Построение прямых параллельных данной в заданных точках. Уроки по программе компас

В любом конструкторском курсе обучения, учат использовать тонкие вспомогательные линии, при создании чертежей. Раньше их наносили на кульмане, а затем вытирали из готового документа. Сейчас используют электронные программы для чертежа, но нужность вспомогательных линий даже не обговаривается. Хотя в Компас 3D с ними работать даже проще, чем на классическом кульмане. Вспомогательные линии используют для формирования нужных связей, разметки чертежа, создания определенных границ.

Программа позволяет создавать вспомогательные прямые несколькими способами, опять же, это очень удобно, так как порой применяется одни, а в другой ситуации иной способ нанесения вспомогательных линий.

1. Создание прямой линии, используя две точки.

Один из популярнейших способов. Для активации, необходимо открыть главное меню Инструменты – Геометрия - Вспомогательные прямые - Вспомогательная прямая.

Либо можно нажать в панели Геометрия-Вспомогательная прямая.

Зададим нашу линию, щелкнув левой клавишей на листе, так задав первую точку, затем укажем конечную точку линии. При этом, программа сама сформирует нужный угол наклона, для создаваемой прямой линии. Однако, вы можете изменить угол, введя свои значения в окошке снизу, после чего достаточно нажать Enter .

Вспомогательная линия сформирована, теперь необходимо нажать на знакомый значок Прервать команду , расположенный в панели свойств. Впрочем, активировать эту команду, завершив работу с линией можно и простым правым кликом мышки, а затем выбором соответствующего пункта в выпадающем меню.

Используя базовую точку, вы можете создать бесконечное число прямых линий, идущих под любыми углами. Кстати, если у вас есть координаты или с координатной сеткой работать удобнее, то вы всегда можете задать нужные значения в меню снизу. Вы поместите прямую линию, без всяких подгонок на листе. Стоит обратить внимание на группу Режимы , в ней имеется два важных переключателя. Первый активен при стандартном запуске - Не ставить точки пересечения , а второй можете выбрать сами - Ставить точки пересечения . Используя эту настройку, вы можете автоматически ставить точки на любых пересечениях, без дополнительных опций и ручной простановки.

Однако тут необходимо указать стиль Вспомогательная . Кстати, чтобы удалить все вспомогательные элементы, с готового чертежа достаточно активировать пункт в основном меню Редактор-Удалить-Вспомогательные кривые и точки. Работу с тчками на кривых мы подробно рассмотрели в уроке №3 .

2.Наносим горизонтальную прямую

Можно построить вспомогательные линии, используя горизонтальные прямые. Откроем уже знакомое меню Инструменты-Геометрия-Вспомогательные прямые-Горизонтальная прямая.

Более быстрый вариант, используя компактную панель, выбрать Геометрия -Горизонтальная прямая. Однако, на базовой панели не будет видна на экране, чтобы исправить положение, нажмите кнопку вспомогательных прямых и удерживайте ее некоторое время.

Осталось при помощи щелчка левой клавишей указать нужную точку, через которую и пропустим нашу прямую линию. Вы можете создать любое число горизонтальный линий. Для завершения работы, достаточно нажать Прервать команду в панели свойств или в выпадающем меню, по правой клавише мыши.

Также нужно запомнить, что горизонтальная прямая линия всегда параллельна текущей оси абсцисс. Однако при установки горизонтальных прямых, с использованием повернутой системы координат, они будут не горизонтальными уже на листе.

3. Наносим вертикальную прямую линию.

Общий механизм вызова механизма нанесения линий абсолютно идентичен выше описанному, за исключением выбора Вертикальная прямая .

Впрочем, тут нужно помнить несколько важных вещей. Создаваемая вертикальная прямая всегда параллельна только действующей оси координат, тут случай идентичен с горизонтальной прямой линией. Поэтому, если у вас измененная система координат, вертикальные прямые линии не будут параллельными листу.

4. Создаем параллельную прямую линию.

Построить параллельную прямую линию можно только при наличии любого объекта на листе. Именно этим линиям мы и создадим параллель. Причем, в качестве объектов для привязки, может выступать абсолютно любой объект, от прямых и вспомогательных линий, до граней многоугольных объектов. Итак, давайте в рамках урока, за основную возьмем горизонтальную прямую, которая идет от начала координат на нашем листе.

Вызов параллельной прямой линии идентичен, откройте Инструменты – Геометрия - Вспомогательные прямые - Параллельная прямая.

Либо используйте компактную панель, тут необходимо вызвать Геометрия-Параллельная прямая .

Теперь укажем базовый объект, к которому и проведем параллельную линию. В качестве объекта, как условились выступает горизонтальная прямая линия, выберите ее мышью. Затем, необходимо задать расстояние, на котором будет находиться наша параллельная линия. Внизу можно указать числовое значение, например 30 мм, либо оттяните прямую мышью, на нужное расстояние.

При задании расстояния числами, система предложит две фантомные линии, на одинаковом расстоянии. Это можно отключить, если в свойствах Количество прямых - Две прямые убрать активацию, переведя ее в создание одной прямой линии. Для фиксации созданной линии достаточно выбрать активный фантом, при помощи мыши и нажать на кнопку создать объект. Когда необходимо создать обе линии, еще раз нажмите создать объект, а затем прервите команду.

Когда необходимо построить новую параллельную линию, но возле другого объекта, достаточно нажать на кнопку Указать заново . Теперь, можно указывать новый объект и строить линию, способом описанным в рамках этой главы урока.

Вот собственно и все, в уроке мы раскрыли основы создания вспомогательных прямых линий .

Параллельные прямые. Определение

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Параллельность прямых а и b обозначают так: а||b. На рисунке 1 изображены прямые a и b, перпендикулярные к прямой с. Такие прямые а и b не пересекаются, т. е. они параллельны.

Наряду с параллельными прямыми часто рассматривают параллельные отрезки. Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. На рисунке (рис. 2,а) отрез­ки АВ и СD параллельны (АВ||СО) а отрезки МN и СD не параллельны. Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой (рис. 2,б), луча и прямой, отрезка и луча, двух лучей(рис. 2,в).

Признаки параллельности двух прямых

Прямая с называется секущей ми отношению к прямым а и b, если она пересекает их в двух точках (рис. 3). При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 3 обозначены цифрами.

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;
односторонние углы: 4 и 5, 3 и 6;
соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7.

Рассмотрим три признака параллельности двух прямых, связанные с этими парами углов.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ накрест лежащие углы равны: ∠1=∠2 (рис. 4, а).

Покажем,что а||b. Если углы 1 и 2 прямые (рис. 4, б), то прямые а и b перпендикулярны к прямой АВ и, следовательно, параллельны. Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые. Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр ОН к прямой а (рис. 4, в). На прямой b от точки В отложим отрезок ВН1 равный отрезку AH, как показано на рисунке 4, в, и проведем отрезок ОН1. Треугольники ОНА и ОН1В равны по двум сторонам и углу между ними (АО=ВО. АН=ВН1 ∠1=∠2), поэтому ∠3=∠4 и ∠15=∠16. Из равенства ∠3=∠4 следует, что точка Н1 лежит на продолжении луча ОН, т. е. точки Н, О и Н1 лежат на одной прямой, а из равенства ∠5=∠6 следует, что угол 6 - прямой (так как угол 5 - прямой). Значит, прямые а и b перпендикулярны к прямой НН1 поэтому они параллельны. Теорема доказана.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например ∠1=∠2 (рис. 5). Так как углы 2 и 3 - вертикальные, то ∠2=∠3. Из этих двух равенств следует, что ∠1=∠3. Но углы 1 и 3 - накрест лежащие, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Теорема. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Доказательство. Пусть при пересечении прямых а и b секущей с сумма односторонних углов равна 180°, например ∠1+∠4=180° (см. рис. 5). Так как углы 3 и 4 - смежные, то ∠3+∠4=180°. Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые а и b параллельны. Теорема доказана.

Практические способы построения параллельных прямых

Признаки параллельности прямых лежат в основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов, используемых на практике. Рассмотрим, например, способ построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки. Чтобы построить прямую, проходящую через точку М и параллельную данной прямой а, приложим чертежный угольник к прямой а, а к нему линейку так, как показано на рисунке 103. Затем, передвигая угольник вдоль линейки, добьемся того, чтобы точ ка М оказалась на стороне угольника, и проведем прямую b. Прямые а и b параллельны, так как соответственные углы, обозначенные на рисунке 103 буквами альфа и бета, равны.

Еще есть способ построения параллельных прямых при помощи рейсшины. Этим способом пользуются в чертежной практике.

Аналогичный способ применяется при выполнении столярных работ, где для разметки параллельных прямых используется малка (две деревянные планки, скрепленные шарниром).

Особое место в истории математики занимает пятый постулат Евклида (аксиома о параллельных прямых ). Долгое время математики безуспешно пытались вывести пятый постулат из остальных постулатов Евклида и лишь в середине XIX века благодаря исследованиям Н. И. Лобачевского , Б. Римана и Я. Бойяи стало ясно, что пятый постулат не может быть выведен из остальных, а система аксиом, предложенная Евклидом, не единственно возможная.

Аксиома параллельных прямых

Еще древние греки придумали простой способ: как провести циркулем и линейкой через точку А, лежащую вне данной прямой l, другую прямую m, не пересекающую прямую l. Но единственно ли решение этой задачи? Или через точку А можно провести несколько разных прямых, не пересекающих исходную прямую m?

Евклид, видимо, первый среди эллинов понял, что ответ на этот вопрос нельзя получить, исходя из прочих свойств прямых и точек – тех, которые он сформулировал в виде аксиом и постулатов. Нужно ввести дополнительный постулат о единственности искомой прямой m – и назвать эту прямую параллельной!

А возможны ли иные формулировки постулата о параллельных прямых – не совместимые с постулатом Евклида? Например, можно предположить существование нескольких разных прямых, не пересекающих данную прямую l и проходящих через общую точку А. Приведет ли такое предположение к логическому противоречию или нет? Если нет, то возможны иные геометрии, кроме евклидовой!

Первую неевклидову геометрию изобрели в 1820-е годы сразу три талантливых математика: немец Карл Гаусс, русский Николай Лобачевский и венгр Янош Бойяи. Русский математик оказался самым смелым и упорным из троих открывателей. Он первый опубликовал свою книгу с предсказанием замечательных свойств неевклидовых фигур. Например, на плоскости Лобачевского сумма внутренних углов треугольника всегда меньше 180 градусов. Она принимает разные значения для разных треугольников; при этом два подобных треугольника обязательно равны!

В конце 19 века геометры Клейн и Пуанкаре изобрели довольно простые модели поверхностей, на которых воплощается геометрия Лобачевского. Еще раньше Риман заметил, что на обычной сфере воплощена третья возможная геометрия (проективная): в ней «параллельных» прямых вовсе нет, а сумма внутренних углов треугольника всегда больше, чем 180 градусов.

До начала 20 века считалось, что неевклидовы геометрии могут быть полезны только внутри математической науки. Но в 1910-е годы Эйнштейн создал Общую Теорию Относительности: она оказалась четырехмерным воплощением неевклидовой геометрии Лобачевского. С тех пор физики верят, что каждая непротиворечивая математическая конструкция воплощена где-нибудь в Природе. Возможно, что так оно и есть.

Историческая справка

В древние века, буквально 2500 лет назад, в известной школе Пифагора греческое слово «параллелос» начали употреблять, как геометрический термин, хотя определения параллельных прямых в те времена еще не знали. Но исторические факты говорят о том, что древнегреческий ученый Евклид в третьем веке до нашей эры, в своих книгах все же, раскрыл смысл такого понятия, как параллельные прямые.

Как вам уже известно, из пройденного материала в предыдущих классах, термин «параллелос» в переводе с греческого языка обозначает рядом идущий или проведенный друг возле друга.

В математике для обозначения параллельных прямых существует специальный знак. Правда, не всегда знак параллельности имел теперешний вид. Так, например, древнегреческий математик Папп в третьем веке нашей эры для обозначения параллельности пользовался знаком равно «=». И лишь в восемнадцатом веке, благодаря Уильяму Оутреду для обозначения параллельных прямых, стали использовать знак «//». Если есть, например, параллельные а и в, то на письме их следует записывать, как а//в

А вот знак «=» во всеобщее обращение ввел Рекорд и его стали использовать, как знак равенства.

Параллельные прямые в быту и повседневной жизни

С параллельными прямыми мы часто встречаемся в окружающей нас жизни, хотя, как правило, редко на этом акцентируем свое внимание. На уроках музыки, открывая нотную тетрадь, сразу же невооруженным взглядом мы видим линии нотного стана. Но параллельные линии вы можете увидеть не только в нотных тетрадях и сборниках песен, но и если внимательно присмотритесь к музыкальным инструментам. Ведь струны гитары, арфы или органа также расположены параллельно.

Подняв на улице глаза вверх, вы видите параллельно проходящие электрические провода. Оказавшись в метро или на железной дороге, также не сложно заметить, что рельсы расположены параллельно друг к другу.

Параллельные линии можно встретить повсюду. Они нам постоянно встречаются в быту, живописи. Без них не обойтись и в архитектуре, так как в строительстве зданий строго учитывается понятие параллельности.

Если вы внимательно посмотрите на изображение, то сразу же заметите в этих архитектурных сооружениях присутствие параллельных прямых. Возможно, они служат так долго и остаются красивыми благодаря тому, что архитекторы и инженеры при создании этих культовых зданий использовали параллельные прямые.

А задумывались ли вы когда-нибудь над тем, почему в линиях электропередач, провода располагаются параллельно? И представьте себе, чтобы было, если бы они не были бы параллельными и пересекались или соприкасались друг с другом. А это привело бы к нехорошим последствиям, при которых могло произойти замыкание, перебоям и отсутствию электричества. А что могло произойти с поездом, если бы рельсы не были бы параллельными? Об этом даже страшно подумать.

Вам всем хорошо известно, что параллельные прямые никогда не пересекаются. Но если вы долго будете смотреть вдаль, в бесконечность, то в итоге можете увидеть, как параллельные прямые пересекаются. В этом случае мы с вами столкнулись с иллюзией зрения. Может быть, только благодаря таким иллюзиям и зрительным искажениям и появилась живопись.

Домашнее задание

1. Назовите свои примеры, где вы в повседневной жизни, в быту или в природе сталкиваетесь с моментами или фактами параллельности.
2. Какие вы знаете способы, благодаря которым можно начертить параллельные прямые? Назовите эти способы.
3. Начертите параллельные прямые в тетради, способами, которые вам известны.
4. При каких условиях прямые, можно назвать параллельными?

Вопросы:

1. Какие прямые называются параллельными?
2. Какие практические способы построения параллельных прямых существуют.?

Предмети > Математика > Математика 7 класс

Назад Вперёд

Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

Класс : 7

Тип урока: урок применения знания.

Форма урока : урок исследования объекта, постановки проблемы и ее решения.

Цели: Познакомить учащихся с различными способами построения параллельных прямых;

Задачи:

обучающие

• формулировать определение параллельных прямых, лучей и отрезков; находить их на чертеже и строить с помощью чертежных инструментов;
• Научить строить параллельные прямые с помощью линейки, угольника, угольника и линейки, циркуля и линейки.
• Научиться строить параллельные прямые, используя инструменты;

развивающие

• развивать умение сравнивать, анализировать, обобщать, делать вывод, осуществлять перенос знаний и умений в новой нестандартной ситуации;
• развивать умение анализировать информацию
• развивать пространственные представления и умения, научить пользоваться геометрическим языком;
• создать условия для развития познавательного интереса к математике

воспитательные

• воспитывать сознательное отношение к труду, расширять кругозор;
• воспитывать аккуратность, самостоятельность, интерес к предмету;
• воспитание математической культуры и речи

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, групповая.

Предметные учатся строить параллельные прямые, применяя различные способы, опираясь на изученный ранее материал.

Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению математики, способам решения учебных задач; дают позитивную оценку и самооценку учебной деятельности; адекватно воспринимают оценку учителя и сверстников; понимают причины успеха в учебной деятельности.

Метапредметные:

• регулятивные:

определяют цель учебной деятельности с помощью учителя и самостоятельно, осуществляют поиск средства ее достижения;

познавательные:

передают содержание в сжатом или развернутом виде;

коммуникативные:

умеют высказывать свою точку зрения, ее обосновать, приводя аргументы.

Формы работы на уроке:

• Фронтальная,
• Парная,
• Индивидуальная.

Организация деятельности учащихся на уроке:

• самостоятельно выходят на проблему и решают её;
• самостоятельно определяют тему, цели урока;
• работают с текстом учебника;
• работают с листом оценивания при выполнении заданий;
• отвечают на вопросы;
• решают самостоятельно задачи;
• оценивают себя и друг друга;
• рефлектируют.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация к уроку: презентация учителя, рабочий лист ученика, линейка, угольник, карандаш, учебник Геометрия 7-9 классы, Атанасян Л.С. и др. – М.: Просвещение, 2009.

Ход урока

Деятельность учителя	Деятельность обучающихся
1. Организационный момент
Учитель приветствует учеников, объясняет работу урока (рабочие листы)	Ученики слушают внимательно учителя
2. Мотивация к учебной деятельности
Ребята, как вы считаете, что общего между привычной для всех вас школьной тетрадью и моделью железной дороги (показываем тетрадь и рельсы )?	Дети высказывают свои предположения. Приводят аргументы в защиту своей версии (Все эти предметы объединяет понятие параллельности: тетради разлинованы параллельными линиями, железнодорожное полотно состоит из шпал и рельс).
А знаете ли вы, что тема параллельных прямых волновала людей с давних времен. Первый кто систематизировал знания о параллельных прямых был древнегреческий ученый – Евклид.	Ученики слушают историческую справку. Сообщение ученика.
А как вы думаете, так ли важны параллельные прямые в нашей жизни? Каким бы был мир, если бы в нем не было параллельности? Почему электрические провода параллельны? Почему рельсы параллельны? Почему тетради в линейку?	А) При строительстве зданий строго учитывают параллельность. (отвес). Б) железнодорожное полотно. В) эскалатор. Если бы они не были параллельными, значит, они соприкасались друг с другом, а это привело к замыканию, пробоям, при которых электрическая цепь размыкается и ток отключается. Если бы рельсы не были параллельными, то они где-нибудь бы сходились и поезд потерпел бы крушение.
Каждому современному человеку необходимо знать, как строятся параллельные прямые.
Где нам с вами может потребоваться построение параллельных прямых?	На доске, в тетради На компьютере На производстве В быту, на даче, на улице
Что необходимо нам для построения параллельных прямых?	Инструменты Знания: теоретический материал
Какими инструментами мы будем пользоваться?	Линейкой, угольником, циркулем Специальными инструментами Подручными средствами
Ребята, давайте с вами попробуем сформулировать тему урока.	Практические способы построения параллельных прямых (слайд 1)
Что мы должны узнать на уроке?	Учащиеся называют цели урока (слайд 2)
3. Актуализация знаний
Ребята, давайте вспомним теоретический материал, связанный с термином параллельность (слайд 3-11): А что вы еще знаете о параллельных прямых?	Учащиеся отвечают. 1. Какие прямые называются параллельными? Две прямые на плоскости называются параллельными , если они не пересекаются. 2. Какие два отрезка называются параллельными? Два отрезка называются параллельными , если они лежат на параллельных прямых. 3. Что такое секущая? Прямая называется секущей, если она пересекает две прямые в двух точках. 4. Назовите основные признаки параллельности прямых. 1.Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. 2. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. 3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
А как вы думаете, можно ли использовать эти признаки при построении параллельных прямых?	да
4. Физкультминутка.
5. Изучение нового материала. Практические способы построения параллельных прямых на классной доске, в тетради
Ребята, посмотрите, какие инструменты у нас есть в парте? Кто знает, как с помощью линейки построить параллельные прямые? Объясните факт параллельности.	Учащиеся отвечают на вопросы: линейка, чертежный треугольник, циркуль.
А) Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки
На рис. 103 (слайд 12 ) показан способ построения параллельных прямых на бумаге, доске. Ребята, какие из инструментов, изображают секущую? (линейка) Какие из инструментов, изображают угол? (чертежный треугольник) Достаточно ли одного угольника и одной линейки для построения параллельных прямых? Объясните способ построения. На чем основан способ? Задание 2. Постройте с помощью угольника и линейки параллельные прямые m и n. Слайд 13-15.	Учебник, стр. 57. Ищут ответы на вопросы учителя.
Б) Построение параллельных прямых с помощью циркуля и линейки
Посмотрите, как можно построить параллельные прямые с помощью циркуля и линейки Слайд 16-17 Окружность Два диаметра, Прямые – параллельные. Задание. Постройте с помощью циркуля и линейки параллельные прямые с и b.	Ученики по алгоритму строят параллельные прямые.
На производстве Слайд 18 В) Построение параллельных прямых с помощью рейсшины
Изобретательская мысль человечества не стоит на месте, и для более удобного построения чертежа и проведения параллельных линий был придуман специальный чертежный инструмент – рейсшина (слайд 18 ). Рейсшина – чертежный прибор для проведения параллельных линий, который состоит из линейки с поперечной планкой.
Приводятся примеры: Малка -инструмент для перенесения угловых размеров при разметке деталей, для построения параллельных прямых. (слайд 19)
Рейсмус – инструмент для проведения на заготовке разметочных линий, параллельных выбранной базовой линии (слайд 20)
Скоба - Для одновременного прочерчивания большего количества линий (слайд 21)
6. Закрепление изученного материала
Задание. Через вершины треугольника АВС проведите прямые, параллельные прямой l. Слайд 22.	Строят в тетради.
7. Итог урока
Ребята, давайте вспомним с помощью каких инструментов мы научились строить параллельные прямые?	Учащиеся отвечают на вопрос
8. Домашнее задание
Стр. 57 п. 26 рассмотреть способы построения. Стр. 58-59, №194, №195
Рефлексия
Наш урок подходит к концу. Пожалуйста, поделитесь с нами своими мыслями о сегодняшнем занятии. Вам для этого помогут слова: На уроке я понял... Я узнал, что... Теперь я... Мне понравилось... Я думаю...

Литература.

1. Атанасян Л.С. Учебник для общеобразовательных учреждений. Геометрия 7-9 классы.
2. http://www.mathvaz.ru

В основе способов построения параллельных прямых с помощью различных инструментов лежат признаки параллельности прямых.

Построение параллельных прямых с помощью циркуля и линейки

Рассмотрим принцип построения параллельной прямой, проходящей через заданную точку , с помощью циркуля и линейки.

Пусть дана прямая и некоторая точка А, которая не принадлежит данной прямой.

Необходимо построить прямую, проходящую через заданную точку $А$ параллельно данной прямой.

На практике зачастую требуется построить две или более параллельных прямых без данной прямой и точки. В таком случае необходимо начертить прямую произвольно и отметить любую точку, которая не будет лежать на данной прямой.

Рассмотрим этапы построения параллельной прямой :

На практике также применяют метод построения параллельных прямых с помощью чертежного угольника и линейки.

Построение параллельных прямых с помощью угольника и линейки

Для построения прямой, которая будет проходить через точку М параллельно данной прямой а , необходимо:

1. Угольник приложить к прямой $а$ диагональю (смотрите рисунок), а к его большему катету приложить линейку.
2. Передвинуть угольник по линейке до тех пор, пока данная точка $М$ не окажется на диагонали угольника.
3. Провести через точку $М$ искомую прямую $b$.

Мы получили прямую, проходящую через заданную точку $М$, параллельную данной прямой $а$:

$a \parallel b$, т. $M \in b$.

Параллельность прямых $а$ и $b$ видна из равности соответственных углов, которые отмечены на рисунке буквами $\alpha$ и $\beta$.

Построение параллельной прямой, отстоящей на заданное расстояние от данной прямой

В случае необходимости построения прямой, параллельной заданной прямой и отстоящей от нее на заданном расстоянии можно воспользоваться линейкой и угольником.

Пусть дана прямая $MN$ и расстояние $а$.

1. Отметим на заданной прямой $MN$ произвольную точку и назовем ее $В$.
2. Через точку $В$ проведем прямую, перпендикулярную к прямой $MN$, и назовем ее $АВ$.
3. На прямой $АВ$ от точки $В$ отложим отрезок $ВС=а$.
4. С помощью угольника и линейки проведем прямую $CD$ через точку $С$, которая и будет параллельной заданной прямой $АВ$.

Если отложить на прямой $АВ$ от точки $В$ отрезок $ВС=а$ в другую сторону, то получим еще одну параллельную прямую к заданной, отстоящую от нее на заданное расстояние $а$.

Другие способы построения параллельных прямых

Еще одним способом построения параллельных прямых является построение с помощью рейсшины. Чаще всего данный способ используют в чертежной практике.

При выполнении столярных работ для разметки и построения параллельных прямых, используется специальный чертежный инструмент – малка – две деревянные планки, которые скрепляются шарниром.

Построение прямой, параллельной заданной плоскости, основано на

следующем положении, известном из геометрии: прямая параллельна плоскости,

если эта прямая параллельна любой прямой в плоскости.

Через заданную точку в пространстве можно провести бесчисленное

множество прямых линий, параллельных заданной плоскости: Для получения

единственного решения требуется какое-нибудь дополнительное условие.

Например, через точку (рис. 180) требуется провести прямую,

параллельную плоскости, заданной треугольником ABC, и плоскости проекций!

(дополнительное условие).

Очевидно, искомая прямая должна быть параллельна линии пересечения

обеих плоскостей, т.е. должна быть параллельна горизонтальному следу

плоскости, заданной треугольником ABC. Для определения направления этого

следа можно воспользоваться горизонталью плоскости, заданной треугольником

ABC. На рис. 180 проведена горизонталь DC и затем через точку M проведена

прямая, параллельная этой горизонтали.

Поставим обратную задачу: через заданную точку провести плоскость,

параллельную заданной прямой линии. Плоскости, проходящие через некоторую

точку А параллельно некоторой прямой ВС, образуют пучок плоскостей, осью

которого является прямая, проходящая через точку А параллельно прямой ВС.

Для получения единственного решения требуется какое-либо дополнительное

Например, надо провести плоскость, параллельную прямой CD, не через

точку, а через прямую АВ (рис. 181). Прямые АВ и CD - скрещивающиеся. Если

через одну из двух скрещивающихся прямых требуется провести плоскость,

параллель-

Рис. 180 Рис. 181

ную другой, то задача имеет единственное решение. Через точку В

проведена прямая, параллельная прямой CD; прямые АВ и BE определяют

плоскость, параллельную прямой CD.

Как установить, параллельна ли данная прямая данной плоскости?

Можно попытаться провести в этой плоскости некоторую прямую параллельно

данной прямой. Если такую прямую в плоскости не удается построить, то

заданные прямая и плоскость не параллельны между собой.

Можно попытаться найти также точку пересечения данной прямой с данной

плоскостью. Если такая точка не может быть найдена, то заданные прямая и

плоскость взаимно параллельны.

§ 28. Построение взаимно параллельных плоскостей

Пусть дается точка К, через которую надо провести плоскость,

параллельную некоторой плоскости, заданной пересекающимися прямыми AF и BF

Очевидно, если через точку К провести прямые СК и DK, соответственно

параллельные прямым AF и BF, то плоскость, определяемая прямыми СК и DK,

окажется параллельной заданной плоскости.

Другой пример построения дан на рис. 183 справа. Через точку A

проведена пл. параллельно пл. а. Сначала через точку А проведена прямая,

заведомо параллельная пл. . Это горизонталь с проекциями "" и "",

причем A"N"\\ h " o. Таk

Рис. 182 Рис. 183

как точка N является фронтальным следом горизонтали AN, то через эту

точку пройдет след f"o% f"o, а через Х - след h"o || h"o. Плоскости

и взаимно параллельны, так как их одноименные пересекающиеся следы взаимно

параллельны.

На рис. 184 изображены две параллельные между собой плоскости -- одна

га них задана треугольником ЛВС, другая -- параллельными прямыми DE и FG.

Чем же устанавливается параллельность этих плоскостей? Тем, что в плоскости,

заданной прямыми DE и FG, оказалось возможным провести две пересекающиеся

прямые KN и КМ, соответственно параллельные пересекающимся прямым АС и

ВС другой плоскости.

Конечно, можно было бы попытаться найти точку пересечения хотя бы

прямой DE с плоскостью треугольника ABC. Неудача подтвердила бы

параллельность плоскостей.

ВОПРОСЫ К §§ 27-28

1. На чем основано построение прямой линии, которая должна быть

параллельна некоторой плоскости?

2. Как провести плоскость через прямую параллельно заданной прямой?

3. Чем определяется взаимная параллельность двух плоскостей?

4. Как провести через точку плоскость, параллельную заданной плоскости?

5. Как проверить на чертеже, параллельны ли одна другой заданные