Напряжение в сечении бруса. Силы и напряжения в поперечных сечениях бруса. Pacчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении

При растяжении (сжатин) бруса в его поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения. Равнодействующая соответствующих элементарных сил о, dA - продольная сила N - может быть найдена с помощью метода сечений. Для того чтобы иметь возможность определить нормальные напряжения при известном значении продольной силы, необходимо установить закон нх распределения по поперечному сечению бруса.

Эта задача решается на основе протезы плоских сечений (гипотезы Я. Бернулли), которая гласит:

сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к ося и при деформации.

При растяжении бруса (изготовленного, например, для большей наглядности опыта из резины), на поверхности которого нанесена система продольнь1х и поперечных рисок (рис. 2.7,а), можно убедиться, что риски остаются прямолинейными и взаимно перпендикулярными, изменяются лишь

где А - площадь поперечного сечения бруса. Опуская индекс z, окончательно получаем

Для нормальных напряжений принимают то же правило знаков, что и для продольных сил, т. е. при растяжении считают напряженна положительными.

Фактически распределение напряжений в сечениях бруса, примыкающих к месту приложения внешних сил, зависит от способа приложения нагрузки и может быть неравномерным. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что это нарушение равномерности распределения напряжений носит местный характер. В сечениях бруса, отстоящих от места нагружения на расстоянии, примерно равном наибольшему из поперечных размеров бруса, распределение напряжений можно считать практически равномерным (рис. 2.9).

Рассмотренное положение является частным случаем принципа Сен-Венана, который можно сформулировать следующим образом:

распределение напряжений существенно зависит от способа приложения внешних сил лишь вблизи места нагружения.

В частях, достаточно удаленных от места приложения сил, распределение напряжений практически зависит только от статического эквивалента этих сил, а не от способа их приложения.

Таким образом, применяя принцип Сен-Венана и отвлекаясь от вопроса о местных напряжениях, имеем возможность (как в этой, так и в последующих главах курса) не интересоваться конкретными способами приложения внешних сил.

В местах резкого изменения формы и размеров поперечного сечения бруса также возникают местные напряжения. Это явление называют концентрацией напряжений, которую в этой главе учитывать не будем.

В тех случаях, когда нормальные напряжения в различных поперечных сечениях бруса неодинаковы, целесообразно показывать закон их изменения по длине бруса в виде графика - эпюры нормальных напряжений.

П ри мер 2.3. Для бруса со ступенчато-переменным поперечным сечением (рис. 2.10,а) построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений.

Решение. Разбиваем брус на участки, начиная от свободного гонца. Границами участков являются места приложения внешних сил и изменения размеров поперечного сечения, т. е. брус имеет пять участков. При построении только эпюры N следовало бы разбить брус лишь на три участка.

Применяя метод сечений, определяем продольные силы в поперечных сечениях бруса и строим соответствующую эпюру (рис. 2.10,6). Построение эпюры И принципиально ничем не отличается от рассмотренного в примере 2.1, поэтому подробности этого построения опускаем.

Нормальные напряжения вычислим по формуле (2.1), подставляя значения сил в ньютонах, а площадей - в квадратных метрах.

В пределах каждого из участков напряжения постоянны, т. е. эпюра на данном участке - прямая, параллельная оси абсцисс (рис. 2.10, в). Для расчетов на прочность интерес представляют в первую очередь те сечения, в которых возникают наибольшие напряжения. Существенно, что в рассмотренном случае они не совпадают с теми сечениями, где продольные силы максимальны.

В тех случаях, когда сечение бруса по всей длине постоянно, эпюра а подобна эпюре N и отличается от нее только масштабом, поэтому, естественно, имеет смысл построение лишь одной из указанных эпюр.

Продольная сила N, возникающая в поперечном сечении бруса, представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил, распределенных по площади поперечного сечения, и связана с возникающими в этом сечении нормальными напряжениями зависимостью (4.1):

здесь - нормальное напряжение в произвольной точке поперечного сечения, принадлежащей элементарной площадке - площадь поперечного сечения бруса.

Произведение представляет собой элементарную внутреннюю силу, приходящуюся на площадку dF.

Величину продольной силы N в каждом частном случае легко можно определить при помощи метода сечений, как показано в предыдущем параграфе. Для нахождения же величин напряжений а в каждой точке поперечного сечения бруса надо знать закон их распределения по этому сечению.

Закон распределения нормальных напряжений в поперечном сечении бруса изображается обычно графиком, показывающим изменение их по высоте или ширине поперечного сечения. Такой график называют эпюрой нормальных напряжений (эпюрой а).

Выражение (1.2) может быть удовлетворено при бесконечно большом числе видов эпюр напряжений а (например, при эпюрах а, изображенных на рис. 4.2). Поэтому для выяснения закона распределения нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса необходимо провести эксперимент.

Проведем на боковой поверхности бруса до его нагружения линии, перпендикулярные к оси бруса (рис. 5.2). Каждую такую линию можно рассматривать как след плоскости поперечного сечения бруса. При нагружении бруса осевой силой Р эти линии, как показывает опыт, остаются прямыми и параллельными между собой (их положения после нагружения бруса показаны на рис. 5.2 штриховыми линиями). Это позволяет считать, что поперечные сечения бруса, плоские до его нагружения, остаются плоскими и при действии нагрузки. Такой опыт подтверждает гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), сформулированную в конце § 6.1.

Представим мысленно брус состоящим из бесчисленного множества волокон, параллельных его оси.

Два любых поперечных сечения при растяжении бруса остаются плоскими и параллельными между собой, но удаляются друг от друга на некоторую величину; на такую же величину удлиняется каждое волокно. А так как одинаковым удлинениям соответствуют одинаковые напряжения, то и напряжения в поперечных сечениях всех волокон (а следовательно, и во всех точках поперечного сечения бруса) равны между собой.

Это позволяет в выражении (1.2) вынести величину а за знак интеграла. Таким образом,

Итак, в поперечных сечениях бруса при центральном, растяжении или сжатии возникают равномерно распределенные нормальные напряжения, равные отношению продольной силы к площади поперечного сечения.

При наличии ослаблений некоторых сечений бруса (например, отверстиями для заклепок), определяя напряжения в этих сечениях, следует учитывать фактическую площадь ослабленного сечения равную полной площади уменьшенной на величину площади ослабления

Для наглядного изображения изменения нормальных напряжений в поперечных сечениях стержня (по его длине) строится эпюра нормальных напряжений. Осью этой эпюры является отрезок прямой, равный длине стержня и параллельный его оси. При стержне постоянного сечения эпюра нормальных напряжений имеет такой же вид, как и эпюра продольных сил (она отличается от нее лишь принятым масштабом). При стержне же переменного сечения вид этих двух эпюр различен; в частности, для стержня со ступенчатым законом изменения поперечных сечений эпюра нормальных напряжений имеет скачки не только в сечениях, в которых приложены сосредоточенные осевые нагрузки (где имеет скачки эпюра продольных сил), но и в местах изменения размеров поперечных сечений. Построение эпюры распределения нормальных напряжений по длине стержня рассмотрено в примере 1.2.

Рассмотрим теперь напряжения в наклонных сечениях бруса.

Обозначим а угол между наклонным сечением и поперечным сечением (рис. 6.2, а). Угол а условимся считать положительным, когда поперечное сечение для совмещения с наклонным сечением надо повернуть на этот угол против часовой стрелки.

Как уже известно, удлинения всех волокон, параллельных оси бруса, при его растяжении или сжатии одинаковы. Это позволяет предполагать, что напряжения р во всех точках наклонного (так же как и поперечного) сечения одинаковы.

Рассмотрим нижнюю часть бруса, отсеченную сечением (рис. 6.2, б). Из условий ее равновесия следует, что напряжения параллельны оси бруса и направлены в сторону, противоположную силе Р, а внутренняя сила действующая в сечении равна Р. Здесь - площадь наклонного сечения равная (где - площадь поперечного сечения бруса).

Следовательно,

где - нормальные напряжения в поперечных сечениях бруса.

Разложим напряжение на два составляющих напряжения: нормальное перпендикулярное к плоскости сечения и касательное та, параллельное этой плоскости (рис. 6.2, в).

Значения и та получим из выражений

Нормальное напряжение считается обычно положительным при растяжении и отрицательным при сжатии. Касательное напряжение положительно, если изображающий его вектор стремится вращать тело относительно любой точки С, лежащей на внутренней нормали к сечению, по часовой стрелке. На рис. 6.2, в показано положительное касательное напряжение та, а на рис. 6.2, г - отрицательное.

Из формулы (6.2) следует, что нормальные напряжения имеют значения от (при до нуля (при а ). Таким образом, наибольшие (по абсолютной величине) нормальные напряжения возникают в поперечных сечениях бруса. Поэтому расчет прочности растянутого или сжатого бруса производится по нормальным напряжениям в его поперечных сечениях.

Из формулы для определения напряжений и эпюры распределе­ния касательных напряжений при кручении видно, что максималь­ные напряжения возникают на поверхности.

Определим максимальное напряжение, учитывая, что ρ та х = d/ 2, где d - диаметр бруса круглого сечения.

Для круглого сечения полярный момент инерции рассчитывает­ся по формуле (см. лекцию 25).

Максимальное напряжение возникает на поверхности, поэтому имеем

Обычно J P /p max обозначают W p и называют моментом сопро­тивления при кручении, или полярным моментом сопротивления сечения

Таким образом, для расчета максимального напряжения на поверхности круглого бруса получаем формулу

Для круглого сечения

Для кольцевого сечения

Условие прочности при кручении

Разрушение бруса при кручении происходит с поверхности, при расчете на прочность используют условие прочности

где [τ к ] - допускаемое напряжение кручения.

Виды расчетов на прочность

Существует два вида расчета на прочность.

1. Проектировочный расчет - определяется диаметр бруса (вала) в опасном сечении:

2. Проверочный расчет - проверяется выполнение условия прочности

3. Определение нагрузочной способности (максимального крутящего момента)

Расчет на жесткость

При расчете на жесткость определяется деформация и сравни­вается с допускаемой. Рассмотрим деформацию круглого бруса над действием внешней пары сил с моментом т (рис. 27.4).

При кручении деформация оцени­вается углом закручивания (см. лекцию 26):

Здесь φ - угол закручивания; γ - угол сдвига; l - длина бруса; R - радиус; R =d/2. Откуда

Закон Гука имеет вид τ к = G γ . Подставим выражение для γ , получим

Произведение GJ P называют жесткостью сечения.

Модуль упругости можно определить как G = 0,4Е. Для стали G = 0,8 10 5 МПа.

Обычно рассчитывается угол закручивания, приходящийся на один метр длины бруса (вала) φ o .

Условие жесткости при кручении можно записать в виде

где φ o - относительный угол закручивания, φ о = φ/l; [φ о ] ≈ 1град/м = 0,02рад/м - допускаемый относительный угол закручивания.

Примеры решения задач

Пример 1. Из расчетов на прочность и жесткость определить потребный диаметр вала для передачи мощности 63 кВт при скорости 30 рад/с. Материал вала - сталь, допускаемое напряжение при кручении 30 МПа; допускаемый относительный угол закручивания [φ о ] = 0,02рад/м; модуль упругости при сдвиге G = 0,8 * 10 5 МПа.

Решение

1. Определение размеров поперечного сечения из расчета на прочность.

Условие прочности при кручении:

Определяем вращающий момент из формулы мощности при вращении:

Из условия прочности определяем момент сопротивления вала при кручении

Значения подставляем в ньютонах и мм.

Определяем диаметр вала:

2. Определение размеров поперечного сечения из расчета на жесткость.

Условие жесткости при кручении:

Из условия жесткости определяем момент инерции сечения при кручении:

Определяем диаметр вала:

3. Выбор потребного диаметра вала из расчетов на прочность и жесткость.

Для обеспечения прочности и жесткости одновременно из двух найденных значений выбираем большее.

Полученное значение следует округлить, используя ряд пред­почтительных чисел. Практически округляем полученное значение так, чтобы число заканчивалось на 5 или 0. Принимаем значение d вала = 75 мм.

Для определения диаметра вала желательно пользоваться стан­дартным рядом диаметров, приведенном в Приложении 2.

Пример 2. В поперечном сечении бруса d = 80 мм наибольшее касательное напряжение τ тах = 40 Н/мм 2 . Определить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 20 мм.

Решение

б . Очевидно,

Пример 3. В точках внутреннего контура поперечного сечения трубы (d 0 = 60 мм; d = 80 мм) возникают касательные напряжения, равные 40 Н/мм 2 . Определить максимальные касательные напряжения, возникающие в трубе.

Решение

Эпюра касательных напряжений в поперечном сечении представлена на рис. 2.37, в . Очевидно,

Пример 4. В кольцевом поперечном сечении бруса (d 0 = 30 мм; d = 70 мм) возникает крутящий момент М z = 3 кН-м. Вычислить касательное напряжение в точке, удаленной от центра сечения на 27 мм.

Решение

Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вычисляется по формуле

В рассматриваемом примере М z = 3 кН-м = 3-10 6 Н мм,

Пример 5. Стальная труба (d 0 = l00 мм; d = 120 мм) длиной l = 1,8 м закручивается моментами т , приложенными в ее торцевых сечениях. Определить ве­личину т , при которой угол закручивания φ = 0,25°. При найденном значении т вычислить максимальные касательные напряжения.

Решение

Угол закручивания (в град/м) для одного участка вычисляется по формуле

В данном случае

Подставляя числовые значения, получаем

Вычисляем максимальные касательные напряжения:

Пример 6. Для заданного бруса (рис. 2.38, а ) построить эпюры крутящих моментов, максимальных каса­тельных напряжений, углов поворота поперечных сечений.

Решение

Заданный брус имеет участки I, II, III, IV, V (рис. 2. 38, а). Напомним, что границами участков являются сечения, в которых приложены внешние (скру­чивающие) моменты и места изменения размеров попереч­ного сечения.

Пользуясь соотношением

строим эпюру крутящих моментов.

Построение эпюры М z начинаем со свободного конца бруса:

для участков III и IV

для участка V

Эпюра крутящих моментов представлена на рис, 2.38, б . Строим эпюру максимальных касательных напряжений по длине бруса. Условно приписываем τ шах те же знаки, что и соответствующим крутящим моментам. На участке I

на участке II

на участке III

на участке IV

на участке V

Эпюра максимальных касательных напряжений пока­зана на рис. 2.38, в .

Угол поворота поперечного сечения бруса при посто­янных (в пределах каждого участка) диаметре сечения и крутящем моменте определяется по формуле

Строим эпюру углов поворота поперечных сечений. Угол поворота сечения А φ л = 0, так как в этом сечении брус закреплен.

Эпюра углов поворота поперечных сечений изображе­на на рис. 2.38, г .

Пример 7. На шкив В ступенчатого вала (рис. 2.39, а) передается от двигателя мощность N B = 36 кВт, шкивы А и С соответственно передают на станки мощности N A = 15 кВт и N C = 21 кВт. Час­тота вращения вала п = 300 об/мин. Про­верить прочность и жесткость вала, если [τ K J = 30 Н/мм 2 , [Θ] = 0,3 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 , d 1 = 45 мм, d 2 = 50 мм.

Решение

Вычислим внешние (скручивающие) моменты, приложенные к валу:

Строим эпюру крутящих моментов. При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем момент, соответ­ствующий N А, положительным, N c - отрицательным. Эпюра M z показана на рис. 2.39, б . Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка АВ

что меньше [т к ] на

Относительный угол закручивания участка АВ

что значительно больше [Θ] ==0,3 град/м.

Максимальные напряжения в поперечных сечениях участка ВС

что меньше [т к ] на

Относительный угол закручивания участка ВС

что значительно больше [Θ] = 0,3 град/м.

Следовательно, прочность вала обеспечена, а жест­кость - нет.

Пример 8. От электродвигателя с помощью ремня на вал 1 передается мощность N = 20 кВт, С вала 1 по­ступает на вал 2 мощность N 1 = 15 кВт и к рабочим ма­шинам - мощности N 2 = 2 кВт и N 3 = 3 кВт. С вала 2 к рабочим машинам поступают мощности N 4 = 7 кВт, N 5 = 4 кВт, N 6 = 4 кВт (рис. 2.40, а). Определить диаметры валов d 1 и d 2 из условия прочности и жесткости, если [τ K J = 25 Н/мм 2 , [Θ] = 0,25 град/м, G = 8,0-10 4 Н/мм 2 . Се­чения валов 1 и 2 считать по всей длине постоянными. Частота вращения вала электродвигателя п = 970 об/мин, диаметры шкивов D 1 = 200 мм, D 2 = 400 мм, D 3 = 200 мм, D 4 = 600 мм. Сколь­жением в ременной передаче пренебречь.

Решение

Нарис. 2.40, б изобра­жен вал I . На него поступает мощность N и с него снимаются мощности N l , N 2 , N 3 .

Определим угло­вую скорость враще­ния вала 1 и внешние скручивающие момен­ты m, m 1 , т 2 , т 3:

Строим эпюру крутящих моментов для вала 1 (рис. 2.40, в ). При этом, двигаясь от левого конца вала, условно считаем моменты, соответствующие N 3 и N 1 , по­ложительными, а N - отрицательным. Расчетный (макси­мальный) крутящий момент N x 1 max = 354,5 H * м.

Диаметр вала 1 из условия прочности

Диаметр вала 1 из условия жесткости ([Θ], рад/мм)

Окончательно принимаем с округлением до стандарт­ного значения d 1 = 58 мм.

Частота вращения вала 2

На рис. 2.40, г изображен вал 2; на вал поступает мощность N 1 , а снимаются с него мощности N 4 , N 5 , N 6 .

Вычислим внешние скручивающие моменты:

Эпюра крутящих моментов для вала 2 показана на рис. 2.40, д. Расчетный (максимальный) крутящий момент М я max " = 470 H-м.

Диаметр вала 2 из условия прочности

Диаметр вала 2 из условия жесткости

Окончательно принимаем d 2 = 62 мм.

Пример 9. Определить из условий прочности и жесткости мощность N (рис. 2.41, а ), которую может передать стальной вал диаметром d = 50 мм, если [т к ] = 35 Н/мм 2 , [ΘJ = 0,9 град/м; G = 8,0* I0 4 Н/мм 2 , n = 600 об/мин.

Решение

Вычислим внешние моменты, приложенные к валу:

Расчетная схема вала показана на рис. 2.41, б .

На рис. 2.41, в пред­ставлена эпюра крутящих моментов. Расчетный (мак­симальный) крутящий мо­мент M z = 9,54N . Условие прочности

Условие жесткости

Лимитирующим является условие жесткости. Следо­вательно, допускаемое значение передаваемой мощности [N] = 82,3 кВт.

Pacчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении

Pacчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении

Целью расчетов на прочность и жесткость при кручении является определение таких размеров поперечного сечения бруса, при которых напряжения и перемещения не будут превышать заданных величин, допускаемых условиями эксплуатации. Условие прочности по допускаемым касательным напряжениям в общем случае записывается в виде Данное условие означает, что наибольшие касательные напряжения, возникающие в скручиваемом брусе, не должны превышать соответствующих допускаемых напряжений для материала. Допускаемое напряжение при кручении зависит от 0 ─ напряжения, соответствующего опасному состоянию материала, и принятого коэффициента запаса прочности n: ─ предел текучести, nт- коэффициент запаса прочности для пластичного материала; ─ предел прочности, nв- коэффициент запаса прочности для хрупкого материала. В связи с тем, что значения в получить в экспериментах на кручение труднее, чем при растяжении (сжатии), то, чаще всего, допускаемые напряжения на кручение принимают в зависимости от допускаемых напряжений на растяжение для того же материала. Так для стали [для чугуна. При расчете скручиваемых брусьев на прочность возможны три вида задач, различающихся формой использования условий прочности: 1) проверка напряжений (проверочный расчет); 2) подбор сечения (проектный расчет); 3) определение допускаемой нагрузки. 1. При проверке напряжений по заданным нагрузкам и размерам бруса определяются наибольшие возникающие в нем касательные напряжения и сравниваются с заданными по формуле (2.16). Если условие прочности не выполняется, то необходимо либо увеличить размеры поперечного сечения, либо уменьшить нагрузку, действующую на брус, либо применить материал более высокой прочности. 2. При подборе сечения по заданной нагрузке и заданной величине допускаемого напряжения из условия прочности (2.16) определяется величина полярного момента сопротивления поперечного сечения бруса По величине полярного момента сопротивления находят диаметры сплошного круглого или кольцевого сечения бруса. 3. При определении допускаемой нагрузки по заданному допускаемому напряжению и полярному моменту сопротивления WP предварительно на основе (3.16) определяется величина допускаемого крутящего момента MK а затем с помощью эпюры крутящих моментов устанавливается связь между K M и внешними скручивающими моментами. Расчет бруса на прочность не исключает возможности возникновения деформаций, недопустимых при его эксплуатации. Большие углы закручивания бруса весьма опасны, так как могут приводить к нарушению точности обработки деталей, если этот брус является конструктивным элементом обрабатывающего станка, либо могут возникнуть крутильные колебания, если брус передает переменные по времени скручивающие моменты, поэтому брус необходимо рассчитывать также на жесткость. Условие жесткости записывается в следующем виде: где ─ наибольший относительный угол закручивания бруса, определяемый из выражения (2.10) или (2.11). Тогда условие жесткости для вала примет вид Величина допускаемого относительного угла закручивания определяется нормами и для различных элементов конструкций и разных видов нагрузок изменяется от 0,15° до 2° на 1 м длины бруса. Как в условии прочности, так и в условии жесткости при определении max или max  будем использовать геометрические характеристики: WP ─ полярный момент сопротивления и IP ─ полярный момент инерции. Очевидно, эти характеристики будут различными для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений при одинаковой площади этих сечений. Путем конкретных расчетов можно убедиться, что полярные моменты инерции и момент сопротивления для кольцевого сечения значительно больше, чем для оплошного круглого сечения, так как кольцевое сечение не имеет площадок, близко расположенных к центру. Поэтому брус кольцевого сечения при кручении является более экономичным, чем брус сплошного круглого сечения, т. е. требует меньшего расхода материала. Однако изготовление такого бруса сложнее, а значит, и дороже, и это обстоятельство также необходимо учитывать при проектировании брусьев, работающих при кручении. Методику расчета бруса на прочность и жесткость при кручении, а также рассуждения об экономичности, проиллюстрируем на примере. Пример 2.2 Сравнить веса двух валов, поперечные размеры которых подобрать для одного и того же крутящего момента MK 600 Нм при одинаковых допускаемых напряжениях 10 Rи 13 Растяжение вдоль волокон р] 7 Rp 10 Сжатие и смятие вдоль волокон [см] 10 Rc , Rcм 13 Смятие поперек волокон (на длине не менее10 см) [см]90 2,5 Rcм 90 3 Скалывание вдоль волокон при изгибе [и] 2 Rcк 2,4 Скалывание вдоль волокон при врубках 1 Rcк 1,2 – 2,4 Скалывание во врубках поперек волокон

2.2. Центр тяжести сечения и свойство статического момента

2.3. Зависимости между моментами инерции относительно параллельных осей

2.4. Вычисление моментов инерции простых фигур

2.5. Изменение моментов инерции при повороте координатных осей

2.6. Главные оси и главные моменты инерции

2.7. Свойство моментов инерции относительно осей симметрии

2.8. Свойство моментов инерции правильных фигур относительно центральных осей

2.9. Вычисление моментов инерции сложных фигур

2.10. Примеры определения главных центральных осей и главных моментов инерции сечений

Вопросы для самопроверки

3.1. Основные понятия

3.2. Дифференциальные уравнения равновесия материальной частицы тела в случае плоской задачи

3.3. Исследование напряженного состояния в данной точке тела

3.4. Главные площадки и главные напряжения

3.5. Экстремальные касательные напряжения

3.6. Понятие об объёмном напряженном состоянии

3.6.1. Главные напряжения

3.6.2. Экстремальные касательные напряжения

3.6.3. Напряжения на произвольно наклонённых площадках

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

4.1. Соотношения Коши

4.2. Относительная деформация в произвольном направлении

4.3. Аналогия между зависимостями для напряженного и деформированного состояний в точке

4.4. Объёмная деформация

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

5.1. Закон Гука при растяжении и сжатии

5.2. Коэффициент Пуассона

5.3. Закон Гука при плоском и объёмном напряженных состояниях

5.4. Закон Гука при сдвиге

5.5. Потенциальная энергия упругих деформаций

5.6. Теорема Кастильяно

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Глава 6. Механические характеристики материалов

6.1. Общие сведения о механических испытаниях материалов

6.2. Машины для испытания материалов

6.3. Образцы для испытания материалов на растяжение

6.6. Влияние температуры и других факторов на механические характеристики материалов

6.7.1. Особенности почвенной среды

6.7.2. Модели механического поведения почв

6.7.3. Образцы и схемы испытаний образцов почв

6.8. Расчетные, предельные, допускаемые напряжения

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Глава 7. Теории предельного состояния материала

7.1. Основные понятия

7.2. Теория наибольших нормальных напряжений (первая теория прочности)

7.3. Теория наибольших относительных удлинений (вторая теория прочности)

7.4. Теория наибольших касательных напряжений (третья теория прочности)

7.5. Энергетическая теория (четвёртая теория прочности)

7.6. Теория Мора (феноменологическая теория)

7.8. Теории предельного состояния почв

7.9. Концентрация напряжений и её влияние на прочность при постоянных во времени напряжениях

7.10. Механика хрупкого разрушения

Вопросы для самопроверки

Глава 8. Растяжение и сжатие

8.1. Напряженное состояние в точках бруса

8.1.1. Напряжения в поперечных сечениях

8.1.2. Напряжения в наклонных сечениях

8.2. Перемещения при растяжении (сжатии)

8.2.1. Перемещение точек оси бруса

8.2.2. Перемещения узлов стержневых систем

8.3. Расчеты на прочность

8.4. Потенциальная энергия при растяжении и сжатии

8.5. Статически неопределимые системы

8.5.1. Основные понятия

8.5.2. Определение напряжений в поперечных сечениях бруса, заделанного двумя концами

8.5.5. Расчет статически неопределимых плоских стержневых систем, подверженных действию температуры

8.5.6. Монтажные напряжения в статически неопределимых плоских стержневых системах

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Глава 9. Сдвиг и кручение

9.1. Практический расчет соединений, работающих на сдвиг

9.1.1. Расчет заклёпочных, штифтовых и болтовых соединений

9.1.2. Расчет сварных соединений на срез

9.2. Кручение

9.2.1. Основные понятия. Крутящие моменты и построение их эпюр

9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения

9.2.3. Анализ напряжённого состояния при кручении бруса с круглым поперечным сечением. Главные напряжения и главные площадки

9.2.4. Потенциальная энергия при кручении бруса с круглым поперечным сечением

9.2.5. Расчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении

9.2.6. Расчет цилиндрических винтовых пружин малого шага

9.2.7. Кручение тонкостенного бруса замкнутого профиля

9.2.8. Кручение прямого бруса некруглого поперечного сечения

9.2.9. Кручение тонкостенного бруса открытого профиля

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

10.1. Общие понятия

10.2. Прямой чистый изгиб. Определение нормальных напряжений

10.3. Касательные напряжения при поперечном изгибе

10.4. Напряжения при изгибе тонкостенных брусьев

10.5. Понятие о центре изгиба

10.6. Анализ напряженного состояния при изгибе

10.7. Проверка прочности брусьев при изгибе

10.8. Рациональная форма поперечных сечений брусьев

10.10. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом непосредственного интегрирования

10.11. Определение перемещений в балках постоянного сечения методом начальных параметров

Вопросы для самопроверки

Варианты вопросов в билетах ЕГЭ

Приложения

ГЛАВА 9 Сдвиг и кручение

Брус, изображённый на рис. 9.13, имеет четыре участка. Если рассматривать условия равновесия систем сил, приложенных к левой отсеченной части, то можно записать:

Участок 1

a (рис. 9.13, б).

Mx 0 : Mкр m x dx 0 ; Mкр

dx .

Участок 2

a x2

a b (рис. 9.13, в).

Mx 0 : Mкр m x dx M1 0 ; Mкр m x dx M1 .

Участок 3

a b x2

a b c (рис. 9.13, г).

M 0 ;

x dx M .

Участок 4

a b c x2 a b c d .

Mx 0 : Mкр m x dx M1 M2 0 ;

M кр

m x dx M1 M2 .

Таким образом, крутящий момент М кр в поперечном сечении бруса равен алгебраической сумме моментов всех внешних сил, действующих по одну сторону от сечения.

9.2.2. Напряжения и деформации при кручении прямого бруса круглого поперечного сечения

Как уже упоминалось, полные касательные напряжения можно было бы определить из зависимости (9.14), если бы был известен закон их распределения по сечению бруса. Невозможность аналитического определения этого закона заставляет обратиться к экспериментальному исследованию деформаций бруса.

В. А. Жилкин

Рассмотрим брус, левый торец которого жестко защемлен, а к правому торцу приложен скручивающий момент М кр . До загружения бруса моментом на его поверхность была нанесена ортогональная сетка с размерами ячеек a×b (рис. 9.14, а). После приложения скручивающего момента М кр правый торец бруса повернётся относительно левого торца бруса на угол, при этом расстояния между сечениями скручиваемого бруса не изменятся, а радиусы, проведённые в торцевом сечении, останутся прямыми, т. е. можно предположить, что гипотеза плоских сечений выполняется (рис. 9.14, б). Сечения, плоские до деформации бруса, остаются плоскими и после деформации, поворачиваясь, как жесткие диски, одно относительно другого на некоторый угол. Так как расстояния между сечениями бруса не изменяется, то продольная относительная деформация x 0 равна нулю. Продольные линии сетки принимают винтообразную форму, но расстояние между ними остаётся постоянным (следовательно, y 0 ), прямоугольные ячейки сетки превращаются в параллелограммы, размеры сторон которых не изменяются, т.е. выделенный элементарный объём любого слоя бруса находится в условиях чистого сдвига.

Вырежем двумя поперечными сечениями элемент бруса длиной dx (рис. 9.15). В результате нагружения бруса правое сечение элемента повернётся относительного левого на угол d . При этом образующая цилиндра повернётся на угол

ГЛАВА 9 Сдвиг и кручение

сдвига. На тот же угол повернутся все образующие внутренних цилиндров радиуса.

Согласно рис. 9.15 дуга

ab dx d .

где d dx – называется относительным углом закручивания. Если размеры поперечных сечений прямого бруса и крутящие моменты, действующие в них, на некотором участке постоянны, то значение также постоянно и равно отношению полного угла закручивания на этом участке к его длине L , т.е. L .

Переходя по закону Гука при сдвиге (G ) к напряжениям, получаем

Итак, в поперечных сечениях бруса при кручении возникают касательные напряжения, направление которых в каждой точке перпендикулярно к радиусу, соединяющему эту точку с центром сечения, а величина прямо пропорциональна

В. А. Жилкин

расстоянию точки от центра. В центре (при 0 ) касательные напряжения равны нулю; в точках, расположенных в непосредственной близости от внешней поверхности бруса, они наибольшие.

Подставляя найденный закон распределения напряжений (9.18) в равенство (9.14), получаем

Mкр G dF G 2 dF G J ,

где J d 4 – полярный момент инерции круглого попереч-

ного сечения бруса.

Произведение GJ

называется жесткостью поперечно-

го сечения бруса при кручении.

Единицами измерения жесткости явля-

ются Н·м2 , кН·м2 и т.д.

Из (9.19) находим относительный угол закручивания бруса

M кр

а затем, исключая из равенства (9.18), получаем формулу

для напряжений при кручении бруса круглого сечения

M кр

Наибольшего значения напряжения достигают в кон-

турных точках сечения при d 2 :

M кр

M кр

M кр

называют моментом сопротивления кручению вала круглого поперечного сечения.

Размерность момента сопротивления кручению – см3 , м3 и т. д.

что позволяет определить угол закручивания всего бруса

	GJ кр .

Если брус имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями для М кр или различными значениями жесткости поперечных сечений GJ , то

			Mкр dx

Для бруса длиной L постоянного сечения, нагруженного по концам сосредоточенными парами сил с моментом М кр ,

D и внутренним d . Только в этом случае J и W кр надо

вычислять по формулам

		Mкр L

		1 c 4 ; W кр		1 c 4 ; c

Эпюра касательных напряжений в сечении полого бруса приведена на рис. 9.17.

Сравнение эпюр касательных напряжений в сплошном и полом брусе указывает на преимущества полых валов, так как в таких валах материал используется более рационально (убран материал в области действия малых напряжений). В результате распределение напряжений по сечению становится более равномерным, а сам брус более легким,

чем равнопрочный ему брус сплош- Рис. 9.17 ного сечения, несмотря на некото-

рое увеличение наружного диаметра.

Но при проектировании брусьев, работающих на кручение, следует учитывать,что в случае кольцевого сечения их изготовление сложнее, а значит, и дороже.