Gięcie płaskie prętów o przekroju symetrycznym. Proste rodzaje oporu. płaski zakręt. Rozwiązanie problemu „prostego zginania poprzecznego”

Dla belki wspornikowej obciążonej obciążeniem rozłożonym o natężeniu kN/m i momencie skupionym kNm (rys. 3.12) należy: skonstruować wykresy sił tnących i momentów zginających, wybrać belkę o przekroju kołowym dopuszczalne naprężenie normalne kN/cm2 i sprawdzić wytrzymałość belki zgodnie z naprężeniami stycznymi przy dopuszczalnym naprężeniu stycznym kN/cm2. Wymiary belki m; M; M.

Schemat obliczeniowy problemu bezpośredniego zginania poprzecznego

Ryż. 3.12

Rozwiązanie problemu „prostego zginania poprzecznego”

Wyznaczanie reakcji podporowych

Reakcja pozioma w osadzeniu wynosi zero, ponieważ obciążenia zewnętrzne w kierunku osi Z nie działają na belkę.

Wybieramy kierunki pozostałych sił reakcji powstających w osadzeniu: reakcję pionową skierujemy np. w dół, a moment – ​​zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Ich wartości wyznaczane są z równań statycznych:

Tworząc te równania, uważamy, że moment jest dodatni przy obrocie w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, a rzut siły za dodatni, jeśli jej kierunek pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi Y.

Z pierwszego równania znajdujemy moment na pieczęci:

Z drugiego równania - reakcja pionowa:

Dodatnie wartości, które uzyskaliśmy dla chwili oraz reakcja pionowa w zakorzenieniu wskazują, że odgadliśmy ich kierunki.

Zgodnie z charakterem mocowania i obciążenia belki jej długość dzielimy na dwie części. Wzdłuż granic każdego z tych przekrojów nakreślimy cztery przekroje (patrz rys. 3.12), w których wykorzystamy metodę przekrojów (ROZU) do obliczenia wartości sił tnących i momentów zginających.

Sekcja 1. Odrzućmy to w myślach prawa strona belki. Zamieńmy jego działanie na pozostałe lewa strona siła ścinająca i moment zginający. Dla wygody obliczenia ich wartości zakryjmy odrzuconą prawą stronę belki kartką papieru, wyrównując lewą krawędź arkusza z rozważanym przekrojem.

Przypomnijmy, że siła tnąca powstająca w dowolnym przekroju musi równoważyć wszystkie siły zewnętrzne (czynne i reaktywne), które działają na rozważaną przez nas (czyli widoczną) część belki. Dlatego siła ścinająca musi być równa sumie algebraicznej wszystkich sił, które widzimy.

Przedstawmy jeszcze regułę znaków siły tnącej: zewnętrzna siła działająca na rozważaną część belki, dążąca do „obrócenia” tej części względem przekroju w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, powoduje dodatnią siłę ścinającą w przekroju. Taka siła zewnętrzna jest uwzględniana w sumie algebraicznej definicji ze znakiem plus.

W naszym przypadku widzimy jedynie reakcję podpory, która obraca widoczną dla nas część belki względem pierwszego odcinka (względem krawędzi kartki papieru) w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Dlatego

kN.

Moment zginający w dowolnym przekroju musi równoważyć moment wytworzony przez widoczne dla nas siły zewnętrzne w stosunku do danego przekroju. W związku z tym jest on równy sumie algebraicznej momentów wszystkich sił działających na rozważaną przez nas część belki w stosunku do rozpatrywanego przekroju (czyli względem krawędzi kartki papieru). W tym przypadku obciążenie zewnętrzne, wyginając rozpatrywaną część belki wypukłością w dół, powoduje dodatni moment zginający w przekroju. A moment wytworzony przez takie obciążenie jest uwzględniany w sumie algebraicznej do określenia ze znakiem „plus”.

Widzimy dwa wysiłki: reakcję i moment końcowy. Jednakże dźwignia siły w stosunku do sekcji 1 wynosi zero. Dlatego

kNm.

Przyjęliśmy znak „plus”, ponieważ moment reaktywny ugina widoczną dla nas część belki wypukłą w dół.

Sekcja 2. Tak jak poprzednio, zakrywamy całą prawą stronę belki kartką papieru. Teraz, w przeciwieństwie do pierwszej sekcji, siła ma ramię: m. Dlatego

kN; kNm.

Sekcja 3. Zamykając prawą stronę belki, znajdujemy

kN;

Sekcja 4. Przykryj lewą stronę belki prześcieradłem. Następnie

kNm.

kNm.

.

Korzystając ze znalezionych wartości, konstruujemy wykresy sił ścinających (ryc. 3.12, b) i momentów zginających (ryc. 3.12, c).

W obszarach nieobciążonych wykres sił ścinających przebiega równolegle do osi belki, a pod obciążeniem rozłożonym q - wzdłuż nachylonej linii prostej w górę. Pod reakcją podporową na wykresie znajduje się skok w dół o wartość tej reakcji, czyli o 40 kN.

Na wykresie momentów zginających widzimy przerwanie pod reakcją podporową. Kąt zgięcia jest skierowany w stronę reakcji podporowej. Pod obciążeniem rozproszonym q wykres zmienia się zgodnie z parabola kwadratowa, którego wypukłość jest skierowana w stronę ładunku. W punkcie 6 na wykresie znajduje się ekstremum, ponieważ wykres siły tnącej w tym miejscu przechodzi przez wartość zerową.

Określ wymaganą średnicę przekroju poprzecznego belki

Normalny warunek wytrzymałości na naprężenia ma postać:

,

gdzie jest moment oporu belki podczas zginania. Dla belki o przekroju kołowym jest ona równa:

.

Największa wartość bezwzględna momentu zginającego występuje w trzecim odcinku belki: kNcm

Następnie wymaganą średnicę belki określa się ze wzoru

cm.

Akceptujemy mm. Następnie

kN/cm2 kN/cm2.

„Przepięcie” jest

,

co jest dozwolone.

Wytrzymałość belki sprawdzamy przy największych naprężeniach ścinających

Największe naprężenia ścinające powstające w przekroju poprzecznym belki okrągły przekrój, oblicza się według wzoru

,

gdzie jest pole przekroju poprzecznego.

Zgodnie ze schematem największa algebraiczna wartość siły ścinającej jest równa kN. Następnie

kN/cm2 kN/cm2,

oznacza to, że warunek wytrzymałości na naprężenia styczne jest również spełniony i to z dużym marginesem.

Przykład rozwiązania problemu „prostego zginania poprzecznego” nr 2

Stan przykładowego problemu na prostym zginaniu poprzecznym

Dla belki swobodnie podpartej obciążonej obciążeniem rozłożonym o natężeniu kN/m, sile skupionej kN i momencie skupionym kN m (rys. 3.13) należy skonstruować wykresy sił tnących i momentów zginających oraz wybrać belkę dwuteową przekrój poprzeczny przy dopuszczalnym naprężeniu normalnym kN/cm2 i dopuszczalnym naprężeniu stycznym kN/cm2. Rozpiętość belek m.

Przykład problemu zginania prostego - schemat obliczeniowy

Ryż. 3.13

Rozwiązanie przykładowego problemu dotyczącego zginania prostego

Wyznaczanie reakcji podporowych

Dla danej belki swobodnie podpartej należy znaleźć trzy reakcje podporowe: , i . Ponieważ na belkę działają tylko obciążenia pionowe, prostopadłe do jej osi, reakcja pozioma nieruchomej podpory przegubowej A wynosi zero: .

Kierunki reakcji pionowych dobierane są dowolnie. Skierujmy na przykład obie reakcje pionowe w górę. Aby obliczyć ich wartości, utwórzmy dwa równania statyczne:

Przypomnijmy, że wypadkowa obciążenia liniowego równomiernie rozłożonego na odcinku o długości l jest równa polu wykresu tego obciążenia i jest przyłożona w środku ciężkości tego obciążenia schemat, czyli w środku długości.

;

kN.

Sprawdźmy: .

Przypomnijmy, że siły, których kierunek pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi Y, są rzutowane (rzutowane) na tę oś ze znakiem plus:

to prawda.

Konstruujemy wykresy sił ścinających i momentów zginających

Długość belki dzielimy na osobne sekcje. Granice tych odcinków stanowią punkty przyłożenia sił skupionych (czynnych i/lub reaktywnych) oraz punkty odpowiadające początkowi i końcowi obciążenia rozłożonego. W naszym problemie są trzy takie sekcje. Wzdłuż granic tych przekrojów zarysujemy sześć przekrojów, w których obliczymy wartości sił ścinających i momentów zginających (ryc. 3.13, a).

Sekcja 1. Odrzućmy mentalnie prawą stronę belki. Dla wygody obliczenia siły ścinającej i momentu zginającego powstającego w tej sekcji, wyrzuconą przez nas część belki zakryjemy kartką papieru, wyrównując lewą krawędź kartki papieru z samą sekcją.

Siła tnąca w przekroju belki jest równa sumie algebraicznej wszystkich sił zewnętrznych (czynnych i reaktywnych), które widzimy. W w tym przypadku widzimy reakcję podpory i obciążenia liniowego q rozłożonego na nieskończenie małej długości. Wynikowe obciążenie liniowe wynosi zero. Dlatego

kN.

Znak plus jest brany, ponieważ siła obraca widoczną dla nas część belki względem pierwszego odcinka (krawędź kartki papieru) w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

Moment zginający w przekroju belki jest równy sumie algebraicznej momentów wszystkich sił, które widzimy w odniesieniu do rozpatrywanego przekroju (to znaczy względem krawędzi kartki papieru). Widzimy reakcję podporową i obciążenie liniowe q rozłożone na nieskończenie małej długości. Jednakże siła ma dźwignię zerową. Wynikowe obciążenie liniowe również wynosi zero. Dlatego

Sekcja 2. Tak jak poprzednio, zakrywamy całą prawą stronę belki kartką papieru. Teraz widzimy reakcję i obciążenie q działające na odcinek długości. Wynikowe obciążenie liniowe jest równe . Mocuje się go pośrodku odcinka długości. Dlatego

Przypomnijmy, że wyznaczając znak momentu zginającego, uwalniamy w myślach widzianą przez nas część belki ze wszystkich rzeczywistych zamocowań nośnych i wyobrażamy sobie ją tak, jakby była ściśnięta w rozpatrywanym przekroju (to znaczy wyobrażamy sobie w myślach lewą krawędź kartki papieru jako sztywne osadzenie).

Sekcja 3. Zamknijmy prawą stronę. Dostajemy

Sekcja 4. Przykryj prawą stronę belki prześcieradłem. Następnie

Teraz, aby sprawdzić poprawność obliczeń, zakryjmy lewą stronę belki kartką papieru. Widzimy siłę skupioną P, reakcję prawej podpory i obciążenie liniowe q rozłożone na nieskończenie małej długości. Wynikowe obciążenie liniowe wynosi zero. Dlatego

kNm.

Oznacza to, że wszystko jest w porządku.

Sekcja 5. Podobnie jak poprzednio, zamknij lewą stronę belki. Będzie miał

kN;

kNm.

Sekcja 6. Zamknijmy ponownie lewą stronę belki. Dostajemy

kN;

Korzystając ze znalezionych wartości, konstruujemy wykresy sił ścinających (ryc. 3.13, b) i momentów zginających (ryc. 3.13, c).

Dbamy o to, aby pod obszarem nieobciążonym wykres sił tnących przebiegał równolegle do osi belki, a pod obciążeniem rozłożonym q - po linii prostej opadającej w dół. Na wykresie występują trzy skoki: pod reakcją w górę o 37,5 kN, pod reakcją w górę o 132,5 kN i pod siłą P w dół o 50 kN.

Na wykresie momentów zginających widzimy pęknięcia pod wpływem siły skupionej P oraz pod reakcjami podporowymi. Kąty złamania są skierowane w stronę tych sił. Pod rozproszonym obciążeniem o natężeniu q wykres zmienia się wzdłuż paraboli kwadratowej, której wypukłość jest skierowana w stronę obciążenia. Pod momentem skupionym następuje skok o 60 kN m, to znaczy o wielkość samego momentu. W sekcji 7 na wykresie znajduje się ekstremum, ponieważ wykres siły ścinającej dla tej sekcji przechodzi przez wartość zerową (). Wyznaczmy odległość odcinka 7 od lewej podpory.

Odkształcenie zginające polega na skrzywieniu osi prostego pręta lub zmianie początkowej krzywizny prostego pręta (rys. 6.1). Zapoznajmy się z podstawowymi pojęciami stosowanymi przy rozważaniu odkształceń zginających.

Nazywa się pręty, które się wyginają belki.

Czysty zwane zginaniem, w którym moment zginający jest jedynym czynnikiem siły wewnętrznej powstającym w przekroju poprzecznym belki.

Częściej w przekroju pręta wraz z momentem zginającym powstaje również siła poprzeczna. To zginanie nazywa się poprzecznym.

Płaskie (proste) zwane zginaniem, gdy płaszczyzna działania momentu zginającego w przekroju przechodzi przez jedną z głównych osi środkowych przekroju.

Na ukośny zakręt płaszczyzna działania momentu zginającego przecina przekrój belki wzdłuż linii, która nie pokrywa się z żadną z głównych środkowych osi przekroju.

Nasze badanie odkształcenia zginającego rozpoczynamy od przypadku zginania czysto płaskiego.

Normalne naprężenia i odkształcenia podczas czystego zginania.

Jak już wspomniano, z czystym zagięciem płaskim w przekroju sześciu siły wewnętrzne nowe czynniki, tylko moment zginający nie jest zerowy (ryc. 6.1, c):

Eksperymenty przeprowadzone na modelach sprężystych pokazują, że jeśli na powierzchnię modelu zostanie nałożona siatka linii (ryc. 6.1, a), to przy czystym zginaniu odkształca się ona w następujący sposób (ryc. 6.1, b):

a) linie podłużne są zakrzywione na obwodzie;

b) kontury przekrojów pozostają płaskie;

c) linie konturowe przekrojów przecinają się wszędzie z włóknami podłużnymi pod kątem prostym.

Na tej podstawie można założyć, że przy czystym zginaniu przekroje belki pozostają płaskie i obracają się tak, że pozostają normalne do zakrzywionej osi belki (w hipotezie zginania przekroje płaskie).

Ryż. 6.1

Mierząc długość linii podłużnych (ryc. 6.1, b), można stwierdzić, że górne włókna wydłużają się, gdy belka zgina się, a dolne skracają się. Oczywiście można znaleźć włókna, których długość pozostaje niezmieniona. Nazywa się zestaw włókien, które nie zmieniają swojej długości podczas zginania belki warstwa neutralna (n.s.). Warstwa neutralna przecina przekrój belki w linii prostej, co nazywa się odcinek linii neutralnej (nl)..

Aby wyprowadzić formułę określającą wartość normalny stres powstałe w przekroju poprzecznym, rozważ przekrój belki w stanie odkształconym i nieodkształconym (ryc. 6.2).

Ryż. 6.2

Korzystając z dwóch nieskończenie małych przekrojów wybieramy element długości
. Przed odkształceniem przekroje ograniczające element
, były do ​​siebie równoległe (ryc. 6.2, a), a po odkształceniu lekko wygięły się, tworząc kąt
. Długość włókien leżących w warstwie neutralnej nie zmienia się podczas zginania
. Oznaczmy literą promień krzywizny śladu warstwy neutralnej na płaszczyźnie rysunku . Wyznaczmy odkształcenie liniowe dowolnego włókna
, położony w pewnej odległości z warstwy neutralnej.

Długość tego włókna po odkształceniu (długość łuku
) jest równe
. Biorąc pod uwagę, że przed odkształceniem wszystkie włókna miały tę samą długość
, stwierdzamy, że bezwzględne wydłużenie rozpatrywanego włókna

Jego względne odkształcenie

To oczywiste
, gdyż długość włókna leżącego w warstwie neutralnej nie uległa zmianie. Potem po wymianie
dostajemy

(6.2)

Dlatego względne odkształcenie wzdłużne jest proporcjonalne do odległości włókna od osi neutralnej.

Wprowadźmy założenie, że podczas zginania włókna podłużne nie naciskają na siebie. Przy tym założeniu każde włókno ulega odkształceniu w izolacji, poddając się prostemu rozciąganiu lub ściskaniu, w wyniku czego
. Biorąc pod uwagę (6.2)

, (6.3)

to znaczy naprężenia normalne są wprost proporcjonalne do odległości rozpatrywanych punktów przekroju od osi neutralnej.

Podstawmy zależność (6.3) do wyrażenia na moment zginający
w przekroju (6.1)

.

Przypomnijmy, że całka
reprezentuje moment bezwładności przekroju względem osi

.

(6.4)

Zależność (6.4) przedstawia prawo Hooke'a dotyczące zginania, ponieważ wiąże ono odkształcenie (krzywizna warstwy neutralnej
) z momentem aktorskim w sekcji. Praca
nazywa się sztywnością przekroju podczas zginania, N m 2.

Podstawmy (6.4) do (6.3)

(6.5)

Jest to wymagany wzór do określenia naprężeń normalnych podczas czystego zginania belki w dowolnym punkcie jej przekroju.

Aby ustalić, gdzie w przekroju znajduje się linia neutralna, podstawiamy wartość naprężeń normalnych do wyrażenia na siłę wzdłużną
i moment zginający

Ponieważ
,

;

(6.6)

(6.7)

Równość (6.6) wskazuje, że oś – oś neutralna przekroju – przechodzi przez środek ciężkości przekroju.

Pokazuje to równość (6.7). I - główne osie środkowe przekroju.

Zgodnie z (6.5) najwyższe napięcie osiąga się we włóknach położonych najdalej od linii neutralnej

Postawa reprezentuje osiowy moment oporu przekroju względem jego osi środkowej , Oznacza

Oznaczający dla najprostszych przekrojów:

Dla przekroju prostokątnego

, (6.8)

Gdzie - bok przekroju prostopadły do ​​osi ;

- bok przekroju równoległy do ​​osi ;

Do przekroju okrągłego

, (6.9)

Gdzie - średnica przekroju kołowego.

Warunek wytrzymałości dla normalnych naprężeń zginających można zapisać w postaci

(6.10)

Wszystkie otrzymane wzory uzyskano dla przypadku czystego zginania prostego pręta. Działanie siły poprzecznej powoduje, że hipotezy leżące u podstaw wniosków tracą na mocy. Jednak praktyka obliczeniowa pokazuje, że nawet podczas zginania poprzecznego belek i ram, gdy znajdują się one w przekroju, oprócz momentu zginającego
istnieje również siła wzdłużna
i siła ścinająca , możesz skorzystać ze wzorów podanych dla czystego zginania. Błąd jest nieistotny.

Czysty zakręt Ten rodzaj zginania nazywany jest miejscem, w którym odbywa się akcja tylko moment zginający(ryc. 3.5, A). Narysujmy w myślach płaszczyznę przekroju I-I prostopadle do osi podłużnej belki w odległości * od wolnego końca belki, do której przykładany jest moment zewnętrzny m z . Wykonajmy działania podobne do tych, które wykonaliśmy przy wyznaczaniu naprężeń i odkształceń podczas skręcania, a mianowicie:

• 1) ułóżmy równania równowagi dla mentalnie odciętej części części;
• 2) określamy odkształcenie materiału części w oparciu o warunki zgodności odkształceń objętości elementarnych danego przekroju;
• 3) rozwiązywać równania równowagi i zgodności odkształceń.

Z warunku równowagi odciętego odcinka belki (ryc. 3.5, B)

stwierdzamy, że moment sił wewnętrznych Mz równy momentowi sił zewnętrznych t: M = t.

Ryż. 3.5.

Moment sił wewnętrznych tworzony jest przez naprężenia normalne o v skierowane wzdłuż osi x. Przy czystym zginaniu nie występują siły zewnętrzne, dlatego suma rzutów sił wewnętrznych na dowolną oś współrzędnych wynosi zero. Na tej podstawie warunki równowagi zapisujemy w postaci równości

Gdzie A- pole przekroju poprzecznego belki (pręta).

Przy czystym zginaniu siły zewnętrzne Fx, F, Fv jak również momenty sił zewnętrznych t x, t y są równe zeru. Dlatego pozostałe równania równowagi są identycznie równe zeru.

Z warunku równowagi kiedy o^O z tego wynika

normalne napięcie cx w przekroju przyjmują zarówno wartości dodatnie, jak i ujemne. (Doświadczenie pokazuje, że podczas zginania materiał dolnej strony belki na ryc. 3.5, A rozciągana, a górna ściskana.) W konsekwencji w przekroju poprzecznym podczas zginania powstają takie objętości elementarne (warstwy przejściowej od ściskania do rozciągania), w których nie występuje wydłużenie ani ściskanie. Ten - warstwa neutralna. Nazywa się linię przecięcia warstwy neutralnej z płaszczyzną przekroju linia neutralna.

Warunki zgodności odkształceń objętości elementarnych podczas zginania są tworzone na podstawie hipotezy przekrojów płaskich: przekroje belki są płaskie przed zginaniem (patrz ryc. 3.5, B) pozostanie płaska nawet po zgięciu (ryc. 3.6).

W wyniku działania momentu zewnętrznego belka wygina się i płaszczyzny sekcje I-I i II-II obracają się względem siebie o kąt dy(ryc. 3.6, B). Przy czystym zginaniu odkształcenie wszystkich przekrojów wzdłuż osi belki jest takie samo, dlatego promień pk krzywizny warstwy neutralnej belki wzdłuż osi x jest taki sam. Ponieważ dx= str K dip, wówczas krzywizna warstwy neutralnej jest równa 1 / p k = zanurzać / dx i jest stała na całej długości belki.

Warstwa neutralna nie ulega odkształceniu, jej długość przed i po odkształceniu jest równa dx. Poniżej tej warstwy materiał jest rozciągany, powyżej jest ściskany.

Ryż. 3.6.

Wartość wydłużenia warstwy rozciągniętej znajdującej się w odległości y od warstwy neutralnej jest równa ydq. Wydłużenie względne tej warstwy:

Zatem w przyjętym modelu uzyskuje się liniowy rozkład odkształceń w zależności od odległości danej objętości elementarnej od warstwy neutralnej, tj. wzdłuż wysokości przekroju belki. Zakładając, że nie ma wzajemnego nacisku równoległych warstw materiału na siebie (o y = 0, a, = 0), piszemy prawo Hooke’a dla rozciągania liniowego:

Zgodnie z (3.13) naprężenia normalne w przekroju belki rozkładają się według prawa liniowego. Naprężenie elementarnej objętości materiału znajdującej się najdalej od warstwy neutralnej (ryc. 3.6, V), maksymalne i równe

? Zadanie 3.6

Wyznaczyć granicę sprężystości ostrza stalowego o grubości /= 4 mm i długości /= 80 cm, jeżeli jego zgięcie w półkole nie powoduje odkształceń szczątkowych.

Rozwiązanie

Naprężenie zginające o v = Ej/ r k. Weźmy y max = T/ 2i r k = / / Do.

Granica sprężystości musi odpowiadać stanowi z уп > c v = 1 / 2 kE t /1.

Odpowiedź: o = ] / 2 do 2 10 11 4 10 _3 / 0,8 = 1570 MPa; Granica plastyczności tej stali wynosi a t > 1800 MPa, co przekracza a t najwytrzymalszych stali sprężynowych. ?

? Problem 3.7

Określ minimalny promień bębna do nawijania taśmy o grubości / = 0,1 mm Element grzewczy wykonana ze stopu niklu, w którym materiał taśmy nie ulega odkształceniom plastycznym. Moduł E= 1,6 10 5 MPa, granica sprężystości około yp = 200 MPa.

Odpowiedź: minimalny promień р = V 2 ?ir/a yM = У? 1,6-10 11 0,1 10 -3 / (200 10 6) = = 0,04 m?

1. Rozwiązując łącznie pierwsze równanie równowagi (3.12) i równanie kompatybilności odkształceń (3.13), otrzymujemy

Oznaczający mi/ r k φ 0 i takie same dla wszystkich elementów dA obszary integracji. Zatem równość ta jest spełniona tylko pod warunkiem

Całka ta nazywa się moment statyczny pola przekroju poprzecznego wokół osiz? Jakie jest fizyczne znaczenie tej całki?

Weźmy płytę o stałej grubości /, ale o dowolnym profilu (ryc. 3.7). Zawieśmy ten talerz w pewnym miejscu Z tak, aby znajdował się w pozycji poziomej. Oznaczmy symbolem y m środek ciężkości materiał płyty, następnie ciężar objętości elementarnej wraz z powierzchnią dA równa się dq= y JdA. Ponieważ płyta jest w stanie równowagi, to od równości do zera rzutów sił na oś Na dostajemy

Gdzie G= y MtA- waga płyty.

Ryż. 3.7.

Suma momentów sił wszystkich sił względem osi z przejście przez dowolną sekcję płyty wynosi również zero:

Biorąc pod uwagę, że Yc = G, napiszmy

Zatem, jeśli całka postaci J xdA według obszaru A równa się

zero, zatem x do = 0. Oznacza to, że punkt C pokrywa się ze środkiem ciężkości płyty. Zatem z równości S z = J ydA = 0 w terminie

zginanie powoduje, że środek ciężkości przekroju poprzecznego belki znajduje się na linii neutralnej.

Dlatego wartość tak przekrój poprzeczny belki wynosi zero.

• 1. Linia neutralna podczas zginania przechodzi przez środek ciężkości przekroju poprzecznego belki.
• 2. Środek ciężkości przekroju poprzecznego jest środkiem redukcji momentów sił zewnętrznych i wewnętrznych.

Zadanie 3.8

Zadanie 3.9

2. Rozwiązując łącznie drugie równanie równowagi (3.12) i równanie kompatybilności odkształceń (3.13), otrzymujemy

Całka J z= J y 2 dA zwany moment bezwładności poprzecznego

przekrój belki (pręta) względem osi z, przechodzącego przez środek ciężkości przekroju poprzecznego.

Zatem, M z = E jot z / r k. Biorąc to pod uwagę do x = Ee x = Ey/ r k i mi/ r k = x / y, otrzymujemy zależność naprężeń normalnych Oh podczas zginania:

1. Naprężenie zginające w danym punkcie przekroju nie zależy od normalnego modułu sprężystości MI, ale zależy od parametru geometrycznego przekroju J z i odległości Na od danego punktu do środka ciężkości przekroju poprzecznego.

2. Maksymalne naprężenie podczas zginania występuje w elementarnych objętościach najbardziej oddalonych od linii neutralnej (patrz ryc. 3.6, V):

Gdzie W z- moment oporu przekroju poprzecznego względem osi Z-

Warunek wytrzymałości przy czystym zginaniu jest podobny do warunku wytrzymałości przy rozciąganiu liniowym:

gdzie [am | - dopuszczalne naprężenie zginające.

Oczywiste jest, że wewnętrzne objętości materiału, zwłaszcza w pobliżu osi neutralnej, praktycznie nie są obciążone (patrz ryc. 3.6, V). Jest to sprzeczne z wymogiem minimalizacji zużycia materiału konstrukcji. Poniżej pokażemy kilka sposobów przezwyciężenia tej sprzeczności.

10.1. Pojęcia ogólne i definicje

Schylać się- jest to rodzaj obciążenia, w którym pręt obciążony jest momentami w płaszczyznach przechodzących przez oś podłużną pręta.

Pręt, który się wygina, nazywany jest belką (lub drewnem). W przyszłości rozważymy belki prostoliniowe, których przekrój ma co najmniej jedną oś symetrii.

Wytrzymałość materiałów dzieli się na zginanie płaskie, ukośne i złożone.

Płaski zakręt– zginanie, w którym wszystkie siły zginające belkę leżą w jednej z płaszczyzn symetrii belki (w jednej z płaszczyzn głównych).

Głównymi płaszczyznami bezwładności belki są płaszczyzny przechodzące przez główne osie przekrojów poprzecznych i oś geometryczną belki (oś x).

Ukośny zakręt– zginanie, w którym obciążenia działają w jednej płaszczyźnie, która nie pokrywa się z głównymi płaszczyznami bezwładności.

Skomplikowany zakręt– zginanie, w którym obciążenia działają w różnych (dowolnych) płaszczyznach.

10.2. Wyznaczanie wewnętrznych sił zginających

Rozważmy dwa typowe przypadki zginania: w pierwszym przypadku belka wspornikowa jest zginana momentem skupionym Mo; w drugim - siła skupiona F.

Stosując metodę przekrojów mentalnych i układając równania równowagi dla odciętych części belki wyznaczamy siły wewnętrzne w obu przypadkach:

Pozostałe równania równowagi są oczywiście identyczne i równe zeru.

Zatem w ogólnym przypadku zginania płaskiego w przekroju belki z sześciu sił wewnętrznych powstają dwie - moment zginający Mz i siła ścinająca Qy (lub przy zginaniu względem innej osi głównej – moment zginający My i siła ścinająca Qz).

Ponadto, zgodnie z dwoma rozważanymi przypadkami obciążenia, płaski zakręt można podzielić na czyste i poprzeczne.

Czysty zakręt– zginanie płaskie, podczas którego w przekrojach pręta z sześciu sił wewnętrznych powstaje tylko jedna – moment zginający (patrz przypadek pierwszy).

Zakręt poprzeczny– zginanie, podczas którego w przekrojach pręta oprócz wewnętrznego momentu zginającego powstaje także siła poprzeczna (patrz przypadek drugi).

Ściśle mówiąc, do proste typy obowiązuje tylko opór czysty zakręt; zginanie poprzeczne jest tradycyjnie klasyfikowane jako prosty rodzaj oporu, ponieważ w większości przypadków (w przypadku wystarczająco długich belek) wpływ siły poprzecznej można pominąć przy obliczaniu wytrzymałości.

Przy określaniu wysiłków wewnętrznych będziemy przestrzegać następna zasada oznaki:

1) siłę poprzeczną Qy uważa się za dodatnią, jeżeli ma ona tendencję do obracania danego elementu belki w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara;

2) moment zginający Mz uważa się za dodatni, jeśli podczas zginania elementu belkowego górne włókna elementu są ściskane, a dolne rozciągane (zasada parasola).

Zatem rozwiązanie problemu wyznaczania sił wewnętrznych podczas zginania zostanie zbudowane według następującego planu: 1) w pierwszym etapie, biorąc pod uwagę warunki równowagi konstrukcji jako całości, wyznaczamy, jeśli to konieczne, nieznane reakcje podpór (należy pamiętać, że w przypadku belki wspornikowej reakcje w osadzeniu można znaleźć, ale nie można ich znaleźć, jeśli rozważymy belkę od wolnego końca); 2) w drugim etapie wybieramy charakterystyczne przekroje belki, przyjmując jako granice przekrojów punkty przyłożenia sił, punkty zmiany kształtu lub rozmiaru belki, punkty mocowania belki; 3) w trzecim etapie wyznaczamy siły wewnętrzne w przekrojach belki, uwzględniając warunki równowagi elementów belki w każdym przekroju.

10.3. Zależności różniczkowe podczas zginania

Ustalmy pewne zależności między siłami wewnętrznymi a zewnętrznymi obciążeniami zginającymi, a także cechy diagramy Q i M, których znajomość ułatwi budowę diagramów i pozwoli kontrolować ich poprawność. Dla wygody zapisu będziemy oznaczać: M≡Mz, Q≡Qy.

Wybierzmy mały element dx w przekroju belki pod dowolnym obciążeniem w miejscu, w którym nie występują siły i momenty skupione. Ponieważ cała belka jest w równowadze, element dx również będzie w równowadze pod działaniem przyłożonych do niego sił siły ścinające, momenty zginające i obciążenie zewnętrzne. Ponieważ Q i M generalnie się różnią

osi belki, wówczas w przekrojach elementu dx wystąpią siły poprzeczne Q i Q+dQ oraz momenty zginające M i M+dM. Z warunku równowagi wybranego elementu otrzymujemy

Pierwsze z dwóch zapisanych równań daje warunek

Z drugiego równania, zaniedbując wyraz q dx (dx/2) jako nieskończenie małą wielkość drugiego rzędu, znajdujemy

Biorąc pod uwagę wyrażenia (10.1) i (10.2) razem możemy otrzymać

Relacje (10.1), (10.2) i (10.3) nazywane są różniczkami zależności D.I. Żurawskiego podczas zginania.

Analiza powyższego zależności różnicowe podczas zginania pozwala na ustalenie pewnych cech (zasad) konstruowania wykresów momentów zginających i sił tnących: a – w obszarach, gdzie nie występuje obciążenie rozłożone q, wykresy Q ograniczają się do prostych równoległych do podstawy, a wykresy M ograniczają się do nachylonych linii prostych; b – w obszarach, w których na belkę działa obciążenie rozłożone q, wykresy Q ograniczają się ukośnymi liniami prostymi, a wykresy M – parabolami kwadratowymi.

Ponadto, jeśli zbudujemy diagram M „na rozciągniętym włóknie”, to wypukłość paraboli będzie skierowana w kierunku działania q, a ekstremum będzie zlokalizowane w miejscu przecięcia wykresu Q z linią bazową; c – na odcinkach, gdzie na belkę działa siła skupiona, na wykresie Q wystąpią skoki o wielkość i w kierunku tej siły, a na wykresie M wystąpią załamania, wierzchołek skierowany w kierunku działanie tej siły; d – w przekrojach, w których na belkę działa moment skupiony, na wykresie Q nie nastąpią zmiany, a na wykresie M wystąpią skoki wielkości tego momentu; d – w obszarach, gdzie Q>0, moment M wzrasta oraz w obszarach, gdzie Q<0, момент М убывает (см. рисунки а–г).

10.4. Naprężenia normalne podczas czystego zginania belki prostej

Rozważmy przypadek czystego płaskiego zginania belki i wyprowadźmy wzór na określenie naprężeń normalnych dla tego przypadku.

Należy zauważyć, że w teorii sprężystości można uzyskać dokładną zależność na naprężenia normalne podczas czystego zginania, jednak jeśli problem ten zostanie rozwiązany metodami wytrzymałości materiałów, konieczne jest wprowadzenie pewnych założeń.

Istnieją trzy takie hipotezy dotyczące zginania:

a – hipoteza przekrojów płaskich (hipoteza Bernoulliego) – przekroje płaskie przed odkształceniem pozostają płaskie po odkształceniu, ale obracają się jedynie względem określonej linii, która nazywa się osią obojętną przekroju belki. W takim przypadku włókna belki leżącej po jednej stronie osi neutralnej rozciągają się, a po drugiej ściskają; włókna leżące na osi neutralnej nie zmieniają swojej długości;

b – hipoteza o stałości naprężeń normalnych – naprężenia działające w tej samej odległości y od osi neutralnej są stałe na całej szerokości belki;

c – hipoteza o braku nacisków bocznych – sąsiadujące ze sobą włókna podłużne nie naciskają na siebie.

Statyczna strona problemu

Aby określić naprężenia w przekrojach belki, bierzemy pod uwagę przede wszystkim statyczne strony problemu. Stosując metodę przekrojów mentalnych i układając równania równowagi dla odciętej części belki, znajdziemy siły wewnętrzne podczas zginania. Jak wykazano wcześniej, jedyną siłą wewnętrzną działającą w przekroju belki podczas czystego zginania jest wewnętrzny moment zginający, co oznacza, że ​​powstaną tu związane z nim naprężenia normalne.

Zależność sił wewnętrznych od naprężeń normalnych w przekroju belki znajdziemy rozważając naprężenia na powierzchni elementarnej dA, wybranej w przekroju A belki w punkcie o współrzędnych y i z (oś y skierowana jest w dół dla wygoda analizy):

Jak widzimy, problem jest wewnętrznie statycznie niewyznaczalny, ponieważ charakter rozkładu naprężeń normalnych w przekroju jest nieznany. Aby rozwiązać problem, rozważ geometryczny obraz odkształceń.

Geometryczna strona problemu

Rozważmy odkształcenie elementu belkowego o długości dx, oddzielonego od pręta zginanego w dowolnym punkcie o współrzędnej x. Biorąc pod uwagę wcześniej przyjętą hipotezę o przekrojach płaskich, po zgięciu odcinka belki obrócimy się względem osi obojętnej (n.o) o kąt dϕ, natomiast włókno ab oddalone od osi obojętnej o odległość y zamieni się w łuk okręgu a1b1, a jego długość zmieni się o pewien rozmiar. Przypomnijmy, że długość włókien leżących na osi neutralnej nie zmienia się, dlatego łuk a0b0 (którego promień krzywizny oznaczamy przez ρ) ma taką samą długość jak odcinek a0b0 przed odkształceniem a0b0=dx .

Znajdźmy względne odkształcenie liniowe εx włókna ab belki zakrzywionej:

Schylać się



Podstawowe pojęcia dotyczące gięcia

Odkształcenie zginające charakteryzuje się utratą prostoliniowości lub pierwotnego kształtu linii belki (jej osi) pod wpływem obciążenia zewnętrznego. W tym przypadku, w odróżnieniu od odkształcenia ścinającego, linia belki płynnie zmienia swój kształt.
Łatwo zauważyć, że na odporność na zginanie wpływa nie tylko pole przekroju poprzecznego belki (belki, pręta itp.), ale także kształt geometryczny tego przekroju.

Ponieważ zginanie korpusu (belki, drewna itp.) odbywa się względem dowolnej osi, na wytrzymałość na zginanie wpływa wartość osiowego momentu bezwładności przekroju nadwozia względem tej osi.
Dla porównania, podczas odkształcenia skrętnego odcinek korpusu ulega skręceniu względem bieguna (punktu), dlatego też na opór skręcania wpływa biegunowy moment bezwładności tego odcinka.

Wiele elementów konstrukcyjnych może się wygiąć - osie, wały, belki, zęby przekładni, dźwignie, drążki itp.

Przy wytrzymałości materiałów bierze się pod uwagę kilka rodzajów zakrętów:
- w zależności od charakteru obciążenia zewnętrznego przyłożonego do belki, istnieją czysty zakręt I zginanie poprzeczne;
- w zależności od położenia płaszczyzny działania obciążenia zginającego względem osi belki - prosty zakręt I ukośny zakręt.

Czyste i poprzeczne zginanie belek

Czyste zginanie to rodzaj odkształcenia, w którym w dowolnym przekroju belki występuje tylko moment zginający ( Ryż. 2).
Czyste odkształcenie zginające wystąpi na przykład, jeśli dwie pary sił o równej wielkości i przeciwnym znaku zostaną przyłożone do prostej belki w płaszczyźnie przechodzącej przez oś. Wtedy w każdym odcinku belki będą działać tylko momenty zginające.

Jeżeli zginanie następuje w wyniku przyłożenia siły poprzecznej do belki ( Ryż. 3), wówczas takie zagięcie nazywa się poprzecznym. W tym przypadku w każdym odcinku belki działa zarówno siła poprzeczna, jak i moment zginający (z wyjątkiem odcinka, na który przykładane jest obciążenie zewnętrzne).

Jeżeli belka ma co najmniej jedną oś symetrii i pokrywa się z nią płaszczyzna działania obciążeń, wówczas następuje zginanie bezpośrednie, natomiast jeśli warunek ten nie jest spełniony, następuje zginanie ukośne.

Badając odkształcenie zginania, wyobrazimy sobie w myślach, że belka (drewno) składa się z niezliczonej liczby włókien podłużnych równoległych do osi.
Aby zwizualizować odkształcenie prostego zakrętu, przeprowadzimy eksperyment z gumowym prętem, na który nałożona jest siatka linii podłużnych i poprzecznych.
Po poddaniu takiej belki zginaniu prostemu można zauważyć, że ( Ryż. 1):

Linie poprzeczne pozostaną proste podczas odkształcania, ale będą się obracać pod kątem względem siebie;
- odcinki belki będą rozszerzać się w kierunku poprzecznym po stronie wklęsłej i zwężać się po stronie wypukłej;
- podłużne linie proste ulegną wygięciu.

Z tego doświadczenia możemy stwierdzić, że:

W przypadku czystego zginania obowiązuje hipoteza przekrojów płaskich;
- włókna leżące po stronie wypukłej są rozciągane, po stronie wklęsłej są ściskane, a na granicy między nimi znajduje się neutralna warstwa włókien, które jedynie uginają się bez zmiany swojej długości.

Zakładając, że słuszna jest hipoteza o braku nacisku na włókna, można postawić tezę, że przy czystym zginaniu w przekroju belki powstają jedynie normalne naprężenia rozciągające i ściskające, nierównomiernie rozłożone w przekroju.
Nazywa się linię przecięcia warstwy neutralnej z płaszczyzną przekroju Oś neutralna. Jest oczywiste, że na osi neutralnej naprężenia normalne wynoszą zero.

Moment zginający i siła ścinająca

Jak wiadomo z mechaniki teoretycznej, reakcje podporowe belek wyznacza się poprzez ułożenie i rozwiązanie równań równowagi statycznej dla całej belki. Rozwiązując problemy wytrzymałości materiałów i wyznaczając współczynniki sił wewnętrznych w belkach, uwzględniliśmy reakcje połączeń wraz z obciążeniami zewnętrznymi działającymi na belki.
Do wyznaczenia współczynników sił wewnętrznych zastosujemy metodę przekroju, a belkę zobrazujemy tylko jedną linią – osią, do której przyłożone są siły czynne i reaktywne (obciążenia i reakcje reakcji).

Rozważmy dwa przypadki:

1. Na belkę działają dwie pary sił o znaku równości i przeciwnym znaku.
Biorąc pod uwagę równowagę części belki znajdującej się po lewej lub prawej stronie sekcji 1-1 (ryc. 2), widzimy, że we wszystkich przekrojach występuje tylko moment zginający M i równy momentowi zewnętrznemu. Jest to zatem przypadek czystego zginania.

Moment zginający jest wypadkowym momentem wokół neutralnej osi wewnętrznych sił normalnych działających w przekroju poprzecznym belki.

Zauważmy, że moment zginający ma inny kierunek dla lewej i prawej części belki. Wskazuje to na nieprzydatność reguły znaku statycznego przy wyznaczaniu znaku momentu zginającego.

2. Na belkę przykładane są siły czynne i bierne (obciążenia i reakcje) prostopadłe do osi (Ryż. 3). Biorąc pod uwagę równowagę części belki znajdujących się po lewej i prawej stronie, widzimy, że moment zginający M musi działać w przekrojach I i siła ścinająca Q.
Wynika z tego, że w rozpatrywanym przypadku w punktach przekrojów występują nie tylko naprężenia normalne odpowiadające momentowi zginającemu, ale także naprężenia styczne odpowiadające sile poprzecznej.

Siła poprzeczna jest wypadkową wewnętrznych sił stycznych w przekroju poprzecznym belki.

Zwróćmy uwagę na fakt, że siła poprzeczna ma przeciwny kierunek dla lewej i prawej części belki, co wskazuje, że reguła znaków statycznych nie jest odpowiednia przy wyznaczaniu znaku siły poprzecznej.

Zginanie, podczas którego w przekroju belki działa moment zginający i siła ścinająca, nazywa się poprzecznym.



Dla belki znajdującej się w równowadze wodnej pod działaniem płaskiego układu sił algebraiczna suma momentów wszystkich sił czynnych i reaktywnych względem dowolnego punktu jest równa zeru; dlatego suma momentów sił zewnętrznych działających na belkę po lewej stronie przekroju jest liczbowo równa sumie momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na belkę po prawej stronie przekroju.
Zatem, moment zginający w przekroju belki jest liczbowo równy sumie algebraicznej momentów względem środka ciężkości przekroju wszystkich sił zewnętrznych działających na belkę po prawej lub lewej stronie przekroju.

Dla belki znajdującej się w równowadze pod działaniem płaskiego układu sił prostopadłych do osi (tj. układu sił równoległych) suma algebraiczna wszystkich sił zewnętrznych jest równa zeru; dlatego suma sił zewnętrznych działających na belkę po lewej stronie przekroju jest liczbowo równa sumie algebraicznej sił działających na belkę po prawej stronie przekroju.
Zatem, siła poprzeczna w przekroju belki jest liczbowo równa sumie algebraicznej wszystkich sił zewnętrznych działających po prawej lub lewej stronie przekroju.

Ponieważ zasady znaków statycznych są niedopuszczalne do ustalania znaków momentu zginającego i siły tnącej, ustalimy dla nich inne zasady znaków, a mianowicie: Jeżeli obciążenie zewnętrzne ma tendencję do wyginania belki wypukłością w dół, to moment zginający w przekrój uważa się za dodatni i odwrotnie, jeśli obciążenie zewnętrzne ma tendencję do zginania belki wypukłością do góry, wówczas moment zginający w przekroju uważa się za ujemny ( Ryc. 4, a).

Jeżeli suma sił zewnętrznych leżących po lewej stronie przekroju daje wypadkową skierowaną w górę, wówczas siłę poprzeczną w przekroju uważa się za dodatnią, jeżeli wypadkowa skierowana jest w dół, wówczas siłę poprzeczną w przekroju uważa się za ujemną; dla części belki znajdującej się po prawej stronie przekroju znaki siły ścinającej będą przeciwne ( Ryż. 4,b). Korzystając z tych zasad, powinieneś wyobrazić sobie sekcję belki jako sztywno zaciśniętą, a połączenia jako odrzucone i zastąpione reakcjami.

Jeszcze raz zauważmy, że do wyznaczania reakcji wiązań stosuje się zasady znaków statyki, a do wyznaczania znaków momentu zginającego i siły poprzecznej stosuje się zasady znaków wytrzymałości materiałów.
Regułę znaków momentów zginających nazywa się czasami „zasadą deszczu”, co oznacza, że ​​w przypadku wypukłości w dół powstaje lej, w którym zatrzymywana jest woda deszczowa (znak jest dodatni) i odwrotnie – jeśli pod pod wpływem obciążeń belka wygina się po łuku do góry, nie występuje na niej opóźnienie wody (znak momentów zginających jest ujemny).

Materiały z działu „Gięcie”: