Konstruktion von Netzen für die Finite-Volumen-Methode. Finite-Volumen-Methode. Aufteilung des Volumens eines Würfels in endliche Volumina
Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass sie auf Erhaltungsgesetzen basiert. Daher gewährleistet die Kontrollvolumenmethode im Gegensatz zur Finite-Differenzen-Methode ein konservatives numerisches Schema, das es ermöglicht, auch auf relativ groben Gittern Lösungen mit akzeptabler Genauigkeit zu erhalten.
Die Grundidee der Methode ist recht einfach und lässt sich leicht physikalisch interpretieren. Bei der Diskretisierung der Reynolds-gemittelten Navier-Stokes-Gleichungen wird das Rechengebiet in eine große Anzahl nicht überlappender Elementarvolumina unterteilt, sodass jedes Volumen nur einen Rechenpunkt (Knotenpunkt) enthält. Die Menge der Elementarvolumina wird als Rechennetz bezeichnet. Gitterzellen können unterschiedliche Formen haben. Am häufigsten werden Hexaeder (Hexaeder) und Tetraeder (Tetraeder) verwendet. Die Kontrollvolumenmethode ermöglicht die Verwendung von Zellen mit beliebig vielen Flächen (Pyramiden, Prismen, komplexe Polyeder usw.).
Die Lösung des Gleichungssystems (1)–(18) wird als eine Menge von Werten der gewünschten Parameter in den Zentren dieser Volumina dargestellt. Wenn wir beispielsweise das Volumen eines Raums in 1000 einzelne Elementarvolumina (Zellen) aufteilen, erhalten wir als Ergebnis der Lösung 1000 Werte für Temperatur, Geschwindigkeit, Druck usw. In Abb. Abbildung 2 zeigt einen Ausschnitt des Rechenbereichs. Zellen werden mit Indizes nummeriert i, j, k.
Reis. 2. Fragment des Rechenbereichs
Die Integration von Differentialgleichungen wird über jedes Elementarvolumen durchgeführt. Integrale werden mithilfe von Interpolationsformeln berechnet, mit denen die Werte der gewünschten Variablen zwischen den berechneten Punkten ermittelt werden. Als Ergebnis wird ein diskretes Analogon der ursprünglichen Gleichungen an Knotenpunkten erhalten, das das Gesetz der Erhaltung der untersuchten Variablen in jedem endlichen Volumen widerspiegelt.
Es ist zu beachten, dass in den meisten modernen hydrodynamischen Berechnungspaketen wie „STAR-CD“, „FLUENT“, „CFX“ und vielen anderen die Kontrollvolumenmethode zur Diskretisierung der Modellgleichungen implementiert ist.
Berechnungsgitter
Der Prozess der Konstruktion eines Netzes ist einer der Schlüsselmomente bei der Durchführung eines numerischen Experiments. Die Auswahl und Konstruktion eines für das betrachtete Problem geeigneten Rechengitters ist ein ziemlich komplexes und zeitaufwändiges Verfahren. Eine rationale Wahl des Netzes kann die numerische Lösung des Problems erheblich vereinfachen.
Reis. 3. Gitterzellenkonfigurationen
Gitterzellen können unterschiedliche Formen (Abb. 3) und Größen haben, die für die Lösung eines bestimmten Problems am besten geeignet sind. Die einfachste Art von Gitter ist, wenn die Zellen identisch sind und eine kubische Form haben.
In der Nähe fester Oberflächen wird das Netz in der Regel dichter, d. h. die Zellen haben senkrecht zur Oberfläche eine kleinere Größe. Dies geschieht, um die Genauigkeit der Berechnungen in den Bereichen zu verbessern, in denen sich die Strömungsgradienten der untersuchten Parameter schneller ändern, beispielsweise in der Grenzschicht.
Sie können die Genauigkeit der Berechnungen erhöhen und den Näherungsfehler auf zwei Arten reduzieren:
· Erhöhung der Genauigkeit der Probenahme;
· Verringern des Rasterschritts.
Bei der Lösung instationärer Probleme hängen die Zellgrößen Δx und der Zeitintegrationsschritt Δt mit der CFL-Bedingung (Courant-Friedrichs-Levy) zusammen: 
, u- Geschwindigkeit.
Universelle Computerprogramme, die derzeit in der Ingenieurspraxis eingesetzt werden, ermöglichen die Bearbeitung beliebiger unstrukturierter Netze unter Verwendung stark verzerrter Elemente. In diesem Fall überschreitet die Diskretisierungsgenauigkeit in der Regel nicht die Sekunde. Um eine qualitativ hochwertige Lösung zu erhalten, ist es notwendig, Rechengitter in kleinen Schritten zu erstellen.
Das STAR-CCM-Paket ist auf die Verwendung polyedrischer Zellen (ähnlich einem Fußball) umgestiegen, die durch die Kombination von Zellen das Auftreten stark verzerrter Zellen verhindern.
Der Hauptvorteil unstrukturierter Netze im Vergleich zu regulären Netzen ist die größere Flexibilität bei der Diskretisierung eines physikalischen Bereichs mit komplexer Form. In diesem Fall müssen die Gitterzellen vergleichbare Volumina bzw. Flächen haben und dürfen sich nicht überschneiden. Zu den Nachteilen dieses Netztyps gehört jedoch die Vergrößerung der Maschenweite. Wie die Praxis zeigt, hat ein unstrukturiertes Netz bei korrekter Konstruktion für dasselbe Objekt etwa doppelt so viele Zellen wie ein strukturiertes, was natürlich zu einer Erhöhung der Rechenzeit im Vergleich zu regulären Netzen führt. Aufgrund der Komplexität der Objektgeometrie sind jedoch in vielen Fällen unstrukturierte Netze die einzig mögliche Konstruktionsoption. Darüber hinaus erweist sich bei einer rationalen Wahl des Vernetzungsalgorithmus, dass der Zeitaufwand für den Aufbau eines unstrukturierten Netzes deutlich geringer ist als der Zeitaufwand für den Aufbau eines strukturierten (blockstrukturierten) Netzes. Dadurch kann der Gesamtzeitaufwand für die Lösung des Problems (einschließlich Vernetzungszeit und Berechnungszeit) bei der Verwendung unstrukturierter Netze deutlich geringer ausfallen als bei strukturierten Netzen.
Die Bestimmung der erforderlichen Maschenweite ist an sich schon eine sehr schwierige Aufgabe. Die universelle Methode, die bei der Auswahl der Rasterdimension befolgt werden sollte, besteht darin, dass sich die resultierende Lösung nicht ändern sollte, wenn die Anzahl der Zellen zunimmt (Gitterkonvergenz).
Bei typischen Problemen ist die Durchführung einer Netzkonvergenzstudie nicht erforderlich, da Sie sich auf zuvor erzielte Ergebnisse verlassen können. Bei der Untersuchung eines neuen Problemtyps ist es unbedingt erforderlich, eine Untersuchung der Gitterkonvergenz durchzuführen und die Anforderungen an das Rechengitter zu ermitteln.
Beachten Sie, dass bei der Lösung realer Probleme der Lüftung und Klimatisierung die charakteristische Anzahl der Zellen in der Regel zwischen 500.000 und 3 bis 4 Millionen liegt, abhängig von der geometrischen Komplexität des Objekts, dem Satz erforderlicher Parameter und den Besonderheiten von das Problem. In diesem Fall kann die Rechenzeit auf einem Cluster, der beispielsweise aus 24 Kernen besteht, bis zu einer Woche und bei der Lösung instationärer Probleme bis zu mehreren Wochen betragen.
Das STAR-CCM+-Paket enthält ein Modul zur Erstellung von Rechennetzen. Es gibt auch separate Pakete zum Generieren von Netzen, das am weitesten verbreitete ist beispielsweise ANSYS, ICEM CFD (ICEM). In externen Paketen erstellte Netze können in das STAR-CCM+-Paket importiert werden.
Kapitel 1. Methoden zur Diskretisierung von Erhaltungsgesetzsystemen.
1.1. Technologische Prinzipien von Diskretisierungsmethoden für Anfangsrandwertprobleme unter Verwendung von Finite-Elemente-Räumen.
1.1.1. Finite-Elemente-Methoden.
1.1.2. Finite-Volumen-Methoden.
1.2. Upwind-Systeme auf einfachen Gittern.
1.3. Methoden zur Lösung des stationären Systems der Navier-Stokes-Gleichungen.
Kapitel 2. Konstruktion diskreter Analoga von Konvektiv-Diffusions-Reaktionsgleichungen unter Verwendung der Finite-Volumen-Methode
2.1. MKO/FE-Diskretisierung von Problemen vom Typ Konvektiv-Diffusion.
2.1.1. Triangulation und eine Methode zum Aufbau eines Doppelnetzes.
2.1.2. Integrale Form der Erhaltungsgesetze.
2.1.3. Approximation der Diffusionsflüsse und Berechnung der MKO/FE-Steifigkeitsmatrix.
2.1.4. Annäherung an Quellbegriffe.
2.1.5. Berechnung der MCO/FE-Massenmatrix.
2.1.6. Berücksichtigung von Randbedingungen.
2.2. Konstruktion mehrdimensionaler Aufwindschemata auf einfachen Gittern.
2.2.1. Berechnung konvektiver lokaler Matrizen.
2.2.2. Schemata mit wiegenden Massenströmen.
2.2.3. Modifikation exponentieller Schemata.
2.2.4. Einige Eigenschaften von Gegenstromsystemen und Prinzipien ihrer Konstruktion.
2.2.5. Ein Analogon des Exponentialschemas für Schemata mit der Berechnung von Unbekannten in den Zellzentren.
2.3. Neue Klassen von MKO-Integralformeln.
2.3.1. Integration von Monomen baryzentrischer Koordinaten.
2.3.2. Über mögliche Kombinationen von Polynomdarstellungen.
2.3.3. Zur Erhöhung der Ordnung von Interpolationspolynomen der lokalen Lösungsdarstellung.
2.4.4. Verwendung inkonsistenter finiter Elemente.
2.4. Elementweiser Zusammenbau globaler Matrizen
Kapitel 3. Modellierung des Strömungsfeldes viskoser inkompressibler Medien.
3.1. Mathematisches Modell.
3.2. Integrale Form der Erhaltungsgesetze.
3.3. Berücksichtigung des Zusammenhangs zwischen Geschwindigkeits- und Druckfeldern.
3.3.1. Ry-Chow-Interpolation zur Berechnung von Massenströmen.
3.3.2. Diskretisierung der Kontinuitätsgleichung.
3.3.3. Berücksichtigung von Grenzen mit einem Massenfluss ungleich Null.
3.3.4. Allgemeines Iterationsschema 1.
3.4. Beschleunigung der Konvergenz iterativer Schemata.
3.4.1. Korrektur von Druck- und Geschwindigkeitsfeldern
3.4.2. Allgemeines Iterationsschema II.
3.5. Lösen von Systemen linearer algebraischer Gleichungen.
Kapitel 4. Numerische Experimente.
4.1. Stabilitätsanalyse für Grenzschichtlösungen.
4.2. Beschleunigte Strömung in einem runden Rohr.
4.3. Strömung im Anfangsabschnitt eines glatten Kanals.
4.4. Laminare Strömung eines Strahls aus einer Punktdüse (Quellstrahl)
4.5. Laminare Strömung hinter einer flachen asymmetrischen Rückwand
4.5.1. Berechnung mit verschiedenen vorgelagerten Schemata
4.5.2. Eingabeeffekt bei der Berechnung von Flüssen hinter einem Rückschritt mit MKO/FE auf einfachen Gittern.
4.5.3. Vergleich verschiedener Methoden zur Lösung linearer algebraischer Gleichungssysteme.
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Modellierung interner Strömungen einer viskosen inkompressiblen Flüssigkeit durch die Finite-Elemente-Methode unter Verwendung von Gegenstromschemata 2007, Kandidatin für Physikalische und Mathematische Wissenschaften Gobysh, Albina Vladimirovna
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Einleitung der Dissertation (Teil des Abstracts) zum Thema „Technologien der Finite-Volumen-/Finite-Elemente-Methode auf einfachen Gittern für Probleme vom Typ Konvektiv-Diffusion“
Die numerische Lösung von Problemen der mathematischen Physik ist eine der Hauptmethoden zur Untersuchung realer Phänomene. Der kombinierte Einsatz rechnerischer und physikalischer Experimente bei der Analyse beliebiger Phänomene ermöglicht einerseits die Reduzierung der Zahl teurer experimenteller Messungen und andererseits die Verifizierung und Verbesserung mathematischer Modelle.
Mit zunehmender Geschwindigkeit von Rechensystemen werden neue Anforderungen an numerische Methoden zur Lösung von Problemen der mathematischen Physik gestellt. Ein wichtiges Forschungsgebiet ist die Entwicklung und Verbesserung moderner Methoden zur Diskretisierung von Erhaltungsgesetzen, die es ermöglichen, immer neue Problemklassen zu simulieren und bei der Lösung bekannter Probleme deutlich bessere Ergebnisse zu erzielen.
Moderne Rechenalgorithmen sollten die genaueste Beschreibung von Bereichen mit komplexer Geometrie liefern. Dies ist mit nicht orthogonalen und unstrukturierten Netzen möglich. Im Vergleich zu beliebigen nichtorthogonalen Netzen sind bei unstrukturierten Simplizialnetzen (Triangulation im zweidimensionalen Fall und Aufteilung in Tetraeder im dreidimensionalen Fall) lokale Kondensationen einfacher zu implementieren (z. B. hinter einer Rückstufe, in einer Zone). der plötzlichen Verengung in der Nähe des Befestigungspunktes) und ggf. auch Anpassung des Rechengitters je nach Verhalten der Lösung. Selbst bei der Diskretisierung von Erhaltungsgesetzen in geometrisch einfachen Domänen, die durch eine Sammlung rechteckiger Elemente genau dargestellt werden können, bieten unstrukturierte einfache Netze eine Reihe von Vorteilen. Trotz der offensichtlichen Vorteile unstrukturierter Gitter zur Approximation beliebiger Regionen und der Möglichkeit, automatisch einfache Partitionen zu konstruieren, wurden sie in der numerischen Strömungsmechanik praktisch nicht verwendet und erfreuen sich erst in den letzten 15 Jahren zunehmender Beliebtheit. Der Grund dafür ist nach Aussage von B. Stoufflett et al. die stark ansteigende Rechenzeit bei der Umstellung auf unstrukturierte Ansätze. Tatsache ist, dass die Position von Nicht-Null-Elementen in den Matrizen diskreter Analoga von der Kontiguität der Gitterknoten abhängt und die Matrizen willkürlich unter Verwendung universeller Formate und Datenstrukturen gespeichert werden. Die Operationen der Multiplikation einer dünn besetzten Matrix mit einem Vektor und der unvollständigen Faktorisierung werden viel „teurer“. Gleichzeitig sind Gleichungssysteme der numerischen Strömungsmechanik miteinander verbundene nichtlineare Gleichungssysteme, deren implizite Lösungsschemata einen mehrstufigen iterativen Charakter haben, so dass bei jeder der „globalen“ Iterationen mehrere Gleichungssysteme gelöst werden müssen lineare algebraische Gleichungen. Mit dem Aufkommen leistungsfähiger Rechensysteme sowie dank der Entwicklung adaptiver und Multigrid-Methoden wurde es möglich, unstrukturierte Gitter und entsprechende räumliche Diskretisierungsschemata zur Modellierung hydrogasdynamischer Prozesse zu verwenden.
Die gebräuchlichste Diskretisierungsmethode im unstrukturierten Fall ist die Finite-Elemente-Methode (FEM). Beachten wir solche Vorteile der Methode wie die Erhaltung der symmetrischen Natur des selbstadjungierten Teils von Differentialoperatoren in ihren diskreten Analoga (dies wird durch eine spezielle Wahl des Raums der Testfunktionen erreicht, der mit dem Raum der Versuchsfunktionen zusammenfällt). , die Möglichkeit, die Genauigkeit der Approximation durch Erhöhung des Grades der Interpolationspolynome der lokalen Lösungsdarstellung (die sogenannten p- und h-p-Versionen von FEM, ) zu erhöhen, natürliche Berücksichtigung von Randbedingungen zweiter und dritter Art. Insbesondere die Finite-Elemente-Methode verfügt über eine etablierte technologische Basis
Methoden zur Approximation interner Produkte unter der Annahme einer stückweisen Polynomdarstellung der Lösung und Parameter eines Randwertproblems, nämlich: die Verwendung der Basisentwicklung des entsprechenden Finite-Elemente-Raums, Klassen von Integralformeln, die eine genaue Integration beliebiger Produkte von ermöglichen Basisfunktionen über Partitionselemente und Kanten (Flächen) von Elementen,
Standard-Interpolationsgerät.
Die Technologien der Methode ermöglichen die einfache und einheitliche Konstruktion diskreter Analoga von anfänglichen Randwertproblemen mit verschiedenen Arten von Randbedingungen unter der Annahme eines gewissen Grades an Glätte der Lösung und eines stückweisen Polynomverhaltens der Koeffizienten der Gleichungen und Randbedingungen , .
Bei einer Reihe von Anwendungen, wie der Modellierung von Überschall- und transsonischen Gasströmungen und Berechnungen mithilfe von Flachwassermodellen, ist der lokale Konservatismus der zur Diskretisierung von Erhaltungsgesetzen verwendeten Schemata sehr wichtig. Die Finite-Elemente-Methode ermöglicht es nicht, die Merkmale entstehender diskontinuierlicher Lösungen mit zufriedenstellender Genauigkeit zu verfolgen, und der traditionelle Ansatz zur Lösung solcher Probleme ist die Finite-Volumen-Methode. Bei der Diskretisierung eines Systems von Erhaltungsgesetzen mit der Finite-Volumen-Methode wird der Rechenbereich durch eine Menge offener endlicher Volumina angenähert. Anschließend macht der Forscher einen „Schritt zurück“ und geht zur Integralform des ursprünglichen Gleichungssystems über. Mithilfe der Ostrogradsky-Gauss-Formel bewegen wir uns von der Volumenintegration zum Randintegral, sodass die Methode zur Approximation von Flüssen durch die Flächen endlicher Volumina das Berechnungsschema vollständig bestimmt. In der Monographie von S. Patankar heißt es: „Für die meisten Forscher, die auf dem Gebiet der Hydrodynamik und Wärmeübertragung arbeiten, scheint die Finite-Elemente-Methode immer noch ein Rätsel zu sein. Die Variationsformulierung und selbst die Galerkin-Methode eignen sich nicht für eine einfache physikalische Interpretation.“ Gleichzeitig haben Finite-Volumen-Schemata eine bestimmte physikalische Bedeutung des Gleichgewichts von Flüssen und Quelltermen in jedem der Finite-Volumina, die sich dem Rechenbereich annähern, was die Finite-Volumen-Methode attraktiver macht. Die „Einfachheit“ von MKO ist einer der Gründe für das Fehlen einer allgemeinen technologischen Grundlage für die Methode.
Zu den Vorteilen der klassischen Version des MKO (Finite-Volumen-/Finite-Differenzen-Methode, FVDM) gehören also der lokale Konservatismus diskreter Schemata, größere Einfachheit und Klarheit sowie die Möglichkeit, Randbedingungen zweiter Art natürlich zu berücksichtigen. Darüber hinaus wird bei der Lösung von Problemen mit überwiegender Konvektion die Implementierung von Gegenstromschemata vereinfacht, da die Strömungen durch die Flächen endlicher Volumina sowohl analysiert als auch angenähert werden.
Versuche, Approximationen für endliche Volumina zu systematisieren, führten zu einer teilweisen Kombination von FEM-Technologien und dem Prinzip der Integration über endliche Volumina; Die frühesten davon gehen auf die Arbeit von B. R. Baliga, K. Prakash und S. Patankar zurück und sind als CVFEM-Methoden (kontrollvolumenbasierte Finite-Elemente-Methoden) bekannt, im Folgenden als Finite-Volumen-/Finite-Elemente-Methoden (FVM/Finite-Elemente-Methoden) bezeichnet. FE). Die Autoren der Methode verfolgten das Ziel, konservative Schemata der Finite-Volumen-Methode zu konstruieren und dabei einen der Hauptvorteile der FEM zu nutzen – die Fähigkeit, komplexe Geometrien mithilfe unstrukturierter Netze zu approximieren. Die Profilfunktionen dieser Methodenklasse sind „Hilfsfunktionen“, die Zugehörigkeit der Lösung zu Finite-Elemente-Räumen wird nicht betont. Baryzentrische Mengen werden als duale Partition verwendet.
Das Problem des Fehlens universeller technologischer Prinzipien der Finite-Volumen-/Finite-Differenzen-Methode (MKO/KR, FVDM) wird erstmals in der Arbeit von Z. Kaya „Über die Finite-Volumen-/Element-Methode“ diskutiert. Der Autor macht den Leser auf die „unsystematische Natur der Finite-Volumen-/Finite-Differenzen-Methode“ aufmerksam; Bei der Approximation von Erhaltungssatzsystemen mit der Finite-Volumen-/Finite-Differenzen-Methode können Approximationen verschiedener Klassen innerhalb derselben Arbeit verwendet werden, was die Analyse der Konvergenz solcher Schemata erheblich erschwert. Es wird eine Lösung für dieses Problem vorgeschlagen – die gemeinsame Verwendung der Ideen der Finite-Elemente-Methode (Suche nach einer Lösung in einem Finite-Elemente-Raum und Verwendung des stückweisen Polynomverhaltens der Lösung zur Berechnung von Flüssen) und der Integralform von Erhaltungsgesetzen. So entstanden Finite-Volumen-/Element-Methoden (FME/E, „Box-Methoden“, FVE) in dem Versuch, „systematischere Finite-Volumen-Technologien“ zu schaffen. Das Fehlen allgemeiner technologischer Prinzipien der Finite-Volumen-/Finite-Differenzen-Methoden wird auch in den Arbeiten von Ya. JI festgestellt. Guryeva und V. P. Iljin.
Finite-Volumen-/Finite-Elemente-Methoden (FVE) und Finite-Volumen-/Finite-Elemente-Methoden (CVFEM) verwenden konsistente Finite-Elemente-Räume linearer Funktionen auf Simplexen und gehören zur Klasse der Zell-Scheitelpunkt-Finite-Volumen-Schemata, Abb. 1, a.
Eine Reihe von rechnergestützten Fluiddynamikschemata (Modellierung viskoser inkompressibler Strömungen) verwenden inkonsistente Finite-Elemente-Räume, insbesondere den Crousey-Raviard-Raum, der linear für Elemente ist, die in den Mittelpunkten der Kanten von Testfunktionen kontinuierlich sind. Finite-Volumen-Methoden unter Verwendung inkonsistenter Finite-Elemente-Räume wurden von S. Choi und D. Kwak vorgeschlagen, in einer Reihe von Arbeiten anderer Autoren untersucht (die sogenannten Subvolumen-Methoden, Kovolumen-Methode) und sind Schemata zur Berechnung von Unbekannten in den Zentren der Kanten ( Die gebräuchlichsten Schemata zur Lösung gasdynamischer Probleme und zur Modellierung anthropogener Katastrophen mithilfe von Flachwassergleichungen sind zellzentrierte Finite-Volumen-Schemata, Abb. 1, f. Ihre Beliebtheit beruht auf der Tatsache, dass bei der Berechnung von Unbekannten in Schwerpunkten die meisten Gasdynamikschemata (S.K. Godunov-Schemata, TVD-Schemata) ohne grundlegende technologische Änderungen auf unstrukturierte Gitter übertragen werden können. o ein in Abb.1. Lage der Berechnungspunkte im Verhältnis zu den FE-Gitterknoten. In dieser Arbeit werden vor allem Klassen von Finite-Volumen-Methoden mit der Berechnung von Unbekannten an Triangulationsknoten (MKO/E, MKO/FE) und Randzentren (Subvolumen-Methoden) betrachtet; in Zukunft werden wir auch von „Finite-Volumen-Methoden unter Verwendung von Finite-Elemente-Räumen“ sprechen. ” Diese Methodenklassen liefern nach einer Reihe von Studien (, ) für Konvektions-Diffusionsprobleme bessere Näherungen zur Lösung als Methoden mit der Berechnung von Unbekannten in den Zellzentren. Einer der Hauptgründe ist, dass bei den oben aufgeführten Methoden die Kontinuität der ersten Ableitungen von Testfunktionen auf den Elementen des Dualnetzes erhalten bleibt. Ein wirksamer Ansatz zur Lösung von Problemen mit überwiegender Konvektion ist die Verwendung der Galerkin-Methode mit symmetrischen Testfunktionen für den selbstadjungierten Teil von Differentialoperatoren und vorgelagerten MCO-Schemata für deren asymmetrischen Teil, den sogenannten. gemischte Finite-Elemente-/Volumenmethoden (FEM/O, MEV, gemischte Element-/Volumenmethode). Die Dissertationsarbeit widmet sich insbesondere der Verbesserung der Technologien der Finite-Volumen-Methode für die angegebenen Methodenklassen (MKO/E, MKO/CE, FEM/O, Subvolumenmethoden). Derzeit verfügen diese Methoden nicht über etablierte Technologien zur Berücksichtigung des stückweisen Polynomverhaltens der Lösung, der Quellterme und der Übertragungskoeffizienten. Wir können die folgenden Gründe für die Unvollkommenheit des Apparats zur exakten Integration von Polynomen in Finite-Volumen-Methoden unter Verwendung von Finite-Elemente-Räumen auflisten: 1. Im Gegensatz zur Finite-Elemente-Methode gibt es bei der Finite-Volumen-Methode keine p-Version, da mit der Einführung zusätzlicher Knoten und mehrerer Arten von Doppelnetzen der lokale Konservatismus einer Reihe von Variablen des Systems der Erhaltungsgesetze in Beziehung gesetzt wird zur „Entfremdung“ endlicher Volumina wird verletzt. Daher sind Näherungen auf Finite-Elemente-Räume niedrigerer Ordnung beschränkt. 2. Im Vergleich zur Finite-Elemente-Methode zeichnen sich Finite-Volumen-Methoden durch eine größere Freiheit bei der Wahl der Räume der Testfunktionen aus, die in diesem Fall mit der Lage der Berechnungspunkte der Unbekannten in Bezug auf die Diskretisierung zusammenhängen Knoten (Schemata mit der Lage der Unbekannten an Knoten, Mittelpunkten von Kanten, Schwerpunkt-Simplexen) und die Methode zum Aufbau eines dualen Gitters (unter Verwendung baryzentrischer, orthozentrischer, zirkumzentrischer Mengen). Kombiniert mit der Möglichkeit, kollozierte oder versetzte Gitter zu verwenden, bietet dies die volle Vielfalt vorhandener MCM-Systeme in jeder Anwendung. Bei MCM-Methoden zur Diskretisierung von Erhaltungsgesetzen, die Finite-Elemente-Räume verwenden, verliert eine sorgfältige Auswahl dieser Lösungsräume, Gleichungskoeffizienten und Quellterme teilweise ihre Bedeutung, wenn die Methode nicht über entwickelte Möglichkeiten verfügt, insbesondere stückweise Polynomdarstellungen zu berücksichtigen , der Apparat zur exakten Integration von Polynomen über Elemente des Dualnetzes, Untergebiete von Elementen und Segmente von Randkanten. Infolgedessen sollten die Ergebnisse von Berechnungen, die die erstellten Schemata verwenden, unter dem Gesichtspunkt der Auswirkungen der numerischen Integration betrachtet werden, wobei verschiedene Methoden ihrer Umsetzung zu berücksichtigen sind; es wird deutlich schwieriger, Forschungsergebnisse mit den Werken anderer Autoren zu vergleichen etc. Diese Arbeit widmet sich daher der Überarbeitung bestehender MCM/FEM-Technologien zur Konstruktion diskreter Analoga von Problemen vom Konvektions-Diffusions-Typ. Die Technologie zur Berücksichtigung der stückweisen Polynomdarstellung der Lösung, der Koeffizienten der Gleichung und der in den Randbedingungen enthaltenen sowie der Quellterme bei Finite-Volumen-Methoden unter Verwendung von Finite-Elemente-Räumen muss folgende Anforderungen erfüllen: 1) beliebige Kombinationen polynomialer Darstellungen von Koeffizienten und Lösungen auf Partitionselementen ermöglichen sowie den Grad der Interpolation von Polynomen der lokalen Lösungsdarstellung erhöhen; 2) Verwenden Sie einheitliche Näherungsprinzipien bei der Berechnung der Beiträge von Elementen, die verschiedenen Termen der Gleichung entsprechen (Diffusions-, Konvektions-, Reaktionsterme, Quellterme) sowie Beiträge von Kanten, die Teile von Grenzen mit unterschiedlichen Arten von spezifizierten Randbedingungen approximieren auf sie; 3) eine homogene Verallgemeinerung auf den dreidimensionalen Fall ermöglichen; 4) die Erfahrungen mit gut entwickelten Finite-Elemente-Technologien berücksichtigen, insbesondere die Verwendung der Basiserweiterung von Finite-Elemente-Räumen und die Vorteile der genauen Integration stückweiser Polynomdarstellungen der Lösungs- und Übertragungskoeffizienten; 5) Bereitstellung einer einheitlichen technologischen Grundlage für gemischte FEM/O-Näherungen, die zwei Sätze von Testfunktionen – finites Volumen und finites Element – verwenden, um eine Gleichung anzunähern; 6) Die Prinzipien der Technologie sollten beim Übergang von der Verwendung konsistenter Finite-Elemente-Räume (Finite-Volumen-/Finite-Elemente-Methoden mit Berechnung von Unbekannten an Knoten) zur Verwendung inkonsistenter Finite-Elemente (Methoden mit Berechnung von Unbekannten in den Zentren) unverändert bleiben von Triangulationskanten); 7) Die Technologie kann zur Annäherung verschiedener Klassen physikalischer Probleme eingesetzt werden. Von den bestehenden Technologien der Finite-Volumen-Methoden unter Verwendung von Finite-Elemente-Räumen (Finite-Volumen-/Element-Methoden (FVE), Finite-Volumen-/Finite-Elemente-Methoden (CVFEM), Subvolumen-Methoden, gemischte Volumen-/Element-Methoden (MEV)) gibt es keine die oben genannten Anforderungen. Daher scheint die Schaffung neuer Technologien für diese Methodenklassen unter Verwendung einfacher Partitionen und baryzentrischer Mengen als duale Systeme ein relevantes Forschungsthema zu sein. Im Falle einer signifikanten Dominanz der Konvektion läuft der Vergleich verschiedener MCO-Diskretisierungsschemata sowie der Vergleich von Berechnungen mit der Finite-Elemente-Methode und der Finite-Volumen-Methode tatsächlich auf einen Vergleich der entsprechenden Upwind-Schemata hinaus. Die am meisten untersuchten und im unstrukturierten Fall am häufigsten verwendeten sind Upwind-Schemata der Klasse der Finite-Volumen-Methoden mit der Berechnung von Variablen in den Zellzentren. Trotz der Tatsache, dass die Kanten der Trennelemente nicht parallel zu den Koordinatenachsen verlaufen, sind diese Schemata in den meisten Fällen eindimensionaler Natur, da sie darauf hinauslaufen, das Problem des Zerfalls einer Diskontinuität auf den Verbindungslinien zu lösen Schwerpunkte von Simplexen. Berechnungen mit solchen Schemata reproduzieren nicht die mehrdimensionale Struktur der Strömung und weisen eine übermäßige numerische Diffusion auf. Um vorgelagerte Näherungsschemata zweiter Ordnung zu konstruieren, ist eine erhebliche Erweiterung des Templates notwendig, was im unstrukturierten Fall zu einer erheblichen Komplikation der entsprechenden Datenstrukturen führt. Es gibt derzeit nur wenige vorgelagerte Schemata für Schemata mit der Berechnung von Unbekannten an Triangulationsknoten und den Mittelpunkten ihrer Kanten (siehe). In einigen Fällen besteht das Upstream-Näherungsprinzip darin, einen Wert einer Skalarsubstanz zu verwenden – an einem stromaufwärts liegenden Simplex-Knoten oder zwei gewichtete Werte – an den Enden einer stromaufwärts liegenden Simplex-Kante. Nur eines der bekannten Schemata, das von K. Prakash und S. Patankar entwickelte FLO (Flow Oriented Upwind Scheme), nutzt die Berechnung von Unbekannten an den Knoten – die Fähigkeit, asymmetrische Profilfunktionen zu konstruieren. Berechnungen nach diesem Schema gelten jedoch als unbefriedigend, da das Schema nicht über die Eigenschaft der Positivität verfügt und iterative Prozesse häufig voneinander abweichen. Die Schätzung der numerischen Diffusion, die durch die Verwendung von Upwind-Schemata auf einfachen Gittern entsteht, ist ein eigenständiges Problem. Bestehende Arbeiten in dieser Richtung, die theoretische Schätzungen von Konvergenzeigenschaften liefern, beschränken sich auf eine Vielzahl von Schemata zur Berechnung von Variablen in den Zellzentren. Daher ist die Schätzung der Konvergenzrate von Upwind-MCO/FE-Systemen mithilfe einer Reihe numerischer Experimente von besonderer Bedeutung. Daher ist der Aufbau und die vergleichende Analyse von Upwind-MCO/FE-Systemen auf unstrukturierten Netzen ein aktuelles Forschungsthema. Ziel der Arbeit ist die Entwicklung von Rechentechnologien für Finite-Volumen-Methoden unter Verwendung von Finite-Elemente-Räumen zur Approximation von Problemen vom Typ Konvektiv-Diffusion. Um dieses Ziel zu erreichen, wurden folgende Forschungsziele formuliert: 1) Verbesserung der Technologien zur Diskretisierung von Systemen von Erhaltungsgesetzen unter Verwendung der Finite-Volumen-/Finite-Elemente-Methode auf einfachen Gittern unter Verwendung baryzentrischer Partitionen als duale Partitionen; 2) Entwicklung von Technologien zur Approximation von Problemen vom Konvektiv-Diffusions-Typ mit signifikanten ersten Ableitungen; Konstruktion, Implementierung und vergleichende Analyse von Upstream-Systemen auf unstrukturierten Netzen, insbesondere Durchführung von Computerexperimenten zur Bewertung der Annäherungsreihenfolge der vorgeschlagenen und genauesten bekannten Systeme sowie Vergleich der Eigenschaften von Upstream-Systemen auf der Grundlage von MCE/FE und FEM; 3) Erstellung von Softwarepaketen auf Basis der entwickelten Technologien, die eine adäquate Simulation viskoser inkompressibler Strömungen von Flüssigkeiten und Gasen in geometrisch komplexen Bereichen, in stationären und instationären Fällen ermöglichen. Forschungsmethoden. Methoden der Computermathematik. Vergleichende Analyse von Technologien zur exakten Integration von Polynomen in Finite-Elemente-Methoden, finite Volumina/Elemente, verteilte Residuen. Experimentelle Bewertung der Konvergenzrate von Aufwindströmungsschemata für Probleme mit einer analytischen Lösung. Berechnungen für eine Reihe kondensierter Finite-Elemente-Partitionen, gefolgt von einer Analyse der Konvergenz mit experimentellen Daten. Die wissenschaftliche Neuheit der Arbeit ist wie folgt: 1. Es wird eine neue Technologie zur Berücksichtigung der stückweisen polynomialen Darstellung der Lösung, Übertragungskoeffizienten und Quellterme bei der Diskretisierung von Anfangsrandwertproblemen mit den Methoden endlicher Volumina/Elemente, finiter Volumina/finite Elemente und Subvolumina vorgeschlagen. Die Technologie basiert auf der Verwendung der Basiserweiterung von Finite-Elemente-Räumen anhand baryzentrischer Simplizialkoordinaten mit weiterer exakter Integration ihrer Monome. Für die Schemata MKO/FE, MKO/E mit der Berechnung von Variablen an Triangulationsknoten werden drei Klassen von Formeln für die exakte Integration von Monomen baryzentrischer Koordinaten vorgeschlagen: über Segmente des Dualnetzes in einem Element, über baryzentrische Unterregionen und Segmente von Grenzkanten. Für Teilvolumenmethoden, die inkonsistente Finite-Elemente-Räume verwenden, wird vorgeschlagen, das Prinzip der exakten Integration von Basisfunktionen zu verwenden und die entsprechenden Integralformeln zu erhalten. 2. Es wird eine Methode zum Aufbau von Upwind-MCO/FE-Schemata auf einfachen Gittern vorgeschlagen, die auf einer separaten Approximation von Massenflüssen und skalaren Substanzwerten auf Segmenten des dualen Gitters basiert. Die Konzepte einer lokalen Matrix von Gewichtskoeffizienten eines Gegenstromschemas, die den Elementen der Schemata innewohnt, und der lokalen Positivität der Schemata werden eingeführt. Es wurde ein Gegenstromschema der Exponentialklasse vorgeschlagen und sein Analogon für den MKO mit der Berechnung unbekannter Simplexe in Schwerpunkten konstruiert. 3. Es wurden experimentelle Schätzungen der Konvergenzrate des Upwind-Schemas mit Gewichtung der Massenströme und des vorgeschlagenen exponentiellen Klassenschemas erhalten. Mithilfe von Lösungen vom Grenzschichttyp wurde die Stabilität der konstruierten Systeme analysiert und mit vorgelagerten FEM-Systemen verglichen. 4. Unter Verwendung der vorgeschlagenen Näherungstechnologien für Probleme vom Typ Konvektion-Diffusion wurde eine Reihe von Programmen zur Modellierung viskoser inkompressibler Strömungen in natürlichen Geschwindigkeits-Druck-Variablen erstellt und eine Reihe von Computerexperimenten durchgeführt, um die Wirksamkeit der konstruierten Schemata zu bestätigen. Aufbau und Umfang der Dissertation. Die Dissertation besteht aus einer Einleitung, vier Kapiteln, einem Fazit, einem Literaturverzeichnis, einem Anhang und umfasst 173 Seiten, darunter 10 Tabellen und 51 Abbildungen. Die Bibliographie umfasst 117 Titel.
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Fazit der Dissertation zum Thema „Mathematische Modellierung, numerische Methoden und Softwarepakete“, Voitovich, Tatyana Viktorovna
Abschluss
Diese Arbeit widmet sich der Entwicklung von Rechentechnologien für Finite-Volumen-Methoden auf einfachen Gittern, wobei Finite-Elemente-Räume und baryzentrische Partitionen als duale Räume zur Approximation von Problemen vom Typ Konvektiv-Diffusion verwendet werden! Die Arbeit ergab folgende Hauptergebnisse für die Verteidigung:
1. Es wird eine neue Technologie zur Berücksichtigung der stückweisen polynomialen Darstellung der Lösung, Übertragungskoeffizienten und Quellterme bei der Diskretisierung von Anfangsrandwertproblemen mit den Methoden endlicher Volumina/Elemente, finiter Volumina/finite Elemente und Subvolumina vorgeschlagen. Die Technologie basiert auf der Verwendung der Basiserweiterung von Finite-Elemente-Räumen anhand baryzentrischer Simplizialkoordinaten mit weiterer exakter Integration ihrer Monome. Für die Schemata MKO/FE, MKO/E mit der Berechnung von Variablen an Triangulationsknoten werden drei Klassen von Formeln für die exakte Integration von Monomen baryzentrischer Koordinaten vorgeschlagen: über Segmente des Dualnetzes in einem Element, über baryzentrische Unterregionen und Segmente von Grenzkanten. Für Teilvolumenmethoden, die inkonsistente Finite-Elemente-Räume verwenden, wird vorgeschlagen, das Prinzip der exakten Integration von Basisfunktionen zu verwenden und die entsprechenden Integralformeln zu erhalten.
2. Es wird eine Methode zum Aufbau von Upwind-MCO/FE-Schemata auf einfachen Gittern vorgeschlagen, die auf einer separaten Approximation von Massenflüssen und skalaren Substanzwerten auf Segmenten des dualen Gitters basiert. Die Konzepte einer lokalen Matrix von Gewichtungskoeffizienten eines Upstream-Schemas, die den Elementen der Schemata innewohnt, und der lokalen Positivität der Schemata werden vorgestellt. Es wurde ein Gegenstromschema der Exponentialklasse vorgeschlagen und sein Analogon für den MKO mit der Berechnung unbekannter Simplexe in Schwerpunkten konstruiert.
3. Es wurden experimentelle Schätzungen der Konvergenzrate des Gegenstromschemas mit Gewichtung der Massenströme und des vorgeschlagenen exponentiellen Klassenschemas erhalten. Mithilfe von Lösungen vom Grenzschichttyp wurde die Stabilität der konstruierten Systeme analysiert und mit vorgelagerten FEM-Systemen verglichen. Es wird gezeigt, dass die fertigen MCO/FE-Schemata es ermöglichen, die Merkmale von Grenzschichtlösungen viel genauer zu verfolgen als die Schemen der Petrov-Galerkin-Methode mit asymmetrischen Basisfunktionen (Legendre-Polynome), Finite-Elemente-Schemata von Rice und Schnipke, sowie kombinierte Finite-Elemente-Schemata höherer Näherungsordnung, entwickelt von T. Sheu, S. Wang und S. Tsai.
4. Unter Verwendung der vorgeschlagenen Näherungsschemata für Probleme vom Typ Konvektiv-Diffusion wurde eine Reihe von Programmen zur Modellierung viskoser inkompressibler Strömungen in natürlichen Geschwindigkeits-Druck-Variablen auf kombinierten Gittern unter Verwendung von Interpolationspolynomen für Druck und Geschwindigkeit derselben Ordnung erstellt. Um die Wirksamkeit der konstruierten Schaltkreise zu bestätigen, wurden zahlreiche Computerexperimente durchgeführt.
5. Für einen Referenzfluss in einem Kanal hinter einem Rückwärtsschritt wird erstmals die Wechselwirkung des Eingabeeffekts und des Effekts der Verwendung von Upstream-Approximationen gezeigt.
Daher ist die in der Arbeit vorgeschlagene Technologie zur Diskretisierung von Anfangsrandwertproblemen unter Verwendung der Finite-Elemente-/Finite-Volumen-Methode auf einfachen Gittern eine wirksame Methode zur Approximation von Systemen von Erhaltungsgesetzen. Die entwickelten Upwind-Schemata weisen gute Konvergenzeigenschaften auf und die Verwendung von Diskretisierungsmethoden für ein System von Navier-Stokes-Gleichungen mit gleicher Interpolation für die Komponenten des Geschwindigkeits-Druck-Vektors ermöglichen es, Ergebnisse zu erhalten, die gut mit experimentellen Daten übereinstimmen. Klassen von Finite-Volumen-/Finite-Elemente-Methoden auf einfachen Netzen, deren technologische Grundlage die exakte Integration von Monomen baryzentrischer Koordinaten ist, sind wirksame Methoden zur Modellierung viskoser inkompressibler Strömungen in Gebieten mit komplexer Randgeometrie.
Referenzliste für Dissertationsforschung Kandidat der physikalischen und mathematischen Wissenschaften Voitovich, Tatyana Viktorovna, 2000
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Vor einiger Zeit suchte ich nach einer Beschreibung der Vorgänge und Prozesse, die in der numerischen Modellierungsbibliothek OpenFOAM ablaufen. Ich habe viele abstrakte Beschreibungen der Funktionsweise der Finite-Volumen-Methode, klassische Differenzenschemata und verschiedene physikalische Gleichungen gefunden. Ich wollte genauer wissen – woher kommen diese Werte in dieser und jener Ausgabedatei bei dieser und jener Iteration, welche Ausdrücke stehen hinter bestimmten Parametern in den fvSchemes- und fvSolution-Einstellungsdateien?
Für alle, die sich auch dafür interessieren – dieser Artikel. Diejenigen, die mit OpenFOAM oder den darin implementierten Methoden gut vertraut sind, schreiben über die gefundenen Fehler und Ungenauigkeiten in einer persönlichen Nachricht.
Es gab bereits einige Artikel über OpenFOAM auf Habré:
Daher werde ich nicht weiter auf die Tatsache eingehen, dass es sich um „eine offene (GPL) Plattform für numerische Simulationen handelt, die für Simulationen im Zusammenhang mit der Lösung partieller Differentialgleichungen mithilfe der Finite-Volumen-Methode entwickelt wurde und häufig zur Lösung von Problemen in der Kontinuumsmechanik eingesetzt wird.“
Heute werde ich anhand eines einfachen Beispiels die Vorgänge beschreiben, die bei Berechnungen in OpenFOAM ablaufen.
Angesichts der Geometrie – ein Würfel mit einer Seitenlänge von 1 Meter:
Wir stehen vor der Aufgabe, die Strömungsausbreitung eines bestimmten Skalarfeldes (Temperatur, Materiemenge), das durch die folgende Transportgleichung (1) gegeben ist, innerhalb des Körpervolumens zu modellieren.
(1) 
,
Wobei eine skalare Größe beispielsweise die Temperatur [K] oder die Konzentration eines bestimmten Stoffes ausdrückt und die Übertragung eines Stoffes den Massenstrom [kg/s] ausdrückt.
Diese Gleichung wird beispielsweise zur Modellierung der Wärmeausbreitung verwendet 
,
Dabei ist k die Wärmeleitfähigkeit und die Temperatur [K].
Der Divergenzoperator ist eigentlich
Operator .
Ich möchte Sie daran erinnern, dass es einen Nabla-Operator (Hamilton-Operator) gibt, der wie folgt geschrieben ist: 
,
Wobei i, j, k Einheitsvektoren sind.
Wenn wir den Nabla-Operator skalar mit einer Vektorgröße multiplizieren, erhalten wir die Divergenz dieses Vektors:
„Aus physikalischer Sicht ist die Divergenz eines Vektorfeldes ein Indikator dafür, inwieweit ein bestimmter Punkt im Raum Quelle oder Senke dieses Feldes ist.“
Wenn Sie den Nabla-Operator mit einem Skalar multiplizieren, erhalten Sie den Gradienten dieses Skalars:
Ein Gradient zeigt eine Zunahme oder Abnahme der Größe eines Skalars in einer bestimmten Richtung.
Die Randbedingungen des Problems sind wie folgt: Es gibt eine Eingangsfläche, eine Ausgangsfläche und die übrigen Flächen sind glatte Wände.
Aufteilung des Volumens eines Würfels in endliche Volumina
Unser Raster wird sehr einfach sein – wir teilen den Würfel entlang der Z-Achse in 5 gleiche Zellen.
Viele Formeln
Die Finite-Volumen-Methode sieht vor, dass (1) in Integralform (2) für jedes endliche Volumen erfüllt ist.
(2)
,
Wo ist der geometrische Mittelpunkt des endgültigen Volumens?
Mitte des endgültigen Bandes
Vereinfachen und transformieren wir den ersten Term des Ausdrucks (2) wie folgt:
(2.1) (HJ-3.12)*
Wie Sie sehen können, haben wir angenommen, dass sich die skalare Größe innerhalb des endlichen Volumens linear ändert und der Wert der Größe an einem bestimmten Punkt innerhalb des endlichen Volumens wie folgt berechnet werden kann:
Um den zweiten Term des Ausdrucks (2) zu vereinfachen, verwenden wir den verallgemeinerten Satz von Gauß-Ostrogradsky: Das Integral der Divergenz des Vektorfeldes über das Volumen ist gleich dem Vektorfluss durch die das gegebene Volumen begrenzende Oberfläche. In der menschlichen Sprache ist „die Summe aller Ströme in/aus einem endlichen Volumen gleich der Summe der Ströme durch die Flächen dieses endlichen Volumens“:
(2.3)
,
Wo ist die geschlossene Fläche, die das Volumen begrenzt?
- Vektor, der entlang der Normalen vom Volumen gerichtet ist.
Vektor S
Wenn man bedenkt, dass das endliche Volumen durch eine Reihe flacher Flächen begrenzt ist, kann Ausdruck (2.3) in die Summe der Integrale über der Oberfläche umgewandelt werden:
(2.4) (HJ-3.13)
,
Wo drückt den Wert der Variablen in der Mitte des Gesichts aus,
- Flächenvektor, der von der Mitte des Gesichts ausgeht und von der Zelle weg (lokal) und von der Zelle mit einem niedrigeren Index zur Zelle mit einem höheren Index (global) gerichtet ist.
Etwas mehr über Vektor S
Um nicht die gleichen Vektorparameter zweimal zu speichern, weil Es ist offensichtlich, dass sich bei zwei benachbarten Zellen der Normalenvektor zur Kante zwischen den Zellen, der von der Zellmitte weg gerichtet ist, nur im Richtungszeichen unterscheidet. Daher wurde eine Eigentümer-Nachbar-Beziehung zwischen der Kante und der Zelle erstellt. Wenn der Flächenvektor (globale, positive Richtung von einer Zelle mit einem niedrigeren Index zu einer Zelle mit einem größeren Index) VON der Mitte der Zelle aus angibt, besteht eine solche Beziehung zwischen der Zelle und dem Vektor, und genauer gesagt zwischen der Zelle und dem Gesicht, wird als Besitzer bezeichnet). Wenn dieser Vektor innerhalb der betreffenden Zelle zeigt, dann der Nachbar. Die Richtung beeinflusst das Vorzeichen des Werts (+ für Eigentümer und - für Nachbar) und ist beim Summieren wichtig, siehe unten.
Über Differenzschemata
Der Wert in der Mitte des Gesichts wird anhand der Werte in den Mittelpunkten benachbarter Zellen berechnet – diese Ausdrucksmethode wird als Differenzschema bezeichnet. In OpenFOAM wird die Art des Differenzschemas in der Datei angegeben /system/fvSchemes:DivSchemes (Standard: keine; div(phi,psi) Gauss linear; )
Gauß- bedeutet, dass das zentrale Differenzschema ausgewählt ist;
linear- bedeutet, dass die Interpolation von den Mittelpunkten der Zellen zu den Mittelpunkten der Flächen linear erfolgt.
Nehmen wir an, dass sich unsere Skalargröße innerhalb des endlichen Volumens vom Zentrum zu den Rändern linear ändert. Anschließend wird der in der Gesichtsmitte angenäherte Wert nach folgender Formel berechnet:
Wo sind die Gewichte und werden berechnet als
Wo sind die Zellvolumina?
Für Fälle schiefer Zellen gibt es komplexere Formeln zur Berechnung der Näherungsgewichte.
Somit werden die phi_f-Werte an den Zellrandzentren basierend auf den Werten an den Zellzentren berechnet. Gradientenwerte grad(phi) werden basierend auf phi_f-Werten berechnet.
Und dieser gesamte Algorithmus kann in Form des folgenden Pseudocodes dargestellt werden.
1. Wir deklarieren ein Array von Gradienten endlicher Volumina und initialisieren es mit Nullen. 2. Wir gehen alle internen Flächen durch (die keine Grenzen sind) > Wir berechnen Fluss_f = phi_f*S_f. Berechnen Sie die phi_f-Werte basierend auf den Phi-Werten in Zell-Cent > Addieren Sie „flux_f“ zum Gradienten des Eigentümerelements und „-flux_f“ zum Gradienten des Nachbarelements. 3. Iterieren Sie über alle Grenzflächen > Berechnen Sie „flux_f = phi_f*S_f“ > Fügen Sie „flux_f“ zum Gradienten des Eigentümerelements hinzu (Nachbar – die Grenzflächen haben keine Elemente). 4. Gehen wir alle Elemente durch > Teilen Sie die resultierende Gradientensumme durch das Volumen des Elements
Zeitabtastung
Unter Berücksichtigung von (2.1) und (2.4) hat Ausdruck (2) die Form:
(3)
Gemäß der Finite-Volumen-Methode wird eine Zeitdiskretisierung durchgeführt und Ausdruck (3) wird wie folgt geschrieben:
(4)
Integrieren wir (4):
(4.1)
Teilen wir die linke und rechte Seite in:
(5)
Daten für die Stichprobenmatrix
Jetzt können wir für jedes endliche Volumen ein lineares Gleichungssystem erhalten.Nachfolgend finden Sie die Nummerierung der Gitterknoten, die wir verwenden werden. 
Knotenkoordinaten werden in /constant/polyMesh/points gespeichert
24
((0 0 0)
(1 0 0)
(0 1 0)
(1 1 0)
(0 0 0.2)
(1 0 0.2)
(0 1 0.2)
(1 1 0.2)
(0 0 0.4)
(1 0 0.4)
(0 1 0.4)
(1 1 0.4)
(0 0 0.6)
(1 0 0.6)
(0 1 0.6)
(1 1 0.6)
(0 0 0.8)
(1 0 0.8)
(0 1 0.8)
(1 1 0.8)
(0 0 1)
(1 0 1)
(0 1 1)
(1 1 1))
Nummerierung der Knoten-Mittelpunkte der Zellen (50, 51 - Mittelpunkte der Grenzflächen): 
Nummerierung der Flächenmittelpunkte: 
Elementvolumina:
Zur Berechnung von Werten auf Zellflächen benötigte Interpolationskoeffizienten. Der Index „e“ bezeichnet den „rechten Rand der Zelle“. Rechts relativ zur Ansicht, wie in der Abbildung „Nummerierung der Knoten-Mittelpunkte der Zellen“:
Bildung der Stichprobenmatrix
Für P = 0.
Ausdruck (5), der das Verhalten der Größe beschreibt
Wird in ein System linearer algebraischer Gleichungen umgewandelt, die jeweils die Form haben:
Oder nach den Punktindizes auf den Flächen
Und alle Flüsse zu/von einer Zelle können als Summe ausgedrückt werden
Wo ist zum Beispiel der Flusslinearisierungskoeffizient am Mittelpunkt der Zelle E,
- Strömungslinearisierungskoeffizient im Mittelpunkt der Fläche,
- nichtlinearer Teil (z. B. konstant).
Entsprechend der Nummerierung der Gesichter wird der Ausdruck die Form annehmen: 
Unter Berücksichtigung der Randbedingungen für das Element P_0 kann die lineare algebraische Gleichung dargestellt werden als
...ersetzen Sie die zuvor erhaltenen Koeffizienten...
Der Fluss vom Einlass „a ist in die Zelle gerichtet und hat daher ein negatives Vorzeichen.
Da wir in unserem Kontrollausdruck zusätzlich zum Diffusionsterm auch einen Zeitterm haben, sieht die endgültige Gleichung jedoch so aus
Für P = 1.
Für P = 4.
Ein System linearer algebraischer Gleichungen (SLAE) kann in Matrixform dargestellt werden als
A(i,j) === 40,5 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40 0,5 0 0 0 -0,5 40,5
Psi = Abmessungen; internalField uneinheitliche Liste
Auf dieser Grundlage werden die Werte für den Vektor ermittelt
Dann wird der Vektor in das SLAE eingesetzt und eine neue Iteration der Vektorberechnung erfolgt.
Und so weiter, bis die Abweichung die erforderlichen Grenzen erreicht.
