วิธีสืบเชื้อสายสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์ คำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นที่ไม่ทราบจำนวนใดๆ ปัญหาเกี่ยวกับอุ้งเท้า

วันนี้ขอเสนอให้สะท้อนปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่น่าสนใจ
กล่าวคือ มาอุ่นเครื่องด้วยการแก้สมการเชิงเส้นต่อไปนี้:

"อะไรยาก" - คุณถาม. แท้จริงแล้วมีเพียงสมการเดียวและไม่ทราบถึงสี่สมการ ดังนั้น ตัวแปรสามตัวจึงเป็นอิสระ และตัวแปรสุดท้ายขึ้นอยู่กับตัวแปรเหล่านั้น งั้นรีบจัดด่วน! ตัวอย่างเช่น ผ่านตัวแปร ชุดโซลูชันจะเป็นดังนี้:

เซตของจำนวนจริงใดๆ อยู่ที่ไหน

วิธีแก้ปัญหากลายเป็นเรื่องเล็กน้อยเกินไป จากนั้นเราจะทำให้งานของเราซับซ้อนขึ้นและทำให้น่าสนใจยิ่งขึ้น

จำเกี่ยวกับ สมการเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและรากจำนวนเต็มซึ่งอันที่จริงแล้วเป็นสมการไดโอแฟนไทน์ประเภทหนึ่ง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เราจะกำหนดให้สมการของเรามีข้อ จำกัด ที่เหมาะสมเกี่ยวกับค่าสัมประสิทธิ์จำนวนเต็มและราก ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่รู้จักนั้นเป็นจำนวนเต็ม () อยู่แล้ว แต่สิ่งไม่รู้นั้นต้องถูกจำกัดไว้ที่สิ่งต่อไปนี้:

ชุดของจำนวนเต็มอยู่ที่ไหน

ตอนนี้วิธีแก้ปัญหาที่ได้รับในตอนต้นของบทความจะไม่ทำงาน เนื่องจากเราเสี่ยงที่จะได้มันเป็นจำนวนตรรกยะ (เศษส่วน) แล้วคุณจะแก้สมการนี้ได้อย่างไร? เท่านั้นเป็นจำนวนเต็ม?

สนใจแก้ปัญหานี้ ผมถามใต้ cat

และเราดำเนินการกับคุณต่อไป ลองทำการแปลงเบื้องต้นของสมการที่ต้องการ:

ปัญหายังคงดูเข้าใจยาก ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์มักจะทำการทดแทนบางอย่าง มาปะทะกับคุณ:

ว้าว เราได้ผลลัพธ์ที่น่าสนใจแล้ว! ค่าสัมประสิทธิ์กับเราตอนนี้ เท่ากับหนึ่งซึ่งหมายความว่าคุณและฉันสามารถแสดงสิ่งที่ไม่รู้นี้ในแง่ของสิ่งที่ไม่รู้ที่เหลือในสมการนี้โดยไม่มีการแบ่งแยกใดๆ (ซึ่งเราทำบาปในตอนต้นของบทความ) มาทำกันเถอะ:

โปรดทราบว่านี่บอกเราว่าไม่ว่าพวกมันจะเป็นอะไรก็ตาม (ภายในกรอบของสมการไดโอแฟนไทน์) พวกมันจะยังคงเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งก็ใช้ได้

จำไว้ว่ามันยุติธรรมที่จะพูดอย่างนั้น และแทนที่ผลลัพธ์ที่ได้รับด้านบน เราได้รับ:

เรายังเห็นว่าไม่ว่าพวกมันจะเป็นอะไร พวกมันจะยังคงเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งก็ยังใช้ได้

จากนั้นความคิดที่ยอดเยี่ยมก็ปรากฏขึ้น: ดังนั้นเราจะประกาศเป็นตัวแปรอิสระและเราจะแสดงผ่านพวกเขา! อันที่จริงเราทำมาแล้ว ยังคงเป็นเพียงการเขียนคำตอบลงในระบบโซลูชัน:

ตอนนี้คุณสามารถเห็นได้ในระบบการตัดสินใจ ไม่มีการแบ่งทุกที่ซึ่งหมายความว่าคำตอบจะเป็นจำนวนเต็มเสมอ ลองหาคำตอบเฉพาะสำหรับสมการดั้งเดิม โดยสมมติว่า:

แทนในสมการเดิม:

เหมือนกัน เจ๋ง! ลองอีกครั้งกับตัวอย่างอื่น ดีไหม

ที่นี่เราเห็นค่าสัมประสิทธิ์ติดลบ มันสร้างปัญหาให้เราได้พอสมควร ดังนั้นลองกำจัดบาปด้วยการแทนที่มัน แล้วสมการจะเป็นดังนี้:

ดังที่เราจำได้ หน้าที่ของเราคือการแปลงดังกล่าวเพื่อให้ในสมการของเรามีค่าสัมประสิทธิ์หน่วยที่ไม่รู้จัก (เพื่อที่จะแสดงมันผ่านส่วนที่เหลือโดยไม่มีการหาร) ในการทำเช่นนี้เราต้องนำบางสิ่ง "ออกจากวงเล็บ" อีกครั้ง วิธีที่เร็วที่สุดคือการนำค่าสัมประสิทธิ์จากสมการที่ใกล้เคียงกับเอกภาพมากที่สุด อย่างไรก็ตาม คุณต้องเข้าใจว่าเฉพาะจำนวนที่จำเป็นสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ของสมการ (ไม่มาก ไม่น้อย) เท่านั้นที่สามารถนำออกจากวงเล็บได้ มิฉะนั้น เราจะสะดุดกับคำซ้ำซาก/ความขัดแย้งหรือเศษส่วน (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นไปไม่ได้ที่ตัวแปรอิสระจะปรากฏที่ไหนสักแห่งยกเว้นการเปลี่ยนแปลงครั้งล่าสุด) ดังนั้น:

เราแนะนำสิ่งทดแทน จากนั้นเราจะได้รับ:

อีกครั้ง เรานำมันออกจากวงเล็บและในที่สุดเราก็ได้สิ่งที่ไม่รู้ในสมการด้วยค่าสัมประสิทธิ์หนึ่งหน่วย:

เราแนะนำสิ่งทดแทน จากนั้น:

มาแสดงความเหงาของเราที่ไม่รู้จักจากที่นี่:

จากนี้ไปไม่ว่าเราจะทำอะไรมันก็จะยังคงเป็นจำนวนเต็ม จากนั้นเราจะหาจากอัตราส่วน:

ในทำนองเดียวกัน เราพบจากความสัมพันธ์:

สำหรับสิ่งนี้ ระบบการแก้ปัญหาของเราได้ครบกำหนดแล้ว - เราได้แสดงสิ่งที่ไม่รู้ทั้งหมดโดยไม่ต้องใช้การหาร ดังนั้นจึงแสดงว่าโซลูชันจะเป็นจำนวนเต็มแน่นอน นอกจากนี้ อย่าลืมว่า และเราจำเป็นต้องแนะนำการแทนที่แบบย้อนกลับ จากนั้นระบบการแก้ปัญหาขั้นสุดท้ายจะเป็นดังนี้:

ดังนั้นจึงยังคงต้องตอบคำถาม - สามารถแก้ไขสมการที่คล้ายกันด้วยวิธีนี้ได้หรือไม่? คำตอบ: ไม่ ถ้าโดยหลักการแล้วสมการแก้ไม่ได้ สิ่งนี้เกิดขึ้นในกรณีที่เทอมอิสระไม่สามารถหารด้วย GCD ของค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่ไม่ทราบค่าได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ให้สมการ:

หากต้องการแก้ปัญหาเป็นจำนวนเต็ม เงื่อนไขต่อไปนี้ก็เพียงพอแล้ว:

(ตัวหารร่วมมากอยู่ที่ไหน)

การพิสูจน์

หลักฐานไม่ได้รับการพิจารณาภายใต้กรอบของบทความนี้ เนื่องจากเป็นเหตุผลสำหรับบทความแยกต่างหาก คุณสามารถดูได้ในหนังสือที่ยอดเยี่ยมของ V. Sierpinsky "ในการแก้สมการในจำนวนเต็ม" ใน§2

สรุปข้างต้น เราเขียนอัลกอริทึมของการดำเนินการสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นโดยไม่ทราบจำนวนเท่าใดก็ได้:

โดยสรุป เป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวว่า เป็นไปได้ที่จะเพิ่มข้อ จำกัด ในแต่ละเทอมของสมการในรูปแบบของความไม่เท่าเทียมกัน (จากนั้นระบบของความไม่เท่าเทียมกันจะถูกเพิ่มเข้าไปในระบบการแก้ปัญหาตามที่คำตอบจะต้อง ปรับเปลี่ยนได้) และเพิ่มอย่างอื่นที่น่าสนใจเข้าไปด้วย คุณไม่ควรลืมว่าอัลกอริทึมของโซลูชันนั้นเข้มงวดและสามารถเขียนได้ในรูปแบบของโปรแกรมคอมพิวเตอร์

ปีเตอร์อยู่กับคุณ
ขอขอบคุณสำหรับความสนใจของคุณ.

ปัญหา 1. สมมติว่าปลาหมึกและปลาดาวอาศัยอยู่ในพิพิธภัณฑ์สัตว์น้ำ ปลาหมึกมี 8 ขาและปลาดาวมี 5 มีทั้งหมด 39 ขา มีสัตว์กี่ตัวในตู้ปลา?

สารละลาย. ให้ x เป็นจำนวนปลาดาว และ y เป็นจำนวนปลาหมึก จากนั้นปลาหมึกทั้งหมดมี 8 ขาและดวงดาวทั้งหมดมี 5 ขา สร้างสมการกัน: 5x + 8y = 39

โปรดทราบว่าจำนวนสัตว์ไม่สามารถแสดงเป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนลบได้ ดังนั้น ถ้า x เป็นจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบ ดังนั้น y \u003d (39 - 5x) / 8 จะต้องเป็นจำนวนเต็มและไม่เป็นลบด้วย ซึ่งหมายความว่านิพจน์ 39 - 5x จะต้องหารด้วย 8 ลงตัวโดยไม่มีเศษเหลือ การแจงนับตัวเลือกแสดงว่าเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อ x = 3 แล้ว y = 3 คำตอบ: (3; 3)

สมการในรูปแบบ ax + bu = c เรียกว่าไดโอแฟนไทน์ ตามชื่อ Diophantus นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณแห่งอเล็กซานเดรีย เห็นได้ชัดว่า Diophantus อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 3 น. e. ข้อเท็จจริงที่เหลือในประวัติของเขาที่เรารู้จักนั้นหมดลงด้วยบทกวีไขปริศนาตามตำนานที่จารึกบนหลุมฝังศพของเขา:

เถ้าถ่านของ Diophantus ที่ฝังศพ; ประหลาดใจกับเธอและหิน

อายุของผู้จากไปย่อมบอกแก่เขาด้วยอุบายอันแยบคาย.

ตามความประสงค์ของเทพเจ้า เขามีชีวิตอยู่หนึ่งในหกของชีวิตในวัยเด็ก

และเขาพบครึ่งหนึ่งของคนที่หกด้วยปุยบนแก้มของเขา

เพียงวันที่เจ็ดผ่านไปเขาได้หมั้นหมายกับแฟนสาวของเขา

หลังจากใช้เวลาอยู่กับเธอห้าปี นักปราชญ์คนหนึ่งก็เฝ้ารอลูกชายของเขา

ลูกชายสุดที่รักของเขามีชีวิตอยู่เพียงครึ่งชีวิตของพ่อ

เขาถูกพรากไปจากพ่อที่หลุมฝังศพของเขา

สองครั้งสองปีพ่อแม่คร่ำครวญด้วยความเศร้าโศกอย่างหนัก

ที่นี่ฉันเห็นขีด จำกัด ของชีวิตที่น่าเศร้าของฉัน

Diophantus of Alexandria มีชีวิตอยู่กี่ปี?

ภารกิจที่ 2 มีตะปูอยู่ในโกดังในกล่องขนาด 16.17 และ 40 กก. เจ้าของร้านสามารถแจกตะปู 100 กก. โดยไม่เปิดกล่องได้หรือไม่? (วิธีการแจงนับโดยตรง)

ให้เราวิเคราะห์วิธีการแก้ปัญหาเกี่ยวกับสิ่งที่ไม่รู้จัก

ภารกิจที่ 3 มีภาพวาด 96 ภาพในแคตตาล็อกของหอศิลป์ บางหน้ามีภาพวาด 4 ภาพ และบางหน้ามี 6 หน้า แต่ละประเภทมีกี่หน้าในแคตตาล็อก

สารละลาย. ให้ x เป็นจำนวนหน้าที่มีสี่ภาพ

y คือจำนวนหน้าที่มีรูปภาพ 6 รูป

เราแก้สมการนี้ด้วยค่าสัมประสิทธิ์ที่น้อยที่สุด (โมดูโล) ในกรณีของเรา นี่คือ 4x นั่นคือ:

เราหารสมการทั้งหมดด้วยปัจจัยนี้:

4x=96-6y | :4;

ส่วนที่เหลือเมื่อหารด้วย 4: 1,2,3 แทนจำนวนเหล่านี้ด้วย y

ถ้า y=1 ดังนั้น x=(96-6∙1):4=90:4 - ใช้ไม่ได้ แสดงว่าคำตอบไม่ได้อยู่ในจำนวนเต็ม

ถ้า y=2 ดังนั้น x=(96-6∙2):4=21 - เหมาะสม

ถ้า y=3 ดังนั้น x=(96-6∙3):4=78:4 - ใช้ไม่ได้ แสดงว่าคำตอบไม่ได้อยู่ในจำนวนเต็ม

ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะคือคู่ (21; 2) ซึ่งหมายความว่ามี 4 ภาพใน 21 หน้าและ 6 ภาพใน 2 หน้า

ลองวิเคราะห์วิธีการแก้ปัญหาโดยใช้อัลกอริทึมยุคลิด

ปัญหาที่ 4. ร้านขายช็อคโกแลตสองประเภท: นมและขม ช็อคโกแลตทั้งหมดถูกเก็บไว้ในกล่อง ในโกดังมีช็อกโกแลตนม 7 กล่อง และดาร์กช็อกโกแลต 4 กล่อง เป็นที่รู้กันว่ายังมีดาร์กช็อกโกแลตอีกแท่งหนึ่ง กล่องแต่ละประเภทมีกี่แท่ง?

สารละลาย. ให้ x เป็นจำนวนแท่งช็อกโกแลตนมในกล่องเดียว

y คือจำนวนแท่งดาร์กช็อกโกแลตในกล่องเดียว

จากนั้น ตามเงื่อนไขของโจทย์นี้ เราสามารถเขียนสมการได้ดังนี้

ลองแก้สมการนี้โดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid

ด่วน 7=4∙1+3, => 3=7-4∙1.

ด่วน 4=3∙1+1, => 1=4-3∙1=4-(7-4∙1)=4-7+4∙1=4∙ 2 -7∙1 =1.

ปรากฎว่า x=1; y=2.

และนั่นหมายความว่าช็อกโกแลตนมอยู่ในกล่อง 1 ชิ้นและขม 2 ชิ้น

ให้เราวิเคราะห์วิธีการค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและสูตรการแก้ปัญหาทั่วไป

ปัญหาที่ 5 ในชนเผ่าทัมเบ-ยุมเบะในแอฟริกา ชาวพื้นเมืองสองคนทัมบาและยุมบาทำงานเป็นช่างทำผม โดยทัมบามักจะถักเปียให้ลูกค้า 7 เปีย และยูมบาจะถักเปียคนละ 4 เปีย มีลูกค้ากี่คนที่ให้บริการทีละคนโดยผู้เชี่ยวชาญในระหว่างการเปลี่ยนแปลงหากทราบว่าพวกเขาถักผมเปีย 53 ตัวด้วยกัน

สารละลาย. ให้ x เป็นจำนวนลูกค้าของ Tumba

y คือจำนวนลูกค้าของ Yumba

แล้ว 7x+4y=53 (1)

ตอนนี้ เพื่อหาคำตอบเฉพาะของสมการ (,) เราแทนที่ผลรวมของตัวเลขที่เราได้รับด้วย 1 ซึ่งจะทำให้การค้นหาตัวเลขที่เหมาะสมง่ายขึ้นอย่างมาก เราได้รับ:

ลองแก้สมการนี้โดยใช้วิธีการแทนค่า

4y \u003d 1-7x │: 4;

เศษที่เหลือเมื่อหารด้วย 4:1, 2, 3 แทนจำนวนเหล่านี้แทน x:

ถ้า x=1 แล้ว y=(1-7):4 ไม่เหมาะสม เพราะ คำตอบไม่ได้อยู่ในจำนวนเต็ม

ถ้า x=2 แล้ว y=(1-7∙2):4 ไม่เหมาะสม เพราะ คำตอบไม่ได้อยู่ในจำนวนเต็ม

ถ้า x=3 ดังนั้น y=(1-7∙3):4=-5 ก็ใช้ได้

จากนั้นเราคูณค่าผลลัพธ์ด้วยค่าเริ่มต้นของผลรวมซึ่งเราแทนที่ด้วย 1 เช่น

x=x 0 ∙53=3∙53=159;

y=y 0 ∙53=-5∙53=-265.

เราได้พบคำตอบเฉพาะของสมการ (1) ตรวจสอบโดยการแทนสมการเริ่มต้น:

7∙159+4∙(-265)=53; (3)

คำตอบมาพร้อมกัน หากเรากำลังแก้สมการเชิงนามธรรม เราสามารถหยุดอยู่แค่นั้น อย่างไรก็ตาม เรากำลังแก้ปัญหาอยู่ และเนื่องจาก Tumba ไม่สามารถถักเปียจำนวนติดลบได้ เราจึงจำเป็นต้องแก้ปัญหาต่อไป ตอนนี้เราจะเขียนสูตรสำหรับโซลูชันทั่วไป ในการทำเช่นนี้ เราลบออกจากสมการเริ่มต้น (1) สมการด้วยค่าที่ถูกแทนที่ (3) เราได้รับ:

ลองนำปัจจัยทั่วไปออกจากวงเล็บ:

7(x-159)+4(ย+265)=0.

ลองย้ายหนึ่งในเงื่อนไขจากส่วนหนึ่งของสมการไปยังอีกส่วนหนึ่ง:

7(x-159)=-4(y+265).

ตอนนี้เป็นที่ชัดเจนแล้วว่าการจะแก้สมการได้ (x-159) ต้องหารด้วย -4 ลงตัว และ (y + 265) ต้องหารด้วย 7 ลงตัว มาแนะนำตัวแปร n ซึ่งจะแสดงการสังเกตของเรา:

ย้ายเงื่อนไขจากด้านหนึ่งของสมการไปยังอีกด้านหนึ่ง:

เราได้คำตอบทั่วไปของสมการนี้แล้ว ตอนนี้เราสามารถแทนจำนวนต่างๆ ลงไปและได้คำตอบที่สอดคล้องกัน

เช่น ให้ n=39 แล้ว

และนั่นหมายความว่า Tumba ถักผมเปียสำหรับลูกค้า 3 ราย และ Yumba สำหรับลูกค้า 8 ราย

แก้ปัญหาด้วยวิธีต่างๆ

ภารกิจที่ 6: Vovochka ซื้อปากกา 8 รูเบิลและดินสอ 5 รูเบิล ยิ่งไปกว่านั้น เขาจ่าย 19 รูเบิลสำหรับดินสอทั้งหมดมากกว่าปากกาทั้งหมด Little Johnny ซื้อปากกากี่ด้ามและดินสอกี่แท่ง (วิธีค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป วิธีแก้ปัญหาสำหรับคนที่ไม่รู้จัก โดยใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิด)

ปัญหาที่ 7 ซื้อปากกาปลายสักหลาดในราคา 7 รูเบิล และดินสอแท่งละ 4 รูเบิล รวม 53 รูเบิล ซื้อปากกาและดินสอสักหลาดกี่ด้าม?

ปัญหาที่ 8 (ทัวร์เทศบาลของ VOSH 2014-2015): บนดาวเคราะห์ C มีเหรียญสองประเภท: ทูกริก 16 อันและทูกริก 27 อันอย่างละอัน เป็นไปได้ไหมที่จะซื้อสินค้าในราคา 1 ทูกริกด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา?

ปัญหาที่ 9 เชเฮราซาดเล่าเรื่องของเขาให้ผู้ปกครองผู้ยิ่งใหญ่ฟัง โดยรวมแล้วเธอต้องเล่านิทาน 1,001 เรื่อง เชเฮราซาเดจะใช้เวลากี่คืนในการเล่านิทานทั้งหมดของเธอ หากบางคืนเธอเล่านิทาน 3 เรื่อง และบางคืน 5 เรื่อง เชเฮราซาดจะเล่าเรื่องราวทั้งหมดของเขาภายในกี่คืน หากเขาต้องการทำมันให้เร็วที่สุด เชเฮราซาเดต้องการเวลากี่คืนหากเธอรู้สึกเบื่อหน่ายที่จะเล่านิทาน 5 เรื่องต่อคืน ดังนั้นควรมีคืนดังกล่าวให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ภารกิจที่ 10. (จำ "ราศีกุมภ์") วิธีเทน้ำ 3 ลิตรโดยมีภาชนะ 9 ลิตรและ 5 ลิตร

ปัญหาที่ 11 จอห์นนี่น้อยเก่งวิชาคณิตศาสตร์ ในไดอารี่ของเขา เขามีเพียงห้าและสี่ และยังมีอีกห้า ผลรวมของเกรดทั้งหมดของ Vovochka ในวิชาคณิตศาสตร์คือ 47 Vovochka มีห้ากี่ตัวและสี่กี่ตัว

ปัญหาที่ 12 Koschey the Immortal ตั้งสถานรับเลี้ยงเด็กเพื่อเพาะพันธุ์ Gorynych Serpents ในครอกสุดท้ายเขามีงู 17 หัวและ 19 หัว โดยรวมแล้วลูกนี้ทำได้ 339 ประตู Koshchei ผสมพันธุ์งู 17 หัวและ 19 หัวกี่ตัว?

คำตอบ: Diophantus อายุ 84 ปี;

งาน 2: 4 กล่อง 17 กก. และ 2 กล่อง 16 กก.

งาน 6: ซื้อดินสอ 7 แท่งและปากกา 8 ด้าม เช่น (7,2) เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะและ y = 2 + 5n, x = 7 + 8n โดยที่ nє Z เป็นวิธีแก้ปัญหาทั่วไป

งาน 7: (-53; 106) - วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ, x=4n-53, y=-7n+106 - วิธีแก้ปัญหาทั่วไป, ด้วย n=14, x=3, y=8 นั่นคือ 3 ปลายสักหลาด ซื้อปากกาและดินสอ 8 แท่ง

ภารกิจที่ 8: ตัวอย่างเช่น จ่าย 3 เหรียญของทูกริก 27 อันและรับเงินทอนเป็น 5 เหรียญของทูกริก 16 อัน

ภารกิจที่ 9: (2002; -1001) - วิธีแก้ปัญหาเฉพาะ, x=-5 n+2002, y=3n-1001 - โซลูชันทั่วไป, ด้วย n=350, y=49, x=252, เช่น 252 คืน, 3 นิทานแต่ละเรื่องและ 49 คืนจาก 5 นิทาน - รวมเป็น 301 คืน ตัวเลือกที่เร็วที่สุด: 2 คืน 3 เรื่องและ 199 คืน 5 เรื่อง - รวมเป็น 201 คืน ตัวเลือกที่ยาวที่สุด: 332 คืน 3 นิทาน และ 1 คืน 5 นิทาน รวมเป็น 333 คืน

ภารกิจที่ 10: เช่น เทน้ำ 2 ครั้งด้วยขวดขนาด 9 ลิตร แล้วตักออก 3 ครั้งด้วยขวดขนาด 5 ลิตร

งาน 11: Little Johnny ได้ 7 ห้าและ 4 สี่;

ปัญหา 12: งู 11 ตัวมี 17 หัวและงู 8 ตัวมี 19 หัว

ในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น คุณต้องหาค่าของตัวแปร "x" และ "y" ซึ่งเป็นจำนวนเต็ม วิธีแก้ปัญหาจำนวนเต็มนั้นซับซ้อนกว่าวิธีปกติและต้องใช้ชุดของการกระทำบางอย่าง ก่อนอื่นคุณต้องคำนวณตัวหารร่วมมาก (gcd) ของค่าสัมประสิทธิ์ จากนั้นค้นหาคำตอบ เมื่อคุณพบคำตอบของจำนวนเต็มหนึ่งคำตอบของสมการเชิงเส้นแล้ว คุณสามารถใช้รูปแบบง่ายๆ เพื่อหาคำตอบอื่นๆ ที่เป็นจำนวนนับไม่ถ้วนได้

ขั้นตอน

ส่วนที่ 1

วิธีเขียนสมการ

เขียนสมการในรูปแบบมาตรฐานสมการเชิงเส้นคือสมการที่เลขยกกำลังของตัวแปรไม่เกิน 1 ในการแก้สมการเชิงเส้นนั้น ให้เขียนในรูปแบบมาตรฐานก่อน รูปแบบมาตรฐานของสมการเชิงเส้นมีลักษณะดังนี้: A x + B y = C (\displaystyle ขวาน+By=C), ที่ไหน A , B (\displaystyle A,B)และ ซี (\displaystyle C)- จำนวนทั้งหมด.

ลดความซับซ้อนของสมการ (ถ้าเป็นไปได้)เมื่อคุณเขียนสมการในรูปแบบมาตรฐาน ให้ดูที่ค่าสัมประสิทธิ์ A , B (\displaystyle A,B)และ ซี (\displaystyle C). หากค่าสัมประสิทธิ์เหล่านี้มี GCD ให้หารค่าสัมประสิทธิ์ทั้งสามด้วยค่านี้ คำตอบของสมการอย่างง่ายดังกล่าวจะเป็นคำตอบของสมการเดิมด้วย

ตรวจสอบว่าสามารถแก้สมการได้หรือไม่ในบางกรณี คุณสามารถประกาศได้ทันทีว่าสมการไม่มีคำตอบ ถ้าค่าสัมประสิทธิ์ "C" ไม่หารด้วย GCD ของค่าสัมประสิทธิ์ "A" และ "B" สมการนั้นไม่มีทางออก

ส่วนที่ 2

วิธีเขียนอัลกอริทึมยุคลิด

1. ทำความเข้าใจอัลกอริทึมของ Euclidนี่คือชุดของการหารซ้ำๆ ซึ่งเศษที่เหลือก่อนหน้านี้ถูกใช้เป็นตัวหารถัดไป ตัวหารสุดท้ายที่หารจำนวนเท่าๆ กันคือตัวหารร่วมมาก (gcd) ของจำนวนทั้งสอง

   ใช้อัลกอริทึมของยุคลิดกับค่าสัมประสิทธิ์ "A" และ "B"เมื่อคุณเขียนสมการเชิงเส้นในรูปแบบมาตรฐาน ให้หาค่าสัมประสิทธิ์ "A" และ "B" จากนั้นใช้อัลกอริทึมของยุคลิดเพื่อหาค่า gcd เช่น ให้สมการเชิงเส้น 87 x − 64 y = 3 (\displaystyle 87x-64y=3).

   หาตัวหารร่วมมาก (gcd)เนื่องจากตัวหารสุดท้ายคือ 1 ดังนั้น GCD ของ 87 และ 64 จึงเป็น 1 ดังนั้น 87 และ 64 จึงเป็นจำนวนเฉพาะที่เคารพซึ่งกันและกัน

   วิเคราะห์ผลลัพธ์เมื่อคุณพบ GCD ของสัมประสิทธิ์ เอ (\displaystyle A)และ B (\displaystyle B)เปรียบเทียบกับค่าสัมประสิทธิ์ ซี (\displaystyle C)สมการเดิม ถ้า ซี (\displaystyle C)แบ่งออกเป็น NOD เอ (\displaystyle A)และ B (\displaystyle B), สมการมีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม; มิฉะนั้นสมการจะไม่มีคำตอบ

ตอนที่ 3

วิธีการหาทางออกโดยใช้อัลกอริทึมของ Euclid

หมายเลขขั้นตอนในการคำนวณ GCDในการหาคำตอบของสมการเชิงเส้น เราต้องใช้อัลกอริทึมแบบยุคลิดเป็นพื้นฐานของกระบวนการแทนที่และการทำให้เข้าใจง่าย

ให้ความสนใจกับขั้นตอนสุดท้ายซึ่งมีส่วนที่เหลืออยู่เขียนสมการใหม่สำหรับขั้นตอนนี้เพื่อแยกส่วนที่เหลือ

แยกส่วนที่เหลือของขั้นตอนก่อนหน้ากระบวนการนี้เป็นการ "เลื่อนขึ้น" ทีละขั้นตอน แต่ละครั้งคุณจะแยกเศษที่เหลือในสมการออกจากขั้นตอนก่อนหน้า

ทำการเปลี่ยนแปลงและทำให้ง่ายขึ้นโปรดทราบว่าสมการในขั้นตอนที่ 6 ประกอบด้วยเลข 2 แต่ในสมการในขั้นตอนที่ 5 เลข 2 จะถูกแยกออก ดังนั้น แทนที่จะใส่ "2" ในสมการในขั้นตอนที่ 6 ให้แทนนิพจน์ในขั้นตอนที่ 5:

ทำซ้ำขั้นตอนการแทนที่และการทำให้เข้าใจง่ายทำซ้ำขั้นตอนที่อธิบายไว้ โดยเลื่อนผ่านอัลกอริทึมยุคลิดในลำดับย้อนกลับ แต่ละครั้งคุณจะเขียนสมการของขั้นตอนก่อนหน้าใหม่และแทนที่ลงในสมการล่าสุดที่ได้รับ

1. ดำเนินกระบวนการทดแทนและการทำให้เข้าใจง่ายต่อไปกระบวนการนี้จะทำซ้ำจนกว่าจะถึงขั้นตอนเริ่มต้นของอัลกอริทึมยุคลิด เป้าหมายของกระบวนการคือการเขียนสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ 87 และ 64 ของสมการเดิมที่จะแก้ไข ในตัวอย่างของเรา:

   • 1 = 2 (18) − 7 (5) (\displaystyle 1=2(18)-7(5))
   • 1 = 2 (18) − 7 (23 − 18) (\displaystyle 1=2(18)-7(23-18))(นิพจน์ที่ถูกแทนที่จากขั้นตอนที่ 3)
   • 1 = 9 (64 − 2 ∗ 23) − 7 (23) (\displaystyle 1=9(64-2*23)-7(23))(นิพจน์ที่ถูกแทนที่จากขั้นตอนที่ 2)
   • 1 = 9 (64) − 25 (87 − 64) (\displaystyle 1=9(64)-25(87-64))(นิพจน์ที่ถูกแทนที่จากขั้นตอนที่ 1)

กระทรวงศึกษาธิการและวิทยาศาสตร์แห่งสหพันธรัฐรัสเซีย

สถาบันการศึกษาของรัฐที่สูงขึ้น

อาชีวศึกษา

"Tobolsk State Social and Pedagogical Academy"

พวกเขา. ดีไอ เมนเดเลเอฟ"

ภาควิชาคณิตศาสตร์ TIMOM

สมการไดโอแฟนไทน์บางส่วน

งานหลักสูตร

นักศึกษาชั้นปีที่ 3 ของ FMF

Mataev Evgeny Viktorovich

ที่ปรึกษาทางวิทยาศาสตร์:

ผู้สมัครวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์ A.I. Valitskas

ระดับ: ____________

โทบอลสค์ - 2554

การแนะนำ……………………………………………………………………........2

§ 1. สมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น…………………………………..3

§ 2. สมการไดโอแฟนไทน์x 2 – ย 2 = ก………………………………….....9

§ 3. สมการไดโอแฟนไทน์x 2 + ย 2 = ก…………………………………... 12

§ 4. สมการ x 2 + x + 1 = 3y 2 …………………………………………….. 16

§ 5. พีทาโกรัสสามเท่า…………………………………………………….. 19

§ 6. ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์………………………………………………23

สรุป……………………………………………………………….….....29

บรรณานุกรม...........………………………………………………..30

การแนะนำ

สมการไดโอแฟนไทน์เป็นสมการของรูปแบบ พี(x 1 , … , x น ) = 0 โดยที่ด้านซ้ายเป็นพหุนามในตัวแปร x 1 , … , x นด้วยสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม สั่งชุดไหนก็ได้ (ยู 1 ; … ; ยู น ) จำนวนเต็มกับคุณสมบัติ พี(ยู 1 , … , ยู น ) = 0 เรียกว่าคำตอบ (บางส่วน) ของสมการไดโอแฟนไทน์ พี(x 1 , … , x น ) = 0 . การแก้สมการไดโอแฟนไทน์หมายถึงการหาคำตอบทั้งหมด เช่น คำตอบทั่วไปของสมการนี้

เป้าหมายของเราคือการเรียนรู้วิธีหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์บางสมการ หากมีคำตอบเหล่านี้

ในการทำเช่นนี้ คุณต้องตอบคำถามต่อไปนี้:

ก. สมการไดโอแฟนไทน์มีคำตอบเสมอหรือไม่ ค้นหาเงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของคำตอบ

ข. มีอัลกอริทึมที่ช่วยให้ค้นหาคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์หรือไม่

ตัวอย่าง: 1.สมการไดโอแฟนไทน์ 5 x – 1 = 0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

2. สมการไดโอแฟนไทน์ 5 x – 10 = 0 มีทางออก x = 2 ซึ่งเป็นหนึ่งเดียว

3. สมการ ล x – 8 x 2 = 0 ไม่ใช่ไดโอแฟนไทน์

4. มักจะเป็นสมการของแบบฟอร์ม พี(x 1 , … , x น ) = ถาม(x 1 , … , x น ) , ที่ไหน พี(x 1 , … , x น ) , ถาม(x 1 , … , x น ) เป็นพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม เรียกอีกอย่างว่าไดโอแฟนไทน์ สามารถเขียนในรูป พี(x 1 , … , x น ) – ถาม(x 1 , … , x น ) = 0 ซึ่งเป็นมาตรฐานสำหรับสมการไดโอแฟนไทน์

5. x 2 – ย 2 = กเป็นสมการไดโอแฟนไทน์ของดีกรีสองที่มีนิรนาม x และ y สองตัวสำหรับจำนวนเต็ม a ใดๆ มันมีทางออกสำหรับ ก = 1 แต่ไม่มีวิธีแก้ไขสำหรับ ก = 2 .

§ 1. สมการเชิงเส้นไดโอแฟนไทน์

อนุญาต ก 1 , … , ก น , กับZ . พิมพ์สมการ ก 1 x 1 + … + ก น x น = คเรียกว่าสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์ ก 1 , … , ก น , ด้านขวา c และไม่ทราบ x 1 , … , x น . หากด้านขวา c ของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นเป็นศูนย์ สมการไดโอแฟนไทน์ดังกล่าวจะเรียกว่าเอกพันธ์

เป้าหมายทันทีของเราคือการเรียนรู้วิธีหาคำตอบที่เฉพาะเจาะจงและทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นในสองค่าที่ไม่รู้จัก แน่นอน สมการไดโอแฟนไทน์ที่เป็นเนื้อเดียวกันใดๆ ก 1 x 1 + … + ก น x น = 0 มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะเสมอ (0; … ; 0).

เห็นได้ชัดว่าสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์ จะมีคำตอบเฉพาะในกรณีที่ด้านขวามีค่าเท่ากับศูนย์เท่านั้น โดยทั่วไปเรามีดังต่อไปนี้

ทฤษฎีบท (ว่าด้วยการมีอยู่ของคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น)สมการไดแฟนไทน์เชิงเส้น ก 1 x 1 + … + ก น x น = คซึ่งค่าสัมประสิทธิ์ไม่เท่ากับศูนย์ทั้งหมด มีวิธีแก้ปัญหาก็ต่อเมื่อ GCD(ก 1 , … , ก น ) | ค.

การพิสูจน์.ความจำเป็นของเงื่อนไขนั้นชัดเจน: GCD(ก 1 , … , ก น ) | ก ฉัน (1 ฉัน น) , ดังนั้น GCD(ก 1 , … , ก น ) | (ก 1 x 1 + … + ก น x น ) ซึ่งหมายความว่ามันแบ่งและ

ค = ก 1 x 1 + … + ก น x น .

อนุญาต ง= gcd(ก 1 , … , ก น ) , ค =ด.ต และ ก 1 ยู 1 + … + ก น ยู น = ง – การขยายเชิงเส้นของตัวหารร่วมมากของจำนวน ก 1 , … , ก น. คูณทั้งสองข้างด้วย ที, เราได้รับ ก 1 (ยู 1 ที) + … + ก น (ยู น ที) = ด.ต = ค, เช่น. จำนวนเต็ม

น-คะ (x 1 ที; … ; x น เสื้อ)เป็นการแก้สมการเดิมด้วย นไม่ทราบ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทนี้ให้อัลกอริทึมที่สร้างสรรค์สำหรับการหาคำตอบเฉพาะของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น

ตัวอย่าง: 1.สมการไดแฟนไทน์เชิงเส้น 12x+21y=5ไม่มีทางออกเพราะ gcd(12, 21) = 3ไม่แบ่ง 5 .

2. ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการไดโอแฟนไทน์ 12x+21y = 6.

เห็นได้ชัดว่าตอนนี้ gcd(12, 21) = 3 | 6ดังนั้นทางออกจึงมีอยู่ เราเขียนการขยายตัวเชิงเส้น gcd(12, 21) = 3 = 122 + 21(–1). ดังนั้นคู่รัก (2; –1) เป็นคำตอบเฉพาะของสมการ 12x+21y = 3, และอีกคู่ (4; –2) เป็นคำตอบเฉพาะของสมการดั้งเดิม 12x+21y = 6.

3. ค้นหาคำตอบเฉพาะของสมการเชิงเส้น 12x + 21y - 2z = 5.

เพราะ (12, 21, –2) = ((12, 21), –2) = (3, –2) = 1 | 5 แล้วมีวิธีแก้ปัญหาอยู่ หลังจากพิสูจน์ทฤษฎีบทแล้ว ขั้นแรกเราจะพบคำตอบของสมการ (12.21)x–2ย=5จากนั้น แทนที่การขยายตัวเชิงเส้นของตัวหารร่วมมากจากปัญหาก่อนหน้านี้ เราได้คำตอบของสมการเดิม

ในการแก้สมการ 3x - 2y = 5เขียนการขยายตัวเชิงเส้น gcd(3, -2) = 1 = 31 - 21อย่างชัดเจน. ดังนั้นสองสามตัวเลข (1; 1) เป็นคำตอบของสมการ 3 x – 2 ย = 1 , และอีกคู่ (5; 5) เป็นคำตอบเฉพาะของสมการไดโอแฟนไทน์ 3x - 2y = 5.

ดังนั้น, (12, 21)5 – 25 = 5 . แทนที่ที่นี่การขยายตัวเชิงเส้นที่พบก่อนหน้านี้ (12, 21) = 3 = 122 + 21(–1) , เราได้รับ (122+21(–1))5 – 25 = 5 , หรือ 1210 + 21(–5) – 25 = 5 , เช่น. จำนวนเต็มสามเท่า (10; –5; 5) เป็นคำตอบเฉพาะของสมการไดโอแฟนไทน์ดั้งเดิม 12x + 21y - 2z = 5.

ทฤษฎีบท (เกี่ยวกับโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น)สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น ก 1 x 1 + … + ก น x น = คข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

(1) ถ้า = (คุณ 1 ; … ; ยู น ), = (โวลต์ 1 ; … ; โวลต์ น ) เป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของมัน แล้วความแตกต่าง (ยู 1 –v 1 ; … ; ยู น –v น ) เป็นคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน ก 1 x 1 + … + ก น x น = 0 ,

(2) ชุดของคำตอบเฉพาะของสมการเอกพันธ์ไดโอแฟนไทน์เชิงเส้น ก 1 x 1 + … + ก น x น = 0 ปิดภายใต้การบวก การลบ และการคูณด้วยจำนวนเต็ม

(3) ถ้า มเป็นคำตอบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นที่กำหนด และ แอลเป็นคำตอบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์ที่เป็นเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน จากนั้นสำหรับคำตอบเฉพาะใดๆ = (คุณ 1 ; … ; ยู น ) ของสมการเดิม ความเท่าเทียมกัน M = +ลิตร .

การพิสูจน์.ลบความเท่าเทียมกัน ก 1 โวลต์ 1 + … + ก น โวลต์ น = ค จากความเท่าเทียมกัน ก 1 ยู 1 + … + ก น ยู น = ค, เราได้รับ ก 1 (ยู 1 –v 1 ) + … + ก น (ยู น –v น ) = 0 นั่นคือชุด

(ยู 1 –v 1 ; … ; ยู น –v น ) เป็นคำตอบเฉพาะของสมการไดโอแฟนไทน์เอกพันธ์เชิงเส้น ก 1 x 1 + … + ก น x น = 0 . จึงได้รับการพิสูจน์แล้วว่า

= (ยู 1 ; … ; ยู น ), = (โวลต์ 1 ; … ; โวลต์ น ) มแอล .

สิ่งนี้พิสูจน์การยืนยัน (1)

ข้อความ (2) ได้รับการพิสูจน์ในทำนองเดียวกัน:

, แอล ซี Z แอล ซี แอล .

เพื่อพิสูจน์ (3) ก่อนอื่นเราต้องทราบว่า เอ็ม+แอล. ต่อจากตอนที่แล้ว: เอ็ม+แอล .

ในทางกลับกัน ถ้า = (ล 1 ; … ; ล น ) L และ = (ยู 1 ; … ; ยู น ) มแล้ว ม:

ก 1 (ยู 1 +ล 1 )+ …+ก น (ยู น +ล น ) = (ก 1 ยู 1 + … + ก น ยู น )+(ก 1 ล 1 + … + ก น ล น ) = ค + 0 = ค.

ดังนั้น, + ลมและในที่สุด M = +ลิตร .

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วมีความหมายทางเรขาคณิตที่ชัดเจน ถ้าเราพิจารณาสมการเชิงเส้น ก 1 x 1 + … + ก น x น = ค, ที่ไหน เอ็กซ์ ฉัน รดังที่ทราบจากรูปทรงเรขาคณิต มันกำหนดในอวกาศ ร นไฮเปอร์เพลนที่ได้จากเครื่องบิน แอล ด้วยสมการเอกพันธ์ ก 1 x 1 + … +ก น x น =0 ผ่านจุดกำเนิดของพิกัดด้วยการเลื่อนโดยเวกเตอร์บางตัว ร น. ดูพื้นผิว + แอลเรียกอีกอย่างว่าท่อร่วมเชิงเส้นพร้อมช่องนำ แอลและเวกเตอร์กะ . ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าวิธีแก้ปัญหาทั่วไป มสมการไดแฟนไทน์ ก 1 x 1 + … + ก น x น = คประกอบด้วยจุดทั้งหมดของท่อร่วมเชิงเส้นบางส่วนที่มีพิกัดจำนวนเต็ม ในกรณีนี้ พิกัดของเวกเตอร์กะจะเป็นจำนวนเต็มและเซตด้วย แอลคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ก 1 x 1 + … + ก น x น = 0 ประกอบด้วยจุดทั้งหมดในพื้นที่แนะนำที่มีพิกัดจำนวนเต็ม ด้วยเหตุนี้ จึงมักกล่าวกันว่าเซตของคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์โดยพลการจะสร้างท่อร่วมเชิงเส้นที่มีเวกเตอร์ชิฟต์ และพื้นที่ชั้นนำ แอล.

ตัวอย่าง:สำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ x - y \u003d 1การตัดสินใจร่วมกัน มมีแบบฟอร์ม (1+y; y) โดยที่ yZโซลูชันเฉพาะของมัน = (1; 0) และวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แอลสมการที่เป็นเนื้อเดียวกัน x – y = 0จะเขียนในรูปแบบ (y; y), ที่ไหน ที่Z. ดังนั้น เราสามารถวาดภาพต่อไปนี้ ซึ่งคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ดั้งเดิมและสมการไดโอแฟนไทน์ที่เป็นเนื้อเดียวกันนั้นแสดงด้วยจุดหนาในท่อร่วมเชิงเส้น มและพื้นที่ แอลตามลำดับ

2. ค้นหาคำตอบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์ 12x + 21y - 2z = 5.

โซลูชันส่วนตัว (10; –5; 5) พบสมการนี้ก่อนหน้านี้ เราพบคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ 12x + 21y - 2z = 0เทียบเท่ากับสมการไดโอแฟนไทน์ 12 x + 21 ย = 2 ซี.

เพื่อให้แก้สมการนี้ได้ จำเป็นและเพียงพอที่เงื่อนไข gcd(12, 21) = 3 | 2z,เหล่านั้น. 3 | ซีหรือ z = 3tสำหรับจำนวนเต็ม ที. ลดทั้งสองส่วนเป็น 3 , เราได้รับ 4x + 7y = 2t. คำตอบเฉพาะ (2; –1) ของสมการไดโอแฟนไทน์ 4x+7y= 1 ที่พบในตัวอย่างก่อนหน้านี้ นั่นเป็นเหตุผล (4t ; -2t)เป็นคำตอบเฉพาะของสมการ 4x + 7y = 2tสำหรับใดๆ

ที Z. คำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกัน

(7 ยู ; –4 ยู) พบแล้ว ดังนั้นคำตอบทั่วไปของสมการ 4x + 7y = 2tดูเหมือน: (4ท+7ยู; -2t - 4ยู) และคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ 12x + 21y - 2z = 0จะเขียนดังนี้

(4ท+7ยู; -2t - 4ยู; 3t).

เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับทฤษฎีบทที่ระบุไว้ข้างต้นโดยไม่ต้องพิสูจน์คำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ที่เป็นเนื้อเดียวกัน ก 1 เอ็กซ์ 1 + … + ก น เอ็กซ์ น = 0 : ถ้า พี = ,ที่ รและ

(ยู; ที) พีเป็นคำตอบทั่วไปของสมการเอกพันธ์ที่พิจารณา

ดังนั้น คำตอบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์ 12x + 21y - 2z = 5ดูเหมือนว่า: (10+4ท+7ยู; –5 – 2 ที – 4ยู; 5+3t).

3. ในตัวอย่างสมการก่อนหน้านี้ เราแสดงให้เห็นอีกวิธีหนึ่งในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์โดยไม่ทราบสาเหตุจำนวนมาก ซึ่งประกอบด้วยการลดค่าสูงสุดของโมดูลของค่าสัมประสิทธิ์อย่างต่อเนื่อง

12x + 21y - 2z = 5 12x + (102 + 1)y - 2z = 5

12x + y - 2(z - 10y) = 5

ดังนั้น สามารถเขียนคำตอบทั่วไปของสมการที่พิจารณาได้ดังนี้ (x; 5 - 12x + 2u; 50 - 120x + 21u), ที่ไหน x, คุณเป็นพารามิเตอร์จำนวนเต็มโดยพลการ

§ 2. สมการไดโอแฟนไทน์x 2 – ย 2 = ก

ตัวอย่าง: 1.ที่ ก = 0 เราได้รับคำตอบจำนวนไม่สิ้นสุด: x = ยหรือ x = – ยสำหรับใครก็ตาม ย Z.

2. ที่ ก = 1 เรามี x 2 – ย 2 = 1 (x + ย)(x – ย) = 1 . ดังนั้น เลข 1 จะถูกแยกย่อยเป็นผลคูณของตัวประกอบจำนวนเต็มสองตัว x + ยและ x – ย(ที่สำคัญว่า x, ย- ทั้งหมด!). เพราะเบอร์ 1 เพียงสองการขยายเป็นผลคูณของตัวประกอบจำนวนเต็ม 1 = 11 และ 1 = (–1)(–1) เรามีความเป็นไปได้สองประการ: .

3. สำหรับ ก = 2 เรามี x 2 – ย 2 = 2 (x + ย)(x – ย) = 2. ดำเนินการคล้ายกับก่อนหน้านี้ เราจะพิจารณาการขยาย

2=12=21=(–1)(–2)=(–2)(–1) เราสร้างระบบ:ซึ่งไม่มีวิธีแก้ไขซึ่งไม่เหมือนกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบสำหรับสมการไดโอแฟนไทน์ที่พิจารณา x 2 – ย 2 = 2.

4. การพิจารณาก่อนหน้านี้นำไปสู่ข้อสรุปบางประการ การแก้ปัญหาสมการ x 2 – ย 2 = ก อยู่ในการย่อยสลาย ก = กมเป็นผลคูณของจำนวนเต็มจากระบบ . ระบบนี้มีโซลูชันทั้งหมดหากและเฉพาะในกรณีที่ เค + ม และ เค – ม เท่ากันคือ เมื่อตัวเลข เค และ ม ความเท่าเทียมกัน (คู่หรือคี่พร้อมกัน) ดังนั้น สมการไดโอแฟนไทน์ x 2 – y 2 = a จึงมีคำตอบก็ต่อเมื่อ a สามารถขยายเป็นผลคูณของตัวประกอบจำนวนเต็มสองตัวที่มีความเท่าเทียมกัน มันยังคงเป็นเพียงการค้นหาไฟล์.

ทฤษฎีบท (บนสมการx 2 – ย 2 = ก ). (1) สมการ x 2 – ย 2 = 0 มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน .

(2) คำตอบของสมการใด ๆ จะได้เป็น , ที่ไหน ก = กมคือการแตกตัวของจำนวน a เป็นผลคูณของตัวประกอบจำนวนเต็มสองตัวที่มีพาริตีเดียวกัน

(3) สมการ x 2 – ย 2 = กมีวิธีแก้ปัญหาก็ต่อเมื่อ ก 2 (ม็อด 4).

การพิสูจน์.(1) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

(2) ได้รับการพิสูจน์แล้ว

(3) () ให้สมการไดโอแฟนไทน์ก่อน x 2 – ย 2 = ก มีทางออก มาพิสูจน์กัน ก 2 (ม็อด 4) . ถ้า ก = กม คือการขยายเป็นผลคูณของจำนวนเต็มที่มีพาริตี้เดียวกัน จากนั้นสำหรับเลขคู่ เคและ มเรามี เค = 2 ล, ม = 2 นและ ก = กม = 4 ล 0 (ม็อด 4) . ในกรณีที่คี่ เค, มการทำงานของพวกเขา กยังแปลกแตกต่าง ก – 2 คี่และหารด้วยไม่ได้ 4 , เช่น. อีกครั้ง

ก 2 (ม็อด 4).

() ถ้าตอนนี้ ก 2 (ม็อด 4) แล้วเราสามารถสร้างคำตอบของสมการได้ x 2 – ย 2 = ก. อันที่จริง ถ้า a เป็นเลขคี่ ก = 1 กเป็นผลคูณของจำนวนเต็มคี่ ดังนั้น เป็นคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์ ถ้า a เป็นเลขคู่ แสดงว่า ก 2 (ม็อด 4) เราได้รับสิ่งนั้น 4 | ก, ก = 4 ข = 2(2 ข) เป็นผลคูณของจำนวนเต็ม ดังนั้น เป็นคำตอบของสมการไดโอแฟนไทน์

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตัวอย่าง: 1.สมการไดโอแฟนไทน์ x 2 – ย 2 = 2012 ไม่มีวิธีแก้ปัญหาตั้งแต่ 2010 = 4502 + 2 2 (ม็อด 4).

2. สมการไดโอแฟนไทน์ x 2 – ย 2 = 2011 มีวิธีแก้ไขเพราะ

2011 3 (ม็อด 4). เรามีการขยายตัวอย่างเห็นได้ชัด

2011 = 12011 = 20111 = (–1)(–2011) = (–2011)(–1),

สำหรับแต่ละข้อที่เราพบวิธีแก้ปัญหา (รวมอักขระใด ๆ ) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่นเพราะ ตัวเลข 2011 เรียบง่าย (?!).

§ 3. สมการไดโอแฟนไทน์x 2 + ย 2 = ก

ตัวอย่าง: 1. 0 = 0 2 + 0 2 , 1 = 0 2 + 1 2 , เค 2 = 0 2 + เค 2 . ดังนั้นจึงเห็นได้ชัดว่ากำลังสองใดๆ สามารถแทนผลรวมของกำลังสองได้เล็กน้อย

2. 2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 8 = 2 2 + 2 2 , 10 = 1 2 + 3 2 , 13 = 2 2 + 3 2 , 17 = 1 2 + 4 2 , 18 = 3 2 + 3 2 , 20 = 2 2 + 4 2 , …

3. ไม่มีวิธีแก้ปัญหาสำหรับ ก = 3, 6 = 23, 7, 11, 12 = 2 2 3, 14 = 27, 15 = 35, 19, 21 = 37, 22 = 211, 23, 24 = 32 3 , …

การวิเคราะห์ผลลัพธ์ข้างต้นสามารถบอกเป็นนัยได้ว่าการไม่มีคำตอบนั้นเชื่อมโยงกับจำนวนเฉพาะของแบบฟอร์ม

4 น+3 มีอยู่ในการแยกตัวประกอบของตัวเลขที่ไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของสองกำลังสองได้

ทฤษฎีบท (ว่าด้วยการแทนจำนวนธรรมชาติด้วยผลรวมของกำลังสอง)จำนวนธรรมชาติ a สามารถแสดงเป็นผลบวกของกำลังสองได้ก็ต่อเมื่อในการขยายแบบบัญญัติ จำนวนเฉพาะของรูปแบบ 4 น + 3 มีเลขชี้กำลังด้วยซ้ำ

การพิสูจน์.ขั้นแรก เราพิสูจน์ว่าหากจำนวนธรรมชาติ a สามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองได้ จากนั้นในการขยายแบบบัญญัติของตัวเลขเฉพาะทั้งหมดของรูปแบบ 4 น + 3 ต้องมีเลขยกกำลังคู่ สมมติว่าตรงกันข้ามกับสิ่งที่ได้รับการพิสูจน์ว่า ก= หน้า 2 เค +1 ข = x 2 + ย 2 , ที่ไหน

ร -จำนวนเฉพาะของแบบฟอร์ม 4 น+3 และ ข หน้า. ลองนึกภาพตัวเลข เอ็กซ์และ ที่เช่น

x =เดซ, ย = ด.ต, ที่ไหนง= gcd(x, ย) = หน้า ส ว, หน้า ว; ซี, ที, ส เอ็น 0 . แล้วเราจะได้ความเท่าเทียมกัน ร 2 เค +1 ข = ง 2 (ซี 2 + ที 2 ) = หน้า 2 ส ว 2 (ซี 2 + ที 2 ) , เช่น. ร 2( เค – ส )+1 ข = ว 2 (ซี 2 + ที 2 ) . มี p ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน (กำลังคี่ไม่เท่ากับศูนย์) ซึ่งหมายความว่าตัวประกอบตัวใดตัวหนึ่งทางด้านขวาหารด้วยจำนวนเฉพาะ p เพราะว่า หน้า ว, ที่ พี | (ซี 2 + ที 2 ) โดยที่ตัวเลข ซี, ที กันง่ายๆ สิ่งนี้ขัดแย้งกับบทแทรกถัดไป (?)

บทแทรก (เกี่ยวกับการหารผลรวมของกำลังสองด้วยจำนวนเฉพาะของแบบฟอร์ม

4 น + 3 ). ถ้าเป็นจำนวนเฉพาะ พี = 4น+3 นำผลรวมของกำลังสองของจำนวนธรรมชาติสองจำนวนมาหารกัน แล้วหารแต่ละจำนวนเหล่านี้

การพิสูจน์.จากที่ตรงกันข้าม อนุญาต x 2 + ย 2 0(ม็อด หน้า) , แต่ x0(ม็อด หน้า) หรือ ย 0 (ม็อด หน้า) . เพราะว่า xและ ยมีความสมมาตร สลับสับเปลี่ยนกันได้ เราจึงสันนิษฐานได้ว่า x หน้า.

Lemma (ในโมดูลการผันกลับได้หน้า ). สำหรับจำนวนเต็มใดๆ x, ไม่หารด้วยจำนวนเฉพาะ หน้ามีโมดูโลองค์ประกอบผกผัน หน้า – จำนวนเต็มดังกล่าว 1 ยู < หน้า, อะไร สิบเอ็ด 1 (ม็อด หน้า).

การพิสูจน์.ตัวเลข xโคไพร์มด้วย หน้าเราจึงเขียนการขยายเชิงเส้นได้ GCD(x, หน้า) = 1 = สิบเอ็ด + พีวี (ยู, โวลต์ Z) . เป็นที่ชัดเจนว่า สิบเอ็ด1(ม็อด) , เช่น. ยู- องค์ประกอบผกผันกับ xโมดูโล หน้า. ถ้า ยูไม่เป็นไปตามข้อจำกัด 1 ยู < หน้าแล้วแบ่ง ยูโดยเหลือไว้ หน้าเราได้รับส่วนที่เหลือ ร ยู (ม็อด หน้า) , ซึ่ง เอ็กซ์อาร์ สิบเอ็ด 1 (ม็อด หน้า) และ 0 ร < หน้า.

บทแทรกการย้อนกลับของ Modulo หน้าพิสูจน์แล้ว

การเปรียบเทียบการคูณ x 2 + ย 2 0 (ม็อด หน้า) ต่อตารางเมตร ยู 2 องค์ประกอบผกผันกับ xโมดูโล หน้า, เราได้รับ 0 = 0u 2 x 2 ยู 2 +ย 2 ยู 2 = (xu) 2 + (หยู) 2 1+ท 2 (สมัยพี).

ดังนั้นสำหรับ ที = ยูทำการเปรียบเทียบเสร็จแล้ว ที 2 –1 (ม็อด หน้า) ซึ่งเรานำมาซึ่งความขัดแย้ง เป็นที่ชัดเจนว่า ที หน้า: มิฉะนั้น ที 0 (ม็อด หน้า) และ 0 ที 2 –1 (ม็อด หน้า) ซึ่งเป็นไปไม่ได้ โดยทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ที่เรามี ที หน้า –1 1 (ม็อด หน้า) ซึ่งร่วมกับ ที 2 –1 (ม็อด หน้า) และ หน้า = 4 น + 3 นำไปสู่ความขัดแย้ง:

1 ต หน้า–1 = ท 4n+3–1 = ท 2(2n+1) = (ท 2 ) 2n+1 (–1) 2n+1 = –1 (ม็อด)

ความขัดแย้งที่ได้รับแสดงให้เห็นว่าข้อสันนิษฐานเกี่ยวกับ x 0 (ม็อด หน้า) ไม่ถูกต้อง

บทแทรกว่าด้วยการหารผลรวมของกำลังสองด้วยจำนวนเฉพาะ 4 น+3 พิสูจน์แล้ว

ดังนั้นจึงพิสูจน์ได้ว่าจำนวนที่มีการสลายตัวแบบบัญญัติรวมถึงจำนวนเฉพาะ หน้า = 4 น + 3 เป็นเลขคี่ไม่สามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสองได้

ให้เราพิสูจน์ว่าจำนวนใด ๆ ที่การขยายตัวตามรูปแบบบัญญัติเป็นจำนวนเฉพาะ หน้า = 4 น + 3 มีส่วนร่วมเฉพาะในพลังที่เท่ากัน ซึ่งแสดงเป็นผลรวมของสองกำลังสอง

แนวคิดของการพิสูจน์ขึ้นอยู่กับเอกลักษณ์ดังต่อไปนี้:

(ก 2 +ข 2 )(ค 2 +ง 2 ) = (เอซี – บีดี) 2 + (โฆษณา + bc) 2 ,

ซึ่งสามารถหาได้จากคุณสมบัติที่รู้จักกันดีของโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน - โมดูลัสของผลิตภัณฑ์เท่ากับผลคูณของโมดูล จริงหรือ,

| ซี|| ที| = | zt| | ก + ไบ|| ค + ดิ| = |(ก + ไบ)(ค + ดิ)|

|a+bi| 2 |ค + ดิ| 2 = |(ac – bd) + (โฆษณา + bc)i| 2

(ก 2 +ข 2 )(ค 2 +ง 2 ) = (เอซี – บีดี) 2 + (โฆษณา + bc) 2 .

จากเอกลักษณ์นี้ว่าถ้าตัวเลขสองตัว u, v สามารถแสดงเป็นผลรวมของกำลังสอง: ยู = x 2 + ย 2 , โวลต์ = ซี 2 + ที 2 จากนั้นผลิตภัณฑ์ uv ของพวกเขายังสามารถแสดงเป็นผลรวมของสองกำลังสอง: ยูวี = (xz – yt) 2 + (xt + ใช่) 2 .

จำนวนธรรมชาติใดๆ ก > 1 สามารถเขียนในรูป ก= หน้า 1 …อาร์ เค ม 2 , ที่ไหน ร ฉันเป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันแบบคู่ ม เอ็น . เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอแล้วที่จะค้นหาการสลายตัวตามรูปแบบบัญญัติ , เขียนแบบฟอร์มแต่ละระดับ รในรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส (ร) 2 แม้กระทั่ง = 2, หรือในรูปแบบ ร = ร(ร) 2 สำหรับคี่ = 2 + 1 แล้วจัดกลุ่มสี่เหลี่ยมและจำนวนเฉพาะเดี่ยวที่เหลือแยกจากกัน ตัวอย่างเช่น,

29250 = 23 2 5 3 13 = 2513(35) 2 , ม = 15.

ตัวเลข ม 2 มีตัวแทนเล็กน้อยเป็นผลรวมของสองกำลังสอง: ม 2 = 0 2 + ม 2 . หากเราพิสูจน์ความเป็นตัวแทนได้เป็นผลรวมของกำลังสองของจำนวนเฉพาะทั้งหมด ร ฉัน (1 ฉัน เค) จากนั้นใช้ข้อมูลประจำตัวก็จะได้ตัวเลข a มาแทน ตามเงื่อนไขในจำนวน ร 1 , … , ร เค เจอกันได้เท่านั้น 2 = 1 2 + 1 2 และจำนวนเฉพาะของแบบฟอร์ม 4 น + 1 . ดังนั้นจึงยังคงได้รับการเป็นตัวแทนเป็นผลรวมของสองกำลังสองของจำนวนเฉพาะ p = 4m + 1. เราแยกข้อความนี้เป็นทฤษฎีบทแยกต่างหาก (ดูด้านล่าง)

ตัวอย่างเช่นสำหรับ ก = 29250 = 2513(15) 2 เราได้รับอย่างต่อเนื่อง:

2 = 1 2 + 1 2 , 5 = 1 2 + 2 2 , 13 = 2 2 + 3 2 ,

25 = (11 – 12) 2 + (12 + 11) 2 = 1 2 + 3 2 ,

2513 = (12 – 33) 2 + (13 + 32) 2 = 7 2 + 9 2 ,

29250 = 2513(15) 2 = (715) 2 + (915) 2 = 105 2 + 135 2 .

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

§ 4. สมการx + x + 1 = 3y

ตอนนี้เรามาจัดการกับสมการกัน x+x+1=ซูมันมีประวัติอยู่แล้ว ในปี 1950 R. Oblat แนะนำว่านอกเหนือจากการแก้ปัญหา

x=y=1. มันไม่มีทางออกอื่นในจำนวนธรรมชาติ x, ยโดยที่ x เป็นเลขคี่ ในปีเดียวกันนั้น T. Nagel ได้ชี้ให้เห็นถึงแนวทางแก้ไข x= 313, ย = 181.วิธีการที่คล้ายกับข้างต้นสำหรับสมการ x+x-2y=0จะช่วยให้เราสามารถหาคำตอบทั้งหมดของสมการได้ x+x+1=3ปี (1)

ในจำนวนธรรมชาติ x, ที่.ลองแกล้งทำเป็นว่า (x, y)เป็นคำตอบของสมการ (1) ในจำนวนธรรมชาติ และ x > 1. จะเห็นได้ว่าสมการ (18) ไม่มีคำตอบของจำนวนธรรมชาติ x, ย, ที่ไหน x = 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8, 9;ดังนั้นมันควรจะเป็น x10

ให้เราแสดงให้เห็นว่า 12ปี<7 x+3, 7y>4x+ 2. 4y > 2x+1 . (2)

ถ้าเป็นเช่นนั้น 12ปี> 7x+3เราก็จะได้ 144ปี> 49 x+42 x+9 . และเนื่องจากในมุมมองของ (18) 144ปี= 48x+ 48 x + 48 แล้วมันจะเป็น เอ็กซ์< 6 x +3 9 จากที่ไหน

(x-z)< 48 และด้วยเหตุนี้ x> 10, 7 < 148 ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น การพิสูจน์อสมการข้อแรก (2) จึงได้รับการพิสูจน์

ถ้าเป็นเช่นนั้น 7 ปี< 4 x+2 เราก็จะได้ 49ปี< 16 x+ 16 x+4 และเนื่องจากในมุมมองของ (1) 16 x+ 16 x+ 16 = 48ปีแล้วมันจะเป็น 49ปี< 48u- 12ซึ่งเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น การพิสูจน์ที่สองของอสมการ (2) จึงได้รับการพิสูจน์ ซึ่งการที่สามตามมาโดยตรง ดังนั้น อสมการ (2) จึงเป็นจริง

ใส่ตอนนี้กันเถอะ

ว\u003d 7x - 12y + 3,ชม. = -4 x+7u-2. (3)

จาก (2) เราพบว่า ว > 0 , ชม. > 0 และ เอ็กซ์ -ว=3(4 ย-2 x-1)>0 และดังนั้นจึง, ว<х . ตาม (3) เรามี ว 2 + ว+1=3 ชม. 2 ดังนั้น ในมุมมองของ (1) เราจึงยอมรับ g(x, y) = (7x - 12y + 3, -4x + 7y -2).

เราสามารถพูดได้ว่าขึ้นอยู่กับวิธีแก้ปัญหาใด ๆ (x, y)สมการ (1) ในจำนวนธรรมชาติ โดยที่ x > 1เราได้รับโซลูชันใหม่ (ว, ชม.) = ก.(x, y)สมการ (1) ในจำนวนธรรมชาติ ว, ชม.ที่ไหน ว < х (และด้วยเหตุนี้คำตอบคือจำนวนธรรมชาติที่น้อยกว่า) ดังนั้น จากการกระทำข้างต้น เราพบว่าสำหรับแต่ละคำตอบของสมการ (1) ในจำนวนธรรมชาติ x, ย, ที่ไหน x > 1มีจำนวนธรรมชาติ n เช่นนั้น ก(x, y) = (ล, 1).

ยอมรับแล้ว ฉ(x, y) = (7x+12ย+3, 4x+7ย+2), (4) เราสามารถหาสิ่งนั้นได้ง่าย ฉ(ก(x, y)) = (x, y)และด้วยเหตุนี้ (x, ย) = ฉ(1,1) ในทางกลับกัน มันง่ายที่จะตรวจสอบว่าถ้า (x, y)เป็นคำตอบของสมการ (1) ในจำนวนธรรมชาติแล้ว ฉ(x, ย) นอกจากนี้ยังมีคำตอบของสมการ (1) ในจำนวนธรรมชาติ (ตามลำดับ มากกว่า เอ็กซ์และ ที่).

ยอมรับแล้ว x=y=1(x, y) = ฉ(1, 1)สำหรับ น=2,3,…..,

เราได้รับลำดับ { x, ย} สำหรับ น= 1, 2,….., มีคำตอบทั้งหมดของสมการ (1) ในจำนวนธรรมชาติและคำตอบดังกล่าวเท่านั้น

ที่นี่เรามี (เอ็กซ์,ย)= ฉ(1,1)= ฉ(x, y),ดังนั้น เนื่องจาก (4) เราจึงได้รับ

x=7x+12ปี+3,ย=4x+7y+2 (5) (น=1, 2, ...)

สูตรที่ช่วยให้คุณสามารถกำหนดวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดได้อย่างสม่ำเสมอ (x, y)สมการ (1) ในจำนวนธรรมชาติ ด้วยวิธีนี้ เราได้รับวิธีแก้ปัญหาอย่างง่ายดาย (1,1),(22,13),(313,181),.(4366,2521),(60817,35113),..

เห็นได้ชัดว่ามีโซลูชันเหล่านี้จำนวนไม่สิ้นสุด จากความเท่าเทียมกัน

x=y=1และ (4) โดยการอุปนัย เราหาตัวเลขนั้นได้ง่าย เอ็กซ์ด้วยดัชนีคี่คือคี่, ด้วยดัชนีคู่คือคู่และตัวเลข ยสาระสำคัญแปลกสำหรับ น = 1, 2, ... เพื่อให้ได้คำตอบทั้งหมดของสมการ (1) เป็นจำนวนเต็ม x, ยเนื่องจากพิสูจน์ได้ง่ายจึงเป็นไปตามแนวทางแก้ไขที่ได้มาแล้ว (x, y)เข้าร่วม (x, -y)และ (-x-1,±y)สำหรับ น=1, 2, .. .

ดังนั้นเราจึงมีวิธีแก้ปัญหาเพิ่มเติมเช่น: (-2,1) (-23,13), (-314,181). อ. Rotkevich สังเกตว่าคำตอบของสมการ (1) ทั้งหมดเป็นจำนวนธรรมชาติ x > 1และ y จะได้คำตอบของสมการทั้งหมด (z+1)-ซี=y (6)

ในจำนวนธรรมชาติ z, yอันที่จริง สมมติว่าจำนวนธรรมชาติ z, y เป็นไปตามสมการ (5) วาง x=3z+lเราได้รับจำนวนธรรมชาติเนื่องจากง่ายต่อการตรวจสอบ x > 1และ ที่สมการที่น่าพอใจ (1)

ในทางกลับกัน ถ้าเป็นจำนวนธรรมชาติ x > 1และ ที่เป็นไปตามสมการ (1) ดังนั้น เราจึงตรวจสอบได้ง่าย (x-1)= 3(y-x)ดังนั้นจึงเป็นไปตามที่จำนวน (ธรรมชาติ) x-1หารด้วย 3 , เพราะฉะนั้น x-1=3 z ที่ไหน ซีเป็นจำนวนธรรมชาติและความเท่าเทียมกัน 3z=y-x=y3ซี-1 ซึ่งเป็นการพิสูจน์ว่าตัวเลข ซีและ ที่เป็นไปตามสมการ (6) ดังนั้นขึ้นอยู่กับการตัดสินใจ (22,13),(313,181), (4366,2521) สมการ (1) เราได้คำตอบ (7,13),(104,181),(1455,2521) สมการ (6) เรายังทราบที่นี่ว่าถ้าจำนวนธรรมชาติ z, yเป็นไปตามสมการ (6) พิสูจน์ได้ว่า ที่เป็นผลรวมของกำลังสองต่อเนื่องกัน ตัวอย่างเช่น 13=2+3,181=9+10, 2521=35+ 36 . ในทำนองเดียวกัน เหมือนกับก่อนหน้านี้สำหรับสมการ (1) เราสามารถหาคำตอบทั้งหมดของสมการได้ x+(x+1)= ยในจำนวนธรรมชาติ x, ยสละสำหรับ x > 3 ก. (x. y) \u003d (3x -2y + 1, 3y - 4x - 2)และสำหรับ x> 1 ฉ(x, y) = (3x+ 2y+l, 4x + ซู + 2),ซึ่งนำไปสู่สูตร ( x, y)ฉ(3,5) และสรุปผลเฉลยของสมการ (6) ทั้งหมดในจำนวนธรรมชาติ x, y อยู่ในลำดับ { x, ย} สำหรับ น= 1, 2,…., ที่ไหน x=3, y=5 และx=3 x+2 ย+1 . ย = 4 x+3 ย+2 (น=1, 2, ...). ตัวอย่างเช่น, x \u003d 3 3 + 2 5 + 1 \u003d 20, y \u003d 4 3 + Z 5 + 2 \u003d 29;x=119, ย=169:x=69b, y=985;x=4059, y=5741

ความหมายทางเรขาคณิตของสมการที่พิจารณาคือให้สามเหลี่ยมพีทาโกรัสทั้งหมด (สี่เหลี่ยมที่มีด้านธรรมชาติ) ซึ่งขาจะแสดงด้วยจำนวนธรรมชาติที่ต่อเนื่องกัน สามเหลี่ยมดังกล่าวมีจำนวนไม่สิ้นสุด (*)

สมการคือ x+(x+1)= ย, ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าไม่มีคำตอบในจำนวนธรรมชาติ x, ย.

สถานศึกษางบประมาณเทศบาล

โรงเรียนมัธยมศึกษา№ 28 ของเมือง SMOLENSK

มหาวิทยาลัยแห่งรัฐ SMOLENSK

มาตรา คณิตศาสตร์

เรียงความ

สมการไดโอแฟนไทน์

เสร็จสิ้นการทำงาน: Goncharov Evgeniy Igorevich

นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 11

หัวหน้า: โซลดาเตนโควา โซยา อเล็กซานดรอฟนา

ครูคณิตศาสตร์

สโมเลนสค์

ทำไมฉันถึงสนใจหัวข้อนี้

ครั้งหนึ่ง ขณะที่กำลังอ่านหนังสือ ฉันเจอแถบด้านข้างเล็กๆ เกี่ยวกับสมการไดโอแฟนไทน์ ฉันสังเกตได้ทันทีว่าปัญหาเกี่ยวกับข้อความในหัวข้อนี้มีเงื่อนไขที่น่าสนใจ บางครั้งก็ตลกขบขัน และเนื่องจากวิธีการต่างๆ มากมายในการแก้ปัญหาเหล่านี้ จึงดูไม่ปกติเลย นอกจากนี้ บางอย่างทำให้ฉันลำบาก

การค้นหาวิธีแก้ปัญหาอย่างมีเหตุผลทำให้ฉันคุ้นเคยกับหัวข้อนี้มากขึ้น ยิ่งฉันดำดิ่งลึกลงไป ฉันพบงานที่ซับซ้อนและน่าสนใจมากขึ้น คำถามก็ยิ่งเกิดขึ้น ในไม่ช้าฉันก็รู้ว่าหัวข้อนี้ส่วนใหญ่อยู่นอกหลักสูตรของโรงเรียน

ดังนั้นฉันจึงไม่ได้ก้าวล่วงเหตุการณ์และเจาะลึกทฤษฎี (CTO, ปัญหาที่ 10 ของฮิลแบร์ต, ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ฯลฯ) และเขาก็เริ่มเชี่ยวชาญเฉพาะอัลกอริธึมสำหรับการแก้สมการไดโอแฟนไทน์และระบบสมการ ในขณะเดียวกันก็ทำความคุ้นเคยกับประวัติการค้นพบของพวกเขา

Diophantus of Alexandria เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ พงศาวดารไม่ได้เก็บข้อมูลใด ๆ เกี่ยวกับนักวิทยาศาสตร์คนนี้ Diophantus นำเสนอปริศนาที่สนุกสนานอย่างหนึ่งในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ เราไม่รู้ว่าเขาเป็นใคร อายุที่แน่นอนของเขา เราไม่รู้จักบรรพบุรุษของเขาที่จะทำงานในสาขาเดียวกับ Diophantus เอง:

Diophantus อ้างถึง Hypsicles of Alexandria (นักคณิตศาสตร์และนักดาราศาสตร์ชาวกรีกโบราณที่อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 2 ก่อนคริสต์ศักราช);

เกี่ยวกับ Diophantus เขียน Theon of Alexandria (นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกในช่วงปลายยุคขนมผสมน้ำยานักปรัชญาและนักดาราศาสตร์ที่อาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 3);

Diophantus อุทิศผลงานของเขาให้กับ Dionysius of Alexandria (บาทหลวงที่มีชีวิตอยู่ในช่วงกลางศตวรรษที่ 3) ดังนั้น นักวิทยาศาสตร์จึงเสนอว่านักคณิตศาสตร์ผู้นี้มีชีวิตอยู่ในคริสต์ศตวรรษที่ 3

กวีนิพนธ์ของ Maxuim Planud (พระสงฆ์ชาวกรีกในคริสต์ศตวรรษที่ 14) ประกอบด้วยงานอีพิแกรม "Epitaph of Diophantus":

เถ้าถ่านของ Diophantus ที่ฝังศพ; ประหลาดใจกับเธอ - และก้อนหิน

อายุของผู้จากไปย่อมบอกแก่เขาด้วยอุบายอันแยบคาย.

ตามความประสงค์ของเทพเจ้า เขามีชีวิตอยู่หนึ่งในหกของชีวิตในวัยเด็ก

และเขาพบครึ่งหนึ่งของคนที่หกด้วยปุยบนแก้มของเขา

เพียงวันที่เจ็ดผ่านไปเขาได้หมั้นหมายกับแฟนสาวของเขา

หลังจากใช้เวลาอยู่กับเธอห้าปี นักปราชญ์ก็เฝ้ารอลูกชายของเขา

ลูกชายสุดที่รักของเขามีชีวิตอยู่เพียงครึ่งชีวิตของพ่อ

เขาถูกพรากไปจากพ่อที่หลุมฝังศพของเขา

สองครั้งสองปีพ่อแม่คร่ำครวญด้วยความเศร้าโศกอย่างหนัก

ที่นี่ฉันเห็นขีด จำกัด ของชีวิตที่น่าเศร้าของฉัน

(แปลโดย S. N. Bobrov).

งานนี้ลดลงเหลือการรวบรวมและการแก้สมการเชิงเส้นที่ง่ายที่สุด:

(1/6)x+(1/12)x+(1/7)x+5+(1/2)x+4=x,

โดยที่ x คือจำนวนปีที่ไดโอแฟนทัสอาศัยอยู่

x+7x+12x+42x+9*84=84x;

x = 84 - นั่นคือจำนวนปีที่ Diophantus มีชีวิตอยู่

และในช่วงหลายปีที่ผ่านมา Diophantus ได้เขียนเรียงความ เกี่ยวกับการวัดพื้นผิวและการคูณ , ตำรา เกี่ยวกับจำนวนเหลี่ยม . งานหลักของ Diophantus คือ เลขคณิตในหนังสือ 13 เล่ม

น่าเสียดายที่งานของเขาไม่รอดทั้งหมด ผู้ที่มาหาเรามีปัญหา 189 ข้อพร้อมวิธีแก้ปัญหาที่ลดสมการบางอย่างของระดับที่หนึ่งและสองและสมการที่ไม่แน่นอน การมีส่วนร่วมของนักวิทยาศาสตร์คนนี้ในการพัฒนาคณิตศาสตร์นั้นยิ่งใหญ่มาก

Diophantus แนะนำสัญลักษณ์พิเศษสำหรับการลบคำย่อสำหรับคำจำกัดความและการกระทำแต่ละรายการ นั่นคือเขาเป็นผู้เขียนภาษาเกี่ยวกับพีชคณิตคนแรก

หลุมอุกกาบาตบนดวงจันทร์ตั้งชื่อตามไดโอแฟนทัส

อย่างไรก็ตาม Diophantus ไม่ได้มองหาวิธีแก้ปัญหาทั่วไป แต่พอใจกับคำตอบที่เป็นบวกของสมการที่ไม่แน่นอน

สมการไดโอแฟนไทน์เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของสถานการณ์ในชีวิต

ทุกคนแม้จะอยู่ห่างไกลจากคณิตศาสตร์อย่างไร้ขีด จำกัด ได้พบและยิ่งกว่านั้นแก้สมการไดโอแฟนไทน์ที่ง่ายที่สุดโดยไม่รู้ตัว แท้จริงแล้วพวกมันทำหน้าที่เป็นแบบจำลองทางคณิตศาสตร์สำหรับงานหลายอย่างที่เกิดขึ้นในชีวิตประจำวัน

งาน #1

ในคลังสินค้ามีกล่องที่มีตะปูน้ำหนัก 16, 17 และ 40 กก. เจ้าของร้านจะสามารถแจกตะปู 100 กก. โดยไม่ต้องเปิดกล่องได้หรือไม่?

จะเห็นว่า 17 กก. + 17 กก. + 16 กก. = 50 กก. จากนั้นในการแจก 100 กก. (เพิ่มขึ้น 2 เท่า) คุณต้องใช้ 17 กก. 4 กล่องและ 16 กก. 2 กล่อง

คำตอบ: ใช่ สามารถทำได้

เราโชคดีที่นี่: วิธีแก้ปัญหาลดลงเป็นการแจงนับที่ง่ายที่สุดและคำตอบก็ชัดเจน ลองพิจารณาปัญหาอื่น:

งาน #2

ในคอกมีตะขาบหัวเดียวและงูสามหัว มีทั้งหมด 298 ขา และ 26 หัว งูสามหัวมีกี่ขา?

ปล่อยให้มี x ตะขาบและ y Gorynychs ในคอกและงูแต่ละตัวมีขา p เรากำหนดทันทีว่าตัวแปรแต่ละตัวต้องเป็นจำนวนเต็มและเป็นบวก แล้ว:

3y=26x=26-3yx=26-3yx=26-3y

x+py=29840x+py=298120y-742=py p=120-742/y

x>026-3y>0y?8 y?8

y>0 p>0p>0 120-742/y>0>0y>0y>0y>0

p=120-742/yจากนั้น: x=5

เนื่องจาก p เป็นจำนวนเต็ม p=27.25 ไม่เหมาะกับเรา

งานนี้ค่อนข้างยากกว่างานแรก แต่ด้วยการแนะนำข้อจำกัดของตัวแปร เราสามารถจำกัดการค้นหาให้แคบลงเหลือแค่สองกรณี ไปข้างหน้า:

งาน #3

ต้องเทน้ำผลไม้ 20.5 ลิตรลงในขวด 0.7 ลิตรและ 0.9 ลิตรเพื่อให้เต็มขวด คุณต้องเตรียมกระป๋องกี่กระป๋อง? จำนวนเหยือกที่น้อยที่สุดที่สามารถใช้ได้คืออะไร?

ให้ x เป็นจำนวนกระป๋องละ 0.7 ลิตร และ y เป็น 0.9 ลิตร จากนั้นเราสร้างสมการ:

จะเห็นได้ชัดว่าการแจกแจงตัวเลขโดยตรง มุ่งหน้า จะใช้เวลามาก ก ไม่มีที่ใดในโลกสำหรับคณิตศาสตร์ที่น่าเกลียด ©G. ฮาร์ดี

ลองพิจารณาวิธีการแก้สมการดังกล่าว จากนั้นเราจะกลับไปที่ปัญหาของเราโดยตรงและดำเนินการให้เสร็จสิ้น

วิธีการกระจาย

สมการไดโอแฟนไทน์มีรูปแบบ: (x1,x2…xn)=0 โดยที่ P เป็นฟังก์ชันจำนวนเต็ม และตัวแปร xi รับค่าจำนวนเต็ม ในการแก้ปัญหาข้อที่ 2 เราต้องเผชิญกับสมการในรูปแบบ ax + by = c โดยที่ a, b และ c เป็นสัมประสิทธิ์จำนวนเต็ม และ x และ y เป็นตัวแปรที่ใช้ค่าจำนวนเต็มเท่านั้น นี่คือสมการไดโอแฟนไทน์เชิงเส้นที่มีนิรนามสองตัว

วิธีการทั่วไปในการแก้สมการดังกล่าวมีต้นกำเนิดในอินเดียในศตวรรษที่ 12 การปรากฏตัวของมันเกิดจากการร้องขอทางดาราศาสตร์และปฏิทิน

การคำนวณ อันดับแรก คำแนะนำ เกี่ยวกับคำตอบทั่วไปของสมการไดโอแฟนไทน์นั้นสร้างโดย Ariabhatt วิธีการนี้สร้างขึ้นโดยภัสการะและพรหมคุปต์ ตอนนี้เรียกว่าวิธีการกระจาย ลองวิเคราะห์ด้วยตัวอย่าง:

ตัวอย่าง #1: ค้นหาคำตอบของจำนวนเต็มทั้งหมดของสมการ 19x-8y=13

เราแสดง y ในรูปของ x (เนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ของ y มีค่าน้อยที่สุด) และเลือกส่วนจำนวนเต็ม:

y \u003d (19x-13) / 8 \u003d (3x-13) / 8 + 2x

นิพจน์ (3x-13)/8 ต้องเป็นจำนวนเต็ม ลองแสดงว่าเป็น k

จากนั้น 8k=3x-13 ทำซ้ำการดำเนินการข้างต้น:

x=(8k+13)/3=2k+(2k+13)/3= (2k+13)/3. จากนั้น 3h=2k+13,=(3h-13)/2=(h-13)/2+h= (h-13)/2 แล้ว 2p= h-13 ชม.=13+2น

เห็นได้ชัดจากความเท่าเทียมกัน (4) ที่ h ใช้ค่าจำนวนเต็มสำหรับค่าจำนวนเต็มใด ๆ ของ p

โดยการแทนที่อย่างต่อเนื่อง (4) เราพบนิพจน์สำหรับสิ่งที่ไม่รู้จัก: k=13+3p, x= 39+8p และสุดท้าย y=91+18p

คำตอบ: (39+8p; 91+18p)

ตอนนี้มีความรู้เพียงพอแล้วให้กลับไปที่ปัญหาข้อ 3

x=29+(2-9ปี)/7; ให้ t=(2-9y)/7 โดยที่ t เป็นจำนวนเต็ม

เสื้อ=2-9ปี; t=(2-2y)/7-y; ให้ (2-2y)/7=p โดยที่ p เป็นจำนวนเต็ม

Y=7k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม y=1-7k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม จากนั้น x=28+9k

x>0; 28+9k>0;k?-3.

y>0; 1-7k>0;k?0.

นั่นคือ k สามารถรับค่า: -3, -2, -1.0

x+y=1-7k+28+9k; x+y=29+2k

นั่นคือจำนวนขวดที่น้อยที่สุดสอดคล้องกับ k ที่เล็กที่สุด

(x+y)น้อยที่สุด=29-6=23.

คำตอบ: (28+9k;1-7k) โดยที่ k รับค่า -3,-2,-1.0 จำนวนกระป๋องที่น้อยที่สุดคือ 23

ปัญหาการขยายจำนวน

เป็นที่น่าสังเกตว่างานข้อความซึ่งใช้เวลาค้นหาตัวเลข รู้จักตัวหารและเศษเหลือ ครอบครองตำแหน่งพิเศษที่มีเกียรติท่ามกลางงานข้อความในหัวข้อนี้ พวกเขายังซับซ้อนที่สุดและน่าสนใจ ลองพิจารณาบางส่วนของพวกเขา

หญิงชาวนากำลังถือตะกร้าไข่ไปที่ตลาด คนขี่ประมาทแซงผู้หญิงแตะตะกร้าไข่แตกหมด เขาถามหญิงชาวนาว่ามีไข่กี่ฟองในตะกร้า เธอตอบว่าไม่รู้จำนวนไข่ แต่เมื่อออกไข่เป็นฟองที่ 2, 3, 4, 5 และ 6 ไข่ใบหนึ่งยังคงเหลือเฟือ และพอออกฟองได้ 7 ฟองก็ไม่เหลือไข่เพิ่ม จำนวนไข่ที่น้อยที่สุดที่หญิงชาวนาสามารถนำเข้าสู่ตลาดได้คือเท่าไร?

วิธีแก้ปัญหา: แทนจำนวนไข่ที่ต้องการเป็น n จากนั้นเราจะสร้างระบบสมการ:

2a+1 n-1=2a (1)=3b+1 n-1=3b (2)=4c+1 n-1=2*2c (3)=5d+1 n-1=5d (4)= 6e+1 n-1=2*3e (5)=7fn=7f

จากสมการ (1), (2), (3), (4), (5) จะได้ว่าจำนวน n-1=2*3*2*5k โดยที่ k เป็นจำนวนเต็ม

n-1=60k;n=60k+1

เมื่อแทนผลลัพธ์ n ใน (7) เราจะได้สมการ: 60k+1=7f

f= (60k+1)/7 = (4k+1)/7 + 8k;=(4k+1)/7 โดยที่ r เป็นจำนวนเต็ม (1)

7r=4k+1; 4k=7r-1; k=(3r-1)/4+r;=(3r-1)/4 โดยที่ s คือจำนวนเต็ม

3r-1=4s; 3r=4s+1;r= (s+1)/3+r;= (s+1)/3 โดยที่ u เป็นจำนวนเต็ม แล้ว

s+1=3u; s=3u-1,

นั่นคือ s รับค่าจำนวนเต็มสำหรับจำนวนเต็ม u เสมอ จากการแทนที่อย่างต่อเนื่อง เราได้รับ:

r=4u-1; k=7u-2; f=420u -119.

เห็นได้ชัดว่า เมื่อ u=1 f ใช้ค่าบวกที่น้อยที่สุด นั่นคือ 301

คำตอบ: 301.

* ควรสังเกตว่าไม่จำเป็นต้องทำตามอัลกอริทึมนี้สุ่มสี่สุ่มห้าจนจบ ในความเป็นจริงภายในกรอบของปัญหา เราไม่จำเป็นต้องค้นหาค่าจำนวนเต็มที่เป็นไปได้ทั้งหมดของ k: เพียงหนึ่งค่าที่น้อยที่สุดก็เพียงพอแล้ว และหลังจากการแปลง (1) แล้ว เห็นได้ชัดว่า k ที่เรากำลังมองหาเท่ากับ 5 ซึ่งหมายความว่า f=60*5+1=301

สมมติว่ามีนักท่องเที่ยวบางคน แบ่งพวกเขาออกเป็นสามเท่าเราได้ส่วนที่เหลือ 2 แบ่งเป็นห้า - 3 แบ่งเป็นเจ็ด - 2 จำนวนนักท่องเที่ยวที่อยู่ในกลุ่มหากจำนวนทั้งหมดไม่เกิน 100 คน

ให้มีนักท่องเที่ยวทั้งหมด k แล้ว:

3a+2 k=3a+2=5b+3 5b+3=3a+2=7c+2 7c+2=3a+2

และนี่คือส่วนที่ชัดเจนของการแก้ปัญหาของเราที่หยุดนิ่ง คุณต้องจำไว้ว่า:

1) a*b+c?c (โหมด) ? ค (มอด) ตัวอย่างเช่น 15? 1 (mod 7) นั่นคือ เลข 15 ให้เศษ 1 เมื่อหารด้วย 7

2) ก*ข+ง ? ค (modr) ó ก*ข? ซีดี (modr) ó ข? ก(c-d) (สมัย) อ้าว? b(c-d) (modr). แล้ว:

3a+2 k=3a+2 k=3a+2

+2 ? 3 (สมัยที่ 5) 3a= 1 (สมัยที่ 5) ก ? 3 (สมัย 5)

+2 ? 2 (สมัยที่ 7) 3a= 0 (สมัยที่ 7) 3a ? 0 (mod7)

3a+2 k=3a+2= 3 +5p โดยที่จำนวนเต็ม a=3 + 5p

15p? 0 (สมัยที่ 7) p= -135 (สมัยที่ 7)

3a+2 k=3a+2k=105d-2014=3 + 5pa=35d-672 a=35d-672=-135 + 7d โดยที่ d เป็นจำนวนเต็ม p=-135 + 7dp= -135 + 7d

ดังนั้น k=105d-2014. ถ้า d=20 แล้ว k = 86 ถ้า d<20 , то k<0, если d>20 แล้ว k>100 คำตอบ: 86.

ลองใช้ยูทิลิตี้ที่ใช้งานได้จริงเช่นรับสูตรทั่วไปสำหรับไกด์นำเที่ยวเพื่อนับจำนวนนักท่องเที่ยว ให้ r1, r2, r3 เป็นเศษเมื่อหารจำนวนนักท่องเที่ยวทั้งหมดเป็นกลุ่มละ 3, 5.7 ตามลำดับ และจำนวนนักท่องเที่ยวทั้งหมดจะยังไม่เกิน 100 คน เถียงกันในทำนองเดียวกัน เราได้รับ:

3a+r1 3a? (r2-r1) (mod 5)a=3(r2-r1) + 5d โดยที่ dinteger=5b+r2 3a+r1=7c+r39r2-8r1+15d?r3 (mod 7)=7c+r3k=3a+1 k=3a+1

a=3(r2-r1) + 5d d = 15(r3-9r2+8r1)+7p โดยที่ p เป็นจำนวนเต็ม

d?15(r3-9r2+8r1) (สมัย 7) a = 3(r2-r1) + 5d

k=9r2-8r1+15d k=225r3-1792r1-2016r2+105p

คำตอบ: 86; k=225r3-1792r1-2016r2+105p.

ดังนั้นเราจึงได้สูตรสำหรับ k แต่นอกจาก r1,r2,r3 แล้ว ยังมีจำนวนเต็ม d คำถามทั่วไปเกิดขึ้น: จำนวน k จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกันเสมอหรือไม่หากมีค่าน้อยกว่า 100 ต่ำกว่า 150? 43? และอื่น ๆ

ทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน

The Chinese Remainder Theorem (CRT) เป็นชุดข้อความที่เกี่ยวข้องซึ่งจัดทำขึ้นในบทความโดยนักคณิตศาสตร์ชาวจีน Sun Tzu (คริสต์ศตวรรษที่ 3) และสรุปโดย Qin Jiushao (คริสต์ศตวรรษที่ 18) ในหนังสือ Mathematical Reasoning in 9 Chapters ของเขา ดูเหมือนว่า:

ให้ตัวเลข M1 , M2, …, Mk เป็น coprime แบบคู่ และ M= M1*M2*…*Mk จากนั้นระบบ

x?B1(modM1)? B2 (modM2)

มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของตัวเลข (0,1,…,M-1)

พูดง่ายๆ ก็คือ คำตอบจะไม่กำกวมเสมอหากจำนวนนักท่องเที่ยวที่ต้องการน้อยกว่าผลคูณของตัวหารที่แบ่งไว้ กลับไปที่ปัญหาข้อที่ 4 เราบอกว่าจะนับได้หากจำนวนทั้งหมดไม่เกิน 104 (M-1=3*5*7-1=104) ดังนั้นในการนับคนโดยเริ่มจากสูตรของเราจำเป็นต้องคำนวณ 225r3-1792r1-2016r2 แล้วลบเลข 105 ออกจนกว่าเราจะได้ตัวเลขน้อยกว่า 105 แต่มากกว่า 0 นี่ยาว และไม่สะดวก และตรงไปตรงมาสามารถนับจำนวนคนได้ประมาณหนึ่งร้อยคนโดยไม่ต้องใช้อัลกอริทึมที่ซับซ้อนเช่นนี้

สมการไดโอแฟนไทน์แบบไม่เชิงเส้นที่ง่ายที่สุด

Diophantus วิเคราะห์สมการไม่แน่นอนของระดับที่สองอย่างสมบูรณ์โดยไม่ทราบค่าสองตัว ในการแก้สมการและระบบในระดับที่สูงขึ้น เขาได้พัฒนาวิธีการที่ละเอียดและซับซ้อนมากยิ่งขึ้น ซึ่งดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์ชาวยุโรปสมัยใหม่หลายคน แต่สมการประเภทนี้เกือบทั้งหมดที่อยู่ในกรอบของหลักสูตรของโรงเรียนจะแก้ไขได้โดยวิธีการแยกตัวประกอบ

ตัวอย่าง #2: แก้สมการ x2-3xy+2y2=7 ในจำนวนเต็ม

x2-xy-2xy+2y2=7;

x(x-y) -2y(x-y)=7;

แน่นอน เราสามารถหาเลข 7 ได้ด้วยวิธีต่อไปนี้: 1*7=7;7*1=7;-1*(-7)=7;-7*(-1).

จากนั้นเราสร้างและแก้ระบบสมการ:

x-2y=1 x=13y=7y=6y=7 x=-5y=1 y=-6y=-1 x=-13y=-7 y=-6y=-7 x=5y=-1 y=6

คำตอบ: (13;6), (-5;-6), (-13;-6), (5.6)

ตัวอย่าง #3: พิสูจน์ว่าสมการ x5+3x4y- 5x3y2-15x2y3 + 4xy4+12y5=33 ไม่มีรากจำนวนเต็ม

x4(x+3y)-5x2y2 (x+3y)+4y4(x+3y)=33;

(x4-4x2y2+4y4-x2y2)(x+3y)=33;

(x2(x2-y2)-4y2(x2-y2))(x+3y)=33;

(x-y)(x+y)(x+2y)(x-2y)(x+3y)=33;

ถ้า y=0 สมการเดิมจะอยู่ในรูปแบบ x5=33 แล้ว x ไม่เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งหมายความว่าสำหรับ y=0 สมการนี้ไม่มีคำตอบทั้งหมด ถ้า y?0 แล้วปัจจัยทั้งห้าทางด้านซ้ายของสมการจะต่างกัน ในทางกลับกัน เลข 33 สามารถแสดงเป็นผลคูณของปัจจัยต่างๆ ได้ไม่เกินสี่ตัว (33=1 3 11 หรือ 33=-1 3 (-11) (-1) เป็นต้น) ดังนั้น สำหรับ y?0 สมการนี้จึงไม่มีคำตอบทั้งหมด

ปัญหาที่สิบของ Hilbert

ไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง คำถามเกิดขึ้น: สามารถแก้ไขสมการไดโอแฟนไทน์ใด ๆ ได้หรือไม่ นั่นคือ ค้นหารากของมันหรือพิสูจน์ว่าไม่มีอยู่จริง

สิงหาคม พ.ศ. 2443 การประชุมสมัชชานักคณิตศาสตร์นานาชาติครั้งที่ 2 เกิดขึ้น David Hilbert เสนอปัญหา 23 ข้อ ที่สิบคือ:

ปล่อยให้สมการไดโอแฟนไทน์มีค่าไม่ทราบจำนวนและค่าสัมประสิทธิ์จำนวนตรรกยะจำนวนเต็ม ระบุวิธีการที่เป็นไปได้หลังจากดำเนินการตามจำนวนจำกัด เพื่อระบุว่าสมการนี้สามารถแก้ไขได้ด้วยจำนวนเต็มตรรกยะหรือไม่

ผู้ที่มีจิตใจแจ่มใสในศตวรรษที่ 20 จำนวนมากประสบปัญหานี้: AxelThue, TuralfSkolem, Emil Post, Julia Robinson, Martin Davis และ Hilary Putnam, Martina Davis และคนอื่นๆ และในปี 1970 เท่านั้น Yuri Matiyasevich ได้พิสูจน์ความสามารถในการแก้ไขไม่ได้ของอัลกอริทึมของปัญหานี้

David Hilbert (23 มกราคม พ.ศ. 2405 - 14 กุมภาพันธ์ พ.ศ. 2486) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันผู้มีส่วนสำคัญในการพัฒนาคณิตศาสตร์หลายด้าน ในปี 1910 และ 1920 (หลังจากการเสียชีวิตของ Henri Poincaré) เขาเป็นผู้นำระดับโลกในด้านคณิตศาสตร์ ในปี 1970 สหพันธ์ดาราศาสตร์สากลได้ตั้งชื่อหลุมอุกกาบาตด้านไกลของดวงจันทร์ตามชื่อกิลเบิร์ต

Yuri Vladimirovich Matiyasevich (เกิด 2 มีนาคม 2490, เลนินกราด) - นักคณิตศาสตร์โซเวียตและรัสเซีย, นักวิจัยที่แผนกเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กของสถาบันคณิตศาสตร์ V. A. Steklova RAS สมาชิกคณะกรรมาธิการผู้เชี่ยวชาญของ RSOS ในวิชาคณิตศาสตร์ นักวิชาการของ Russian Academy of Sciences ดุษฎีบัณฑิตสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์

สมการไดแฟนไทน์ทางคณิตศาสตร์

บทสรุป

หัวข้อนี้มีหลายแง่มุมและแทบไม่มีขอบเขต ไม่ใช่เพื่ออะไรที่นักวิทยาศาสตร์ที่มีชื่อเสียงระดับโลกได้ทำให้งงงวยตลอดประวัติศาสตร์ของการพัฒนาคณิตศาสตร์ มันสัมผัสกับแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ และความรู้เรื่องสมการไดโอแฟนไทน์สำหรับฉัน ดูเหมือนว่าจะไม่มีวันหมดสิ้น

ในขณะที่เขียนเรียงความนี้ ฉันเชี่ยวชาญวิธีการกระจาย เรียนรู้วิธีการแก้ระบบสมการสำหรับปัญหาเกี่ยวกับเศษส่วน ทำความคุ้นเคยกับประวัติของวิธีการเชี่ยวชาญในการแก้สมการไดโอแฟนไทน์

ในโลกของคณิตศาสตร์ซึ่งมีความฉลาดและยิ่งใหญ่มาช้านาน เรากำลังเดินตามเส้นทางที่พ่ายแพ้

แต่ทุกคนสามารถเป็นผู้บุกเบิกได้: ในตอนแรกสำหรับตัวเองและในอนาคตอาจจะเพื่อผู้อื่น ...

ฉันคิดว่าจะทำงานในหัวข้อนี้ต่อไป เพื่อเพิ่มพูนความรู้ของฉันในการแก้สมการไม่จำกัด การศึกษาวิธีการแก้ปัญหาใหม่ทำให้ฐานความรู้ของบุคคลใด ๆ สมบูรณ์ยิ่งขึ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเนื่องจากอาจเกี่ยวข้องกับการใช้งาน (C6)

บรรณานุกรม

1. นิตยสาร "ควอนตัม" 2513 #7

.“สารานุกรมของนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์” 520 น.

http://ilib.mirror1.mccme.ru/djvu/serp-int_eq.htm

พิชูกิน แอล.เอฟ. “ เบื้องหลังตำราพีชคณิต”, M. , 1990, 224p

เกลเซอร์ จี.ไอ. "ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน 10-11", 351s

Petrakov I.A. "คณิตศาสตร์สำหรับผู้อยากรู้อยากเห็น", ม., 2543 256s

http://bars-minsk.narod.ru/teachers/diofant.html

กวดวิชา

ต้องการความช่วยเหลือในการเรียนรู้หัวข้อหรือไม่?

ผู้เชี่ยวชาญของเราจะให้คำแนะนำหรือให้บริการสอนพิเศษในหัวข้อที่คุณสนใจ
ส่งใบสมัครระบุหัวข้อทันทีเพื่อค้นหาความเป็นไปได้ในการรับคำปรึกษา