Construcción de mallas para el método de volúmenes finitos. Método de volúmenes finitos. Dividir el volumen de un cubo en volúmenes finitos

La solución numérica de problemas de física matemática es uno de los principales métodos para estudiar fenómenos reales. El uso combinado de experimentos físicos y computacionales en el análisis de cualquier fenómeno permite, por un lado, reducir el número de costosas mediciones experimentales y, por otro, verificar y mejorar los modelos matemáticos.

A medida que aumenta la velocidad de los sistemas informáticos, surgen nuevas demandas sobre los métodos numéricos para resolver problemas de física matemática. El desarrollo y mejora de métodos modernos para discretizar las leyes de conservación, que brindan la capacidad de simular clases de problemas siempre nuevos y obtener resultados significativamente mejores al resolver los conocidos, es un área importante de investigación.

Los algoritmos computacionales modernos deberían proporcionar la descripción más precisa de áreas con geometría compleja. Esto es posible utilizando mallas no ortogonales y no estructuradas. En comparación con las mallas arbitrarias no ortogonales, para las mallas simpliciales no estructuradas (triangulación en el caso bidimensional y partición en tetraedros en el caso tridimensional), las condensaciones locales son más fáciles de implementar (por ejemplo, detrás de un escalón trasero, en una zona de estrechamiento repentino, en las proximidades del punto de unión), y también, si es necesario, adaptación de la cuadrícula computacional en función del comportamiento de la solución. Por lo tanto, incluso cuando se discretizan leyes de conservación en dominios geométricamente simples que pueden representarse con precisión mediante una colección de elementos rectangulares, las mallas simpliciales no estructuradas tienen una serie de ventajas. A pesar de las ventajas obvias de las cuadrículas no estructuradas para aproximar regiones arbitrarias y la posibilidad de construir automáticamente particiones simpliciales, prácticamente no se han utilizado en dinámica de fluidos computacional y solo en los últimos 15 años se han vuelto cada vez más populares. Según B. Stoufflett et al., la razón de esto es el rápido aumento del tiempo de cálculo al pasar a enfoques no estructurados. El hecho es que la posición de los elementos distintos de cero en las matrices de análogos discretos depende de la contigüidad de los nodos de la cuadrícula y, de manera arbitraria, las matrices se almacenan utilizando formatos y estructuras de datos universales. Las operaciones de multiplicar una matriz dispersa por un vector y la factorización incompleta se vuelven mucho más "caras". Al mismo tiempo, los sistemas de ecuaciones de dinámica de fluidos computacional son sistemas de ecuaciones no lineales interconectados, cuyos esquemas de solución implícitos tienen una naturaleza iterativa de múltiples niveles, de modo que en cada una de las iteraciones "globales" es necesario resolver varios sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. Fue con la llegada de potentes sistemas informáticos, así como gracias al desarrollo de métodos adaptativos y multirredes, que fue posible utilizar redes no estructuradas y los correspondientes esquemas de discretización espacial para modelar procesos hidrogasdinámicos.

El método de discretización más común en el caso no estructurado es el método de elementos finitos (FEM). Observemos ventajas del método como la preservación de la naturaleza simétrica de la parte autoadjunta de los operadores diferenciales en sus análogos discretos (esto se logra mediante una elección especial del espacio de funciones de prueba que coincide con el espacio de funciones de prueba) , la posibilidad de aumentar la precisión de la aproximación aumentando el grado de interpolación de los polinomios de la representación de la solución local (las llamadas versiones p y h-p de FEM, ), consideración natural de las condiciones de contorno del segundo y tercer tipo. El método de los elementos finitos tiene una base tecnológica establecida, en particular

Métodos para aproximar productos internos bajo el supuesto de una representación polinómica por partes de la solución y parámetros de un problema de valores en la frontera, a saber: el uso de la expansión de bases del correspondiente espacio de elementos finitos, clases de fórmulas integrales que permiten una integración precisa de productos arbitrarios de funciones de base sobre elementos de partición y bordes (caras) de elementos,

Aparato de interpolación estándar.

Las tecnologías del método permiten construir de manera simple y uniforme análogos discretos de problemas de valores de frontera iniciales, con varios tipos de condiciones de frontera bajo el supuesto de un cierto grado de suavidad de la solución y un comportamiento polinomial por partes de los coeficientes de las ecuaciones y condiciones de borde , .

En una serie de aplicaciones, como el modelado de flujos de gas supersónicos y transónicos y los cálculos utilizando modelos de aguas poco profundas, el conservadurismo local de los esquemas utilizados para discretizar las leyes de conservación es muy importante. El método de los elementos finitos no permite rastrear con precisión satisfactoria las características de las soluciones discontinuas emergentes, y el enfoque tradicional para resolver tales problemas es el método del volumen finito. Al discretizar un sistema de leyes de conservación por el método de volúmenes finitos, el dominio computacional se aproxima mediante un conjunto de volúmenes finitos abiertos, luego el investigador da un “paso atrás”, pasando a la forma integral del sistema de ecuaciones original; Usando la fórmula de Ostrogradsky-Gauss, pasamos de la integración de volumen a la integral de frontera, de modo que el método de aproximación de flujos a través de las caras de volúmenes finitos determina completamente el esquema computacional. Según la monografía de S. Patankar, "para la mayoría de los investigadores que trabajan en el campo de la hidrodinámica y la transferencia de calor, el método de los elementos finitos todavía parece envuelto en un misterio. La formulación variacional e incluso el método de Galerkin no se prestan a una interpretación física simple". Al mismo tiempo, los esquemas de volúmenes finitos tienen un cierto significado físico del equilibrio de flujos y términos fuente en cada uno de los volúmenes finitos que se aproximan al dominio computacional, lo que hace que el método de volúmenes finitos sea más atractivo. La "simplicidad" de MKO es una de las razones de la falta de una base tecnológica general para el método.

Así, las ventajas de la versión clásica del MKO (método de volúmenes finitos/diferencias finitas, FVDM) incluyen el conservadurismo local de los esquemas discretos, una mayor simplicidad y claridad, y la posibilidad de tener en cuenta de forma natural las condiciones de contorno del segundo tipo. Además, en el caso de resolver problemas con predominio de la convección, se simplifica la implementación de esquemas de contraflujo, ya que se analizan y aproximan los flujos por las caras de volúmenes finitos.

Los intentos de sistematizar aproximaciones de volúmenes finitos llevaron a una combinación parcial de tecnologías FEM y el principio de integración sobre volúmenes finitos; Los primeros de ellos se remontan al trabajo de B. R. Baliga, K. Prakash y S. Patankar y se conocen como métodos CVFEM (métodos de elementos finitos basados ​​en volumen de control), en adelante denominados métodos de volumen finito/elementos finitos (FVM/ FE). Los autores del método persiguieron el objetivo de construir esquemas conservadores del método de volúmenes finitos, utilizando una de las principales ventajas del MEF: la capacidad de aproximar geometrías complejas utilizando mallas no estructuradas. Las funciones de perfil en esta clase de métodos son “de naturaleza auxiliar”, no se enfatiza la pertenencia de la solución a espacios de elementos finitos. Los conjuntos baricéntricos se utilizan como partición dual.

Por primera vez, el problema de la falta de principios tecnológicos universales del método de volúmenes finitos/diferencias finitas (MKO/KR, FVDM) se analiza en el trabajo de Z. Kaya “Sobre el método de volúmenes finitos/elementos”. El autor llama la atención del lector sobre la "naturaleza no sistemática del método del volumen finito/diferencias finitas"; Al aproximar sistemas de leyes de conservación mediante el método de volumen finito/diferencias finitas, se pueden utilizar aproximaciones de diferentes clases dentro de un mismo trabajo, lo que complica significativamente el análisis de la convergencia de tales esquemas. Se propone una solución a este problema: el uso conjunto de las ideas del método de los elementos finitos (buscar una solución en algún espacio de elementos finitos y utilizar el comportamiento polinómico por partes de la solución para calcular los flujos) y la forma integral de las leyes de conservación. Así, los métodos de volumen/elemento finito (FME/E, “métodos de caja”, FVE) surgieron en un intento de crear “tecnologías de volumen finito más sistemáticas”. La ausencia de principios tecnológicos generales de los métodos de volumen finito/diferencias finitas también se observa en los trabajos de Ya.JI. Guryeva y V. P. Ilyin.

Los métodos de volumen finito/elementos finitos (FVE) y los métodos de volumen finito/elementos finitos (CVFEM) utilizan espacios de elementos finitos consistentes de funciones lineales en símplex y pertenecen a la clase de esquemas de volumen finito de vértice de celda, Fig. 1, a.

Varios esquemas de dinámica de fluidos computacional (modelado de flujos viscosos e incompresibles) utilizan espacios de elementos finitos inconsistentes, en particular, el espacio de Crousey-Raviard lineal sobre elementos continuos en los centros de los bordes de las funciones de prueba. Los métodos de volumen finito que utilizan espacios de elementos finitos inconsistentes fueron propuestos por S. Choi y D. Kwak, estudiados en varios trabajos de otros autores (los llamados métodos de subvolumen, método de covolumen) y son esquemas con el cálculo de incógnitas en los centros. de bordes (

Los esquemas más comunes para resolver problemas de dinámica de gases y modelar desastres antropogénicos utilizando ecuaciones de aguas poco profundas son los esquemas de volumen finito centrados en celdas, Fig. 1, f. Su popularidad se debe al hecho de que en el caso del cálculo de incógnitas en los centroides, la mayoría de los esquemas de dinámica de gases (esquemas de S.K. Godunov, esquemas TVD) pueden transferirse a redes no estructuradas sin cambios tecnológicos fundamentales. o un en

Figura 1. Ubicación de los puntos de cálculo en relación con los nodos de la cuadrícula FE.

Este trabajo considera principalmente clases de métodos de volúmenes finitos con el cálculo de incógnitas en nodos de triangulación (MKO/E, MKO/FE) y centros de borde (métodos de subvolumen); en el futuro también diremos "métodos de volúmenes finitos que utilizan espacios de elementos finitos". " Estas clases de métodos, según varios estudios (, ), para problemas de convección-difusión proporcionan mejores aproximaciones a la solución que los métodos con cálculo de incógnitas en los centros de las celdas. Una de las razones principales es que para los métodos enumerados anteriormente, se preserva la continuidad de las primeras derivadas de las funciones de prueba en los elementos de la malla dual.

Un enfoque eficaz para resolver problemas con predominio de convección es el uso del método Galerkin con funciones de prueba simétricas para la parte autoadjunta de los operadores diferenciales y esquemas MCO ascendentes para su parte asimétrica, la llamada. Métodos mixtos de elementos finitos/volumen (FEM/O, MEV, método mixto de elementos/volumen).

El trabajo de tesis está dedicado, en particular, a mejorar las tecnologías del método de volúmenes finitos para las clases de métodos indicadas (MKO/E, MKO/CE, FEM/O, métodos de subvolumen). Por el momento, estos métodos no cuentan con tecnologías establecidas para tener en cuenta el comportamiento polinómico por partes de la solución, los términos fuente y los coeficientes de transferencia. Podemos enumerar las siguientes razones de la imperfección del aparato para la integración exacta de polinomios en métodos de volúmenes finitos utilizando espacios de elementos finitos:

1. A diferencia del método de elementos finitos, el método de volúmenes finitos no tiene una versión p, ya que con la introducción de nodos adicionales y varios tipos de mallas duales, el conservadurismo local de una serie de variables del sistema de leyes de conservación en relación a volúmenes finitos “ajenos” se viola. Por tanto, las aproximaciones se limitan a espacios de elementos finitos de orden inferior.

2. En comparación con el método de elementos finitos, los métodos de volúmenes finitos se caracterizan por una mayor libertad en la elección de los espacios de las funciones de prueba, que en este caso resultan estar relacionados con la ubicación de los puntos de cálculo de las incógnitas en relación con la discretización. nodos (esquemas con la ubicación de las incógnitas en nodos, puntos medios de aristas, centroides simples) y el método de construcción de una cuadrícula dual (usando conjuntos baricéntricos, ortocéntricos y circuncéntricos). Combinado con la capacidad de utilizar cuadrículas colocadas o escalonadas, esto brinda la variedad completa de esquemas MCM existentes en cada aplicación.

Para los métodos MCM para discretizar leyes de conservación que utilizan espacios de elementos finitos, una selección cuidadosa de estos espacios para la solución, los coeficientes de las ecuaciones y los términos fuente pierde parcialmente su significado si el método no ha desarrollado medios para tener en cuenta las representaciones polinómicas por partes, en particular , el aparato para la integración exacta de polinomios sobre elementos de la malla dual, subdominios de elementos y segmentos de bordes de borde. Como consecuencia, los resultados de los cálculos utilizando los esquemas construidos deben considerarse desde el punto de vista de los efectos de la integración numérica, teniendo en cuenta varios métodos de su implementación; se vuelve mucho más difícil comparar los resultados de la investigación con los trabajos de otros autores, etc.

Por lo tanto, este trabajo está dedicado a la revisión de tecnologías MCM/FEM existentes para la construcción de análogos discretos de problemas de tipo convección-difusión.

La tecnología para tener en cuenta la representación polinómica por partes de la solución, los coeficientes de la ecuación y los incluidos en las condiciones de contorno, así como los términos fuente en métodos de volúmenes finitos que utilizan espacios de elementos finitos debe cumplir los siguientes requisitos:

1) permitir combinaciones arbitrarias de representaciones polinómicas de coeficientes y soluciones en elementos de partición, así como aumentar el grado de interpolación de polinomios de la representación de la solución local;

2) utilizar principios unificados de aproximación al calcular las contribuciones de elementos correspondientes a varios términos de la ecuación (difusión, convectiva, términos de reacción, términos fuente), así como contribuciones de aristas que aproximan partes de límites con diferentes tipos de condiciones de contorno especificadas en ellos;

3) permitir una generalización homogénea al caso tridimensional;

4) tener en cuenta la experiencia de tecnologías de elementos finitos bien desarrolladas, en particular, el uso de la expansión de bases de espacios de elementos finitos y las ventajas de integrar con precisión representaciones polinómicas por partes de la solución y coeficientes de transferencia;

5) proporcionar una base tecnológica unificada para aproximaciones FEM/O mixtas que utilizan dos conjuntos de funciones de prueba (volumen finito y elemento finito) para aproximar una ecuación;

6) los principios de la tecnología deben permanecer sin cambios durante la transición del uso de espacios de elementos finitos consistentes (métodos de volumen finito/elementos finitos con cálculo de incógnitas en los nodos) al uso de elementos finitos inconsistentes (métodos con cálculo de incógnitas en los centros de aristas de triangulación);

7) la tecnología se puede utilizar para aproximar varias clases de problemas físicos.

De las tecnologías existentes de métodos de volumen finito que utilizan espacios de elementos finitos (métodos de volumen/elementos finitos (FVE), métodos de volumen finito/elementos finitos (CVFEM), métodos de subvolumen, métodos de volumen/elementos mixtos (MEV)), ninguna no cumple los requisitos anteriores. Por lo tanto, la creación de nuevas tecnologías para estas clases de métodos que utilizan particiones simpliciales y conjuntos baricéntricos como duales parece ser un tema de investigación relevante.

En el caso de un predominio significativo de la convección, la comparación de varios esquemas de discretización de MCO, así como la comparación de los cálculos utilizando el método de elementos finitos y el método de volúmenes finitos, en realidad se reduce a una comparación de los esquemas correspondientes en contra del viento.

Los más estudiados y utilizados con frecuencia en el caso no estructurado son los esquemas contra el viento de la clase de métodos de volumen finito con el cálculo de variables en los centros de las celdas. A pesar de que los bordes de los elementos de partición no son paralelos a los ejes de coordenadas, estos esquemas en la mayoría de los casos son de naturaleza unidimensional, ya que se reducen a resolver el problema de la descomposición de una discontinuidad en las líneas que conectan los centroides de símplex. Los cálculos que utilizan tales esquemas no reproducen la estructura multidimensional del flujo y tienen una difusión numérica excesiva. Para construir esquemas de aproximación de segundo orden ascendentes es necesaria una expansión significativa de la plantilla, lo que en el caso no estructurado conduce a una complicación significativa de las estructuras de datos correspondientes.

Los esquemas anteriores para los esquemas con el cálculo de incógnitas en los nodos de triangulación y los puntos medios de sus bordes son actualmente pocos (ver). En algunos casos, el principio de aproximación ascendente se reduce a utilizar un valor de una sustancia escalar (en un nodo simplex que se encuentra aguas arriba, o dos valores ponderados) en los extremos de un borde simplex que se encuentra aguas arriba. Sólo uno de los esquemas conocidos, el FLO (Flow Oriented Upwind Scheme), desarrollado por K. Prakash y S. Patankar, aprovecha el cálculo de incógnitas en los nodos: la capacidad de construir funciones de perfil asimétricas. Pero los cálculos que utilizan este esquema se consideran insatisfactorios, ya que el esquema no tiene la propiedad de ser positivo y los procesos iterativos a menudo divergen.

Estimar la difusión numérica introducida por el uso de esquemas contra el viento en cuadrículas simples es un problema en sí mismo. Los trabajos existentes en esta dirección, que proporcionan estimaciones teóricas de las características de convergencia, se limitan a una variedad de esquemas para calcular variables en los centros de celdas. Por lo tanto, es de particular importancia estimar la tasa de convergencia de los esquemas MCO/FE a barlovento utilizando una serie de experimentos numéricos.

Por lo tanto, la construcción y el análisis comparativo de esquemas MCO/FE a barlovento en redes no estructuradas es un tema de investigación actual.

El objetivo del trabajo es desarrollar tecnologías computacionales para métodos de volúmenes finitos utilizando espacios de elementos finitos para aproximar problemas de tipo convectivo-difusión. Para lograr este objetivo, se formularon los siguientes objetivos de investigación:

1) mejora de tecnologías para discretizar sistemas de leyes de conservación utilizando el método de volumen finito/elementos finitos sobre mallas simpliciales, utilizando particiones baricéntricas como particiones duales;

2) desarrollo de tecnologías para la aproximación de problemas de tipo convectivo-difusión con primeras derivadas significativas; construcción, implementación y análisis comparativo de esquemas upstream en redes no estructuradas, en particular, realización de experimentos computacionales para evaluar el orden de aproximación de los esquemas propuestos y conocidos más precisos, así como comparación de las características de los esquemas upstream basados ​​en MCE/FE y MEF;

3) creación, a partir de las tecnologías desarrolladas, de paquetes de software que permitan simular adecuadamente flujos viscosos e incompresibles de líquidos y gases en áreas geométricamente complejas, en casos estacionarios y no estacionarios.

Métodos de búsqueda. Métodos de matemáticas computacionales. Análisis comparativo de tecnologías para la integración exacta de polinomios en métodos de elementos finitos, volúmenes/elementos finitos, residuos distribuidos. Evaluación experimental de la tasa de convergencia de esquemas de flujo a barlovento para problemas con solución analítica. Cálculos sobre un conjunto de particiones condensadas de elementos finitos, seguidos de análisis de convergencia a datos experimentales.

La novedad científica del trabajo es la siguiente:

1. Se propone una nueva tecnología para tener en cuenta la representación polinómica por partes de la solución, los coeficientes de transferencia y los términos fuente al discretizar problemas con valores de frontera inicial utilizando los métodos de volúmenes/elementos finitos, volúmenes/elementos finitos y subvolúmenes. La tecnología se basa en el uso de la expansión básica de espacios de elementos finitos en términos de coordenadas baricéntricas simpliciales, con una mayor integración exacta de sus monomios. Para los esquemas MKO/FE, MKO/E con cálculo de variables en nodos de triangulación, se proponen tres clases de fórmulas para la integración exacta de monomios de coordenadas baricéntricas: sobre segmentos de la malla dual en un elemento, sobre subregiones y segmentos baricéntricos de bordes limítrofes. Para los métodos de subvolumen que utilizan espacios de elementos finitos inconsistentes, se propone utilizar el principio de integración exacta de funciones básicas y se obtienen las fórmulas integrales correspondientes.

2. Se propone un método para construir esquemas MCO/FE a barlovento en cuadrículas simples, basado en la aproximación separada de flujos de masa y valores de sustancias escalares en segmentos de la cuadrícula dual. Se introducen los conceptos de matriz local de coeficientes de peso de un esquema contracorriente, interna a los elementos de los esquemas, y positividad local de los esquemas. Se ha propuesto un esquema de contraflujo de clase exponencial y se ha construido su análogo para el MKO con el cálculo de símplex desconocidos en baricentros.

3. Se obtuvieron estimaciones experimentales de la tasa de convergencia del esquema de ceñida con ponderación de flujos másicos y el esquema de clases exponencial propuesto. Utilizando soluciones del tipo capa límite, se analizó la estabilidad de los esquemas construidos y se comparó con los esquemas FEM aguas arriba.

4. Utilizando las tecnologías de aproximación propuestas para problemas de tipo convección-difusión, se creó un conjunto de programas para modelar flujos viscosos incompresibles en variables naturales de velocidad-presión y se llevaron a cabo una serie de experimentos computacionales que confirmaron la efectividad de los esquemas construidos.

Estructura y alcance de la tesis. La disertación consta de una introducción, cuatro capítulos, una conclusión, una lista de referencias, un apéndice y contiene 173 páginas, incluidas 10 tablas y 51 figuras. La bibliografía contiene 117 títulos.

Conclusión

Este trabajo está dedicado al desarrollo de tecnologías computacionales para métodos de volúmenes finitos en mallas simpliciales, utilizando espacios de elementos finitos y particiones baricéntricas como duales para aproximar problemas de tipo convectivo-difusión. El trabajo obtuvo los siguientes resultados principales para la defensa:

1. Se propone una nueva tecnología para tener en cuenta la representación polinómica por partes de la solución, los coeficientes de transferencia y los términos fuente al discretizar problemas con valores de frontera inicial utilizando los métodos de volúmenes/elementos finitos, volúmenes/elementos finitos y subvolúmenes. La tecnología se basa en el uso de la expansión básica de espacios de elementos finitos en términos de coordenadas baricéntricas simpliciales, con una mayor integración exacta de sus monomios. Para los esquemas MKO/FE, MKO/E con cálculo de variables en nodos de triangulación, se proponen tres clases de fórmulas para la integración exacta de monomios de coordenadas baricéntricas: sobre segmentos de la malla dual en un elemento, sobre subregiones y segmentos baricéntricos de bordes limítrofes. Para los métodos de subvolumen que utilizan espacios de elementos finitos inconsistentes, se propone utilizar el principio de integración exacta de funciones básicas y se obtienen las fórmulas integrales correspondientes.

2. Se propone un método para construir esquemas MCO/FE a barlovento en cuadrículas simples, basado en la aproximación separada de flujos de masa y valores de sustancias escalares en segmentos de la cuadrícula dual. Se introducen los conceptos de matriz local de coeficientes de peso de un esquema ascendente, interna a los elementos de los esquemas, y positividad local de los esquemas. Se ha propuesto un esquema de contraflujo de clase exponencial y se ha construido su análogo para el MKO con el cálculo de símplex desconocidos en baricentros.

3. Se obtuvieron estimaciones experimentales de la tasa de convergencia del esquema de contraflujo con ponderación de flujos másicos y el esquema de clases exponencial propuesto. Utilizando soluciones del tipo capa límite, se analizó la estabilidad de los esquemas construidos y se comparó con los esquemas FEM aguas arriba. Se muestra que los esquemas MCO/FE completos permiten rastrear las características de las soluciones de la capa límite con mucha más precisión que los esquemas del método de Petrov-Galerkin con funciones de base asimétricas (polinomios de Legendre), los esquemas de elementos finitos de Rice y Schnipke, así como esquemas combinados de elementos finitos de orden superior de aproximación desarrollados por T. Sheu, S. Wang y S. Tsai.

4. Utilizando los esquemas de aproximación propuestos para problemas de tipo convección-difusión, se creó un conjunto de programas para modelar flujos viscosos incompresibles en variables naturales velocidad-presión, en mallas combinadas, utilizando polinomios de interpolación de presión y velocidad del mismo orden; Se llevaron a cabo una serie de experimentos computacionales para confirmar la efectividad de los circuitos construidos.

5. Para un flujo de referencia en un canal detrás de un paso hacia atrás, se muestra por primera vez la interacción del efecto de entrada y el efecto de usar aproximaciones aguas arriba.

Por lo tanto, la tecnología propuesta en el trabajo para discretizar problemas de valores de frontera inicial utilizando el método de elemento finito/volumen finito en cuadrículas simpliciales es una forma efectiva de aproximar sistemas de leyes de conservación; los esquemas desarrollados contra el viento tienen buenas características de convergencia y el uso de Los métodos de discretización para un sistema de ecuaciones de Navier-Stokes con el mismo orden de interpolación para los componentes del vector velocidad-presión permiten obtener resultados que concuerdan bien con los datos experimentales. Las clases de métodos de volumen finito/elementos finitos sobre mallas simpliciales, cuya base tecnológica es la integración exacta de monomios de coordenadas baricéntricas, son métodos eficaces para modelar flujos viscosos incompresibles en áreas con geometría de límites compleja.

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