Практикум «Решение геометрических задач второй части ОГЭ. Приёмы, способствующие решению геометрических задач

Уважаемые девятиклассники, настоящие или будущие!

Часто от вас приходится слышать следующие вопросы. Легко ли подготовиться к заданиям второй части ОГЭ по математике? Сколько для этого понадобится времени? Всем ли учащимся эти задачи по силам? Как эффективно распределить время и силы на подготовку?

Прежде всего замечу, что разделение заданий на задания первой и второй части носит порой условный характер. Некоторые задания из второй части могут показаться учащимся более лёгкими, чем из первой. Поэтому не стоит зацикливаться на мыслях типа "задания второй части не для меня, так как они должны быть сложными".

Однако принципиальная разница между задачами второй и первой части состоит в том, что к заданиям первой части решение давать необязательно, а к заданиям второй части — обязательно.

Из сказанного ранее также следует, что для успешного решения заданий второй части (во всяком случае некоторых) необязательно быть сильным в математике (например, получать высокие оценки по этому предмету). Но, разумеется, необходимо обладать знаниями и умениями по школьной программе в пределах того минимума, который необходим для решения определённой задачи.

Например, если для решения определённой задачи необходимо знать какие-то теоремы по геометрии, то понятно, что без знания этих теорем задачу решить не получится.

Теперь о том, как эффективно распределить время и силы на подготовку к заданиям второй части. Сразу замечу, что нет необходимости сначала долгое время заниматься решением заданий первой части и лишь только после этого переходить к задачам второй части. Это нерационально.

Давайте прежде всего определимся со сборником экзаменационных вариантов, по которому будем готовиться. Например, возьмём стандартный сборник "ОГЭ 2016. Математика. 50 типовых вариантов" ():

Кстати, электронную версию этого сборника вы можете скачать . Вышедший в 2017 году аналогичный сборник несущественно отличается от данного сборника.

Предположим, вы хотите освоить методы решения заданий 22 (алгебра) и 24 (геометрия). Конечно, это можно делать хаотично (как получится), то есть просто решать задания с этими номерами из разных вариантов. Но есть более рациональный способ: сначала сделать разбивку каждого из этих заданий на типы , то есть выявить, в каких вариантах задачи, имеющие один и тот же номер (22 или 24), решаются одинаковым способом, и всё это расписать.

Для заданий 22 и 24 разбивка по типам приведена на следующих фотографиях (чтобы просматривать фотографию в полном размере, кликните на неё мышкой):

Как видите, для задания каждого типа я использовал какое-то характерное для этого типа краткое описание, а для заданий по геометрии ещё и сделал чертёж. Это позволяет составить о задаче некоторое общее представление.

Когда сделана разбивка на типы, вы можете без труда определить, какие задачи решать в первую очередь, а какие оставить на потом, какие задачи для вас простые, а какие не очень.

Но вот вы начали решать задачи. Какие-то из них вы решите сами, а какие-то вам поможет решить учитель или репетитор. Не важно. После решения задания из очередного варианта, аккуратно зачёркиваем на листе номер этого варианта, а в экзаменационном сборнике делаем пометку (например, ставим "плюсик" около решённого задания и пишем ответ). Это позволит зафиксировать тот факт, что данное задание уже решено и к нему не нужно в будущем возвращаться. При необходимости решаем задачу этого же типа из другого варианта.

Необязательно решать сразу все задания одного типа из разных вариантов. Можно некоторые задания оставить на потом, для повторения материала.

Ниже я привожу фотографии с решениями некоторых типов задач с номером 22:

А вот — решения некоторых типов задач с номером 24:

Ещё хочу особо отметить, что не стоит увлекаться заучиванием алгоритмов решения задач. Старайтесь понять некоторую общую логику, из которой следует уже решение не только какой-то отдельной задачи, но и множества других задач.

И, конечно, очень важно знать школьную программу. В особенности по геометрии. Именно по этому предмету больше всего пробелов у школьников.

Как показывает практика, методы решения задач ОГЭ по математике из второй части наиболее хорошо усваиваются именно тогда, когда школьник хорошо усвоил основные сведения по школьной программе и закрепил их при решении ряда несложных задач из обычного учебника.

Вообще стоит особо отметить, что почти все задания ОГЭ по математике из первой части и примерно половина из второй на самом деле являются задачами из школьных учебников. Так что качественно проходя школьную программу с 5-го класса, вы фактически уже как бы готовитесь к сдаче экзамена по окончании 9-го класса.

Примечания к решению заданий.

Задание № 22 из варианта 44. Принцип относительности движения заключается в следующем. Предположим навстречу друг другу идут два пешехода, их скорости соответственно равны 5 км/ч и 3 км/ч , а расстояние между ними составляет 32 км . Тогда, чтобы узнать, через какое время пешеходы встретятся, можно считать, что один из них стоит на месте, а другой идёт к нему со скоростью, равной сумме скоростей, то есть со скоростью

5 км/ч + 3 км/ч = 8 км/ч

и таким образом достигает его через время, равное

32: 8 = 4 часа .

Принцип относительности движения бывает очень удобен при решении задач на движение, в которых трудно вообразить, что происходит при стандартном подходе, то есть, считая, что оба человека движутся.

Задание № 24 из варианта 40. Теорему о касательной и секущей , а также другие, связанные с касательной к окружности сведения, можно посмотреть на этой фотографии:

24. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если ВК : КА=3: 4, КМ=18.

Решение . ∆АВС∾∆КВМ по равным углам, образованным соответственно параллельными сторонами. Так как отношения соответственных сторон подобных треугольников равны, то отсюда следует:

По условию ВК составляет 3 части, а КА — 4 части, следовательно, АВ составит 7 частей. Получаем:

25 . В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке О. Докажите, что площади треугольников AOB и COD равны.

Решение. S ∆ ABD = S ∆ ACD = AD ∙ h, где h – высота треугольника и трапеции. Если из обеих этих равных площадей вычесть площадь треугольника AOD, то и останутся равные площади: S ∆ A О B = S ∆ C О D . Доказано!

26. Медиана ВМ и биссектриса АР треугольника АВС пересекаются в точке К, длина стороны АС относится к длине стороны АВ как 5 : 7. Найдите отношение площади четырехугольника КРСМ к площади треугольника АВС.

Решение . По свойству биссектрисы АР в треугольнике АВС имеем:

По свойству биссектрисы АК в треугольнике АВМ имеем:

Так как у ∆ АМК и ∆ АВК одна и та же высота h 1 , а площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту , то отношение площадей ∆ АМК и ∆ АВК равно отношению МК к ВК, т.е. равно 5/14. Заметим, что сумма площадей ∆ АМК и ∆ АВК – это площадь треугольника АВМ. А площадь треугольника АВМ – это половина площади данного треугольника АВС (медиана треугольника делит его площадь пополам ), т.е. S ∆ ABM = ½ S ∆ ABC .

Отсюда следует, что

Так как у ∆ АРС и ∆ АВР одна и та же высота h 2 , то отношение площадей ∆ АРС и ∆ АВР равно отношению СР к ВР, т.е. равно 5/7 .

Это означает, что S ∆ A РС = (5/12) S ∆ ABC . Площадь треугольника АРС состоит из суммы площадей треугольника АМК и четырехугольника КРСМ. Отсюда

Так как площадь четырехугольника КРСМ составляет 65/228 от площади треугольника АВС, то искомое отношение 65 : 228. Ответ : 65: 228.

Задачи на движение по реке

?

на 6 ч

Пусть v теч. = x

скорость

S

t =

v

S ,

v,

t,

Пр. теч.

справка

справка

По. теч.

справка

http://mathege.ru/or/ege/Main

на 6 ч

Решение :

Прототип задания B13 (№ 26585) Решение:

Моторная лодка прошла против течения реки 112 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 6 часов меньше. Найдите скорость течения, если скорость лодки в неподвижной воде равна 11 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 3

на 2 ч

Прототип задания B13 (№ 26586)

Моторная лодка прошла против течения реки 255 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Это условие поможет ввести х …

Пусть v соб. = x

Чтобы найти время надо расстояние разделить на

скорость

Найдем скорость против течения: надо из собственной скорости отнять скорость течения

S

t =

v

S ,

v,

t,

Пр. теч.

справка

справка

По. теч.

справка

на 2 ч

Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости прибавить скорость течения

Ответ: 16

на 2 ч

Задание B13 (№ 5697)

Это условие поможет ввести х …

Пусть v соб. = x

Чтобы найти время надо расстояние разделить на

скорость

Найдем скорость против течения: надо из собственной скорости отнять скорость течения

S

t =

v

S ,

v,

t,

Пр. теч.

справка

справка

По. теч.

справка

Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости прибавить скорость течения

на 2 ч

Решим уравнение:

Аналогичное прототипу B13 (№ 26586) Решение:

Задание B13 (№ 5697)

Моторная лодка прошла против течения реки 143 км и вернулась в пункт отправления, затратив на обратный путь на 2 часа меньше. Найдите скорость лодки в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 12

Это условие поможет ввести х …

Найдем скорость против течения: надо из собственной скорости отнять скорость течения

Чтобы найти время надо расстояние разделить на

скорость

Пусть v соб. = x

S

t =

v

S ,

v,

t,

Пр. теч.

+ + 2,5 = 8

справка

справка

По. теч.

справка

Стоянка

остановка

Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости прибавить скорость течения

Прототип задания B13 (№ 26587) Решение:

Моторная лодка в 10:00 вышла из пункта А в пункт В, расположенный в 30 км от А. Пробыв в пункте В 2 часа 30 минут, лодка отправилась назад и вернулась в пункт А в 18:00 того же дня. Определите (в км/ч) собственную скорость лодки, если известно, что скорость течения реки 1 км/ч.

Ответ: 11

Это условие поможет ввести х …

Пусть v теч. = x

Чтобы найти время надо расстояние разделить на

скорость

Найдем скорость против течения: надо из собственной скорости отнять скорость течения

S

t =

v

t,

S ,

v,

Пр. теч.

справка

справка

По. теч.

справка

Стоянка

Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости прибавить скорость течения

остановка

Стоянка длилась 10 ч – это время

также надо учесть

Прототип задания B13 (№ 26588) Решение

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 5

Ответ дайте в км/ч.

Это условие поможет ввести х …

Найдем скорость против течения: надо из собственной скорости отнять скорость течения

Чтобы найти время надо расстояние разделить на

скорость

Теплоход v соб. = x

S

t =

v

S ,

v,

t,

Пр. теч.

справка

справка

По. теч.

справка

Стоянка

Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости прибавить скорость течения

Стоянка длилась 2 ч – это время

остановка

также надо учесть

Прототип задания B13 (№ 26589) Решение:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 255 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 1 км/ч, стоянка длится 2 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 34 часа после отплытия из него.

Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 16

Аналогичное задание B13 (№ 5723) Прототип: 26589

Это условие поможет ввести х …

Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости прибавить скорость течения

Пусть v соб. = x

Чтобы найти время надо расстояние разделить на

скорость

S

S ,

v,

t,

t =

v

По. теч.

справка

справка

Пр. теч.

Стоянка

Чтобы найти скорость против течения надо из собственной скорости отнять скорость течения

Стоянка длилась 8 ч – это время

также надо учесть

Задание B13 (№ 5723) Прототип: 26589 Решение:

Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 560

км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 8 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 56 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 24

Прототип задания B13 (№ 26590) Это условие поможет ввести х …  S , v, t, км/ч ч км 420 1 тепл. 420 х х 420 420 х+1 2 тепл. х+1 420 420 – = 1 х х+1 x ? А На 1 ч? В x +1 На 1 км/ч На 1 км/ч 1 1 2 2 420км " width="640"

на 1 ч

От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Это условие поможет ввести х …

Первый теплоход вышел на 1 ч раньше, значит, его время в пути на 1 час больше.

S ,

v,

t,

1 тепл.

2 тепл.

– =

x

?

?

x

На 1 км/ч

На 1 км/ч

Прототип задания B13 (№ 26590) Решение:

От пристани А к пристани В отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним со скоростью на 1 км/ч большей отправился второй. Расстояние между пристанями равно 420 км. Найдите скорость первого теплохода, если в пункт В оба теплохода прибыли одновременно. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:20 км/ч

Прототип задания B13 (№ 26591) От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 110 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через 1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч. Это условие поможет ввести х … Первый теплоход вышел на 1 ч раньше, значит, его время в пути на 1 час больше.  S , v, t, км/ч ч км 110 1 тепл. х 110 х 110 110 х+1 2 тепл. х+1 110 110 – = 1 х х+1 ? x А? На 1 ч В x +1 На 1 км/ч На 1 км/ч 1 1 2 2 110км " width="640"

на 1 ч

Это условие поможет ввести х …

Первый теплоход вышел на 1 ч раньше, значит, его время в пути на 1 час больше.

S ,

v,

t,

1 тепл.

2 тепл.

– =

?

x

?

x

На 1 км/ч

На 1 км/ч

Прототип задания B13 (№ 26591) Решение:

От пристани А к пристани В, расстояние между которыми равно 110 км, отправился с постоянной скоростью первый теплоход, а через

1 час после этого следом за ним, со скоростью на 1 км/ч большей, отправился второй. Найдите скорость второго теплохода, если в пункт В он прибыл одновременно с первым. Ответ дайте в км/ч.

х = - 11 (посторонний корень)

х = 10км/ч - скорость 1-го теплохода.

10 + 1 =11(км/ч – скорость 2-го теплохода)

Ответ:11

Прототип задания B13 (№ 27482)

S ,

v,

t,

Из А в В

Из В в А

Остановка

остановка

390 км

Прототип задания B13 (№ 27482). Решение

Пристани и расположены на озере, расстояние между ними равно 390 км. Баржа отправилась с постоянной скоростью из А в В. На следующий день она отправилась обратно со скоростью на 3 км/ч больше прежней, сделав по пути остановку на 9 часов. В результате она затратила на обратный путь столько же времени, сколько на путь из А в В. Найдите скорость баржи на пути из А в В. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 10 км/ч

Найдем скорость против течения: надо из собственной скорости отнять скорость течения

Чтобы найти время надо расстояние разделить на

скорость

S

t =

v

S ,

v,

t,

Пр. теч.

+ + 5 = 30

справка

справка

По. теч.

справка

Стоянка

Просят найти расстояние, пройденное за весь рейс. Поэтому полученное расстояние S=308 надо еще умножить на 2.

Чтобы найти скорость по течению надо к собственной скорости прибавить скорость течения

остановка

Прототип задания B13 (№ 99601)

Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 25 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 3 км/ч, стоянка длится 5 часов, а в исходный пункт теплоход возвращается через 30 часов после отплытия из него. Сколько километров прошел теплоход за весь рейс?

+ + 5 = 30

Путь туда и обратно.

Ответ: 616 км

на 1 ч

Яхта v соб. = x

S ,

v,

t,

Яхта

По. теч.

Пр. теч.

v

Плот

120 км

Прототип задания B13 (№ 99602) Решение:

Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот прошел 24 км.

Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Ответ: 22км

Практикум

«Решение геометрических задач второй части ОГЭ.

Приёмы, способствующие решению геометрических задач».

«Нет царского пути в геометрии»

В демонстрационном варианте ОГЭ 26 заданий, из них 8 по геометрии, практически третья часть. 5 заданий из первой части и 3 задания из второй. И хотя тема доклада «Решение задач по геометрии второй части ОГЭ» понятно, что ученики должны хорошо решать задачи из первой части.

Изучение геометрии официально начинается с 7 класса . Начиная изучать тему любого параграфа или раздела, я помимо определений теорем этой темы, рассматриваю и доказываю все теоремы этой темы, которые автор учебника вынес в раздел «задачи» или «дополнительные задачи». Эти задачи мы в дальнейшем используем как теоремы. Это и задача № 000 «Докажите, что градусные меры дуг окружности, заключенные между параллельными хордами, равны» и № 000 «Докажите, что перпендикуляр, проведённый из какой-нибудь точки окружности к диаметру, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые основание перпендикуляра делит диаметр», это и № 000 формула Герона для площади треугольника, № 000 «Докажите, что медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы», № 000 Теорема Фалеса, № 000 «Докажите, что выпуклый четырёхугольник является параллелограммом, если его противоположные углы равны». И очень много теорем, которые предыдущие поколения знали как теоремы, вынесены сейчас в задачи. Рассмотрит ли их учитель с учениками, расскажет ли он им, что это раньше были теоремы, что полезно их знать, уметь доказывать и применять.

Огромную роль при изучении геометрии играет доказательство теорем (и во второй части одна из задач №24-26 на доказательство). Поэтому я стараюсь, чтобы ученики на уроках, на зачётах доказывали эти теоремы сами (зачёты «экзамен» провожу по билетам, в дополнительное время, по группам, для того, чтобы выслушать всех).

4. Перенос данных условия на чертёж, выделение элементов чертежа разными цветами.

5. Запись требуемых формул и теорем на черновике (формирование базы знаний).

6. «Деталировка» - вычерчивание отдельных деталей на дополнительных чертежах.

7. Анализ данных задачи, привязка искомых величин к элементам чертежа.

8. «Синтез» - составление «цепочки» действий (алгоритм решения).

9. Реализация алгоритма решения,

10 Проверка правильности решения.

Пояснительная записка

При изучении курса математики на базовом уровне обучения продолжается и получает развитие содержательная линия «математика». Курс математики 5 классов – важное звено математического образования и развития школьников на второй ступени обучения.

В детстве ребенок открыт и восприимчив к чудесам познания, к богатству и красоте окружающего мира. У каждого способности и таланты, которые необходимо развивать на всех этапах жизни ребенка. Применительно к ситуации школьного обучения творческие способности проявляются при решении задач не эпизодически, а планомерно и систематически.

Процесс обучения в школе предполагает, в частности, решение таких важных задач как обучение детей способам усвоения системы знаний, с одной стороны, а с другой – активизацию их интеллектуальной деятельности. Это обуславливает выделение проблемы управления интеллектуальной деятельностью школьников в число наиболее важных задач педагогики. Создание условий для максимальной реализации познавательных возможностей ребенка способствует тому, что обучение ведет за собой развитие.

Структура программы концентрическая, т.е. одна и та же тема может изучаться как в 5, так и в 6, 7 классах. Это связано с тем, что на разных ступенях обучения дети могут усваивать один и тот же материал, но уже разной степени сложности с учетом приобретенных ранее знаний.

Включенные в программу вопросы дают возможность учащимся готовиться к олимпиадам и различным математическим конкурсам. Занятия могут проходить в форме бесед, лекций, экскурсий, игр. Особое внимание уделяется решению задач повышенной сложности

Задания

На заводе ювелирных изделий сплавили 2 слитка платину и золото. Масса первого ювелирного изделия 4 кг, количество платины и золота в нем находится в отношении 3:5. Масса второго изделия 6 кг, в нем отношение платины к золоту равно 1:3. Найдите процентное содержание платины в новом ювелирном изделии.

Коле и Мише вместе 86 лет, Свете и Мише вместе - 92 года, а всем вместе 120 лет. На сколько Миша старше Коли?

3. Сумма корней уравнения равна

4. У Пети прохожий спросил который час, Петя ответил, что прошло от суток. Который сейчас час?

а) 6 часов 30 минут

б) 6 часов 20 минут

в) 6 часов

г) 5 часов 55 минут

5. Два менеджера в банке выполнили работу за 12 дней. Первому менеджеру для выполнения этого же плана работы потребеуется на 10 дней больше, чем другому. Определите за сколько дней выполнит эту работу каждый менеджер.

а) 10 и 20 дней

б) 5 и 15 дней

в) 25 и 35 дней

г) 20 и 30 дней

6. Найдите разность между десятым и восьмым членом последовательности, если последовательность задается следующей формулой:

7. В треугольник со стороной а вписан новый треугольник. В этот треугольник вписан другой новый треугольник и так далее до бесконечности. Найдите сумму периметров этих треугольников, если начальный треугольник является равносторонним.

8. Дана прогрессия: 3; 2,9; 2,8; 2,7.... Найдите номер первого отрицательного члена этой прогрессии.

9. Найдите корень уравнения

Найдите площадь фигуры, которая изображена на рисунке