Конструиране на мрежи за метода на крайния обем. Метод на крайния обем. Разделяне на обема на куб на крайни обеми

Предимството на този метод е, че се основава на законите за запазване. Следователно, за разлика от метода на крайните разлики, методът на контролния обем осигурява консервативна числена схема, която прави възможно получаването на решения с приемлива точност дори при относително груби мрежи.

Основната идея на метода е доста проста и лесно се поддава на физическа интерпретация. Когато се дискретизират осреднените по Рейнолдс уравнения на Навие-Стокс, изчислителната област се разделя на голям брой неприпокриващи се елементарни обеми, така че всеки обем съдържа само една изчислителна (възлова) точка. Наборът от елементарни обеми се нарича изчислителна мрежа. Мрежовите клетки могат да имат различни форми. Най-често използваните са хексаедри (хексахедри) и тетраедри (тетраедри). Методът на контролния обем позволява използването на клетки с произволен брой лица (пирамиди, призми, сложни полиедри и др.).

Решението на системата от уравнения (1)–(18) е представено като набор от стойности на желаните параметри в центровете на тези обеми. Например, ако разделим обема на една стая на 1000 отделни елементарни обема (клетки), тогава в резултат на решението ще имаме 1000 стойности на температура, скорост, налягане и т.н. На фиг. Фигура 2 показва фрагмент от изчислителната област. Клетките са номерирани с индекси i, j, k.

Ориз. 2. Фрагмент от изчислителната област

Интегрирането на диференциалните уравнения се извършва върху всеки елементарен обем. Интегралите се изчисляват с помощта на интерполационни формули, които се използват за определяне на стойностите на желаните променливи между изчислените точки. В резултат на това се получава дискретен аналог на оригиналните уравнения във възлови точки, който отразява закона за запазване на изследваните променливи във всеки краен обем.

Трябва да се отбележи, че в повечето съвременни изчислителни хидродинамични пакети като “STAR-CD”, “FLUENT”, “CFX” и много други, методът на контролния обем е внедрен за дискретизиране на уравненията на модела.

Изчислителни решетки

Процесът на конструиране на мрежа е един от ключовите моменти при провеждането на числен експеримент. Изборът и конструирането на изчислителна мрежа, адекватна на разглеждания проблем, е доста сложна и отнемаща време процедура. Рационалният избор на мрежа може значително да опрости численото решение на проблема.

Ориз. 3. Конфигурации на мрежови клетки

Мрежовите клетки могат да имат различни форми (фиг. 3) и размери, които са най-подходящи за решаване на конкретен проблем. Най-простият тип мрежа е, когато клетките са еднакви и имат кубична форма.

По правило в близост до твърди повърхности мрежата става по-плътна, т.е. клетките имат по-малък размер, нормален към повърхността. Това се прави, за да се подобри точността на изчисленията в тези области, където градиентите на потока на изследваните параметри се променят по-бързо, например в граничния слой.

Можете да увеличите точността на изчисленията и да намалите грешката на приближението по 2 начина:

· повишаване на реда на точността на вземане на проби;

· намаляване на стъпката на решетката.

При решаване на нестационарни проблеми размерите на клетките Δx и стъпката на интегриране на времето Δt са свързани с условието на CFL (Courant-Friedrichs-Levy): , u- скорост.

Универсалните компютърни програми, които понастоящем се използват в инженерната практика, позволяват работа върху произволни неструктурирани мрежи, използвайки силно изкривени елементи. В този случай редът на точността на дискретизация, като правило, не надвишава втория. За да се получи висококачествено решение, е необходимо да се изградят изчислителни мрежи с малки стъпки.

Пакетът STAR-CCM премина към използването на полиедрични клетки (подобни на футболна топка), които чрез комбиниране на клетки елиминират появата на силно изкривени клетки.

Основното предимство на неструктурираните мрежи в сравнение с обикновените е по-голямата гъвкавост при дискретизиране на физически регион със сложна форма. В този случай клетките на мрежата трябва да имат сравними обеми или площи и не трябва да се пресичат. Въпреки това, недостатъците на този тип мрежа включват увеличаване на размера на мрежата. Както показва практиката, за един и същ обект неструктурираната мрежа, когато е конструирана правилно, има приблизително два пъти повече клетки от структурираната, което естествено води до увеличаване на времето за изчисление по отношение на обикновените мрежи. В много случаи обаче неструктурираните мрежи са единственият възможен вариант за конструиране поради сложността на геометрията на обекта. Освен това, с рационален избор на алгоритъм за свързване, времето, изразходвано за изграждане на неструктурирана мрежа, се оказва значително по-малко от времето, необходимо за изграждане на структурирана (блоково-структурирана) мрежа. В резултат на това общото време, изразходвано за решаване на проблема (включително времето за свързване и времето за изчисление), може да бъде много по-малко при използване на неструктурирани мрежи, отколкото в случая на структурирани.

Определянето на необходимия размер на мрежата само по себе си е много трудна задача. Универсалният метод, който трябва да се следва при избора на размер на мрежата, се свежда до факта, че полученото решение не трябва да се променя при увеличаване на броя на клетките (конвергенция на мрежата).

За типични проблеми не е необходимо провеждането на проучване за конвергенция на мрежата, тъй като можете да разчитате на предварително получени резултати. Когато се преминава към изучаване на нов тип проблем, е наложително да се извърши изследване на конвергенцията на мрежата и да се определят изискванията към изчислителната мрежа.

Имайте предвид, че при решаване на реални проблеми на вентилацията и климатизацията, характерният брой клетки е като правило от 500 хиляди до 3 - 4 милиона, в зависимост от геометричната сложност на обекта, набора от необходими параметри и спецификата на проблемът. В този случай времето за изчисление на клъстер, състоящ се например от 24 ядра, може да достигне до една седмица, а при решаване на нестационарни задачи - до няколко седмици.

Пакетът STAR-CCM+ включва модул за създаване на изчислителни мрежи. Има и отделни пакети за генериране на мрежи, например широко използваният е ANSYS, ICEM CFD (ICEM). Мрежите, вградени във външни пакети, могат да бъдат импортирани в пакета STAR-CCM+.

Глава 1. Методи за дискретизиране на системи от закони за запазване.

1.1. Технологични принципи на методите за дискретизация на начално-гранични задачи с използване на пространства с крайни елементи.

1.1.1. Методи на крайните елементи.

1.1.2. Методи с краен обем.

1.2. Схеми срещу вятъра върху прости мрежи.

1.3. Методи за решаване на стационарната система от уравнения на Навие-Стокс.

Глава 2. Конструиране на дискретни аналози на уравнения на конвективна-дифузионна-реакция с помощта на метода на крайния обем

2.1. MKO/FE дискретизация на задачи от конвективно-дифузионен тип.

2.1.1. Триангулация и метод за конструиране на дуална мрежа.

2.1.2. Интегрална форма на законите за опазване.

2.1.3. Апроксимация на дифузионни потоци и изчисляване на матрицата на коравина MKO/FE.

2.1.4. Апроксимация на изходните термини.

2.1.5. Изчисляване на матрицата на масата MCO/FE.

2.1.6. Отчитане на гранични условия.

2.2. Изграждане на многомерни схеми срещу вятъра върху прости мрежи.

2.2.1. Изчисляване на конвективни локални матрици.

2.2.2. Схеми с претегляне на масови потоци.

2.2.3. Модифициране на експоненциални схеми.

2.2.4. Някои свойства на противопоточни схеми и принципи на тяхното изграждане.

2.2.5. Аналог на експоненциалната схема за схеми с изчисляване на неизвестни в центровете на клетките.

2.3. Нови класове интегрални формули на MKO.

2.3.1. Интегриране на мономи от барицентрични координати.

2.3.2. Относно възможните комбинации от полиномиални представяния.

2.3.3. При увеличаване на реда на интерполационните полиноми на представянето на локалното решение.

2.4.4. Използване на непоследователни крайни елементи.

2.4. Поелементно сглобяване на глобални матрици

Глава 3. Моделиране на полето на потока на вискозни несвиваеми среди.

3.1. Математически модел.

3.2. Интегрална форма на законите за опазване.

3.3. Отчитане на връзката между полетата на скоростта и налягането.

3.3.1. Интерполация на Ry-Chow за изчисляване на масовите потоци.

3.3.2. Дискретизация на уравнението за непрекъснатост.

3.3.3. Отчитане на граници с ненулев масов поток.

3.3.4. Обща итерационна схема 1.

3.4. Ускоряване на конвергенцията на итеративни схеми.

3.4.1. Корекция на полета на налягане и скорост

3.4.2. Обща итерационна схема II.

3.5. Решаване на системи от линейни алгебрични уравнения.

Глава 4. Числени експерименти.

4.1. Анализ на стабилността за решения от типа на граничния слой.

4.2. Ускоряване на потока в кръгла тръба.

4.3. Течение в началния участък на гладък канал.

4.4. Ламинарен поток на струя от точкова дюза (изходна струя)

4.5. Ламинарен поток зад плоска асиметрична задна стъпка

4.5.1. Изчисление с помощта на различни схеми нагоре по веригата

4.5.2. Ефект на въвеждане при изчисляване на потоци зад стъпка назад с помощта на MKO/FE на прости мрежи.

4.5.3. Сравнение на различни методи за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения.

Препоръчителен списък с дисертации

Моделиране на вътрешни потоци на вискозен несвиваем флуид по метода на крайните елементи с помощта на противопоточни схеми 2007 г., кандидат на физико-математическите науки Гобиш, Албина Владимировна
Числени схеми, базирани на апроксимации с краен обем/крайни елементи за решаване на дълговълнови хидродинамични проблеми 2004 г., кандидат на физико-математическите науки Стиврин, Андрей Вадимович
Паралелни технологии за решаване на гранични задачи 2005 г., доктор на физико-математическите науки Василевски, Юрий Викторович
Метод на краен обем за задачи на конвекция-дифузия и модели на двуфазен поток 2010 г., кандидат на физико-математическите науки Никитин, Кирил Дмитриевич
Триизмерно моделиране на процеси на пренос на примеси в порести среди със сложна структура 2007 г., кандидат на физико-математическите науки Капирин, Иван Викторович

Въведение в дисертацията (част от автореферата) на тема „Технологии на метода на крайния обем/крайните елементи върху симплициални мрежи за задачи от конвективно-дифузионен тип”

Численото решаване на проблемите на математическата физика е един от основните методи за изследване на реални явления. Комбинираното използване на изчислителни и физически експерименти при анализа на всяко явление позволява, от една страна, да се намали броят на скъпите експериментални измервания, а от друга страна, да се проверят и подобрят математическите модели.

С нарастването на скоростта на изчислителните системи се поставят нови изисквания към числените методи за решаване на проблеми на математическата физика. Разработването и усъвършенстването на съвременни методи за дискретизация на законите за опазване, които осигуряват възможност за симулиране на все нови класове проблеми и получаване на значително по-добри резултати при решаването на известни такива, е важна област на изследване.

Съвременните изчислителни алгоритми трябва да предоставят най-точното описание на области със сложна геометрия. Това е възможно с помощта на неортогонални и неструктурирани мрежи. В сравнение с произволни неортогонални мрежи, за неструктурирани симплициални мрежи (триангулация в двуизмерния случай и разделяне на тетраедри в триизмерния случай), локалните кондензации са по-лесни за изпълнение (например зад задно стъпало, в зона на внезапно стесняване, в близост до точката на закрепване), и също, ако е необходимо, адаптиране на изчислителната мрежа в зависимост от поведението на решението. По този начин, дори когато законите за запазване се дискретизират в геометрично прости области, които могат да бъдат точно представени от колекция от правоъгълни елементи, неструктурираните прости мрежи имат редица предимства. Въпреки очевидните предимства на неструктурираните мрежи за апроксимиране на произволни региони и възможността за автоматично конструиране на прости дялове, те практически не са били използвани в изчислителната динамика на флуидите и едва през последните 15 години стават все по-популярни. Според свидетелството на B. Stoufflett и др., причината за това е рязко нарастващото време за изчисление при преминаване към неструктурирани подходи. Факт е, че позицията на ненулевите елементи в матриците на дискретни аналози зависи от близостта на възлите на мрежата и произволно, матриците се съхраняват с помощта на универсални формати и структури от данни. Операциите по умножаване на разредена матрица по вектор и непълна факторизация стават много по-„скъпи“. В същото време системите от изчислителни уравнения на динамиката на флуидите са взаимосвързани нелинейни системи от уравнения, чиито неявни схеми за решаване имат многостепенен итеративен характер, така че при всяка от „глобалните“ итерации е необходимо да се решат няколко системи от линейни алгебрични уравнения. Именно с появата на мощни изчислителни системи, както и благодарение на развитието на адаптивни и многомрежови методи, стана възможно използването на неструктурирани мрежи и съответните схеми за пространствена дискретизация за моделиране на хидрогазодинамични процеси.

Най-често срещаният метод на дискретизация в неструктурирания случай е методът на крайните елементи (МКЕ). Нека отбележим такива предимства на метода като запазването на симетричния характер на самосъгласуваната част на диференциалните оператори в техните дискретни аналози (това се постига чрез специален избор на пространството на тестовите функции, съвпадащо с пространството на пробните функции) , възможността за увеличаване на точността на апроксимацията чрез увеличаване на степента на интерполационните полиноми на локалното представяне на решението (така наречените p и h-p версии на FEM, ), естествено разглеждане на гранични условия от втори и трети вид. Методът на крайните елементи има утвърдена технологична основа, по-специално

Методи за апроксимиране на вътрешни продукти при предположение за частично полиномиално представяне на решението и параметрите на проблем с гранични стойности, а именно: използване на базисно разлагане на съответното пространство на крайните елементи, класове интегрални формули, които правят възможно точното интегриране на произволни продукти на базисни функции върху разделителни елементи и ръбове (лица) на елементи,

Стандартен апарат за интерполация.

Технологиите на метода позволяват просто и еднакво конструиране на дискретни аналози на начални гранични задачи с различни видове гранични условия при допускане на определена степен на гладкост на решението и частично полиномиално поведение на коефициентите на уравненията и гранични условия , .

В редица приложения, като моделиране на свръхзвукови и трансзвукови газови потоци и изчисления, използващи плитки водни модели, местният консерватизъм на схемите, използвани за дискретизиране на законите за опазване, е много важен. Методът на крайните елементи не позволява да се проследят със задоволителна точност характеристиките на възникващите прекъснати решения и традиционният подход за решаване на такива проблеми е методът на крайните обеми. Когато се дискретизира система от закони за запазване чрез метода на крайния обем, изчислителната област се апроксимира от набор от отворени крайни обеми, след което изследователят прави „крачка назад“, преминавайки към интегралната форма на оригиналната система от уравнения; Използвайки формулата на Остроградски-Гаус, ние преминаваме от обемна интеграция към граничен интеграл, така че методът за приближаване на потоците през лицата на крайни обеми напълно определя изчислителната схема. Според монографията на С. Патанкар, "за повечето изследователи, работещи в областта на хидродинамиката и преноса на топлина, методът на крайните елементи все още изглежда обвит в мистерия. Вариационната формулировка и дори методът на Галеркин не се поддават на проста физическа интерпретация." В същото време схемите с ограничен обем имат определено физическо значение на баланса на потоците и изходните термини във всеки от крайните обеми, които приближават изчислителната област, което прави метода на крайния обем по-привлекателен. „Простотата“ на MKO е една от причините за липсата на обща технологична основа на метода.

И така, предимствата на класическата версия на MKO (метод на краен обем/крайна разлика, FVDM) включват локалния консерватизъм на дискретните схеми, по-голяма простота и яснота и възможността за естествено отчитане на граничните условия от втория вид. Освен това, в случай на решаване на проблеми с преобладаване на конвекция, прилагането на противопоточни схеми е опростено, тъй като потоците през лицата на крайни обеми са както анализирани, така и апроксимирани количества.

Опитите за систематизиране на апроксимациите с краен обем доведоха до частична комбинация от FEM технологии и принципа на интегриране върху крайни обеми; най-ранните от тях се връщат към работата на B. R. Baliga, K. Prakash и S. Patankar и са известни като CVFEM методи (методи на крайни елементи, базирани на контролен обем), наричани по-долу методи на краен обем/крайни елементи (FVM/ FE). Авторите на метода преследваха целта да конструират консервативни схеми на метода на крайния обем, използвайки едно от основните предимства на FEM - способността за апроксимиране на сложни геометрии с помощта на неструктурирани мрежи. Профилните функции в този клас методи са „със спомагателен характер“, не се подчертава принадлежността на решението към пространства с крайни елементи. Барицентричните комплекти се използват като двойна преграда.

За първи път проблемът с липсата на универсални технологични принципи на метода на крайните обеми/крайните разлики (MKO/KR, FVDM) се обсъжда в работата на З. Кая „За метода на крайните обеми/елементи”. Авторът насочва вниманието на читателя към „несистематичния характер на метода на крайния обем/крайната разлика“; Когато се апроксимират системи от закони за запазване чрез метода на крайния обем/крайната разлика, в една и съща работа могат да се използват апроксимации от различни класове, което значително усложнява анализа на конвергенцията на такива схеми. Предлага се решение на този проблем - съвместното използване на идеите на метода на крайните елементи (търсене на решение в някакво пространство на крайните елементи и използване на частично полиномиалното поведение на решението за изчисляване на потоците) и интегралната форма на законите за запазване. По този начин методите с краен обем/елемент (FME/E, „методи на кутии“, FVE) възникват в опит да се създадат „по-систематични технологии с краен обем“. Липсата на общи технологични принципи на методите с краен обем/крайни разлики също се отбелязва в трудовете на Я. JI. Гуриева и В. П. Илин.

Методите с краен обем/крайни елементи (FVE) и методите с краен обем/крайни елементи (CVFEM) използват последователни пространства с крайни елементи на функции, линейни на симплекси и принадлежат към класа на схемите с краен обем на клетъчен връх, Фиг. 1, а.

Редица изчислителни схеми за динамика на флуидите (моделиране на вискозни несвиваеми потоци) използват несъгласувани пространства с крайни елементи, по-специално пространството на Crousey-Raviard, линейно върху елементи, непрекъснати в центровете на ръбовете на тестовите функции. Методите за краен обем, използващи непоследователни пространства с крайни елементи, бяха предложени от S. Choi и D. Kwak, изследвани в редица произведения на други автори (така наречените методи на субобем, метод на covolume) и са схеми с изчисляване на неизвестни в центровете от ръбове (

Най-често срещаните схеми за решаване на проблеми с газовата динамика и моделиране на антропогенни бедствия с помощта на уравнения за плитка вода са клетъчно-центрирани схеми с краен обем, Фиг. 1, е. Тяхната популярност се дължи на факта, че в случай на изчисляване на неизвестни в центроидите, повечето газодинамични схеми (схеми на С. К. Годунов, схеми на TVD) могат да бъдат прехвърлени към неструктурирани мрежи без фундаментални технологични промени. o a in

Фиг. 1. Местоположение на изчислителните точки по отношение на възлите на FE мрежата.

Тази работа разглежда предимно класове методи с краен обем с изчисляване на неизвестни в триангулационни възли (MKO/E, MKO/FE) и ръбови центрове (методи на подобем); в бъдеще ще кажем също „методи с краен обем, използващи пространства с крайни елементи. ” Тези класове методи, според редица изследвания (, ), за проблеми с конвекция-дифузия осигуряват по-добри приближения към решението от методите с изчисляване на неизвестни в центровете на клетките. Една от основните причини е, че за методите, изброени по-горе, се запазва непрекъснатостта на първите производни на тестови функции върху елементите на двойната мрежа.

Ефективен подход за решаване на проблеми с преобладаване на конвекцията е използването на метода на Галеркин със симетрични тестови функции за самосъгласуваната част на диференциалните оператори и upstream MCO схеми за асиметричната им част, т.нар. смесени методи на крайни елементи/обем (FEM/O, MEV, метод на смесен елемент/обем).

Дисертационният труд е посветен по-специално на усъвършенстването на технологиите на метода на крайния обем за посочените класове методи (MKO/E, MKO/CE, FEM/O, субобемни методи). В момента тези методи нямат установени технологии за отчитане на частично полиномиалното поведение на решението, изходните условия и коефициентите на трансфер. Можем да изброим следните причини за несъвършенството на апарата за точно интегриране на полиноми в методите с краен обем, използващи пространства с крайни елементи:

1. За разлика от метода на крайните елементи, методът на крайния обем няма p-версия, тъй като с въвеждането на допълнителни възли и няколко типа двойни мрежи, локалният консерватизъм на редица променливи на системата от закони за запазване във връзка на „извънземните“ крайни обеми е нарушено. По този начин приближенията са ограничени до пространства с крайни елементи от по-нисък порядък.

2. В сравнение с метода на крайните елементи, методите с краен обем се характеризират с по-голяма свобода при избора на пространствата на тестовите функции, които в този случай се оказват свързани с местоположението на точките на изчисляване на неизвестните спрямо дискретизацията възли (схеми с местоположението на неизвестните във възли, средни точки на ръбове, центроиди симплекси) и метода за конструиране на двойна решетка (използвайки барицентрични, ортоцентрични, околоцентрични множества). В съчетание с възможността за използване на разположени или разпределени мрежи, това дава пълното разнообразие от съществуващи схеми на MCM във всяко приложение.

За методите на MCM за дискретизиране на законите за запазване, които използват пространства с крайни елементи, внимателният подбор на тези пространства за решение, коефициенти на уравнения и изходни термини отчасти губи значението си, ако методът няма разработени средства за отчитане на частични полиномиални представяния, по-специално , апаратът за точно интегриране на полиноми върху елементи от двойната мрежа, поддомейни на елементи и сегменти от гранични ръбове. В резултат на това резултатите от изчисленията с помощта на изградените схеми трябва да се разглеждат от гледна точка на ефектите от численото интегриране, като се вземат предвид различните методи за тяхното прилагане; става значително по-трудно да се сравнят резултатите от изследванията с трудовете на други автори и т.н.

И така, тази работа е посветена на ревизията на съществуващите MCM/FEM технологии за конструиране на дискретни аналози на проблеми от тип конвекция-дифузия.

Технологията за отчитане на частичното полиномиално представяне на решението, коефициентите на уравнението и тези, включени в граничните условия, както и изходните термини в методите с ограничен обем, използващи пространства с крайни елементи, трябва да отговарят на следните изисквания:

1) позволяват произволни комбинации от полиномиални представяния на коефициенти и решения върху елементи на разделяне, както и увеличаване на степента на интерполационни полиноми на местното представяне на решението;

2) използвайте унифицирани принципи на приближаване при изчисляване на приноса на елементи, съответстващи на различни членове на уравнението (дифузия, конвекция, реакционни условия, източници), както и приноси от ръбове, които приближават части от граници с различни типове определени гранични условия на тях;

3) позволяват хомогенно обобщение към тримерния случай;

4) вземе предвид опита от добре развитите технологии за крайни елементи, по-специално използването на базисно разширение на пространствата с крайни елементи и предимствата на точното интегриране на частични полиномиални представяния на решението и коефициентите на трансфер;

5) предоставя унифицирана технологична основа за смесени FEM/O апроксимации, които използват два набора от тестови функции - краен обем и краен елемент - за апроксимиране на едно уравнение;

6) принципите на технологията трябва да останат непроменени по време на прехода от използването на последователни пространства с крайни елементи (методи с краен обем/крайни елементи с изчисляване на неизвестни във възлите) към използването на непоследователни крайни елементи (методи с изчисляване на неизвестни в центровете на триангулационни ръбове);

7) технологията може да се използва за приближаване на различни класове физически проблеми.

От съществуващите технологии за методи с краен обем, използващи пространства с крайни елементи (методи с краен обем/елементи (FVE), методи с краен обем/крайни елементи (CVFEM), методи на подобем, методи със смесен обем/елементи (MEV)), нито една не отговаря горните изисквания. По този начин създаването на нови технологии за тези класове методи, използващи симплициални дялове и барицентрични множества като двойни, изглежда е подходяща изследователска тема.

В случай на значително преобладаване на конвекцията, сравнението на различни схеми за дискретизация на MCO, както и сравнението на изчисленията, използващи метода на крайните елементи и метода на крайния обем, всъщност се свежда до сравнение на съответните схеми срещу вятъра.

Най-изследваните и често използвани в неструктурирания случай са противопоставящите се схеми от класа на методите с ограничен обем с изчисляване на променливи в центровете на клетките. Въпреки факта, че ръбовете на разделителните елементи не са успоредни на координатните оси, тези схеми в повечето случаи са едномерни, тъй като се свеждат до решаване на проблема с разпадането на прекъсване на линиите, свързващи центроиди на симплекси. Изчисленията, използващи такива схеми, не възпроизвеждат многомерната структура на потока и имат прекомерна числена дифузия. За да се конструират апроксимационни схеми от втори ред нагоре по веригата, е необходимо значително разширяване на шаблона, което в неструктурирания случай води до значително усложняване на съответните структури от данни.

Схемите нагоре по веригата за схеми с изчисляване на неизвестни в триангулационните възли и средните точки на неговите ръбове в момента са малко на брой (вижте). В някои случаи принципът на приближение нагоре по веригата се свежда до използване на една стойност на скаларна субстанция - в симплексен възел, разположен нагоре по веригата, или две претеглени стойности - в краищата на симплексен ръб, разположен нагоре по веригата. Само една от известните схеми, FLO (Flow Oriented Upwind Scheme), разработена от K. Prakash и S. Patankar, се възползва от изчисляването на неизвестните във възлите - възможността за конструиране на асиметрични профилни функции. Но изчисленията, използващи тази схема, се считат за незадоволителни, тъй като схемата няма свойството на положителност и итеративните процеси често се разминават.

Оценяването на числената дифузия, въведена от използването на схеми срещу вятъра върху симплициални мрежи, е проблем сам по себе си. Съществуващите работи в тази посока, предоставящи теоретични оценки на характеристиките на конвергенция, са ограничени до различни схеми за изчисляване на променливи в центровете на клетките. Следователно, оценяването на степента на конвергенция на схемите MCO/FE срещу вятъра с помощта на серия от числени експерименти е от особено значение.

Така че изграждането и сравнителният анализ на насочени срещу вятъра MCO/FE схеми върху неструктурирани мрежи е актуална изследователска тема.

Целта на работата е да се разработят изчислителни технологии за методи с краен обем, използващи пространства с крайни елементи за апроксимиране на проблеми от конвективно-дифузионен тип. За постигането на тази цел бяха формулирани следните цели на изследването:

1) подобряване на технологиите за дискретизиране на системи от закони за запазване, като се използва методът на краен обем/крайни елементи върху симплициални мрежи, като се използват барицентрични дялове като двойни дялове;

2) разработване на технологии за апроксимация на задачи от конвективно-дифузионен тип със значими първи производни; изграждане, внедряване и сравнителен анализ на схеми нагоре по веригата върху неструктурирани мрежи, по-специално провеждане на изчислителни експерименти за оценка на реда на приближаване на предложените и най-точните известни схеми, както и сравнение на характеристиките на схеми нагоре по веригата, базирани на MCE/FE и FEM;

3) създаване, въз основа на разработените технологии, на софтуерни пакети, които позволяват адекватно симулиране на вискозни несвиваеми потоци от течности и газове в геометрично сложни зони, в стационарни и нестационарни случаи.

Изследователски методи. Методи на изчислителната математика. Сравнителен анализ на технологии за точно интегриране на полиноми в методите на крайните елементи, крайни обеми/елементи, разпределени остатъци. Експериментална оценка на скоростта на конвергенция на схемите на потока срещу вятъра за проблеми с аналитично решение. Изчисления върху набор от кондензирани дялове на крайни елементи, последвани от анализ на конвергенцията към експериментални данни.

Научната новост на работата е следната:

1. Предложена е нова технология за отчитане на частично полиномиалното представяне на решението, коефициентите на трансфер и изходните термини при дискретизиране на начално-гранични задачи с помощта на методите на крайни обеми/елементи, крайни обеми/крайни елементи и подобеми. Технологията се основава на използването на базисно разширение на пространства с крайни елементи по отношение на барицентрични симплициални координати, с по-нататъшно точно интегриране на техните мономи. За схемите MKO/FE, MKO/E с изчисляване на променливи в триангулационни възли са предложени три класа формули за точното интегриране на мономи от барицентрични координати: над сегменти на двойната мрежа в елемент, над барицентрични подрегиони и сегменти на гранични ръбове. За подобемни методи, използващи несъгласувани пространства с крайни елементи, се предлага да се използва принципът на точно интегриране на базисни функции и се получават съответните интегрални формули.

2. Предлага се метод за конструиране на MCO/FE схеми срещу вятъра върху симплициални мрежи, базирани на отделно приближение на масовите потоци и стойностите на скаларното вещество върху сегменти от двойната мрежа. Въвеждат се понятията за локална матрица на тегловни коефициенти на противотокова схема, вътрешна за елементите на схемите, и локална положителност на схемите. Предложена е противоточна схема от експоненциален клас и е конструиран неин аналог за MKO с изчисляване на неизвестни симплекси в барицентрове.

4. Използвайки предложените апроксимационни технологии за задачи от тип конвекция-дифузия, беше създаден набор от програми за моделиране на вискозни несвиваеми потоци в естествени променливи скорост-налягане и бяха проведени редица изчислителни експерименти, потвърждаващи ефективността на изградените схеми.

Структура и обхват на дисертационния труд. Дисертационният труд се състои от увод, четири глави, заключение, списък с използвана литература, приложение и съдържа 173 страници, включително 10 таблици и 51 фигури. Библиографията съдържа 117 заглавия.

Подобни дисертации по специалност "Математическо моделиране, числени методи и програмни пакети", 05.13.18 код HAC

Числен метод за изчисляване на потоците на свиваем вискозен газ в широк диапазон от числа на Мах 2004 г., кандидат на физико-математическите науки Чирков, Денис Владимирович
Метод за числено изследване на поток около пространствени конфигурации чрез решаване на уравненията на Навие-Стокс на базата на схеми с висок порядък на точност 2010 г., доктор на физико-математическите науки Волков, Андрей Викторович
Числено моделиране на движението на вискозна несвиваема течност със свободни граници с помощта на обобщения метод на естествените съседи 2008 г., кандидат на физико-математическите науки Рейн, Татяна Сергеевна
Разработване на високопрецизна изчислителна технология на базата на спектралния метод на крайните елементи 2007 г., кандидат на физико-математическите науки Попонин, Владимир Сергеевич
Изследване на потоци вискозни течности в канали със сложна форма 2002 г., кандидат на физико-математическите науки Фирсов, Дмитрий Константинович

Заключение на дисертацията на тема „Математическо моделиране, числени методи и софтуерни пакети”, Войтович, Татяна Викторовна

Заключение

Тази работа е посветена на разработването на изчислителни технологии за методи с краен обем върху симплициални мрежи, използващи пространства с крайни елементи и барицентрични дялове като двойни за апроксимиращи проблеми от конвективно-дифузионен тип! Работата получи следните основни резултати за защита:

2. Предлага се метод за конструиране на MCO/FE схеми срещу вятъра върху симплициални мрежи, базирани на отделно приближение на масовите потоци и стойностите на скаларното вещество върху сегменти от двойната мрежа. Въвеждат се понятията за локална матрица от коефициенти на тежест на възходяща схема, вътрешна за елементите на схемите и локална положителност на схемите. Предложена е противоточна схема от експоненциален клас и е конструиран неин аналог за MKO с изчисляване на неизвестни симплекси в барицентрове.

3. Получени са експериментални оценки на степента на конвергенция на схемата срещу вятъра с претегляне на масовите потоци и предложената експоненциална класова схема. Използвайки решения от типа на граничния слой, стабилността на конструираните схеми беше анализирана и сравнена с нагоре по веригата FEM схеми. Показано е, че завършените схеми MCO/FE позволяват да се проследят характеристиките на решенията на граничния слой много по-точно от схемите на метода на Петров-Галеркин с асиметрични базисни функции (полиноми на Лежандре), схемите с крайни елементи на Райс и Шнипке, както и комбинирани схеми с крайни елементи от по-висок порядък на приближение, разработени от T. Sheu, S. Wang и S. Tsai.

4. Използвайки предложените апроксимационни схеми за задачи от конвективно-дифузионен тип, беше създаден набор от програми за моделиране на вискозни несвиваеми потоци в естествени променливи скорост-налягане, върху комбинирани мрежи, използвайки интерполационни полиноми на налягане и скорост от същия ред; Бяха проведени редица изчислителни експерименти, за да се потвърди ефективността на конструираните схеми.

5. За еталонен поток в канал зад стъпка назад взаимодействието на входния ефект и ефекта от използването на приближения нагоре по веригата е показано за първи път.

И така, технологията, предложена в работата за дискретизиране на проблеми с начална гранична стойност, използвайки метода на крайния елемент/крайния обем върху симплициалните мрежи, е ефективен начин за сближаване на системи от закони за запазване, разработените схеми нагоре имат добри характеристики на конвергенция и използването на методи за дискретизация за система от уравнения на Навие-Стокс с интерполация от същия ред за компонентите на вектора скорост-налягане позволява да се получат резултати, които са в добро съответствие с експерименталните данни. Класове методи с краен обем/крайни елементи върху симплициални мрежи, чиято технологична основа е точното интегриране на мономи от барицентрични координати, са ефективни методи за моделиране на вискозни несвиваеми потоци в области със сложна гранична геометрия.

Списък с литература за дисертационно изследване Кандидат на физико-математическите науки Войтович, Татяна Викторовна, 2000 г.

1. Белоцерковски О.М., Числено моделиране в механиката на непрекъснатата среда. М.: Наука. Глава. изд. физика и математика литература, 1984г.

2. А. С. Болдарев, В. А. Гасилов. О. Г. Олховская, Към решението на хиперболични уравнения върху неструктурирани мрежи // Математическо моделиране. 1996. Т. 8, № 3. стр. 51-78.

3. П. А. Войнович, Д. М. Шаров, Моделиране на прекъснати газови потоци върху неструктурирани решетки // Математическо моделиране. 1993. Т. 5. № 7, стр. 86-114.

4. I. J1. Гуриева, Изчислителна технология на метода на крайния обем // Дис. за научната степен кандидат на науките. ф.-м. Sci. Новосибирск 1997. - 115 с.

5. Жуков М.Ф., Солоненко О.П., Високотемпературни прахови струи при обработката на прахообразни материали. Новосибирск IT SB RAS. 1990 г.

6. V. P. Ilyin, Балансирани диференциални схеми с повишена точност върху неравномерни правоъгълни мрежи. Новосибирск 1994. - 31 с. (Препринт / CC SB RAS № 1031).

7. Илин В.П., Туракулов А.А., За интегро-балансовите апроксимации на тримерни гранични задачи. Новосибирск, 1993. - 24 с. - (Препринт/ЦК СО РАН: № 986).

8. В. М. Ковеня, Н. Н. Яненко, Метод на разделяне в задачи на газовата динамика. Новосибирск, наука. 1989 г.

9. А. Ладиженская, Математически проблеми в динамиката на вискозна несвиваема течност. М.: Tqc. издателство ф.-м. лит.- 1961г.

10. Д. Оден, Крайни елементи в нелинейната механика на непрекъснатата среда. М.: Мир, 1976.

11. Патанкар С., Числени методи за решаване на проблеми на топлообмена и динамика на флуидите. -М.:. Енергоатомиздат, 1984г.

12. Н. Писанецки С. Технология на разредените матрици. М.: Мир. 1988 г.

13. Препарата Ф. Шеймос М. Изчислителна геометрия; Въведение. М." Мир, 1984 г.

14. А. А. Самарски, Въведение в теорията на диференциалните схеми. М.: Наука, 1971.

15. L Segerlind, Приложение на метода на крайните елементи М.: Мир. 1979 г

16. N. K. Sukanek, R. P. Rhodes, Формулиране на условието за оста на симетрия при численото изчисляване на симетрични потоци // Ракетна техника и космонавтика, 1978. Том 16. № 10). стр. 96-98.

17. Р. Темам, Уравнения на Навие-Стокс, Теория и числен анализ // М.: Мир. 1981 г.

18. К. Флетчър, Числени методи, базирани на метода Галеркин II М.: Мир, 1991 г.

19. Д. Ши, Числени методи в проблемите на топлопреноса. М.; Свят, 1988 г.

20. Г. Шлихтинг, Теория на граничния слой. М.: Чуждестранно издателство. осветен 1956 г.

21. Е. П. Шурина, Т. В. Войтович, Анализ на алгоритми за методи на крайни елементи и краен обем върху неструктурирани мрежи при решаване на уравненията на Навие-Стокс // Изчислителни технологии. 1997. Т. 2. № 4. С. 84104.

22. Е. П. Шурина, О. П. Солоненко, Т. В. Войтович, Нова технология на метода на крайния обем върху симплициални мрежи за проблеми от конвективно-дифузионен тип. Новосибирск 1999. -51 д.- (Препринт/ ИТПМ СО РАН; № 8-99).

23. И. Ю. Чумаков, "Използване на различни условия за налягане на изходната граница при изчисляване на сложни вътрешни потоци на несвиваем флуид върху комбинирани решетки", Вестн. те казват учени. сер. Приложна математика и механика. 1997. Т 1. С. 55-62.

24. Н. Н. Яненко, Метод на дробните стъпки за решаване на многомерни проблеми на математическата физика. Новосибирск: Наука, 1967.

25. Грунд с крайни елементи. Национална агенция за методи и стандарти за крайни елементи //NEL. Глазгоу, 1986 г.

26. К. Аджмани, W-F Ng. Г-ЦА. Lion, Предварително спрегнати градиентни методи за уравненията на Навие-Стокс // J. Изчисл. Phys. 1994. Vol. 1 10. С. 68-81.

27. F. Angrand, A Dervieux, Някои ясни триъгълни схеми с крайни елементи за уравненията на Ойлер // Int. J.forNumer. Методи при течности. 1984. Том. 4. С. 749-764.

28. P. Arminjon, A. Dervieux, Конструиране на TVD-Hke изкуствени вискозитети върху двумерни произволни FEM мрежи // J. Comput. Phys., 1993. Vol. 106. С. 176-198.

29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, Експериментално и теоретично изследване на обърнат назад стъпков поток // J. Течна механика. 1983. Том. 127.473496.

30. F. Babuska, Граници на грешката за методите на крайните елементи // Число. математика 1971 том 16. С. 322-333.

31. Babuska, B. A. Szabo, I. N. Katz, p-версията на метода на крайните елементи // SIAM J. Numer. анален 1981. Том. 18. С. 516-544.

32. P. Balland, E. Suli, Анализ на метода на крайния обем на клетъчния връх за хиперболични проблеми с променливи коефициенти // SIAM J. Numer. анален 1997. Vol. 34. С. 1127-1151.

33. R. E. Bank, B. D. Welfert, A posteriori оценки на грешката за проблема на Stokes // SIAM J. Numer. анален 1991. Vol. 28. С. 591-623.

34. T. J. Barth, D. C. Jespersen, Проектирането и прилагането на схеми срещу вятъра върху неструктурирани мрежи // AIAA документ 89-0336.

35. E. Barton, Числено изследване на потока върху ограничено обърнато назад стъпало // Int. J.ForNumer. Методи при течности. 1995. Vol. 21. С. 653-665.

36. E. Barton, Входният ефект на ламинарен поток върху обърната назад геометрия на стъпка // Int. J.forNumer. Методи при течности. 1995. Vol. 25. С. 633-644.

37. S. Benharbit, A. Chalabi, J. P Vila, Числен вискозитет и конвергенция на методите с краен обем за закони за запазване с гранични условия // SIAM J. Nu-mer. анален 1995. Vol. 32. P 775-796.

38. Z. Cai, Относно метода на елемента с краен обем // Число. математика 1991 том. 58 стр. 713735.

39. Z. Cai, S. McCormick, Относно точността на метода на елемента с краен обем за дифузионни уравнения върху съставни мрежи // SIAM J. Numer. анален 1990. Vol. 27. С. 636-655.

40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick, Методът на крайните обемни елементи за уравнения на дифузия върху общи триангулации // SIAM J. Numer. анален 1991 г. том 28. стр. 392402.

41. M. C. Ciccoli, Алгоритми за адаптивно разлагане на домейни и апроксимация на краен обем/краен елемент за уравнения на адвекция-дифузия // Journal of Scientific Computing. 1996. Том 11. P 299-341.

42. P. Chatzipantelidis, Метод с краен обем, базиран на елемента на Crouzeix-Raviart за елиптични PDE"s в две измерения //Numer. Math. 1999, Vol. 82. P. 409-432.

43. K. H. Chen, R H. Pletcher, Примитивна променлива - силно имплицитна изчислителна процедура за вискозни потоци при всички скорости // AIAA J. 1991. Vol. 29. P1241-1249.

44. С. Чоу, Д. Квак, П. С. Василевски, Смесени методи на Covolume за елиптични проблеми върху триъгълни мрежи // SIAM J. Numer. анален 1998. Том. 35. С. 1850-1861.

45. Christie, D. F. Griffiths, A. R. Mitchell и O. C. Zienkiewicz, Методи на крайните елементи за диференциални уравнения от втори ред със значими първи производни // Int. J. Число. Методи инж. 1976. Том. 10. 1389-1396.

46. J.-P. Croisille, схеми на кутия с краен обем // Proc. на Втори междунар. Symp. относно крайните обеми за сложни приложения, 19-22 юли, 1999 г., Дуисбург, Германия. Научни публикации на HERMES, Париж, 1999 г.

47. В. Кокбърн, Ф. Кокел. P. G. Lefloch, Конвергенция на метода на крайния обем за многомерни закони за запазване // SIAM J. Numer. анален 1995. Vol. 32.687-705.

48. L. Davidson, Метод за корекция на налягането за неструктурирани мрежи с произволни контролни обеми // Int. J. за Число. Методи при течности. 1998. Том. 22. С. 265-281.

49. C. Debiez, A. Dervieux, K. Meg, B. Nkonga, Изчисляване на нестационарни потоци със смесени методи на краен обем/крайни елементи срещу вятъра // Int. J. за Число. Методи при течности. 1998. Том. 27. С. 193-206.

50. M. Delanaye, J. A. Essers, Квадратична реконструкция Схема с краен обем за компресируеми потоци върху неструктурирани адаптивни мрежи // AIAA Journal. 1997. Vol. 35. С. 631-639.

51. Dervieux A., Steady Euler simulation using unstructured meshes // VKI Lectures series. 1985. № 1884-04.

52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., За интегрирането на крайни елементи в естествени координати // Int. J. Число. Методи инж. 1973. Том. 7. 574-575.

53. A. Fezoui, Клас на имплицитни схеми срещу вятъра за симулации на Ойлер с неструктурирани мрежи // J. Sotr. Phys. 1989. Том. 84. С. 174-206.

54. C. Gallo, G. Manzini, Смесен подход с краен елемент/краен обем за решаване на транспорта на биоразграждане в подпочвените води // Int. J. за Число. Методи във флуиди.1998. Vol. 26. С. 533-556.

55. T. Gallouet, J. P. Vila, Схеми с краен обем за закони за запазване от смесен тип // SIAM J. Numer. анален 1991. Vol. 28. С. 1548-1573.

56. П. М. Грешо, С. Т. Чан, Р. Л. Лий, Г. Д. Ъпсън, Модифициран метод на крайните елементи за решаване на зависим от времето. Несвиваеми уравнения на Навие-Стокс. Част 2: Приложения // Межд. J. за Число. Методи във флуиди, 1984. Том. 4. P. 619640.

57. A. Grundmann, H. M. Moller, Инвариантни интеграционни формули за i-симплекс чрез комбинирани методи // SIAM J. Numer. Anal 1978 Vol. 15, стр. 282-290.

58. W. Hackbusch, За схеми на кутии от първи и втори ред // Компютър. 1989. Том. 41. С. 277-296.

59. Л. П. Хакман, Г. Д. Рейтби, А. Б. Стронг. Числени прогнози на потоци през обърнати назад стъпала // Int. J. за Число. Методи при течности. 1984. Том. 4. С. 71 1-724.

60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, имплицитен смесен метод с краен обем и крайни елементи за решаване на 3D турбулентни свиваеми потоци. J. за числени методи във флуиди, 1997. Том. 25. С. 1241-1261.

61. F. H. Harlow, J. E. Welch, Числено изчисляване на зависим от времето вискозитет несвиваем поток на течност със свободна повърхност // Phys. Течности. 1965. Том. 8. P. 21822189.

62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, Адаптивен метод на крайните елементи за модел на турбулентност с две уравнения в потоци, ограничени от стена. J. за Число. Методи при течности. 1997. Vol. 124. P 101-120.

63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, имплицитно решение с остатъчно разпределение на Euler и Navier-Stokes върху неструктурирани мрежи // AIAA Journal, 1996. Том. 34. С. 2021-2028.

64. J. P. Jessee, W. A. Fiveland, „Алгоритъм за клетъчен връх за несвиваемите уравнения на Navier-Stokes върху неортогонални мрежи“, Int. J. за Число. Методи при течности. 1996. Vol. 23. С. 271-293.

65. Jianguo H., Shitong X., Относно метода на елемента с краен обем за общи самосъгласувани елиптични проблеми // SIAM .J Numer. анален 1998. Том. 35. С. 1762-1774.

66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Unstructured Multigridding by volume agglomeration: current status // Computers Fluids, 1992 Vol. 21. С. 397-433.

67. Y. Liu, M. Vinokur, Точно интегриране на полиноми и симетрични квадратурни формули върху произволни полиедрични мрежи // J. Comput. Phys. 1998. Том. 140. С. 122-147.

68. D. Marcum, Модели на турбулентност за изчисления на неструктурирани крайни елементи // Int. J.ForNumer. Методи при течности. 1995, том. 20. С. 803-817.

69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, Метод на крайни елементи с контролен обем с еднакъв ред за двуизмерен осесиметричен несвиваем флуиден поток // Int J. For Numer. Методи при течности. 1994. Vol. 18. С. 1-26.

70. S. Mattiussi, An Analysis of Finite Vol. Методи на крайните елементи и крайните разлики, използващи някои понятия от алгебричната топология // J. Comput. Phys. 1997. Vol. 133. С. 289-309.

71. Д. Мавриплис, Многомрежово решение на двумерни уравнения на Ойлер върху неструктурирани триъгълни мрежи // AIAA Journal, 1988. Том 26. С. 824-831.

72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, „Напълно свързани решения с краен обем на несвиваемите Navier-Stpkes и енергийни уравнения, използващи неточен метод на Нютон“, Int. J. За номер. Методи при течности. 1994. Vol. 19. С. 439-455.

73. Y. Murthy, S. Mathur, Периодичен поток и пренос на топлина с помощта на ustructured meshes // Int. J. за Число. Методи при течности. 1997. Vol. 25. С. 659-677.

74. S. Muzaferija, D. Gosman, CFD процедура с краен обем и адаптивна стратегия за контрол на грешките на мрежи с произволна топология // J. Comput. Phys., 1997, том. 138. С. 766-787

75. P. Nithiarasu, O. C. Zienkiewlcz, V. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vasquez, Вискозитети за улавяне на удари за общия алгоритъм за механика на флуидите // Int. J. за Число. Методи при течности. 1998. Том. 28. С. 1325-1353.

76. K. Ohmori, T. Ushijima, Техника от тип нагоре по веригата, приложена към линейна несъответстваща апроксимация на крайни елементи на уравнения на конвективна дифузия // R.A.I.R.O. анален Число.

77. D. Pan, J. C. Cheng, Изчисления на Navier-Stokes с краен обем срещу вятър върху неструктурирани триъгълни мрежи // AIAA Journal, 1993. Том. 31. С. 1618-1625.

78. S. V. Potapov, Смесен FE FV алгоритъм в нелинейна динамика на твърдо тяло // Proc. на Втори междунар. Symp. относно крайните обеми за сложни приложения. 19-22 юли 1999 г. Дуисбург, Германия. - Научни публикации на HERMES. Париж. 1999. P. 271278.

79. C. Prakash, S. V. Patankar, Метод на крайни елементи, базиран на контролен обем за решаване на уравненията на Navier-Stokes, използвайки интерполация на скорост-налягане от равен порядък // Число. Пренос на топлина. 1985. Vol. 8. С. 259-280.

80. S. Ramadhyani, S. V. Patankar, Решение на уравнението на Поасон: сравнение на методите на Galerkin и контролен обем // Int. J. Число. Методи инж. 1980. Vol. 15.1395-1418.

81. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M., Схема за регулиране на силата на звука за неструктурирани триъгълни решетки // Int. J. за Число. Методи при течности. 1995. Vol. 25. С. 697-717.

82. P. L. Roe, Приблизителни решения на Риман, параметрични вектори и диференциални схеми //! Sotr. Phys. 1981. Том. 43. С. 357-372.

83. C. Rohde, Схеми за краен обем срещу вятъра за слабо свързани хиперболични системи от закони за запазване в 2D // Число. математика 1998. Том. 81. С. 85-123.

84. Тони W. H. Sheu, S. K. Wang, S. F. Tsai, Разработване на схема с висока разделителна способност за многомерно уравнение на адвекция-дифузия // J. Sotr. Phys. 1998. Том. 144. С. 1-16.

85. Саад Й., Итеративни методи за редки линейни системи. PSW Publishing Co., Бостън, Масачузетс, 1995 г.

86. V. V. K. S. Sai, O. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, Обща цел срещу специални алгоритми за високоскоростни потоци с удари // Int. J. Число. Мет. Течности. 1998. Том. 27. С. 57-80.

87. J. L. Sohn, Оценка на FIDAP на някои класически ламинарни и турбулентни показатели // Int. J. за Число. Методи при течности. 1988. Том. 8. С. 1469-1490.

88. В Stoufflet, Изследване на обобщено разделяне на вектора на потока за компресируеми потоци върху триъгълни мрежи // Int. J. за Число. Методи при течности. 1995. Vol. 20. С. 1047-1059.

89. Б. Стофлет. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, Числена симулация на 3-D хиперзвукови потоци на Ойлер около космически превозни средства с помощта на адаптирани крайни елементи // AIAA Paper 87-0560.

90. C. Taylor, P. Hood, Числено решение на уравненията на Navier-Stokes, използвайки техниката на крайните елементи // Компютри и течности. 1973. Том. 1. С. 73-100.

91. Thomadakis M, Leschziner M., Метод за корекция на налягането за решаване на несвиваеми вискозни потоци върху неструктурирани решетки // Int.J. за числени методи във флуиди. -1996. Vol. 22 P 581-601.

92. A. K. Verma, V. Eswaran, Припокриващ се подход за контрол на обема за проблеми с конвекция-дифузия // Int. J. за Число. Методи при течности. 1996. Vol. 23. С. 865-882.

93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, върху компактен краен елемент от смесен ред за решаване на триизмерните несвиваеми уравнения на Navier-Stokes // Int. J. за Число. Методи при течности. 1997. Vol. 25. С. 513-522.

94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, Прилагане на условие за свободна граница към уравненията на Navier-Stokes // Int. J. Число. Методи Heat and Fluid Flow, 1997. Vol.7. С. 95-111.

95. D. Winterscheidt, K. S. Surana, формулировка с крайни елементи на най-малките квадрати на p-версия за двуизмерен, несвиваем флуиден поток // Int. J. Число. Мет. Флуиди, 1994. Том. 18. С. 43-69.

96. A. M. Winslow, Числено решение на квазилинейното уравнение на Поасон в неравномерна триъгълна мрежа, J. Comput. Phys. 1967. Том. 2. 149-172.

97. А. Юнес, Р. Моуз. П. Акерер. G. Chavent, Нова формулировка на метода на смесените крайни елементи за решаване на елиптични и параболични PDE с триъгълни елементи // J. Comput. Phys., 1999. Vol. 149. С. 148-167.

98. P.J. Zwart, G. D. Raithby, M. J. Raw, Интегрираният метод на краен обем на пространство-времето и приложението му към проблеми с движещи се граници // J. Comput. Phys. 1999. Vol. 154. С. 497-519.

99. O. C. Zienkiewicz, Методът на крайните елементи в инженерните науки // McGraw-Hill London. 1971 г.

100. O.C. Zienkiewicz, R. Codina, Общ алгоритъм за компресируем и несвиваем поток. Част 1: Разделената схема, базирана на характеристики // Int. J. Число. Мет. Течности. 1995. Vol. 20. С. 869-885.

101. S. M. Rhie и W. L. Chow, Числено изследване на турбулентния поток покрай изолиран аерокрил с разделяне на задния ръб // AIAA Paper No. 82-0998. 1982 г.

102. R. I. Issa, Решение на имплицитно дискретизираните уравнения на флуидния поток чрез операторно разделяне // J. Изчисл. Phys. Vol. 62. С. 40-65.1985.

103. Дж. Ким, С. Дж. Клайн, Дж. П. Джонстън, Изследване на повторно закрепване на турбулентен срязващ слой: Поток над обърната назад стъпка, Journal of Fluids Eng., Vol. 102, стр. 302-308.117. http://www.ict.nsc.ru/linpar

Моля, имайте предвид, че научните текстове, представени по-горе, са публикувани само за информационни цели и са получени чрез разпознаване на текст на оригинална дисертация (OCR). Следователно те могат да съдържат грешки, свързани с несъвършени алгоритми за разпознаване. В PDF файловете на дисертациите и резюметата, които предоставяме, няма такива грешки.

Преди известно време търсих описание на операции и процеси, протичащи в библиотеката за числено моделиране OpenFOAM. Намерих много абстрактни описания на работата на метода на крайния обем, класически диференциални схеми и различни физически уравнения. Исках да знам по-подробно - откъде са дошли тези стойности в такъв и такъв изходен файл при такава итерация, какви изрази стоят зад определени параметри във файловете с настройки на fvSchemes, fvSolution?
За тези, които също се интересуват от това - тази статия. Тези, които са добре запознати с OpenFOAM или методите, внедрени в него - пишете за откритите грешки и неточности на лично съобщение.

Вече имаше няколко статии за OpenFOAM на Habré:

Ето защо няма да се спирам на факта, че това е „отворена (GPL) платформа за числена симулация, предназначена за симулации, свързани с решаване на частични диференциални уравнения с помощта на метода на крайния обем, и се използва широко за решаване на проблеми в механиката на непрекъснатата среда.“

Днес ще използвам прост пример, за да опиша операциите, които се случват по време на изчисленията в OpenFOAM.

И така, като се има предвид геометрията - куб със страна 1 метър:

Изправени сме пред задачата да моделираме потока-разпространение на определено скаларно поле (температура, количество материя), което се дава от следното транспортно уравнение (1) в обема на тялото.

(1)
,

Когато една скаларна величина, например, изразява температура [K] или концентрация на определено вещество и изразява преноса на вещество, масов поток [kg/s].

Това уравнение се използва например за моделиране на разпространението на топлина
,
където k е топлопроводимост и е температура [K].

Операторът на дивергенция всъщност е

оператор .
Нека ви напомня, че има оператор nabla (оператор на Хамилтън), който се записва по следния начин:
,

Където i, j, k са единични вектори.
Ако умножим скаларно оператора nabla по векторно количество, получаваме дивергенцията на този вектор:

„От гледна точка на физиката, дивергенцията на векторно поле е индикатор за степента, до която дадена точка в пространството е източник или поглътител на това поле“

Ако умножите оператора nabla по скала, получавате градиента на този скала:

Градиентът показва увеличение или намаляване в някаква посока на величината на скалар.

Граничните условия на задачата са следните: има входно лице, изходно лице, а останалите лица са гладки стени.

Разделяне на обема на куб на крайни обеми

Нашата мрежа ще бъде много проста - разделяме куба на 5 равни клетки по оста Z.

Много формули

Методът на крайния обем предвижда, че (1) в интегрална форма (2) ще бъде изпълнено за всеки краен обем.

(2)
,

Къде е геометричният център на крайния обем.

Център на крайния обем

Нека опростим и трансформираме първия член на израз (2), както следва:

(2.1) (HJ-3.12)*

Както можете да видите, ние предположихме, че скаларното количество се променя линейно в крайния обем и стойността на количеството в дадена точка в крайния обем може да се изчисли като:

За да опростим втория член на израза (2), използваме обобщената теорема на Гаус-Остроградски: интегралът на дивергенцията на векторното поле върху обема е равен на векторния поток през повърхността, ограничаваща дадения обем. На човешки език „сумата от всички потоци в/от краен обем е равна на сумата от потоците през лицата на този краен обем“:

(2.3)
,

Къде е затворената повърхност, ограничаваща обема,
- вектор, насочен по нормалата от обема.

Вектор С

Като се има предвид, че крайният обем е ограничен от набор от плоски повърхности, изразът (2.3) може да се трансформира в сумата от интеграли по повърхността:

(2.4) (HJ-3.13)
,

Където изразява стойността на променливата в центъра на лицето,
- площен вектор, излизащ от центъра на лицето, насочен встрани от клетката (локално), встрани от клетката с по-нисък индекс към клетката с по-висок индекс (глобално).

Още малко за вектор S

За да не се съхраняват едни и същи векторни параметри два пъти, т.к Очевидно е, че за две съседни клетки нормалният вектор към ръба между клетките, насочен встрани от центъра на клетката, ще се различава само по посока-знак. Следователно между ръба и клетката е създадена връзка собственик-съсед. Ако площният вектор (глобална, положителна посока от клетка с по-нисък индекс към клетка с по-голям индекс) показва ОТ центъра на клетката, такава връзка между клетката и вектора и по-точно между клетката и лице, се обозначава като собственик). Ако този вектор сочи вътре във въпросната клетка, тогава съседът. Посоката влияе върху знака на стойността (+ за собственик и - за съсед) и това е важно при сумирането, виж по-долу.

Относно схемите за разлика

Стойността в центъра на лицето се изчислява чрез стойностите в центровете на съседни клетки - този метод на изразяване се нарича схема на разлика. В OpenFOAM типът на схемата за разлика е посочен във файла /system/fvSchemes:

DivSchemes (няма по подразбиране; div(phi,psi) Гаус линеен; )

Гаус- означава, че е избрана централната диференциална схема;
линеен- означава, че интерполацията от центровете на клетките към центровете на лицата ще се извършва линейно.

Нека приемем, че нашата скаларна величина се променя линейно вътре в крайния обем от центъра към краищата. Тогава стойността, приближена в центъра на лицето, ще бъде изчислена по формулата:

Къде са теглата и се изчисляват като

Къде са обемите на клетките.
За случаите на изкривени клетки има по-сложни формули за изчисляване на апроксимационни тегла.

По този начин стойностите на phi_f в центровете на ръба на клетката се изчисляват въз основа на стойностите в центровете на клетката. Стойностите на градиента grad(phi) се изчисляват въз основа на стойностите на phi_f.
И целият този алгоритъм може да бъде представен под формата на следния псевдокод.
1. Декларираме масив от градиенти с крайни обеми, инициализираме го с нули 2. Преминаваме през всички вътрешни лица (които не са гранични) > Изчисляваме flux_f = phi_f*S_f. Изчислете стойностите на phi_f въз основа на стойностите на phi в цента на клетката > Добавете flux_f към градиента на елемента собственик и -flux_f към градиента на съседния елемент 3. Повторете всички гранични повърхности > Изчислете flux_f = phi_f*S_f > Добавете flux_f към градиента на елемента собственик (съсед - граничните лица нямат елементи) 4. Нека да преминем през всички елементи > Разделете получената сума на градиента на обема на елемента

Времево вземане на проби

Като се вземат предвид (2.1) и (2.4), израз (2) приема формата:

(3)

Съгласно метода на крайния обем се извършва дискретизация на времето и израз (3) се записва като:

(4)

Нека интегрираме (4):

(4.1)

Нека разделим лявата и дясната страна на:

(5)

Данни за матрица за вземане на проби

Сега можем да получим система от линейни уравнения за всеки краен обем.

По-долу е номерацията на възлите на мрежата, които ще използваме.

Координатите на възлите се съхраняват в /constant/polyMesh/points

24 ((0 0 0) (1 0 0) (0 1 0) (1 1 0) (0 0 0.2) (1 0 0.2) (0 1 0.2) (1 1 0.2) (0 0 0.4) (1 0 0.4) (0 1 0.4) (1 1 0.4) (0 0 0.6) (1 0 0.6) (0 1 0.6) (1 1 0.6) (0 0 0.8) (1 0 0.8) (0 1 0.8) (1 1 0.8) (0 0 1) (1 0 1) (0 1 1) (1 1 1))

Номериране на възли-центрове на клетки (50, 51 - центрове на гранични лица):

Номериране на лицевите централни възли:

Обем на елемента:

Коефициенти на интерполация, необходими за изчисляване на стойности върху лицата на клетката. Долният индекс "e" означава "десния край на клетката". Вдясно спрямо изгледа, както на фигурата „Номериране на възли-центрове на клетки“:

Формиране на извадковата матрица

За P = 0.
Израз (5), описващ поведението на величината

Ще се трансформира в система от линейни алгебрични уравнения, всяко от които е във формата:

Или според индексите на точките на лицата

И всички потоци към/от клетка могат да бъдат изразени като сума

Където например е коефициентът на линеаризация на потока в централната точка на клетка E,
- коефициент на линеаризация на потока в централната точка на лицето,
- нелинейна част (например постоянна).

Според номерацията на лицата изразът ще приеме формата:

Като се вземат предвид граничните условия за елемента P_0, линейното алгебрично уравнение може да бъде представено като

...заместете предварително получените коефициенти...

Потокът от вход "а" е насочен в клетката и следователно има отрицателен знак.

Тъй като в нашия контролен израз имаме също, в допълнение към дифузионния член, времеви член, но крайното уравнение изглежда като

За P = 1.

За P = 4.

Система от линейни алгебрични уравнения (SLAE) може да бъде представена в матрична форма като

A(i,j) === 40.5 0.5 0 0 0 -0.5 40 0.5 0 0 0 -0.5 40 0.5 0 0 0 -0.5 40 0.5 0 0 0 -0.5 40.5

Psi = размери; internalField нееднороден списък 5(0.0246875 0.000308546 3.85622e-06 4.81954e-08 5.95005e-10);

Въз основа на което се получават стойностите за вектора

След това векторът се замества в SLAE и възниква нова итерация на изчислението на вектора.

И така докато несъответствието достигне необходимите граници.

Връзки

* Някои уравнения в тази статия са взети от дисертацията на Jasak Hrvoje (HJ е номерът на уравнението) и ако някой иска да прочете повече за тях (

Тюлен

Също интересно:

Бизнес план за откриване на билярдна зала

Вашият собствен бизнес: производство на верижна мрежа Бизнес план за производство на верижна мрежа

Проектиране на развитието на електрическата мрежа Какво ще правим с получения материал?

Препоръчваме да прочетете:

2023-07-11 00:16:40

Направи си сам занаяти от брезова кора

2023-07-11 00:16:40

Занаяти от брезова кора: инструкции стъпка по стъпка, тайни на предците и практическа употреба на продукти от брезова кора

2023-07-11 00:16:40

Основните видове повреди в електродвигателите и причините за тяхното възникване

Продължение на темата:

Гипс

Видове житни растения. Какво представляват зърнените култури? Зърнени култури: видове, характеристики на отглеждане, полезни свойства. Тревисти растения: острица и папур

Всеки знае какво представляват зърнените храни. В крайна сметка човекът е започнал да отглежда тези растения преди повече от 10 хиляди години. Ето защо дори и сега такива имена на зърнени култури като пшеница, ръж, ечемик, ориз,...