Costruzione di mesh per il metodo dei volumi finiti. Metodo dei volumi finiti. Dividere il volume di un cubo in volumi finiti

La soluzione numerica di problemi di fisica matematica è uno dei principali metodi per studiare i fenomeni reali. L'uso combinato di esperimenti computazionali e fisici nell'analisi di qualsiasi fenomeno consente, da un lato, di ridurre il numero di costose misurazioni sperimentali e, dall'altro, di verificare e migliorare i modelli matematici.

Con l'aumento della velocità dei sistemi informatici, vengono poste nuove esigenze sui metodi numerici per risolvere problemi di fisica matematica. Lo sviluppo e il miglioramento di metodi moderni per la discretizzazione delle leggi di conservazione, che offrono la possibilità di simulare classi di problemi sempre nuove e ottenere risultati significativamente migliori nella risoluzione di quelli noti, è un'importante area di ricerca.

I moderni algoritmi computazionali dovrebbero fornire la descrizione più accurata delle aree con geometria complessa. Ciò è possibile utilizzando mesh non ortogonali e non strutturate. Rispetto alle mesh arbitrarie non ortogonali, per le mesh simpliciali non strutturate (triangolazione nel caso bidimensionale e partizione in tetraedri nel caso tridimensionale), le condensazioni locali sono più facili da implementare (ad esempio, dietro un gradino, in una zona di restringimento improvviso, in prossimità del punto di attacco), ed anche, se necessario, adattamento della griglia di calcolo in funzione del comportamento della soluzione. Pertanto, anche quando si discretizzano le leggi di conservazione in domini geometricamente semplici che possono essere rappresentati accuratamente da una raccolta di elementi rettangolari, le mesh semplici non strutturate presentano una serie di vantaggi. Nonostante gli evidenti vantaggi delle griglie non strutturate per l’approssimazione di regioni arbitrarie e la possibilità di costruire automaticamente partizioni semplici, esse non sono state praticamente utilizzate nella fluidodinamica computazionale e solo negli ultimi 15 anni sono diventate sempre più popolari. Secondo la testimonianza di B. Stoufflett et al., la ragione di ciò è il forte aumento dei tempi di calcolo quando si passa ad approcci non strutturati. Il fatto è che la posizione degli elementi diversi da zero nelle matrici degli analoghi discreti dipende dalla contiguità dei nodi della griglia e, arbitrariamente, le matrici vengono memorizzate utilizzando formati e strutture dati universali. Le operazioni di moltiplicazione di una matrice sparsa per un vettore e di fattorizzazione incompleta diventano molto più “costose”. Allo stesso tempo, i sistemi di equazioni della fluidodinamica computazionale sono sistemi di equazioni non lineari interconnessi, i cui schemi di soluzione implicita hanno una natura iterativa multilivello, per cui ad ciascuna delle iterazioni “globali” è necessario risolvere diversi sistemi di equazioni algebriche lineari. È stato con l'avvento di potenti sistemi di calcolo, nonché grazie allo sviluppo di metodi adattivi e multigrid, che è diventato possibile utilizzare griglie non strutturate e corrispondenti schemi di discretizzazione spaziale per modellare i processi idrogasdinamici.

Il metodo di discretizzazione più comune nel caso non strutturato è il metodo degli elementi finiti (FEM). Notiamo vantaggi del metodo come la conservazione della natura simmetrica della parte autoaggiunta degli operatori differenziali nei loro analoghi discreti (questo si ottiene mediante una scelta speciale dello spazio delle funzioni di test che coincide con lo spazio delle funzioni di prova) , la possibilità di aumentare la precisione dell'approssimazione aumentando il grado di interpolazione dei polinomi della rappresentazione della soluzione locale (le cosiddette versioni p e h-p di FEM, ), naturale considerazione delle condizioni al contorno del secondo e terzo tipo. In particolare il metodo degli elementi finiti ha una base tecnologica consolidata

Metodi per approssimare i prodotti interni presupponendo una rappresentazione polinomiale a tratti della soluzione e dei parametri di un problema ai limiti, vale a dire: l'uso della decomposizione in base dello spazio degli elementi finiti corrispondente, classi di formule integrali che consentono di integrare accuratamente arbitrari prodotti di funzioni di base su elementi di partizione e bordi (facce) di elementi,

Apparato di interpolazione standard.

Le tecnologie del metodo consentono di costruire in modo semplice e uniforme analoghi discreti di problemi ai valori al contorno iniziali, con vari tipi di condizioni al contorno presupponendo un certo grado di levigatezza della soluzione e comportamento polinomiale a tratti dei coefficienti delle equazioni e condizioni al contorno , .

In una serie di applicazioni, come la modellazione di flussi di gas supersonici e transonici e i calcoli utilizzando modelli di acque poco profonde, il conservatorismo locale degli schemi utilizzati per discretizzare le leggi di conservazione è molto importante. Il metodo degli elementi finiti non consente di tracciare con soddisfacente accuratezza le caratteristiche delle soluzioni discontinue emergenti, e l'approccio tradizionale alla risoluzione di tali problemi è il metodo dei volumi finiti. Quando si discretizza un sistema di leggi di conservazione con il metodo dei volumi finiti, il dominio computazionale viene approssimato da un insieme di volumi finiti aperti, quindi il ricercatore fa un “passo indietro”, passando alla forma integrale del sistema di equazioni originale; Utilizzando la formula di Ostrogradsky-Gauss, passiamo dall'integrazione del volume all'integrale al contorno, in modo che il metodo di approssimazione dei flussi attraverso le facce dei volumi finiti determini completamente lo schema computazionale. Secondo la monografia di S. Patankar, "per la maggior parte dei ricercatori che lavorano nel campo dell'idrodinamica e del trasferimento di calore, il metodo degli elementi finiti sembra ancora avvolto nel mistero. La formulazione variazionale e persino il metodo Galerkin non si prestano a una semplice interpretazione fisica". Allo stesso tempo, gli schemi a volumi finiti hanno un certo significato fisico dell’equilibrio dei flussi e dei termini di sorgente in ciascuno dei volumi finiti che si avvicinano al dominio computazionale, il che rende il metodo dei volumi finiti più attraente. La “semplicità” di MKO è una delle ragioni della mancanza di una base tecnologica generale per il metodo.

Quindi, i vantaggi della versione classica del MKO (metodo dei volumi finiti/differenze finite, FVDM) includono il conservatorismo locale degli schemi discreti, una maggiore semplicità e chiarezza e la possibilità di tenere naturalmente conto delle condizioni al contorno del secondo tipo. Inoltre, nel caso di risoluzione di problemi con predominanza della convezione, l'implementazione di schemi di controflusso è semplificata, poiché i flussi attraverso le facce di volumi finiti sono sia quantità analizzate che approssimate.

I tentativi di sistematizzare le approssimazioni dei volumi finiti hanno portato a una parziale combinazione di tecnologie FEM e principio di integrazione su volumi finiti; i primi risalgono al lavoro di B. R. Baliga, K. Prakash e S. Patankar e sono conosciuti come metodi CVFEM (metodi agli elementi finiti basati sul volume di controllo), di seguito denominati metodi volume finito/elementi finiti (FVM/ FE). Gli autori del metodo hanno perseguito l'obiettivo di costruire schemi conservativi del metodo dei volumi finiti, utilizzando uno dei principali vantaggi del FEM: la capacità di approssimare geometrie complesse utilizzando mesh non strutturate. Le funzioni di profilo in questa classe di metodi sono “di natura ausiliaria”; non viene sottolineata l'appartenenza della soluzione a spazi ad elementi finiti. Gli insiemi baricentrici vengono utilizzati come doppia partizione.

Per la prima volta, il problema della mancanza di principi tecnologici universali del metodo dei volumi finiti/differenze finite (MKO/KR, FVDM) viene discusso nel lavoro di Z. Kaya “Sul metodo dei volumi finiti/elementi”. L'autore attira l'attenzione del lettore sulla "natura non sistematica del metodo dei volumi finiti/delle differenze finite"; Quando si approssimano sistemi di leggi di conservazione con il metodo dei volumi finiti/differenze finite, è possibile utilizzare approssimazioni di classi diverse all'interno dello stesso lavoro, il che complica notevolmente l'analisi della convergenza di tali schemi. Viene proposta una soluzione a questo problema: l'uso congiunto delle idee del metodo degli elementi finiti (ricerca di una soluzione in uno spazio di elementi finiti e utilizzo del comportamento polinomiale a tratti della soluzione per calcolare i flussi) e della forma integrale delle leggi di conservazione. Pertanto, i metodi volume finito/elemento (FME/E, “metodi box”, FVE) sono nati nel tentativo di creare “tecnologie a volume finito più sistematiche”. L'assenza di principi tecnologici generali dei metodi dei volumi finiti/delle differenze finite è notata anche nei lavori di Ya.JI. Guryeva e V.P. Ilyin.

I metodi volume finito/elementi finiti (FVE) e metodi volume finito/elementi finiti (CVFEM) utilizzano spazi di elementi finiti coerenti di funzioni lineari su simplessi e appartengono alla classe degli schemi di volume finito cella-vertice, Fig. 1, a.

Un certo numero di schemi di fluidodinamica computazionale (modellazione di flussi viscosi incomprimibili) utilizzano spazi di elementi finiti incoerenti, in particolare, lo spazio lineare di Crousey-Raviard su elementi continui ai centri dei bordi delle funzioni di test. I metodi ai volumi finiti che utilizzano spazi di elementi finiti incoerenti sono stati proposti da S. Choi e D. Kwak, studiati in numerosi lavori di altri autori (i cosiddetti metodi dei sottovolumi, metodo del covolume) e sono schemi con il calcolo delle incognite ai centri dei bordi (

Gli schemi più comuni per risolvere problemi di dinamica dei gas e modellare i disastri di origine antropica utilizzando equazioni di acque poco profonde sono schemi a volumi finiti centrati sulla cella, Fig. 1, f. La loro popolarità è dovuta al fatto che nel caso del calcolo delle incognite nei centroidi, la maggior parte degli schemi di dinamica dei gas (schemi S.K. Godunov, schemi TVD) possono essere trasferiti a reti non strutturate senza cambiamenti tecnologici fondamentali. o un dentro

Fig. 1. Posizione dei punti di calcolo rispetto ai nodi della griglia FE.

In questo lavoro si considerano principalmente classi di metodi ai volumi finiti con calcolo delle incognite ai nodi di triangolazione (MKO/E, MKO/FE) e ai centri di bordo (metodi ai sottovolumi); in futuro diremo anche “metodi ai volumi finiti che utilizzano spazi di elementi finiti”. " Queste classi di metodi, secondo numerosi studi (, ), per problemi di convezione-diffusione forniscono migliori approssimazioni alla soluzione rispetto ai metodi con il calcolo delle incognite al centro delle cellule. Uno dei motivi principali è che per i metodi sopra elencati viene preservata la continuità delle derivate prime delle funzioni di test sugli elementi della doppia mesh.

Un approccio efficace alla risoluzione dei problemi con predominanza della convezione è l'uso del metodo Galerkin con funzioni di test simmetriche per la parte autoaggiunta degli operatori differenziali e schemi MCO a monte per la loro parte asimmetrica, la cosiddetta. metodi misti elementi finiti/volume (FEM/O, MEV, metodo misto elementi/volume).

Il lavoro di tesi è dedicato, in particolare, al miglioramento delle tecnologie del metodo dei volumi finiti per le classi di metodi indicate (metodi MKO/E, MKO/CE, FEM/O, metodi a sottovolumi). Al momento, questi metodi non dispongono di tecnologie consolidate per tenere conto del comportamento polinomiale a tratti della soluzione, dei termini sorgente e dei coefficienti di trasferimento. Possiamo elencare le seguenti ragioni per l'imperfezione dell'apparato per l'esatta integrazione dei polinomi nei metodi ai volumi finiti che utilizzano spazi degli elementi finiti:

1. A differenza del metodo degli elementi finiti, il metodo dei volumi finiti non ha una versione p, poiché con l'introduzione di nodi aggiuntivi e diversi tipi di maglie doppie, il conservatorismo locale di un numero di variabili del sistema di leggi di conservazione in relazione a volumi finiti “alieni” viene violata. Pertanto, le approssimazioni sono limitate agli spazi degli elementi finiti di ordine inferiore.

2. Rispetto al metodo degli elementi finiti, i metodi ai volumi finiti sono caratterizzati da una maggiore libertà nella scelta degli spazi delle funzioni test, che in questo caso risultano essere legate alla localizzazione dei punti di calcolo delle incognite rispetto alla discretizzazione nodi (schemi con la posizione delle incognite nei nodi, punti medi dei bordi, centroidi simplex) e il metodo di costruzione di una doppia griglia (utilizzando insiemi baricentrici, ortocentrici e circocentrici). Combinato con la possibilità di utilizzare griglie collocate o sfalsate, ciò offre l'intera varietà di schemi MCM esistenti in ciascuna applicazione.

Per i metodi MCM per discretizzare le leggi di conservazione che utilizzano spazi di elementi finiti, un'attenta selezione di questi spazi per soluzioni, coefficienti di equazioni e termini sorgente perde in parte il suo significato se il metodo non ha sviluppato mezzi per tenere conto delle rappresentazioni polinomiali a tratti, in particolare , l'apparato per l'integrazione esatta di polinomi su elementi della doppia mesh, sottodomini di elementi e segmenti di bordi di confine. Di conseguenza, i risultati dei calcoli utilizzando gli schemi costruiti dovrebbero essere considerati dal punto di vista degli effetti dell'integrazione numerica, tenendo conto dei vari metodi della loro implementazione; diventa significativamente più difficile confrontare i risultati della ricerca con i lavori di altri autori, ecc.

Pertanto, questo lavoro è dedicato alla revisione delle tecnologie MCM/FEM esistenti per la costruzione di analoghi discreti di problemi di tipo convezione-diffusione.

La tecnologia per tenere conto della rappresentazione polinomiale a tratti della soluzione, dei coefficienti dell'equazione e di quelli inclusi nelle condizioni al contorno, nonché dei termini di origine nei metodi ai volumi finiti che utilizzano spazi di elementi finiti deve soddisfare i seguenti requisiti:

1) consentire combinazioni arbitrarie di rappresentazioni polinomiali di coefficienti e soluzioni su elementi di partizione, nonché aumentare il grado di interpolazione dei polinomi della rappresentazione della soluzione locale;

2) utilizzare principi unificati di approssimazione nel calcolo dei contributi degli elementi corrispondenti a vari termini dell'equazione (diffusione, convezione, termini di reazione, termini di sorgente), nonché contributi da bordi che approssimano parti di confini con diversi tipi di condizioni al contorno specificate su di essi;

3) consentire una generalizzazione omogenea al caso tridimensionale;

4) tenere conto dell'esperienza di tecnologie degli elementi finiti ben sviluppate, in particolare, dell'uso dell'espansione di base degli spazi degli elementi finiti e dei vantaggi dell'integrazione accurata delle rappresentazioni polinomiali a tratti della soluzione e dei coefficienti di trasferimento;

5) fornire una base tecnologica unificata per approssimazioni miste FEM/O che utilizzano due insiemi di funzioni di test - volume finito ed elemento finito - per approssimare un'equazione;

6) i principi della tecnologia dovrebbero rimanere invariati durante la transizione dall'uso di spazi coerenti agli elementi finiti (metodi a volumi finiti/elementi finiti con calcolo delle incognite ai nodi) all'uso di elementi finiti inconsistenti (metodi con calcolo delle incognite ai centri dei bordi di triangolazione);

7) la tecnologia può essere utilizzata per approssimare varie classi di problemi fisici.

Delle tecnologie esistenti dei metodi dei volumi finiti che utilizzano spazi degli elementi finiti (metodi volume finito/elemento finito (FVE), metodi volume finito/elemento finito (CVFEM), metodi sottovolume, metodi volume/elemento misto (MEV)), nessuna non soddisfa i requisiti di cui sopra. Pertanto, la creazione di nuove tecnologie per queste classi di metodi che utilizzano partizioni simpliciali e insiemi baricentrici come duali sembra essere un argomento di ricerca rilevante.

Nel caso di una predominanza significativa della convezione, il confronto tra vari schemi di discretizzazione MCO, nonché il confronto dei calcoli utilizzando il metodo degli elementi finiti e il metodo dei volumi finiti, si riduce in realtà al confronto dei corrispondenti schemi controvento.

I più studiati e spesso utilizzati nel caso non strutturato sono gli schemi controvento della classe dei metodi a volumi finiti con il calcolo delle variabili al centro delle celle. Nonostante i bordi degli elementi di partizione non siano paralleli agli assi coordinati, questi schemi nella maggior parte dei casi sono di natura unidimensionale, poiché si riducono a risolvere il problema del decadimento di una discontinuità sulle linee che collegano gli elementi centroidi dei simplessi. I calcoli che utilizzano tali schemi non riproducono la struttura multidimensionale del flusso e hanno una diffusione numerica eccessiva. Per costruire a monte schemi di approssimazione del secondo ordine è necessaria una significativa espansione del modello, che nel caso non strutturato porta ad una significativa complicazione delle corrispondenti strutture dati.

Gli schemi a monte per gli schemi con il calcolo delle incognite nei nodi di triangolazione e nei punti medi dei suoi bordi sono attualmente pochi (vedi). In alcuni casi, il principio di approssimazione a monte si riduce all'utilizzo di un valore di una sostanza scalare - in un nodo simplex che si trova a monte, o di due valori ponderati - alle estremità di un bordo simplex che si trova a monte. Solo uno degli schemi conosciuti, il FLO (Flow Oriented Upwind Scheme), sviluppato da K. Prakash e S. Patankar, sfrutta il calcolo delle incognite ai nodi - la capacità di costruire funzioni di profilo asimmetriche. Ma i calcoli che utilizzano questo schema sono considerati insoddisfacenti, poiché lo schema non ha la proprietà della positività e i processi iterativi spesso divergono.

La stima della diffusione numerica introdotta dall'uso di schemi upwind su griglie simpliciali è un problema a sé stante. I lavori esistenti in questa direzione, che forniscono stime teoriche delle caratteristiche di convergenza, sono limitati a una varietà di schemi per il calcolo delle variabili nei centri delle celle. Pertanto, stimare il tasso di convergenza degli schemi MCO/FE sopravento utilizzando una serie di esperimenti numerici è di particolare importanza.

Pertanto, la costruzione e l’analisi comparativa di schemi MCO/FE upwind su reti non strutturate è un argomento di ricerca attuale.

L'obiettivo del lavoro è quello di sviluppare tecnologie computazionali per metodi ai volumi finiti che utilizzano spazi di elementi finiti per approssimare problemi di tipo convettivo-diffusionale. Per raggiungere questo obiettivo sono stati formulati i seguenti obiettivi di ricerca:

1) miglioramento delle tecnologie per discretizzare sistemi di leggi di conservazione utilizzando il metodo dei volumi finiti/elementi finiti su griglie simpliciali, utilizzando partizioni baricentriche come partizioni doppie;

2) sviluppo di tecnologie per l'approssimazione di problemi di tipo convettivo-diffusionale con derivate prime significative; costruzione, implementazione e analisi comparativa di schemi upstream su reti non strutturate, in particolare, conduzione di esperimenti computazionali per valutare l'ordine di approssimazione degli schemi proposti e più accurati conosciuti, nonché confronto delle caratteristiche degli schemi upstream basati su MCE/FE e FEM;

3) creazione, sulla base delle tecnologie sviluppate, di pacchetti software che consentano di simulare adeguatamente flussi viscosi incomprimibili di liquidi e gas in aree geometricamente complesse, in casi stazionari e non stazionari.

Metodi di ricerca. Metodi di matematica computazionale. Analisi comparativa di tecnologie per l'esatta integrazione di polinomi in metodi agli elementi finiti, volumi/elementi finiti, residui distribuiti. Valutazione sperimentale della velocità di convergenza di schemi di flusso controvento per problemi con soluzione analitica. Calcoli su un insieme di partizioni di elementi finiti condensati, seguiti dall'analisi della convergenza ai dati sperimentali.

La novità scientifica del lavoro è la seguente:

1. Viene proposta una nuova tecnologia per tenere conto della rappresentazione polinomiale a tratti della soluzione, dei coefficienti di trasferimento e dei termini sorgente durante la discretizzazione di problemi ai valori al contorno iniziale utilizzando i metodi dei volumi/elementi finiti, dei volumi finiti/elementi finiti e dei sottovolumi. La tecnologia si basa sull'uso dell'espansione di base degli spazi degli elementi finiti in termini di coordinate simpliciali baricentriche, con ulteriore esatta integrazione dei loro monomi. Per gli schemi MKO/FE, MKO/E con il calcolo delle variabili ai nodi di triangolazione, vengono proposte tre classi di formule per l'esatta integrazione dei monomi delle coordinate baricentriche: su segmenti della doppia mesh in un elemento, su sottoregioni e segmenti baricentrici dei bordi di confine. Per i metodi del sottovolume che utilizzano spazi di elementi finiti incoerenti, si propone di utilizzare il principio dell'esatta integrazione delle funzioni di base e si ottengono le corrispondenti formule integrali.

2. Viene proposto un metodo per costruire schemi MCO/FE sopravento su griglie semplici, basato sull'approssimazione separata dei flussi di massa e dei valori scalari delle sostanze su segmenti della doppia griglia. Vengono introdotti i concetti di matrice locale dei coefficienti di peso di uno schema controcorrente, interna agli elementi degli schemi, e di positività locale degli schemi. È stato proposto uno schema in controflusso di classe esponenziale, e il suo analogo è stato costruito per l'MKO con il calcolo dei simplessi sconosciuti nei baricentri.

3. Sono state ottenute stime sperimentali del tasso di convergenza dello schema controvento con pesatura dei flussi di massa e dello schema di classe esponenziale proposto. Utilizzando soluzioni del tipo strato limite, la stabilità degli schemi costruiti è stata analizzata e confrontata con gli schemi FEM a monte.

4. Utilizzando le tecnologie di approssimazione proposte per problemi di tipo convezione-diffusione, è stata creata una serie di programmi per modellare flussi viscosi incomprimibili in variabili naturali di velocità-pressione e sono stati condotti numerosi esperimenti computazionali confermando l'efficacia degli schemi costruiti.

Struttura e ambito della tesi. La tesi è composta da un'introduzione, quattro capitoli, una conclusione, una bibliografia, un'appendice e contiene 173 pagine, comprese 10 tabelle e 51 figure. La bibliografia contiene 117 titoli.

Conclusione

Questo lavoro è dedicato allo sviluppo di tecnologie computazionali per metodi ai volumi finiti su griglie simpliciali, utilizzando spazi di elementi finiti e partizioni baricentriche come duali per approssimare problemi di tipo convettivo-diffuso! Il lavoro ha ottenuto i seguenti principali risultati per la difesa:

1. Viene proposta una nuova tecnologia per tenere conto della rappresentazione polinomiale a tratti della soluzione, dei coefficienti di trasferimento e dei termini sorgente durante la discretizzazione di problemi ai valori al contorno iniziale utilizzando i metodi dei volumi/elementi finiti, dei volumi finiti/elementi finiti e dei sottovolumi. La tecnologia si basa sull'uso dell'espansione di base degli spazi degli elementi finiti in termini di coordinate simpliciali baricentriche, con ulteriore esatta integrazione dei loro monomi. Per gli schemi MKO/FE, MKO/E con il calcolo delle variabili ai nodi di triangolazione, vengono proposte tre classi di formule per l'esatta integrazione dei monomi delle coordinate baricentriche: su segmenti della doppia mesh in un elemento, su sottoregioni e segmenti baricentrici dei bordi di confine. Per i metodi del sottovolume che utilizzano spazi di elementi finiti incoerenti, si propone di utilizzare il principio dell'esatta integrazione delle funzioni di base e si ottengono le corrispondenti formule integrali.

2. Viene proposto un metodo per costruire schemi MCO/FE sopravento su griglie semplici, basato sull'approssimazione separata dei flussi di massa e dei valori scalari delle sostanze su segmenti della doppia griglia. Vengono introdotti i concetti di matrice locale dei coefficienti di peso di uno schema a monte, interna agli elementi degli schemi, e di positività locale degli schemi. È stato proposto uno schema in controflusso di classe esponenziale, e il suo analogo è stato costruito per l'MKO con il calcolo dei simplessi sconosciuti nei baricentri.

3. Sono state ottenute stime sperimentali del tasso di convergenza dello schema controvento con pesatura dei flussi di massa e dello schema di classe esponenziale proposto. Utilizzando soluzioni del tipo strato limite, la stabilità degli schemi costruiti è stata analizzata e confrontata con gli schemi FEM a monte. È dimostrato che gli schemi MCO/FE completati consentono di tracciare le caratteristiche delle soluzioni dello strato limite in modo molto più accurato rispetto agli schemi del metodo Petrov-Galerkin con funzioni di base asimmetriche (polinomi di Legendre), schemi agli elementi finiti di Rice e Schnipke, così come schemi combinati di elementi finiti di un ordine di approssimazione superiore sviluppati da T. Sheu, S. Wang e S. Tsai.

4. Utilizzando gli schemi di approssimazione proposti per problemi di tipo convettivo-diffuso, è stato creato un insieme di programmi per modellare flussi viscosi incomprimibili in variabili naturali velocità-pressione, su griglie combinate, utilizzando polinomi di interpolazione di pressione e velocità dello stesso ordine; Sono stati condotti numerosi esperimenti computazionali per confermare l'efficacia dei circuiti costruiti.

5. Per un flusso di riferimento in un canale dietro un passaggio all'indietro, viene mostrata per la prima volta l'interazione tra l'effetto di input e l'effetto dell'utilizzo delle approssimazioni a monte.

Quindi, la tecnologia proposta nel lavoro per discretizzare i problemi dei valori al contorno iniziale utilizzando il metodo degli elementi finiti/volumi finiti su griglie simpliciali è un modo efficace per approssimare i sistemi di leggi di conservazione, gli schemi sviluppati controvento hanno buone caratteristiche di convergenza e l'uso di metodi di discretizzazione per un sistema di equazioni di Navier-Stokes con interpolazione dello stesso ordine per le componenti del vettore velocità-pressione consentono di ottenere risultati in buon accordo con i dati sperimentali. Classi di metodi a volumi finiti/elementi finiti su mesh semplici, la cui base tecnologica è l'esatta integrazione di monomi di coordinate baricentriche, sono metodi efficaci per modellare flussi viscosi incomprimibili in aree con geometria di confine complessa.

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