Κατασκευή ματιών για τη μέθοδο πεπερασμένου όγκου. Μέθοδος πεπερασμένου όγκου. Διαίρεση του όγκου ενός κύβου σε πεπερασμένους όγκους

Η αριθμητική επίλυση προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής είναι μια από τις κύριες μεθόδους για τη μελέτη πραγματικών φαινομένων. Η συνδυασμένη χρήση υπολογιστικών και φυσικών πειραμάτων στην ανάλυση οποιουδήποτε φαινομένου επιτρέπει, αφενός, τη μείωση του αριθμού των δαπανηρών πειραματικών μετρήσεων και, αφετέρου, την επαλήθευση και τη βελτίωση των μαθηματικών μοντέλων.

Καθώς η ταχύτητα των υπολογιστικών συστημάτων αυξάνεται, δημιουργούνται νέες απαιτήσεις σε αριθμητικές μεθόδους για την επίλυση προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής. Η ανάπτυξη και η βελτίωση σύγχρονων μεθόδων για τη διακριτοποίηση των νόμων διατήρησης, που παρέχουν τη δυνατότητα προσομοίωσης ολοένα και νέων κατηγοριών προβλημάτων και λήψης σημαντικά καλύτερων αποτελεσμάτων κατά την επίλυση γνωστών, είναι ένας σημαντικός τομέας έρευνας.

Οι σύγχρονοι υπολογιστικοί αλγόριθμοι θα πρέπει να παρέχουν την πιο ακριβή περιγραφή περιοχών με πολύπλοκη γεωμετρία. Αυτό είναι δυνατό χρησιμοποιώντας μη ορθογώνια και αδόμητα πλέγματα. Σε σύγκριση με αυθαίρετα μη ορθογώνια πλέγματα, για αδόμητα απλά πλέγματα (τριγωνισμός στη δισδιάστατη περίπτωση και διαχωρισμός σε τετράεδρα στην τρισδιάστατη θήκη), οι τοπικές συμπυκνώσεις είναι πιο εύκολο να εφαρμοστούν (για παράδειγμα, πίσω από ένα πίσω βήμα, σε μια ζώνη αιφνίδιου στένωση, κοντά στο σημείο προσάρτησης), και επίσης, εάν είναι απαραίτητο, προσαρμογή του υπολογιστικού πλέγματος ανάλογα με τη συμπεριφορά της λύσης. Έτσι, ακόμη και κατά τη διακριτοποίηση νόμων διατήρησης σε γεωμετρικά απλούς τομείς που μπορούν να αναπαρασταθούν με ακρίβεια από μια συλλογή ορθογώνιων στοιχείων, τα αδόμητα απλά πλέγματα έχουν πολλά πλεονεκτήματα. Παρά τα προφανή πλεονεκτήματα των μη δομημένων δικτύων για την προσέγγιση αυθαίρετων περιοχών και τη δυνατότητα αυτόματης κατασκευής απλών κατατμήσεων, πρακτικά δεν έχουν χρησιμοποιηθεί στην υπολογιστική ρευστοδυναμική και μόνο τα τελευταία 15 χρόνια έχουν γίνει όλο και πιο δημοφιλή. Σύμφωνα με τη μαρτυρία των B. Stoufflett et al., ο λόγος για αυτό είναι ο απότομα αυξανόμενος χρόνος υπολογισμού κατά τη μετάβαση σε μη δομημένες προσεγγίσεις. Το γεγονός είναι ότι η θέση των μη μηδενικών στοιχείων στους πίνακες των διακριτών αναλόγων εξαρτάται από τη γειτνίαση των κόμβων του πλέγματος και αυθαίρετα, οι πίνακες αποθηκεύονται χρησιμοποιώντας καθολικές μορφές και δομές δεδομένων. Οι πράξεις πολλαπλασιασμού ενός αραιού πίνακα με ένα διάνυσμα και η ατελής παραγοντοποίηση γίνονται πολύ πιο «ακριβές». Ταυτόχρονα, τα συστήματα υπολογιστικών εξισώσεων δυναμικής ρευστών είναι διασυνδεδεμένα μη γραμμικά συστήματα εξισώσεων, των οποίων τα σιωπηρά σχήματα λύσεων έχουν επαναληπτικό χαρακτήρα πολλαπλών επιπέδων, έτσι ώστε σε καθεμία από τις «καθολικές» επαναλήψεις είναι απαραίτητο να λυθούν πολλά συστήματα γραμμικές αλγεβρικές εξισώσεις. Με την εμφάνιση ισχυρών υπολογιστικών συστημάτων, καθώς και χάρη στην ανάπτυξη προσαρμοστικών και πολυδικτύων μεθόδων, κατέστη δυνατή η χρήση μη δομημένων δικτύων και αντίστοιχων σχημάτων χωρικής διακριτοποίησης για τη μοντελοποίηση υδρο-αεριοδυναμικών διεργασιών.

Η πιο κοινή μέθοδος διακριτοποίησης στην αδόμητη περίπτωση είναι η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (FEM). Ας σημειώσουμε τέτοια πλεονεκτήματα της μεθόδου όπως η διατήρηση της συμμετρικής φύσης του αυτοσυνδεόμενου τμήματος των διαφορικών τελεστών στα διακριτά ανάλογα τους (αυτό επιτυγχάνεται με μια ειδική επιλογή του χώρου των δοκιμαστικών συναρτήσεων που συμπίπτει με τον χώρο των δοκιμαστικών συναρτήσεων) , τη δυνατότητα αύξησης της ακρίβειας της προσέγγισης με αύξηση του βαθμού παρεμβολής πολυωνύμων της τοπικής αναπαράστασης λύσης (οι λεγόμενες εκδόσεις p και h-p του FEM, ), φυσική θεώρηση των συνοριακών συνθηκών δεύτερου και τρίτου είδους. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων έχει μια καθιερωμένη τεχνολογική βάση, ειδικότερα

Μέθοδοι προσέγγισης εσωτερικών προϊόντων με την υπόθεση μιας τμηματικής πολυωνυμικής αναπαράστασης της λύσης και των παραμέτρων ενός προβλήματος οριακής τιμής, συγκεκριμένα: η χρήση της αποσύνθεσης βάσης του αντίστοιχου χώρου πεπερασμένων στοιχείων, κατηγορίες ολοκληρωτικών τύπων που καθιστούν δυνατή την ακριβή ολοκλήρωση αυθαίρετων προϊόντα των συναρτήσεων βάσης πάνω από στοιχεία διαχωρισμού και ακμές (όψεις) στοιχείων,

Τυπική συσκευή παρεμβολής.

Οι τεχνολογίες της μεθόδου καθιστούν δυνατή την απλή και ομοιόμορφη κατασκευή διακριτών αναλόγων προβλημάτων αρχικής οριακής τιμής, με διάφορους τύπους συνοριακών συνθηκών υπό την παραδοχή ορισμένου βαθμού ομαλότητας της λύσης και τμηματικής πολυωνυμικής συμπεριφοράς των συντελεστών των εξισώσεων και οριακές συνθήκες, .

Σε ορισμένες εφαρμογές, όπως η μοντελοποίηση υπερηχητικών και υπερηχητικών ροών αερίων και υπολογισμοί με χρήση μοντέλων ρηχών υδάτων, ο τοπικός συντηρητισμός των σχημάτων που χρησιμοποιούνται για τη διακριτοποίηση των νόμων διατήρησης είναι πολύ σημαντικός. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων δεν επιτρέπει σε κάποιον να εντοπίσει με ικανοποιητική ακρίβεια τα χαρακτηριστικά των αναδυόμενων ασυνεχών λύσεων και η παραδοσιακή προσέγγιση για την επίλυση τέτοιων προβλημάτων είναι η μέθοδος πεπερασμένου όγκου. Κατά τη διακριτοποίηση ενός συστήματος νόμων διατήρησης με τη μέθοδο του πεπερασμένου όγκου, ο υπολογιστικός τομέας προσεγγίζεται με ένα σύνολο ανοικτών πεπερασμένων όγκων, στη συνέχεια ο ερευνητής κάνει ένα «βήμα πίσω», μεταβαίνοντας στην ολοκληρωμένη μορφή του αρχικού συστήματος εξισώσεων. Χρησιμοποιώντας τον τύπο Ostrogradsky-Gauss, περνάμε από την ολοκλήρωση όγκου στο οριακό ολοκλήρωμα, έτσι ώστε η μέθοδος προσέγγισης των ροών μέσω των όψεων των πεπερασμένων όγκων να καθορίζει πλήρως το υπολογιστικό σχήμα. Σύμφωνα με τη μονογραφία του S. Patankar, "για τους περισσότερους ερευνητές που εργάζονται στον τομέα της υδροδυναμικής και της μεταφοράς θερμότητας, η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων φαίνεται ακόμα να καλύπτεται από μυστήριο. Η μεταβλητή διατύπωση και ακόμη και η μέθοδος Galerkin δεν προσφέρονται για απλή φυσική ερμηνεία." Ταυτόχρονα, τα σχήματα πεπερασμένου όγκου έχουν μια ορισμένη φυσική σημασία της ισορροπίας των ροών και των όρων πηγής σε κάθε έναν από τους πεπερασμένους όγκους που προσεγγίζουν τον υπολογιστικό τομέα, γεγονός που καθιστά τη μέθοδο πεπερασμένου όγκου πιο ελκυστική. Η «απλότητα» της MKO είναι ένας από τους λόγους για την έλλειψη μιας γενικής τεχνολογικής βάσης για τη μέθοδο.

Έτσι, τα πλεονεκτήματα της κλασικής έκδοσης του MKO (μέθοδος πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένης διαφοράς, FVDM) περιλαμβάνουν τον τοπικό συντηρητισμό διακριτών σχημάτων, μεγαλύτερη απλότητα και σαφήνεια και τη δυνατότητα να λαμβάνονται φυσικά υπόψη οι οριακές συνθήκες του δεύτερου είδους. Επιπλέον, στην περίπτωση επίλυσης προβλημάτων με υπεροχή της συναγωγής, η υλοποίηση των σχημάτων αντίστροφης ροής απλοποιείται, καθώς οι ροές μέσω των επιφανειών πεπερασμένων όγκων αναλύονται και προσεγγίζονται μεγέθη.

Οι προσπάθειες συστηματοποίησης των προσεγγίσεων πεπερασμένου όγκου οδήγησαν σε ένα μερικό συνδυασμό τεχνολογιών FEM και της αρχής της ολοκλήρωσης σε πεπερασμένους όγκους. Οι παλαιότερες από αυτές ανάγονται στο έργο των B. R. Baliga, K. Prakash και S. Patankar και είναι γνωστές ως μέθοδοι CVFEM (μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων με βάση τον όγκο ελέγχου), εφεξής αναφερόμενες ως μέθοδοι πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένων στοιχείων (FVM/ FE). Οι συγγραφείς της μεθόδου επιδίωξαν τον στόχο της κατασκευής συντηρητικών σχημάτων της μεθόδου πεπερασμένου όγκου, χρησιμοποιώντας ένα από τα κύρια πλεονεκτήματα του FEM - την ικανότητα προσέγγισης πολύπλοκων γεωμετριών χρησιμοποιώντας αδόμητα πλέγματα. Οι συναρτήσεις προφίλ σε αυτήν την κατηγορία μεθόδων είναι «βοηθητικής φύσης»· δεν τονίζεται η υπαγωγή της λύσης σε χώρους πεπερασμένων στοιχείων. Τα βαρυκεντρικά σύνολα χρησιμοποιούνται ως διπλή κατάτμηση.

Για πρώτη φορά, το πρόβλημα της έλλειψης καθολικών τεχνολογικών αρχών της μεθόδου πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένης διαφοράς (MKO/KR, FVDM) συζητείται στην εργασία του Ζ. Καγιά «Σχετικά με τη μέθοδο πεπερασμένου όγκου/στοιχείου». Ο συγγραφέας εφιστά την προσοχή του αναγνώστη στη «μη συστηματική φύση της μεθόδου πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένης διαφοράς». Κατά την προσέγγιση συστημάτων νόμων διατήρησης με τη μέθοδο πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένης διαφοράς, μπορούν να χρησιμοποιηθούν προσεγγίσεις διαφορετικών κατηγοριών στο ίδιο έργο, γεγονός που περιπλέκει σημαντικά την ανάλυση της σύγκλισης τέτοιων σχημάτων. Προτείνεται μια λύση σε αυτό το πρόβλημα - η κοινή χρήση των ιδεών της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων (αναζήτηση λύσης σε κάποιο χώρο πεπερασμένων στοιχείων και χρήση της τμηματικής πολυωνυμικής συμπεριφοράς της λύσης για τον υπολογισμό των ροών) και της ολοκληρωμένης μορφής νόμων διατήρησης. Έτσι, προέκυψαν μέθοδοι πεπερασμένου όγκου/στοιχείου (FME/E, «μέθοδοι κουτιού», FVE) σε μια προσπάθεια δημιουργίας «πιο συστηματικών τεχνολογιών πεπερασμένου όγκου». Η απουσία γενικών τεχνολογικών αρχών των μεθόδων πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένης διαφοράς σημειώνεται επίσης στα έργα του Ya. JI. Guryeva και V.P. Ilyin.

Οι μέθοδοι πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένων στοιχείων (FVE) και οι μέθοδοι πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένων στοιχείων (CVFEM) χρησιμοποιούν συνεπείς χώρους πεπερασμένων στοιχείων συναρτήσεων γραμμικών σε απλούς και ανήκουν στην κατηγορία των σχημάτων πεπερασμένου όγκου κυψέλης-κορυφής, Εικ. 1, α.

Ένας αριθμός υπολογιστικών σχημάτων δυναμικής ρευστών (μοντελοποίηση ιξωδών ασυμπίεστων ροών) χρησιμοποιεί ασυνεπείς χώρους πεπερασμένων στοιχείων, ειδικότερα, ο χώρος Crousey-Raviard γραμμικός σε στοιχεία συνεχόμενα στα κέντρα των άκρων των συναρτήσεων δοκιμής. Μέθοδοι πεπερασμένου όγκου που χρησιμοποιούν ασυνεπείς χώρους πεπερασμένων στοιχείων προτάθηκαν από τους S. Choi και D. Kwak, μελετήθηκαν σε μια σειρά έργων άλλων συγγραφέων (οι λεγόμενες μέθοδοι υποόγκων, μέθοδος συνόγκων) και είναι σχήματα με τον υπολογισμό αγνώστων στα κέντρα των άκρων (

Τα πιο κοινά σχήματα για την επίλυση προβλημάτων δυναμικής αερίων και τη μοντελοποίηση ανθρωπογενών καταστροφών με χρήση εξισώσεων ρηχών υδάτων είναι κυτταροκεντρικά σχήματα πεπερασμένου όγκου, Εικ. 1, στ. Η δημοτικότητά τους οφείλεται στο γεγονός ότι στην περίπτωση υπολογισμού αγνώστων σε κεντροειδή, τα περισσότερα σχήματα δυναμικής αερίων (σχήματα S.K. Godunov, σχήματα TVD) μπορούν να μεταφερθούν σε μη δομημένα δίκτυα χωρίς θεμελιώδεις τεχνολογικές αλλαγές. o a in

Εικ.1. Θέση των σημείων υπολογισμού σε σχέση με τους κόμβους δικτύου FE.

Αυτή η εργασία εξετάζει κυρίως κατηγορίες μεθόδων πεπερασμένου όγκου με υπολογισμό αγνώστων σε κόμβους τριγωνισμού (MKO/E, MKO/FE) και κέντρα ακμών (μέθοδοι υποόγκων)· στο μέλλον θα λέμε επίσης «μέθοδοι πεπερασμένου όγκου που χρησιμοποιούν χώρους πεπερασμένων στοιχείων. ” Αυτές οι κατηγορίες μεθόδων, σύμφωνα με έναν αριθμό μελετών (, ), για προβλήματα μεταφοράς-διάχυσης παρέχουν καλύτερες προσεγγίσεις στη λύση από τις μεθόδους με τον υπολογισμό αγνώστων στα κέντρα των κυττάρων. Ένας από τους κύριους λόγους είναι ότι για τις μεθόδους που αναφέρονται παραπάνω, διατηρείται η συνέχεια των πρώτων παραγώγων συναρτήσεων δοκιμής στα στοιχεία του διπλού πλέγματος.

Μια αποτελεσματική προσέγγιση για την επίλυση προβλημάτων με υπεροχή της συναγωγής είναι η χρήση της μεθόδου Galerkin με συμμετρικές συναρτήσεις δοκιμής για το αυτοσυνδεόμενο τμήμα των διαφορικών τελεστών και τα ανοδικά σχήματα MCO για το ασύμμετρο μέρος τους, το λεγόμενο. μέθοδοι μικτών πεπερασμένων στοιχείων/όγκου (FEM/O, MEV, μέθοδος μικτού στοιχείου/όγκου).

Η εργασία της διατριβής είναι αφιερωμένη, ειδικότερα, στη βελτίωση των τεχνολογιών της μεθόδου πεπερασμένου όγκου για τις υποδεικνυόμενες κατηγορίες μεθόδων (MKO/E, MKO/CE, FEM/O, μέθοδοι υποτόμου). Προς το παρόν, αυτές οι μέθοδοι δεν διαθέτουν καθιερωμένες τεχνολογίες για τη συνεκτίμηση της τμηματικής πολυωνυμικής συμπεριφοράς της λύσης, τους όρους πηγής και τους συντελεστές μεταφοράς. Μπορούμε να απαριθμήσουμε τους ακόλουθους λόγους για την ατέλεια της συσκευής για την ακριβή ολοκλήρωση πολυωνύμων σε μεθόδους πεπερασμένου όγκου χρησιμοποιώντας χώρους πεπερασμένων στοιχείων:

1. Σε αντίθεση με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων, η μέθοδος πεπερασμένου όγκου δεν έχει p-έκδοση, καθώς με την εισαγωγή πρόσθετων κόμβων και αρκετών τύπων διπλών ματιών, ο τοπικός συντηρητισμός ορισμένων μεταβλητών του συστήματος των νόμων διατήρησης σε σχέση στους «εξωγήινους» πεπερασμένους όγκους παραβιάζεται. Έτσι, οι προσεγγίσεις περιορίζονται σε χώρους πεπερασμένων στοιχείων χαμηλότερης τάξης.

2. Σε σύγκριση με τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων, οι μέθοδοι πεπερασμένου όγκου χαρακτηρίζονται από μεγαλύτερη ελευθερία στην επιλογή των χώρων των συναρτήσεων δοκιμής, που σε αυτή την περίπτωση αποδεικνύεται ότι σχετίζονται με τη θέση των σημείων υπολογισμού των αγνώστων σε σχέση με τη διακριτοποίηση κόμβους (σχήματα με τη θέση των αγνώστων σε κόμβους, μεσαία σημεία ακμών, κεντροειδή απλούς) και τη μέθοδο κατασκευής ενός διπλού πλέγματος (χρησιμοποιώντας βαρυκεντρικά, ορθοκεντρικά, κυκλικά σύνολα). Σε συνδυασμό με τη δυνατότητα χρήσης συγκεντρωμένων ή κλιμακωτών δικτύων, αυτό δίνει την πλήρη ποικιλία των υπαρχόντων σχημάτων MCM σε κάθε εφαρμογή.

Για μεθόδους MCM για διακριτοποίηση νόμων διατήρησης που χρησιμοποιούν χώρους πεπερασμένων στοιχείων, μια προσεκτική επιλογή αυτών των χώρων για λύση, συντελεστές εξισώσεων και όρους πηγής χάνει εν μέρει το νόημά της εάν η μέθοδος δεν έχει αναπτύξει μέσα για να λαμβάνει υπόψη τμηματικές πολυωνυμικές αναπαραστάσεις, ιδίως , η συσκευή για την ακριβή ενσωμάτωση πολυωνύμων σε στοιχεία του διπλού πλέγματος, υποτομείς στοιχείων και τμήματα ακμών περιγράμματος. Κατά συνέπεια, τα αποτελέσματα των υπολογισμών που χρησιμοποιούν τα κατασκευασμένα σχήματα θα πρέπει να εξετάζονται από την άποψη των επιπτώσεων της αριθμητικής ολοκλήρωσης, λαμβάνοντας υπόψη διάφορες μεθόδους εφαρμογής τους. καθίσταται σημαντικά πιο δύσκολη η σύγκριση των αποτελεσμάτων της έρευνας με τα έργα άλλων συγγραφέων κ.λπ.

Έτσι, αυτή η εργασία είναι αφιερωμένη στην αναθεώρηση των υπαρχουσών τεχνολογιών MCM/FEM για την κατασκευή διακριτών αναλόγων προβλημάτων τύπου συναγωγής-διάχυσης.

Η τεχνολογία για τη συνεκτίμηση της τμηματικής πολυωνυμικής αναπαράστασης της λύσης, των συντελεστών της εξίσωσης και αυτών που περιλαμβάνονται στις οριακές συνθήκες, καθώς και των όρων πηγής σε μεθόδους πεπερασμένου όγκου που χρησιμοποιούν χώρους πεπερασμένων στοιχείων πρέπει να ικανοποιεί τις ακόλουθες απαιτήσεις:

1) επιτρέπουν αυθαίρετους συνδυασμούς πολυωνυμικών αναπαραστάσεων συντελεστών και λύσεων σε στοιχεία διαμερίσματος, καθώς και αύξηση του βαθμού παρεμβολής πολυωνύμων της τοπικής αναπαράστασης λύσης.

2) χρησιμοποιήστε ενοποιημένες αρχές προσέγγισης κατά τον υπολογισμό των συνεισφορών στοιχείων που αντιστοιχούν σε διάφορους όρους της εξίσωσης (διάχυση, συναγωγή, όροι αντίδρασης, όροι πηγής), καθώς και συνεισφορές από ακμές που προσεγγίζουν τμήματα ορίων με διαφορετικούς τύπους οριακών συνθηκών που καθορίζονται σε αυτους;

3) επιτρέψτε μια ομοιογενή γενίκευση στην τρισδιάστατη περίπτωση.

4) να λάβει υπόψη την εμπειρία των καλά ανεπτυγμένων τεχνολογιών πεπερασμένων στοιχείων, ιδίως τη χρήση της επέκτασης βάσης χώρων πεπερασμένων στοιχείων και τα πλεονεκτήματα της ακριβούς ολοκλήρωσης τμηματικών πολυωνυμικών αναπαραστάσεων της λύσης και των συντελεστών μεταφοράς.

5) παρέχει μια ενοποιημένη τεχνολογική βάση για μικτές προσεγγίσεις FEM/O που χρησιμοποιούν δύο σετ συναρτήσεων δοκιμής - πεπερασμένο όγκο και πεπερασμένο στοιχείο - για την προσέγγιση μιας εξίσωσης.

6) οι αρχές της τεχνολογίας θα πρέπει να παραμείνουν αμετάβλητες κατά τη μετάβαση από τη χρήση σταθερών χώρων πεπερασμένων στοιχείων (μέθοδοι πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένων στοιχείων με υπολογισμό αγνώστων σε κόμβους) στη χρήση ασυνεπών πεπερασμένων στοιχείων (μέθοδοι υπολογισμού αγνώστων στα κέντρα των ακμών τριγωνισμού).

7) η τεχνολογία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσέγγιση διαφόρων κατηγοριών φυσικών προβλημάτων.

Από τις υπάρχουσες τεχνολογίες μεθόδων πεπερασμένου όγκου που χρησιμοποιούν χώρους πεπερασμένων στοιχείων (μέθοδοι πεπερασμένου όγκου/στοιχείων (FVE), μέθοδοι πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένων στοιχείων (CVFEM), μέθοδοι υποόγκου, μέθοδοι μικτού όγκου/στοιχείων (MEV)), καμία δεν πληροί τις παραπάνω απαιτήσεις. Έτσι, η δημιουργία νέων τεχνολογιών για αυτές τις κατηγορίες μεθόδων που χρησιμοποιούν απλές κατατμήσεις και βαρυκεντρικά σύνολα ως διπλά φαίνεται να είναι ένα σχετικό ερευνητικό θέμα.

Στην περίπτωση σημαντικής υπεροχής της συναγωγής, η σύγκριση των διαφόρων σχημάτων διακριτοποίησης MCO, καθώς και η σύγκριση των υπολογισμών με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων και τη μέθοδο πεπερασμένου όγκου, καταλήγουν στην πραγματικότητα σε σύγκριση των αντίστοιχων σχημάτων αντίθετου ανέμου.

Τα πιο μελετημένα και συχνά χρησιμοποιούμενα στην αδόμητη περίπτωση είναι τα σχήματα αντίθετου ανέμου της κατηγορίας των μεθόδων πεπερασμένου όγκου με τον υπολογισμό των μεταβλητών στα κέντρα των κελιών. Παρά το γεγονός ότι οι άκρες των στοιχείων διαχωρισμού δεν είναι παράλληλες με τους άξονες συντεταγμένων, αυτά τα σχήματα στις περισσότερες περιπτώσεις είναι μονοδιάστατης φύσης, καθώς καταλήγουν στην επίλυση του προβλήματος της διάσπασης μιας ασυνέχειας στις γραμμές που συνδέουν το κεντροειδή απλών. Οι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν τέτοια σχήματα δεν αναπαράγουν την πολυδιάστατη δομή της ροής και έχουν υπερβολική αριθμητική διάχυση. Για την κατασκευή σχημάτων προσέγγισης ανάντη δεύτερης τάξης, είναι απαραίτητη μια σημαντική επέκταση του προτύπου, η οποία στην μη δομημένη περίπτωση οδηγεί σε σημαντική περιπλοκή των αντίστοιχων δομών δεδομένων.

Τα ανοδικά σχήματα για σχήματα με τον υπολογισμό των αγνώστων στους κόμβους τριγωνοποίησης και τα μέσα των άκρων του είναι επί του παρόντος λίγα σε αριθμό (βλ.). Σε ορισμένες περιπτώσεις, η αρχή της ανάντη προσέγγισης καταλήγει στη χρήση μιας τιμής μιας βαθμωτής ουσίας - σε έναν κόμβο απλού που βρίσκεται ανάντη, ή δύο σταθμισμένες τιμές - στα άκρα μιας ακμής απλού που βρίσκεται ανάντη. Μόνο ένα από τα γνωστά σχήματα, το FLO (Flow Oriented Upwind Scheme), που αναπτύχθηκε από τους K. Prakash και S. Patankar, εκμεταλλεύεται τον υπολογισμό των αγνώστων στους κόμβους - τη δυνατότητα κατασκευής ασύμμετρων συναρτήσεων προφίλ. Αλλά οι υπολογισμοί που χρησιμοποιούν αυτό το σχήμα θεωρούνται μη ικανοποιητικοί, καθώς το σχήμα δεν έχει την ιδιότητα της θετικότητας και οι επαναληπτικές διαδικασίες συχνά αποκλίνουν.

Η εκτίμηση της αριθμητικής διάχυσης που εισάγεται από τη χρήση σχημάτων αντίθετου ανέμου σε απλά πλέγματα είναι ένα πρόβλημα από μόνο του. Οι υπάρχουσες εργασίες προς αυτή την κατεύθυνση, παρέχοντας θεωρητικές εκτιμήσεις των χαρακτηριστικών σύγκλισης, περιορίζονται σε μια ποικιλία σχημάτων για τον υπολογισμό των μεταβλητών στα κέντρα των κελιών. Ως εκ τούτου, η εκτίμηση του ρυθμού σύγκλισης των σχημάτων MCO/FE ανά τον αέρα με χρήση μιας σειράς αριθμητικών πειραμάτων έχει ιδιαίτερη σημασία.

Έτσι, η κατασκευή και η συγκριτική ανάλυση των σχημάτων MCO/FE ανά τον αέρα σε μη δομημένα δίκτυα είναι ένα τρέχον θέμα έρευνας.

Στόχος της εργασίας είναι η ανάπτυξη υπολογιστικών τεχνολογιών για μεθόδους πεπερασμένου όγκου χρησιμοποιώντας χώρους πεπερασμένων στοιχείων για την προσέγγιση προβλημάτων τύπου συναγωγής-διάχυσης. Για την επίτευξη αυτού του στόχου διαμορφώθηκαν οι ακόλουθοι ερευνητικοί στόχοι:

1) βελτίωση τεχνολογιών για τη διακριτοποίηση συστημάτων νόμων διατήρησης χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένων στοιχείων σε απλά πλέγματα, χρησιμοποιώντας βαρυκεντρικά διαμερίσματα ως διπλά διαμερίσματα.

2) ανάπτυξη τεχνολογιών για την προσέγγιση προβλημάτων τύπου συναγωγής διάχυσης με σημαντικές πρώτες παραγώγους. κατασκευή, υλοποίηση και συγκριτική ανάλυση ανάντη σχημάτων σε αδόμητα δίκτυα, ιδίως διεξαγωγή υπολογιστικών πειραμάτων για την αξιολόγηση της σειράς προσέγγισης των προτεινόμενων και πιο ακριβών γνωστών σχημάτων, καθώς και σύγκριση των χαρακτηριστικών των ανάντη σχημάτων που βασίζονται σε MCE/FE και FEM;

3) δημιουργία, με βάση τις ανεπτυγμένες τεχνολογίες, πακέτων λογισμικού που καθιστούν δυνατή την επαρκή προσομοίωση ιξωδών ασυμπίεστων ροών υγρών και αερίων σε γεωμετρικά πολύπλοκες περιοχές, σε σταθερές και μη στάσιμες περιπτώσεις.

Ερευνητικές μέθοδοι. Μέθοδοι υπολογιστικών μαθηματικών. Συγκριτική ανάλυση τεχνολογιών για ακριβή ολοκλήρωση πολυωνύμων σε μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων, πεπερασμένους όγκους/στοιχεία, κατανεμημένα υπολείμματα. Πειραματική εκτίμηση του ρυθμού σύγκλισης σχημάτων ροής αντίθετου ανέμου για προβλήματα με αναλυτική λύση. Υπολογισμοί σε ένα σύνολο συμπυκνωμένων κατατμήσεων πεπερασμένων στοιχείων, ακολουθούμενοι από ανάλυση σύγκλισης σε πειραματικά δεδομένα.

Η επιστημονική καινοτομία της εργασίας είναι η εξής:

1. Προτείνεται μια νέα τεχνολογία για τη λήψη υπόψη της τμηματικής πολυωνυμικής αναπαράστασης της λύσης, των συντελεστών μεταφοράς και των όρων πηγής κατά τη διακριτοποίηση προβλημάτων αρχικής οριακής τιμής χρησιμοποιώντας τις μεθόδους πεπερασμένων όγκων/στοιχείων, πεπερασμένων όγκων/πεπερασμένων στοιχείων και υποόγκων. Η τεχνολογία βασίζεται στη χρήση της βασικής επέκτασης χώρων πεπερασμένων στοιχείων ως προς τις βαρυκεντρικές απλές συντεταγμένες, με περαιτέρω ακριβή ενσωμάτωση των μονοωνύμων τους. Για τα σχήματα MKO/FE, MKO/E με τον υπολογισμό μεταβλητών σε κόμβους τριγωνισμού, προτείνονται τρεις κατηγορίες τύπων για την ακριβή ενσωμάτωση μονοωνύμων βαρυκεντρικών συντεταγμένων: πάνω από τμήματα του διπλού πλέγματος σε ένα στοιχείο, πάνω από βαρυκεντρικές υποπεριοχές και τμήματα των οριακών άκρων. Για μεθόδους υποόγκου που χρησιμοποιούν ασυνεπείς χώρους πεπερασμένων στοιχείων, προτείνεται η χρήση της αρχής της ακριβούς ολοκλήρωσης των συναρτήσεων βάσης και λαμβάνονται οι αντίστοιχοι ολοκληρωτικοί τύποι.

2. Προτείνεται μια μέθοδος για την κατασκευή σχημάτων MCO/FE αντίθετου ανέμου σε απλά πλέγματα, με βάση τη χωριστή προσέγγιση των ροών μάζας και των βαθμωτών τιμών ουσίας σε τμήματα του διπλού πλέγματος. Εισάγονται οι έννοιες μιας τοπικής μήτρας συντελεστών βάρους ενός σχήματος αντίθετου ρεύματος, εσωτερικού στα στοιχεία των σχημάτων και τοπικής θετικότητας των σχημάτων. Έχει προταθεί ένα σχήμα αντιροής εκθετικής κλάσης και το ανάλογό του έχει κατασκευαστεί για το MKO με τον υπολογισμό άγνωστων απλών σε βαρύκεντρα.

3. Λήφθηκαν πειραματικές εκτιμήσεις του ρυθμού σύγκλισης του συστήματος αντίθετου ανέμου με ζύγιση ροών μάζας και του προτεινόμενου σχήματος εκθετικής τάξης. Χρησιμοποιώντας λύσεις του τύπου οριακής στρώσης, αναλύθηκε η σταθερότητα των κατασκευασμένων σχημάτων και συγκρίθηκε με τα ανάντη σχήματα FEM.

4. Χρησιμοποιώντας τις προτεινόμενες τεχνολογίες προσέγγισης για προβλήματα τύπου συναγωγής-διάχυσης, δημιουργήθηκε ένα σύνολο προγραμμάτων για τη μοντελοποίηση ιξωδών ασυμπίεστων ροών σε μεταβλητές φυσικής ταχύτητας-πίεσης και πραγματοποιήθηκε ένας αριθμός υπολογιστικών πειραμάτων που επιβεβαίωσαν την αποτελεσματικότητα των κατασκευασμένων σχημάτων.

Δομή και αντικείμενο της διπλωματικής εργασίας. Η διατριβή αποτελείται από μια εισαγωγή, τέσσερα κεφάλαια, ένα συμπέρασμα, έναν κατάλογο παραπομπών, ένα παράρτημα και περιέχει 173 σελίδες, συμπεριλαμβανομένων 10 πινάκων και 51 σχημάτων. Η βιβλιογραφία περιέχει 117 τίτλους.

συμπέρασμα

Αυτή η εργασία είναι αφιερωμένη στην ανάπτυξη υπολογιστικών τεχνολογιών για μεθόδους πεπερασμένου όγκου σε απλά πλέγματα, χρησιμοποιώντας χώρους πεπερασμένων στοιχείων και βαρυκεντρικά χωρίσματα ως διπλά για την προσέγγιση προβλημάτων τύπου συναγωγής διάχυσης! Η εργασία έλαβε τα ακόλουθα κύρια αποτελέσματα για την άμυνα:

1. Προτείνεται μια νέα τεχνολογία για τη λήψη υπόψη της τμηματικής πολυωνυμικής αναπαράστασης της λύσης, των συντελεστών μεταφοράς και των όρων πηγής κατά τη διακριτοποίηση προβλημάτων αρχικής οριακής τιμής χρησιμοποιώντας τις μεθόδους πεπερασμένων όγκων/στοιχείων, πεπερασμένων όγκων/πεπερασμένων στοιχείων και υποόγκων. Η τεχνολογία βασίζεται στη χρήση της βασικής επέκτασης χώρων πεπερασμένων στοιχείων ως προς τις βαρυκεντρικές απλές συντεταγμένες, με περαιτέρω ακριβή ενσωμάτωση των μονοωνύμων τους. Για τα σχήματα MKO/FE, MKO/E με τον υπολογισμό μεταβλητών σε κόμβους τριγωνισμού, προτείνονται τρεις κατηγορίες τύπων για την ακριβή ενσωμάτωση μονοωνύμων βαρυκεντρικών συντεταγμένων: πάνω από τμήματα του διπλού πλέγματος σε ένα στοιχείο, πάνω από βαρυκεντρικές υποπεριοχές και τμήματα των οριακών άκρων. Για μεθόδους υποόγκου που χρησιμοποιούν ασυνεπείς χώρους πεπερασμένων στοιχείων, προτείνεται η χρήση της αρχής της ακριβούς ολοκλήρωσης των συναρτήσεων βάσης και λαμβάνονται οι αντίστοιχοι ολοκληρωτικοί τύποι.

2. Προτείνεται μια μέθοδος για την κατασκευή σχημάτων MCO/FE αντίθετου ανέμου σε απλά πλέγματα, με βάση τη χωριστή προσέγγιση των ροών μάζας και των βαθμωτών τιμών ουσίας σε τμήματα του διπλού πλέγματος. Εισάγονται οι έννοιες μιας τοπικής μήτρας συντελεστών βάρους ενός ανάντη σχήματος, εσωτερικού στα στοιχεία των σχημάτων και τοπικής θετικότητας των σχημάτων. Έχει προταθεί ένα σχήμα αντιροής εκθετικής κλάσης και το ανάλογό του έχει κατασκευαστεί για το MKO με τον υπολογισμό άγνωστων απλών σε βαρύκεντρα.

3. Λήφθηκαν πειραματικές εκτιμήσεις του ρυθμού σύγκλισης του συστήματος αντίθετου ανέμου με ζύγιση ροών μάζας και του προτεινόμενου σχήματος εκθετικής τάξης. Χρησιμοποιώντας λύσεις του τύπου οριακής στρώσης, αναλύθηκε η σταθερότητα των κατασκευασμένων σχημάτων και συγκρίθηκε με τα ανάντη σχήματα FEM. Αποδεικνύεται ότι τα ολοκληρωμένα σχήματα MCO/FE καθιστούν δυνατή την παρακολούθηση των χαρακτηριστικών των λύσεων οριακών επιπέδων με πολύ μεγαλύτερη ακρίβεια από τα σχήματα της μεθόδου Petrov-Galerkin με ασύμμετρες συναρτήσεις βάσης (πολυώνυμα Legendre), σχήματα πεπερασμένων στοιχείων Rice και Schnipke, καθώς και συνδυασμένα σχήματα πεπερασμένων στοιχείων υψηλότερης τάξης προσέγγισης που αναπτύχθηκαν από τους T. Sheu, S. Wang και S. Tsai.

4. Χρησιμοποιώντας τα προτεινόμενα σχήματα προσέγγισης για προβλήματα τύπου συναγωγής διάχυσης, δημιουργήθηκε ένα σύνολο προγραμμάτων για τη μοντελοποίηση ιξωδών ασυμπίεστων ροών σε φυσικές μεταβλητές ταχύτητας-πίεσης, σε συνδυασμένα πλέγματα, χρησιμοποιώντας πολυώνυμα παρεμβολής πίεσης και ταχύτητας ίδιας τάξης. Πραγματοποιήθηκε ένας αριθμός υπολογιστικών πειραμάτων για να επιβεβαιωθεί η αποτελεσματικότητα των κατασκευασμένων κυκλωμάτων.

5. Για μια ροή αναφοράς σε ένα κανάλι πίσω από ένα βήμα προς τα πίσω, εμφανίζεται για πρώτη φορά η αλληλεπίδραση του φαινομένου εισόδου και της επίδρασης της χρήσης προσεγγίσεων ανάντη.

Έτσι, η τεχνολογία που προτείνεται στην εργασία για τη διακριτοποίηση προβλημάτων αρχικής οριακής τιμής χρησιμοποιώντας τη μέθοδο πεπερασμένων στοιχείων/πεπερασμένου όγκου σε απλά πλέγματα είναι ένας αποτελεσματικός τρόπος προσέγγισης συστημάτων νόμων διατήρησης, τα αναπτυγμένα σχήματα αντίθετου ανέμου έχουν καλά χαρακτηριστικά σύγκλισης και η χρήση μέθοδοι διακριτοποίησης για ένα σύστημα εξισώσεων Navier-Stokes με παρεμβολή ίδιας τάξης για τις συνιστώσες του διανύσματος ταχύτητας-πίεσης επιτρέπει σε κάποιον να αποκτήσει αποτελέσματα που συμφωνούν καλά με τα πειραματικά δεδομένα. Κατηγορίες μεθόδων πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένων στοιχείων σε απλά πλέγματα, η τεχνολογική βάση των οποίων είναι η ακριβής ενσωμάτωση μονωνύμων βαρυκεντρικών συντεταγμένων, είναι αποτελεσματικές μέθοδοι για τη μοντελοποίηση ιξωδών ασυμπίεστων ροών σε περιοχές με σύνθετη γεωμετρία ορίων.

1. Belotserkovsky O.M., Numerical modeling in continuum mechanics. Μ.: Επιστήμη. Κεφάλι. εκδ. φυσική και μαθηματικά λογοτεχνία, 1984.

2. A. S. Boldarev, V. A. Gasilov. O. G. Olkhovskaya, Προς τη λύση υπερβολικών εξισώσεων σε μη δομημένα πλέγματα // Μαθηματική μοντελοποίηση. 1996. Τ. 8, αρ. 3. σελ. 51-78.

3. P. A. Voinovich, D. M. Sharov, Μοντελοποίηση ασυνεχών ροών αερίων σε μη δομημένα πλέγματα // Μαθηματική Μοντελοποίηση. 1993. Τ. 5. Νο. 7, σσ. 86-114.

4. Ι. J1. Guryeva, Υπολογιστική τεχνολογία της μεθόδου πεπερασμένου όγκου // Dis. για το πτυχίο Υποψήφιων Επιστημών. στ.-μ. Sci. Νοβοσιμπίρσκ 1997. - 115 σελ.

5. Zhukov M.F., Solonenko O.P., Υψηλής θερμοκρασίας σκονισμένοι πίδακες στην επεξεργασία υλικών πούδρας. Νοβοσιμπίρσκ IT SB RAS. 1990.

6. V. P. Ilyin, Ισορροπημένα σχήματα διαφοράς αυξημένης ακρίβειας σε μη ομοιόμορφα ορθογώνια πλέγματα. Νοβοσιμπίρσκ 1994. - 31 σ. (Preprint/CC SB RAS No. 1031).

7. Ilyin V.P., Turakulov A.A., On integro-balance approximations of three-dimensional border value Problems. Novosibirsk, 1993. - 24 σελ. - (Προεκτύπωση/CC SB RAS: Αρ. 986).

8. V. M. Kovenya, N. N. Yanenko, Μέθοδος διαχωρισμού σε προβλήματα δυναμικής αερίων. Novosibirsk, Επιστήμη. 1989.

9. A. Ladyzhenskaya, Μαθηματικά προβλήματα στη δυναμική του ιξώδους ασυμπίεστου ρευστού. Μ.: Tqc. εκδοτικός οίκος στ.-μ. ανάβ.- 1961.

10. D. Oden, Πεπερασμένα στοιχεία στη μη γραμμική μηχανική συνεχούς. Μ.: Μιρ, 1976.

11. Patankar S., Αριθμητικές μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων μεταφοράς θερμότητας και δυναμικής ρευστών. -Μ.:. Energoatomizdat, 1984.

12. N. Pissanetski S. Technology of sparse matrices. Μ.: Μιρ. 1988.

13. Preparata F. Sheimos M. Υπολογιστική γεωμετρία; Εισαγωγή. Μ." Μιρ, 1984.

14. A. A. Samarsky, Εισαγωγή στη θεωρία των σχημάτων διαφοράς. Μ.: Nauka, 1971.

15. L Segerlind, Εφαρμογή της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων M.: Mir. 1979

16. N. K. Sukanek, R. P. Rhodes, Formulation of the condition on the axis of symmetry in the numerical calculation of symmetric flows // Rocketry and Cosmonautics, 1978. Vol. 16. No. 10). σελ. 96-98.

17. R. Temam, Navier-Stokes equations, Theory and numerical analysis // M.: Mir. 1981.

18. K. Fletcher, Αριθμητικές μέθοδοι που βασίζονται στη μέθοδο Galerkin II M.: Mir, 1991

19. D. Shi, Αριθμητικές μέθοδοι σε προβλήματα μεταφοράς θερμότητας. Μ.; Κόσμος, 1988.

20. G. Schlichting, Boundary Layer Theory. Μ.: Ξένος εκδοτικός οίκος. αναμμένο. 1956.

21. E. P. Shurina, T. V. Voitovich, Ανάλυση αλγορίθμων για μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων και πεπερασμένου όγκου σε μη δομημένα πλέγματα κατά την επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes // Υπολογιστικές τεχνολογίες. 1997. Τ. 2. Αρ. 4. Σ. 84104.

22. E. P. Shurina, O. P. Solonenko, T. V. Voitovich, Νέα τεχνολογία της μεθόδου πεπερασμένου όγκου σε απλά πλέγματα για προβλήματα τύπου convective-diffusion. Νοβοσιμπίρσκ 1999. -51 ε.- (Preprint/ ITAM SB RAS; No. 8-99).

23. I. Yu. Chumakov, «Χρήση διαφορετικών συνθηκών για πίεση στο όριο εξόδου κατά τον υπολογισμό πολύπλοκων εσωτερικών ροών ασυμπίεστου ρευστού σε συνδυασμένα πλέγματα», Vestn. λένε Επιστήμονες. Ser. Εφαρμοσμένα μαθηματικά και μηχανική. 1997. Τ 1. Σ. 55-62.

24. N. N. Yanenko, Μέθοδος κλασματικών βημάτων για την επίλυση πολυδιάστατων προβλημάτων της μαθηματικής φυσικής. Novosibirsk: Nauka, 1967.

25. A Finite Element Primer. Εθνική Υπηρεσία Μεθόδων & Προτύπων Πεπερασμένων Στοιχείων //NEL. Γλασκώβη, 1986.

26. K. Ajmani, W-F Ng. ΚΥΡΙΑ. Lion, Preconditioned conjugate gradient μέθοδοι για τις εξισώσεις Navier-Stokes//J. Υπολογιστής. Phys. 1994. Τομ. 1 10. Σ. 68-81.

27. F. Angrand, A Dervieux, Some explicit triangular πεπερασμένα στοιχεία schemes for the Euler equations//Int. J.forNumer. Μέθοδοι στα υγρά. 1984. Τομ. 4. Σ. 749-764.

28. P. Arminjon, A. Dervieux, Construction of TVD-Hke Artificial Viscosities on Two-Dimensional Arbitrary FEM Grids // J. Comput. Phys., 1993. Τομ. 106. Σ. 176-198.

29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, Experimental and theoretical research of backward-facing step flow //J. Fluid Mech. 1983. Τομ. 127,473496.

30. F. Babuska, Όρια σφάλματος για μεθόδους πεπερασμένων στοιχείων//Αριθμός. Μαθηματικά. 1971 Τόμος 16. Σ. 322-333.

31. Babuska, B. A. Szabo, I. N. Katz, Η p-έκδοση της μεθόδου πεπερασμένων στοιχείων // SIAM J. Numer. Πρωκτικός. 1981. Τομ. 18. Σ. 516-544.

32. P. Balland, E. Suli, Ανάλυση της μεθόδου πεπερασμένου όγκου κυψέλης-κορυφής για υπερβολικά προβλήματα με μεταβλητούς συντελεστές // SIAM J. Numer. Πρωκτικός. 1997. Τομ. 34. Σ. 1127-1151.

33. R. E. Bank, B. D. Welfert, Εκ των υστέρων εκτιμήσεις σφαλμάτων για το πρόβλημα Stokes // SIAM J. Numer. Πρωκτικός. 1991. Τομ. 28. Σ. 591-623.

34. T. J. Barth, D. C. Jespersen, The design and application of upwind schemes on unstructured mesh // AIAA paper 89-0336.

35. E. Barton, A numerical study of flow over a confined backward-facing step // Int. J.ForNumer. Μέθοδοι στα υγρά. 1995. Τομ. 21. Σ. 653-665.

36. E. Barton, The entry effect of laminar flow over a backward-facing step geometry // Int. J.forNumer. Μέθοδοι στα υγρά. 1995. Τομ. 25. Σ. 633-644.

37. S. Benharbit, A. Chalabi, J. P Vila, Numerical viscosity and convergence of πεπερασμένου όγκου μεθόδους για νόμους διατήρησης με οριακές συνθήκες // SIAM J. Nu-mer. Πρωκτικός. 1995. Τομ. 32. Ρ 775-796.

38. Z. Cai, Σχετικά με τη μέθοδο πεπερασμένου όγκου στοιχείων //Αριθμ. Μαθηματικά. 1991 Vol. 58 Σ. 713735.

39. Z. Cai, S. McCormick, Σχετικά με την ακρίβεια της μεθόδου πεπερασμένου όγκου στοιχείων για εξισώσεις διάχυσης σε σύνθετα πλέγματα // SIAM J. Numer. Πρωκτικός. 1990. Τομ. 27. Σ. 636-655.

40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick, Η μέθοδος πεπερασμένου όγκου στοιχείων για εξισώσεις διάχυσης σε γενικούς τριγωνισμούς // SIAM J. Numer. Πρωκτικός. 1991 Τόμος 28. Σ. 392402.

41. M. C. Ciccoli, Adaptive Domain Decomposition Algorithms and Finite Volume/Finite Element Approximation for Advection-Diffusion Equations // Journal of Scientific Computing. 1996. Τόμος 11. Ρ 299-341.

42. Π. Χατζηπαντελίδης, Μέθοδος πεπερασμένου όγκου βασισμένη στο στοιχείο Crouzeix-Raviart για ελλειπτικές ΠΔΕ σε δύο διαστάσεις //Αριθμ. Μαθ. 1999, Τόμος 82. Σ. 409-432.

43. K. H. Chen, R H. Pletcher, Primitive variable- strongly implicit calculation procedure for viscous flows at all speeds // AIAA J. 1991. Vol. 29. Ρ1241-1249.

44. S. Chou, D. Kwak, P. S. Vassilevski, Μέθοδοι μικτού συνόγκου για ελλειπτικά προβλήματα σε τριγωνικά πλέγματα // SIAM J. Numer. Πρωκτικός. 1998. Τομ. 35. Σ. 1850-1861.

45. Christie, D. F. Griffiths, A. R. Mitchell and O. C. Zienkiewicz, Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων για διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης με σημαντικές πρώτες παραγώγους // Int. J. Numer. Μέθοδοι Eng. 1976. Τομ. 10. 1389-1396.

46. ​​J.-P. Croisille, Finite Volume Box Schemes // Proc. Β' ασκούμενου. Συμπτ. on Finite Volumes for Complex Applications, 19-22 Ιουλίου., 1999, Duisburg, Germany. Εκδόσεις HERMES Science, Παρίσι, 1999.

47. V. Cockburn, F. Coquel. P. G. Lefloch, Σύγκλιση της μεθόδου πεπερασμένου όγκου για πολυδιάστατους νόμους διατήρησης // SIAM J. Numer. Πρωκτικός. 1995. Τομ. 32.687-705.

48. L. Davidson, Μια μέθοδος διόρθωσης πίεσης για μη δομημένα πλέγματα με αυθαίρετους όγκους ελέγχου // Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1998. Τομ. 22. Σ. 265-281.

49. C. Debiez, A. Dervieux, K. Meg, B. Nkonga, Υπολογισμός ασταθών ροών με μεθόδους μεικτού πεπερασμένου όγκου/πεπερασμένων στοιχείων αντίθετα ανέμου // Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1998. Τομ. 27. Σ. 193-206.

50. M. Delanaye, J. A. Essers, Quadratic-reconstruction Finite volume scheme for Compresible flows on unstructured adaptive grids // AIAA Journal. 1997. Τομ. 35. Σ. 631-639.

51. Dervieux A., Steady Euler simulation using unstructured meshes // VKI Lectures series. 1985. Αρ. 1884-04.

52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., On integration πεπερασμένων στοιχείων σε φυσικές συντεταγμένες // Int. J. Numer. Μέθοδοι Eng. 1973. Τομ. 7. 574-575.

53. A. Fezoui, Κατηγορία σιωπηρών σχημάτων αντίθετου ανέμου για προσομοιώσεις Euler με μη δομημένα πλέγματα//J. Σωτρ. Phys. 1989. Τομ. 84. Σ. 174-206.

54. C. Gallo, G. Manzini, A mixed finite element/finite volume approach for solving biodegradation transport in undergroundwater // Int. J. for Numer. Methods in Fluids.1998. Τομ. 26. Σ. 533-556.

55. T. Gallouet, J. P. Vila, Σχήματα πεπερασμένου όγκου για νόμους διατήρησης μικτού τύπου // SIAM J. Numer. Πρωκτικός. 1991. Τομ. 28. Σ. 1548-1573.

56. P. M. Gresho, S. T. Chan, R. L. Lee, G. D. Upson, A modified finite element method for solving the time-dependent. Ασυμπίεστες εξισώσεις Navier-Stokes. Μέρος 2: Εφαρμογές // Int. J. for Numer. Methods ίη Fluids, 1984. Τομ. 4. Σ. 619640.

57. A. Grundmann, H. M. Moller, Invariant integration formulas for i-simplex by combinatonal method // SIAM J. Numer. Anal 1978 Vol. 15, σ. 282-290.

58. W. Hackbusch, On first and second order box schemes // Computing. 1989. Τομ. 41. Σ. 277-296.

59. L. P. Hackman, G. D. Raithby, A. B. Strong. Αριθμητικές προβλέψεις ροών σε βήματα που κοιτούν προς τα πίσω // Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1984. Τομ. 4. Σ. 71 1-724.

60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, Μια σιωπηρή μικτή μέθοδος πεπερασμένου όγκου-πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση τρισδιάστατων τυρβωδών συμπιεστών ροών. J. for Numeric Methods in Fluids, 1997. Τομ. 25. Σ. 1241-1261.

61. F. H. Harlow, J. E. Welch, Numerical calculation of time-dependent viscosity incompressible flow of fluid with free surface // Phys. Υγρά. 1965. Τομ. 8. Σ. 21822189.

62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, Μια προσαρμοστική μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων για ένα μοντέλο στροβιλισμού δύο εξισώσεων σε ροές που οριοθετούνται σε τοίχο. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1997. Τομ. 124. Ρ 101-120.

63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, Implicit Upwind Residual-Distribution Euler and Navier-Stokes Solver on Unstructured Meshes // AIAA Journal, 1996. Τομ. 34. Π. 2021-2028.

64. J. P. Jessee, W. A. ​​Fiveland, «A cell-vertex algorithm for the uncompressible Navier-Stokes equations on non-orthogonal grids», Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1996. Τομ. 23. Σ. 271-293.

65. Jianguo H., Shitong X., Σχετικά με τη μέθοδο πεπερασμένου όγκου στοιχείων για γενικά ελλειπτικά προβλήματα αυτοπροσαρμογής // SIAM .J Numer. Πρωκτικός. 1998. Τομ. 35. Σ. 1762-1774.

66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Unstructured Multigridding by volume agglomeration: τρέχουσα κατάσταση // Computers Fluids, 1992 Vol. 21. Σ. 397-433.

67. Y. Liu, M. Vinokur, Ακριβής ολοκλήρωση πολυωνύμων και συμμετρικών τύπων τετραγωνισμού πάνω από αυθαίρετα πολυεδρικά πλέγματα // J. Comput. Phys. 1998. Τομ. 140. Σ. 122-147.

68. D. Marcum, Models Turbulence for unstructured πεπερασμένων στοιχείων // Int. J.ForNumer. Μέθοδοι στα υγρά. 1995, Τομ. 20. Σ. 803-817.

69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, Co-located ίσης τάξης έλεγχος-όγκου πεπερασμένων στοιχείων μέθοδος για δισδιάστατη αξονική συμμετρική ασυμπίεστη ροή ρευστού // Int J. For Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1994. Τομ. 18. Σ. 1-26.

70. S. Mattiussi, An Analysis of Finite Vol. Μέθοδοι πεπερασμένων στοιχείων και πεπερασμένων διαφορών με χρήση ορισμένων εννοιών από την αλγεβρική τοπολογία // J. Comput. Phys. 1997. Τομ. 133. Σ. 289-309.

71. Δ. Μαυριπλής, Πολυπλέγμα επίλυσης δισδιάστατων εξισώσεων Euler σε μη δομημένα τριγωνικά πλέγματα // AIAA Journal, 1988. Vol 26. P. 824-831.

72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, «Πλήρως συζευγμένες λύσεις πεπερασμένου όγκου των ασυμπίεστων εξισώσεων Navier-Stpkes και ενέργειας με τη χρήση μιας ανακριβούς μεθόδου Newton», Int. J. For Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1994. Τομ. 19. Σ. 439-455.

73. Y. Murthy, S. Mathur, Periodic flow and heat transfer using ustructured meshes // Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1997. Τομ. 25. Σ. 659-677.

74. S. Muzaferija, D. Gosman, Finite-Volume CFD Procedure and Adaptive Error Control Strategy of Grids of Arbitrary Topology // J. Comput. Phys., 1997, Τομ. 138. Σ. 766-787

75. P. Nithiarasu, O. C. Zienkiewlcz, V. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vazquez, Ιξώδη σύλληψης κραδασμών για τον αλγόριθμο γενικής μηχανικής ρευστών // Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1998. Τομ. 28. Σ. 1325-1353.

76. K. Ohmori, T. Ushijima, Μια τεχνική ανοδικού τύπου που εφαρμόζεται σε μια γραμμική μη συμμορφούμενη προσέγγιση πεπερασμένων στοιχείων των εξισώσεων συναγωγής διάχυσης // R.A.I.R.O. Πρωκτικός. Αριθμός.

77. D. Pan, J. C. Cheng, Upwind πεπερασμένος όγκος Navier-Stokes Computations on Uns-structured Triangular Meshes // AIAA Journal, 1993. Vol. 31. Σ. 1618-1625.

78. S. V. Potapov, A mixed FE FV algorithm in non-linear solid dynamics // Proc. Β' ασκούμενου. Συμπτ. για πεπερασμένους όγκους για σύνθετες εφαρμογές. 19-22 Ιουλίου 1999. Ντούισμπουργκ, Γερμανία. - Εκδόσεις Επιστήμη ΕΡΜΗΣ. Παρίσι. 1999. Σ. 271278.

79. C. Prakash, S. V. Patankar, Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων με βάση τον όγκο ελέγχου για την επίλυση των εξισώσεων Navier-Stokes χρησιμοποιώντας παρεμβολή ταχύτητας-πίεσης ίσης τάξης //Αριθμός. Μεταφορά θερμότητας. 1985. Τομ. 8. Σ. 259-280.

80. S. Ramadhyani, S. V. Patankar, Solution of the Poisson equation: σύγκριση των μεθόδων Galerkin και ελέγχου-όγκου // Int. J. Numer. Μέθοδοι Eng. 1980. Τομ. 15.1395-1418.

81. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M., A staggered volume control scheme for unstructured triangular grids // Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1995. Τομ. 25. Σ. 697-717.

82. P. L. Roe, Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes //! Σωτρ. Phys. 1981. Τομ. 43. Σ. 357-372.

83. C. Rohde, Upwind Finite volume schemes for ασθενώς συζευγμένα υπερβολικά συστήματα νόμων διατήρησης σε 2D // Numer. Μαθηματικά. 1998. Τομ. 81. Σ. 85-123.

84. Tony W. H. Sheu, S. K. Wang, S. F. Tsai, Development of a high-resolution scheme for a multi-dimensional advection-diffusion equation // J. Sotr. Phys. 1998. Τομ. 144. Σ. 1-16.

85. Saad Y., Iterative Methods for Sparse Linear Systems. PSW Publishing Co., Βοστώνη, MA, 1995.

86. V. V. K. S. Sai, O. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, Γενικός σκοπός έναντι ειδικών αλγορίθμων για ροές υψηλής ταχύτητας με κρούσεις // Int. J. Numer. Meth. Υγρά. 1998. Τομ. 27. Σ. 57-80.

87. J. L. Sohn, Evaluation of FIDAP on some classical laminar and turbulent benchmarks // Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1988. Τομ. 8. Σ. 1469-1490.

88. Στο Stoufflet, Investigation of generalized flux vector splitting for compresable flows on triangular meshes // Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1995. Τομ. 20. Σ. 1047-1059.

89. B. Stouflette. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, Numerical simulation of 3-D hypersonic Euler flows around διαστημικά οχήματα χρησιμοποιώντας προσαρμοσμένα πεπερασμένα στοιχεία // AIAA Paper 87-0560.

90. C. Taylor, P. Hood, Αριθμητική λύση των εξισώσεων Navier-Stokes με χρήση της τεχνικής πεπερασμένων στοιχείων // Computers and Fluids. 1973. Τομ. 1. Σ. 73-100.

91. Thomadakis M, Leschziner M., A press-correction method for the solution of incompressible viscous flows on unstructured grids // Int.J. για Αριθμητικές Μεθόδους σε Ρευστά. -1996. Τομ. 22 Ρ 581-601.

92. A. K. Verma, V. Eswaran, Overlapping volume control approach for convection-diffusion Problems // Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1996. Τομ. 23. Σ. 865-882.

93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, On a compact mixed-order πεπερασμένο στοιχείο για την επίλυση των τρισδιάστατων ασυμπίεστων εξισώσεων Navier-Stokes // Int. J. for Numer. Μέθοδοι στα υγρά. 1997. Τομ. 25. Σ. 513-522.

94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Implementation of a free boundary condition to Navier-Stokes equations // Int. J. Numer. Methods Heat and Fluid Flow, 1997. Vol.7. Σ. 95-111.

95. D. Winterscheidt, K. S. Surana, p-Version τυποποίηση πεπερασμένων στοιχείων ελαχίστων τετραγώνων για δισδιάστατη, ασυμπίεστη ροή ρευστού // Int. J. Numer. Meth. Fluids, 1994. Τομ. 18. Σ. 43-69.

96. A. M. Winslow, Numerical solution of the quasilinear poisson equation in a nonuniform triangle mesh, J. Comput. Phys. 1967. Τομ. 2. 149-172.

97. A. Younes, R. Mose. P. Ackerer. G. Chavent, Μια νέα διατύπωση της μεθόδου μικτών πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών PDE με τριγωνικά στοιχεία // J. Comput. Phys., 1999. Τομ. 149. Σ. 148-167.

98. P.J. Zwart, G. D. Raithby, M. J. Raw, Η μέθοδος του ολοκληρωμένου χωροχρόνου πεπερασμένου όγκου και η εφαρμογή της σε προβλήματα κινούμενων ορίων // J. Comput. Phys. 1999. Τομ. 154. Σ. 497-519.

99. O. C. Zienkiewicz, The Finite Element Method in Engineering Science // McGraw-Hill London. 1971.

100. O.C. Zienkiewicz, R. Codina, Ένας γενικός αλγόριθμος για συμπιεστή και ασυμπίεστη ροή. Μέρος 1: Η διάσπαση, με βάση τα χαρακτηριστικά // Int. J. Numer. Meth. Υγρά. 1995. Τομ. 20. Σ. 869-885.

101. S. M. Rhie and W. L. Chow, A numerical study of the turbulent flow past a isolated aerofoil with trailing edge separation // AIAA Paper No. 82-0998. 1982.

102. R. I. Issa, Solution of the implicitly discretized fluid flow equations by operator-splitting//J. Υπολογιστής. Phys. Τομ. 62. Σ. 40-65.1985.

103. J. Kim, S. J. Kline, J. P. Johnston, Investigation of a Reattaching Turbulent Shear Layer: Flow Over a Backward-Facing Step, Journal of Fluids Eng., Vol. 102, σελ. 302-308.117. http//www.ict.nsc.ru/linpar