგია. მ.: მირ. 1988 წ.

13. Preparata F. Sheimos M. გამოთვლითი გეომეტრია; შესავალი. M." Mir, 1984 წ.

14. A. A. Samarsky, შესავალი განსხვავებათა სქემების თეორიაში. მ.: ნაუკა, 1971 წ.

15. ლ სეგერლინდი, სასრული ელემენტების მეთოდის გამოყენება M.: Mir. 1979 წ

16. N. K. Sukanek, R. P. Rhodes, სიმეტრიის ღერძის მდგომარეობის ფორმულირება სიმეტრიული ნაკადების რიცხვითი გამოთვლაში // Rocketry and Cosmonautics, 1978. ტ. 16. No 10). გვ 96-98.

17. R. Temam, Navier-Stokes equations, Theory and numerical ანალიზი // M.: Mir. 1981 წ.

18. K. Fletcher, რიცხვითი მეთოდები გალერკინის მეთოდზე დაფუძნებული II M.: Mir, 1991 წ.

19. დ.ში, რიცხვითი მეთოდები სითბოს გადაცემის ამოცანებში. მ. მსოფლიო, 1988 წ.

20. გ.შლიხტინგი, სასაზღვრო ფენების თეორია. მ.: უცხოური გამომცემლობა. განათებული. 1956 წ.

21. E. P. Shurina, T. V. Voitovich, სასრული ელემენტისა და სასრული მოცულობის მეთოდების ალგორითმების ანალიზი არასტრუქტურირებულ ბადეებზე ნავიე-სტოქსის განტოლებების ამოხსნისას // გამოთვლითი ტექნოლოგიები. 1997. T. 2. No4. P. 84104.

22. E. P. Shurina, O. P. Solonenko, T. V. Voitovich, სასრული მოცულობის მეთოდის ახალი ტექნოლოგია კონვექციურ-დიფუზიური ტიპის ამოცანების მარტივ ბადეებზე. ნოვოსიბირსკი 1999. -51 ე.- (Preprint/ ITAM SB RAS; No. 8-99).

23. ი.იუ.ჩუმაკოვი, „სხვადასხვა პირობების გამოყენება წნევისთვის გასასვლელის საზღვარზე კომბინირებულ ბადეებზე შეუკუმშველი სითხის რთული შიდა ნაკადების გაანგარიშებისას“, ვესტნ. ისინი ამბობენ მეცნიერები. სერ. გამოყენებითი მათემატიკა და მექანიკა. 1997. T 1. გვ 55-62.

24. N. N. Yanenko, მათემატიკური ფიზიკის მრავალგანზომილებიანი ამოცანების ამოხსნის წილადი ნაბიჯების მეთოდი. ნოვოსიბირსკი: ნაუკა, 1967 წ.

25. სასრული ელემენტების პრაიმერი. სასრული ელემენტების მეთოდებისა და სტანდარტების ეროვნული სააგენტო //NEL. გლაზგო, 1986 წ.

26. კ.აჯმანი, ვ-ფ ნგ. ᲥᲐᲚᲑᲐᲢᲝᲜᲘ. ლომი, წინასწარი კონიუგატური გრადიენტის მეთოდები ნავიერ-სტოკსის განტოლებისთვის//ჯ. გამოთვლა. ფიზ. 1994. ტ. 1 10. გვ 68-81.

27. F. Angrand, A Dervieux, ზოგიერთი აშკარა სამკუთხა სასრულ ელემენტის სქემა ეილერის განტოლებისთვის//ინტ. J.forNumer. მეთოდები სითხეებში. 1984. ტ. 4. გვ 749-764 წ.

28. P. Arminjon, A. Dervieux, TVD-Hke ხელოვნური სიბლანტის აგება ორგანზომილებიან თვითნებურ FEM ბადეებზე // J. Comput. ფიზ., 1993. ტ. 106. გვ 176-198.

29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, Experimental and theoretical research of back-facing step flow //ჯ. სითხის მექ. 1983. ტ. 127.473496.

30. ფ.ბაბუსკა, შეცდომის საზღვრები სასრული ელემენტების მეთოდებისთვის//Numer. Მათემატიკა. 1971 წ.16. გვ 322-333.

31. ბაბუსკა, B. A. Szabo, I. N. Katz, სასრული ელემენტების მეთოდის p-ვერსია // SIAM J. Numer. ანალური. 1981. ტ. 18. გვ 516-544.

32. P. Balland, E. Suli, ცვლადი კოეფიციენტებით ჰიპერბოლური ამოცანების უჯრედ-წვეროების სასრული მოცულობის მეთოდის ანალიზი // SIAM J. Numer. ანალური. 1997. ტ. 34. გვ 1127-1151 წწ.

33. R. E. Bank, B. D. Welfert, A posteriori error შეფასება სტოქსის პრობლემისთვის // SIAM J. Numer. ანალური. 1991. ტ. 28. გვ 591-623.

34. T. J. Barth, D. C. Jespersen, The design and application of upwind schemes on unstructured meshes // AIAA paper 89-0336.

35. E. Barton, A numerical study of flow over inconfined back-warding step // Int. J.ForNumer. მეთოდები სითხეებში. 1995. ტ. 21. გვ 653-665.

36. E. Barton, ლამინარული ნაკადის შესასვლელი ეფექტი უკანა საფეხურის გეომეტრიაზე // ინტ. J.forNumer. მეთოდები სითხეებში. 1995. ტ. 25. გვ 633-644.

37. ს. ბენჰარბიტი, ა. ჩალაბი, ჯ. ანალური. 1995. ტ. 32. პ 775-796 წ.

38. Z. Cai, სასრული მოცულობის ელემენტების მეთოდის შესახებ //რიცხვ. Მათემატიკა. 1991 წ. 58 P. 713735.

39. Z. Cai, S. McCormick, შედგენილ ბადეებზე დიფუზიური განტოლებების სასრული მოცულობის ელემენტის მეთოდის სიზუსტის შესახებ // SIAM J. Numer. ანალური. 1990. ტ. 27. გვ 636-655.

40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick, სასრული მოცულობის ელემენტების მეთოდი დიფუზიური განტოლებისთვის ზოგად სამკუთხედებზე // SIAM J. Numer. ანალური. 1991 წელი 28. გვ. 392402.

41. M. C. Ciccoli, ადაპტური დომენის დაშლის ალგორითმები და სასრული მოცულობა/სასრული ელემენტების მიახლოება ადვექცია-დიფუზიის განტოლებისთვის // Journal of Scientific Computing. 1996. Vol 11. P 299-341.

42. P. Chatzipantelidis, სასრული მოცულობის მეთოდი, რომელიც დაფუძნებულია Crouzeix-Raviart ელემენტზე ელიფსური PDE"-ებისთვის ორ განზომილებაში //Numer. Math. 1999, Vol. 82. P. 409-432.

43. K. H. Chen, R H. Pletcher, Primitive variable- მკაცრად იმპლიციტური გაანგარიშების პროცედურა ბლანტი ნაკადებისთვის ყველა სიჩქარით // AIAA J. 1991. ტ. 29. P1241-1249 წ.

44. S. Chou, D. Kwak, P. S. Vassilevski, Mixed Covolume მეთოდები ელიფსური ამოცანების სამკუთხა ბადეებზე // SIAM J. Numer. ანალური. 1998. ტ. 35. გვ 1850-1861 წწ.

45. Christie, D. F. Griffiths, A. R. Mitchell and O. C. Zienkiewicz, სასრული ელემენტების მეთოდები მეორე რიგის დიფერენციალური განტოლებისთვის მნიშვნელოვანი პირველი წარმოებულებით // Int. ჯ ნუმერი. მეთოდები ინგ. 1976. ტ. 10. 1389-1396 წწ.

46. ​​ჯ.-პ. Croisille, Finite Volume Box Schemes // პროკ. მეორე სტაჟიორის. სიმ. სასრულ ტომებზე კომპლექსური აპლიკაციებისთვის, 19-22 ივლისი., 1999, დუისბურგი, გერმანია. HERMES Science Publications, პარიზი, 1999 წ.

47. ვ.კოკბერნი, ფ.კოკელი. P. G. Lefloch, სასრული მოცულობის მეთოდის კონვერგენცია მრავალგანზომილებიანი კონსერვაციის კანონებისთვის // SIAM J. Numer. ანალური. 1995. ტ. 32.687-705.

48. ლ. დევიდსონი, წნევის კორექციის მეთოდი არასტრუქტურირებული ბადეებისთვის თვითნებური კონტროლის მოცულობებით // Int. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1998. ტ. 22. გვ 265-281.

49. C. Debiez, A. Dervieux, K. Meg, B. Nkonga, Computation of unsteady flows with mixed სასრული მოცულობა/სასრული ელემენტი ქარის საწინააღმდეგო მეთოდებით // Int. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1998. ტ. 27. გვ 193-206.

50. M. Delanaye, J. A. Essers, Quadratic-reconstruction Finite volume scheme for Compressible flows on unstructured adaptive grids // AIAA Journal. 1997. ტ. 35. გვ 631-639.

51. Dervieux A., Steady Euler simulation გამოყენებით unstructured meshes // VKI Lectures series. 1985. No 1884-04.

52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., სასრული ელემენტების ინტეგრაციის შესახებ ბუნებრივ კოორდინატებში // Int. ჯ ნუმერი. მეთოდები ინგ. 1973. ტ. 7. 574-575 წწ.

53. A. Fezoui, იმპლიციტური ქარის საწინააღმდეგო სქემების კლასი ეილერის სიმულაციებისთვის არასტრუქტურირებული ბადეებით//ჯ. სოტრ. ფიზ. 1989. ტ. 84. გვ 174-206.

54. C. Gallo, G. Manzini, A mixed finite element/finite volume approach for solving biodegradation transport in groundwater // Int. ჯ. ნუმერისთვის. Methods in Fluids.1998 წ. ტ. 26. გვ 533-556.

55. T. Gallouet, J. P. Vila, შერეული ტიპის კონსერვაციის კანონების სასრული მოცულობის სქემები // SIAM J. Numer. ანალური. 1991. ტ. 28. გვ 1548-1573 წწ.

56. P. M. Gresho, S. T. Chan, R. L. Lee, G. D. Upson, A modified სასრული ელემენტის მეთოდი დროზე დამოკიდებული ამოხსნისთვის. შეკუმშვადი ნავიე-სტოკსის განტოლებები. ნაწილი 2: აპლიკაციები // Int. ჯ. ნუმერისთვის. Methods in Fluids, 1984. ტ. 4. გვ 619640.

57. A. Grundmann, H. M. Moller, I-Simplex-ის ინვარიანტული ინტეგრაციის ფორმულები კომბინატონალური მეთოდებით // SIAM J. Numer. Anal 1978 წ. 15, გვ 282-290.

58. W. Hackbusch, On first and second order box schemes // Computing. 1989. ტ. 41. გვ 277-296.

59. L. P. Hackman, G. D. Raithby, A. B. Strong. ნაკადების რიცხვითი პროგნოზები უკანა საფეხურებზე // ინტ. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1984. ტ. 4. გვ 71 1-724.

60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, Int. J. for Numeric Methods in Fluids, 1997. ტ. 25. გვ 1241-1261 წწ.

61. F. H. Harlow, J. E. Welch, სითხის დროზე დამოკიდებული სიბლანტის შეუკუმშველი ნაკადის რიცხვითი გაანგარიშება თავისუფალი ზედაპირით // ფიზ. სითხეები. 1965. ტ. 8. გვ 21822189.

62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, ადაპტაციური სასრული ელემენტების მეთოდი ორგანტოლების ტურბულენტობის მოდელისთვის კედელ-შეზღუდულ ნაკადებში. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1997. ტ. 124. P 101-120.

63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, Implicit Upwind Residual-Distribution Euler and Navier-Stokes Solver on Unstructured Meshes // AIAA Journal, 1996. ტ. 34. გვ 2021-2028 წწ.

64. ჯ. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1996. ტ. 23. გვ 271-293.

65. Jianguo H., Shitong X., სასრული მოცულობითი ელემენტის მეთოდის შესახებ ზოგადი თვითმმართველობის ელიფსური ამოცანების შესახებ // SIAM .J Numer. ანალური. 1998. ტ. 35. გვ 1762-1774 წწ.

66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Unstructured Multigridding by volume agglomeration: current status // Computers Fluids, 1992 ტ. 21. გვ 397-433.

67. Y. Liu, M. Vinokur, პოლინომების ზუსტი ინტეგრაცია და სიმეტრიული კვადრატული ფორმულები თვითნებურ მრავალწახნაგა ბადეებზე // J. Comput. ფიზ. 1998. ტ. 140. გვ 122-147.

68. D. Marcum, Turbulence models for unstructured სასრულ ელემენტების გამოთვლები // Int. J.ForNumer. მეთოდები სითხეებში. 1995, ტ. 20. გვ 803-817 წ.

69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, Co-located თანაბარი რიგის კონტროლი-მოცულობის სასრული ელემენტების მეთოდი ორგანზომილებიანი ღერძული სიმეტრიული შეუკუმშველი სითხის ნაკადისთვის // Int J. For Numer. მეთოდები სითხეებში. 1994. ტ. 18. გვ 1-26.

70. S. Mattiussi, An Analysis of Finite Vol. სასრული ელემენტისა და სასრული განსხვავების მეთოდები ალგებრული ტოპოლოგიის ზოგიერთი ცნების გამოყენებით // J. Comput. ფიზ. 1997. ტ. 133. გვ 289-309.

71. დ. მავრიპლისი, ეილერის ორგანზომილებიანი განტოლებების მრავალსართულიანი ამოხსნა არასტრუქტურირებულ სამკუთხა ბადეებზე // AIAA Journal, 1988. Vol 26. P. 824-831.

72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, „სრულად შეწყვილებული სასრული მოცულობის ამონახსნები შეუკუმშვადი ნავიე-სტპკესისა და ენერგიის განტოლებების გამოყენებით არაზუსტი ნიუტონის მეთოდით“, ინტ. J. ნომრისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1994. ტ. 19. გვ 439-455.

73. Y. Murthy, S. Mathur, Periodic flow and heat transfer using ustructured meshes // Int. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1997. ტ. 25. გვ 659-677.

74. S. Muzaferija, D. Gosman, Finite-Volume CFD Procedure and Adaptive Error Control Strategy of Grids of Arbitrary Topology // J. Comput. ფიზ., 1997, ტ. 138. გვ 766-787 წ

75. P. Nithiarasu, O. C. Zienkiewlcz, V. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vazquez, Shock capturing viscosities for the general liquid mechanics algorithm // Int. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1998. ტ. 28. გვ 1325-1353 წწ.

76. K. Ohmori, T. Ushijima, ზემო დინების ტიპის ტექნიკა, რომელიც გამოიყენება კონვექციური დიფუზიის განტოლებების წრფივი არაკონფორმირებადი სასრული ელემენტების მიახლოებისას // R.A.I.R.O. ანალური. რიცხვი.

77. D. Pan, J. C. Cheng, Upwind სასრული მოცულობა Navier-Stokes Computations on Uns-structured Triangular Meshes // AIAA Journal, 1993. ტ. 31. გვ 1618-1625 წწ.

78. S. V. Potapov, A mixed FE FV algorithm in nonlinear solid dynamics // Proc. მეორე სტაჟიორის. სიმ. სასრულ მოცულობებზე კომპლექსური აპლიკაციებისთვის. 19-22 ივლისი, 1999. დუისბურგი, გერმანია. - HERMES Science Publications. პარიზი. 1999. გვ 271278.

79. C. Prakash, S. V. Patankar, საკონტროლო მოცულობაზე დაფუძნებული სასრული ელემენტების მეთოდი ნავიე-სტოქსის განტოლებების ამოხსნის თანაბარი რიგის სიჩქარე-წნევის ინტერპოლაციის გამოყენებით //Numer. Სითბოს გადაცემა. 1985. ტ. 8. გვ 259-280.

80. S. Ramadhyani, S. V. Patankar, Solution of the Poisson equation: შედარებით გალერკინის და საკონტროლო-მოცულობის მეთოდები // Int. ჯ ნუმერი. მეთოდები ინგ. 1980. ტ. 15.1395-1418 წწ.

81. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M., A staggered volume control scheme for unstructured triangular grids // Int. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1995. ტ. 25. გვ 697-717 წ.

82. P. L. Roe, მიახლოებითი რიმანის ამომხსნელები, პარამეტრის ვექტორები და განსხვავებების სქემები //! სოტრ. ფიზ. 1981. ტ. 43. გვ 357-372.

83. C. Rohde, ქარის საწინააღმდეგო სასრული მოცულობის სქემები კონსერვაციის კანონების სუსტად დაწყვილებული ჰიპერბოლური სისტემებისთვის 2D // Numer. Მათემატიკა. 1998. ტ. 81. გვ 85-123.

84. Tony W. H. Sheu, S. K. Wang, S. F. Tsai, მრავალგანზომილებიანი ადვექცია-დიფუზიის განტოლების მაღალი გარჩევადობის სქემის შემუშავება // J. Sotr. ფიზ. 1998. ტ. 144. გვ 1-16.

85. Saad Y., Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PSW Publishing Co., ბოსტონი, MA, 1995 წ.

86. V. V. K. S. Sai, O. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, ზოგადი დანიშნულება დარტყმებით მაღალსიჩქარიანი ნაკადების სპეციალური ალგორითმების წინააღმდეგ // Int. ჯ ნუმერი. მეთ. სითხეები. 1998. ტ. 27. გვ 57-80.

87. ჯ. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1988. ტ. 8. გვ 1469-1490 წწ.

88. Stoufflet-ში, გამოკვლევის გენერალიზებული ნაკადის ვექტორის გაყოფა შეკუმშვადი ნაკადებისთვის სამკუთხა ბადეებზე // Int. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1995. ტ. 20. გვ 1047-1059 წწ.

89. ბ.სტოუფლეტი. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, 3-D ჰიპერბგერითი ეილერის ნაკადების რიცხვითი სიმულაცია კოსმოსური მანქანების გარშემო ადაპტირებული სასრული ელემენტების გამოყენებით // AIAA Paper 87-0560.

90. C. Taylor, P. Hood, ნავიერ-სტოქსის განტოლებების რიცხვითი ამოხსნა სასრულ ელემენტების ტექნიკის გამოყენებით // კომპიუტერები და სითხეები. 1973. ტ. 1. გვ 73-100.

91. Thomadakis M, Leschziner M., ზეწოლა-კორექტირების მეთოდი არაკომპრესირებადი ბლანტი ნაკადების ხსნარისთვის უსტრუქტურო ბადეებზე // Int.J. ციფრული მეთოდებისთვის სითხეებში. -1996წ. ტ. 22 P 581-601.

92. A. K. Verma, V. Eswaran, გადაფარვის მოცულობა კონტროლის მიდგომა კონვექცია-დიფუზიის პრობლემებისთვის // Int. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1996. ტ. 23. გვ 865-882 წ.

93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, კომპაქტური შერეული რიგის სასრულ ელემენტზე სამგანზომილებიანი შეკუმშვადი ნავიე-სტოქსის განტოლებების ამოხსნის შესახებ // ინტ. ჯ. ნუმერისთვის. მეთოდები სითხეებში. 1997. ტ. 25. გვ 513-522.

94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, ნავიე-სტოკსის განტოლებათა თავისუფალი სასაზღვრო მდგომარეობის განხორციელება // ინტ. ჯ ნუმერი. Methods Heat and Fluid Flow, 1997. ტ.7. გვ 95-111.

95. დ. ვინტერშაიდტი, კ. ჯ ნუმერი. მეთ. სითხეები, 1994. ტ. 18. გვ 43-69.

96. A. M. Winslow, კვაზიწრფივი პუასონის განტოლების რიცხვითი ამოხსნა არაერთგვაროვანი სამკუთხედის ბადეში, J. Comput. ფიზ. 1967. ტ. 2. 149-172 წწ.

97. ა.იუნესი, რ.მოსე. პ.აკერერი. G. Chavent, შერეული სასრულ ელემენტების მეთოდის ახალი ფორმულირება ელიფსური და პარაბოლური PDE სამკუთხა ელემენტებით ამოხსნისთვის // J. Comput. ფიზ., 1999. ტ. 149. გვ 148-167.

98. პ.ჯ. Zwart, G. D. Raithby, M. J. Raw, ინტეგრირებული სივრცე-დროის სასრული მოცულობის მეთოდი და მისი გამოყენება მოძრავი საზღვრების ამოცანებზე // J. Comput. ფიზ. 1999. ტ. 154. გვ 497-519.

99. O. C. Zienkiewicz, The Finite Element Method in Engineering Science // McGraw-Hill London. 1971 წ.

100. ო.კ. Zienkiewicz, R. Codina, ზოგადი ალგორითმი შეკუმშვადი და შეკუმშვადი ნაკადისთვის. ნაწილი 1: გაყოფილი, დამახასიათებელი დაფუძნებული სქემა // Int. ჯ ნუმერი. მეთ. სითხეები. 1995. ტ. 20. გვ 869-885 წ.

101. S. M. Rhie and W. L. Chow, A numerical study of the turbulent flow past the isolated aerofoil with trailing edge separation // AIAA Paper No. 82-0998 წ. 1982 წ.

102. R. I. Issa, Solution of the implicitly discretized fluid flow equations by operator-splitting//J. გამოთვლა. ფიზ. ტ. 62. გვ 40-65.1985 წ.

103. J. Kim, S. J. Kline, J. P. Johnston, Investigation of a Reattaching Turbulent Shear Layer: Flow Over a Backward- Facing Step, Journal of Fluids Eng., Vol. 102, გვ 302-308.117. http//www.ict.nsc.ru/linpar