Методика построения эпюр изгибающих моментов, поперечных и продольных сил. Дифференциальные зависимости между продольной силой, нагрузкой, деформацией Балка нагруженная продольной силой

Размещенно 13/11/2007 12:34

Итак, beam

1. балка; прогон; ригель

2. луч

3. брус; поперечина, траверса

4. коромысло (весов)

5. стрела или рукоять стрелы (крана)

beam and column — балочно-стоечная конструкция; концевая [торцовая] рама металлического каркаса

beam carrying transverse loads — балка, нагруженная поперечными силами [поперечной нагрузкой]

beam fixed at both ends — балка с защемлёнными концами

beam loaded unsymmetrically — балка, нагруженная несимметричной нагрузкой (действующей вне плоскости симметрии сечения и вызывающей косой изгиб)

beam made of precast hollow blocks — балка, собираемая из пустотелых [коробчатых] секций (с натяжением продольной арматуры)

beam on elastic foundation — балка на упругом основании

beams placed monolithically with slabs — балки, бетонируемые совместно с плитами перекрытий

beam precast on site — сборная железобетонная балка, изготовленная на стройплощадке [построечного изготовления]

beam subjected to (both) transverse and axial loads — балка, нагруженная поперечными и продольными силами; балка, подверженная воздействию поперечной и осевой нагрузок

beam supported on a girder — балка, опирающаяся на прогон; балка, поддерживаемая прогоном

beam with overhangs — консольная балка

beam with rectangular section — балка прямоугольного сечения

beam with symmetrical (cross) section — балка симметричного (поперечного) сечения

beam with unsymmetrical (cross) section — балка несимметричного (поперечного) сечения

beam of constant depth — балка постоянной высоты

beam of one span — однопролётная балка

beam of uniform strength — равнопрочная балка

anchor beam — анкерная балка

angle beam — металлический уголок; уголковая сталь

annular beam — кольцевая балка

arch(ed) beam

2. выпуклая балка с поясами различной кривизны

baffle beam — забральная балка

balance beam — балансирная балка; коромысло весов

bamboo-reinforced concrete beam — бетонная балка, армированная бамбуком

basement beam — балка надподвального перекрытия

bedplate beam — балка [ребро] опорной плиты

bending test beam — балочка(-образец){балочка-образец¦балочка} для испытания на изгиб

Benkelman beam — балка Бенкельмана, прогибомер

bind beam — свайная насадка

bisymmetrical beam — балка с сечением, симметричным относительно двух осей

block beam — преднапряжённая железобетонная балка из отдельных блоков [секций] (соединяемых натяжением арматуры)

bond beam — связывающая [усиливающая] балка (железобетонная балка, усиливающая каменную стену и предупреждающая образование в ней трещин)

boundary beam — подстропильная балка; краевая балка

box beam — балка коробчатого сечения; коробчатая балка

braced beam — шпренгельная балка

bracing beam — раскрепляющая балка; распорка

brake beam — тормозная балка

breast beam — перемычка [балка] над широким проёмом в стене

brick beam — рядовая кирпичная перемычка (с усилением стальными прутками)

bridge beam — мостовая балка, мостовой прогон

bridging beam — поперечная балка (между балками перекрытия)

broad-flange(d) beam — широкополочная двутавровая балка, широкополочный двутавр

buffer beam — буферный брус, бампер

built-in beam — встроенная (в каменную кладку) балка; балка с защемлёнными концами

built-up beam — составная балка

camber beam

1. балка с выпуклым верхним поясом

2. балка, слегка выгнутая вверх (для создания строительного подъёма)

candle beam — балка, поддерживающая свечи или светильники

cantilever beam

1. консольная балка, консоль

2. балка с одной или двумя консолями

capping beam

1. оголовок; насадка (опоры моста)

2. ростверк ленточного свайного фундамента

cased beam

1. стальная балка, замоноличенная в бетон

2. стальная балка с наружной оболочкой (как правило, декоративной)

castellated beam — перфорированная балка

castella Z beam — перфорированный зетовый профиль

ceiling beam — потолочная балка; балка, выступающая из потолка; балка ложного потолка

channel beam — швеллерная балка

chief beam — главная балка, прогон

circular beam — кольцевая балка

collar beam — повышенная затяжка висячих стропил

composite beam — составная балка

compound beam — составная балка

conjugate beam — сопряжённая балка

constant-section beam — балка постоянного сечения

continuous beam — неразрезная балка

crane lifting beam — монтажная траверса

crane runway beam — подкрановая балка

cross beam

1. поперечная балка

2. гидр. шапочный брус

curved beam

1. балка с криволинейной осью (в плоскости нагружения)

2. криволинейная (в плане) балка

deck beam — балка, поддерживающая настил; ребро настила

deep beam — балка-стенка

double-T beam

1. сборная железобетонная балка в форме двойного «Т»

2. сборная железобетонная панель с двумя рёбрами

doubly symmetrical beam — балка симметричного сечения с двумя осями симметрии

dragging beam — отрезок бруса, поддерживающий внизу накосную стропильную ногу; подбалка

drop-in beam — висячая балка; балка, поддерживаемая (на обоих концах) консолями

eaves beam — под стропильная балка (наружного ряда колонн)

edge beam

1. краевая балка

2. бортовой камень

elastically restrained beam — упруго-защемлённая балка, балка с упруго защемлёнными концами

encastre beam — балка с защемлёнными концами

externally reinforced concrete beam — железобетонная балка, усиленная наружными арматурными элементами (обычно наклейкой стальных полос на верхней и нижней гранях балки)

false beam — ложная балка

fish(ed) beam

1. деревянная составная балка с боковыми металлическими стыковыми накладками

2. балка с выпуклыми криволинейными поясами

fixed(-end) beam — балка с защемлёнными концами

flitch(ed) beam — составная деревометаллическая балка (состоящая из средней стальной полосы и двух боковых досок, скреплённых болтами)

floor beam

1. балка перекрытия; балка пола, лага

2. поперечная балка проезжей части моста

3. балка лестничной площадки

footing beam — затяжка стропильной фермы (на уровне концов стропильных ног)

foundation beam — фундаментная балка, рандбалка

framework beam — ригель рамы (рамной конструкции)

free beam — свободноопёртая балка на двух опорах

gantry beam — подкрановая балка

Gerber beam — шарнирная балка, балка Гербера

glue(d) laminated (timber) beam — многослойная дощатоклеёная балка

grade beam — фундаментная балка, рандбалка

grillage beams — балки ростверка

ground beam

1. фундаментная балка, ростверк; рандбалка

2. нижняя обвязка каркасной стены; лежень

H beam — широкополочная балка, широкополочный двутавр

hammer beam — опорный консольный брус [подбабок] стропильной ноги

haunched beam — балка с вутами

high strength concrete beam — балка из высокопрочного железобетона

hinged beam — шарнирная балка

hollow beam — пустотелая балка; коробчатая [трубчатая] балка

hollow prestressed concrete beam — пустотелая преднапряжённая железобетонная балка

horizontally curved beam — криволинейная в плане балка

hung-span beam — многопролётная консольно-подвесная балка, балка Гербера

hybrid beam — стальная составная балка (изготовленная из сталей разных марок)

I beam — двутавровая балка, двутавр

inverted T beam — тавровая (железобетонная) балка со стенкой, обращённой вверх

jack beam — подстропильная балка

jesting beam — декоративная [орнаментная] балка

joggle beam — составная балка из деревянных брусьев, соединённых по высоте ответными выступами и пазами

jointed beam

1. монолитная железобетонная балка, бетонируемая с устройством стыковых швов

2. сборная железобетонная балка, собираемая из отдельных секций

keyed beam — балка из брусьев с соединениями на призматических шпонках

L beam — балка Г-образного сечения

laminated beam — дощатоклеёная балка

laterally-unsupported beam — балка без боковых связей

lattice beam — решётчатая [сквозная] балка

leveling beam — рейка для проверки ровности дорожного покрытия

lifting beam — грузоподъёмная траверса

link beam — перемычка (над проёмом в стене)

longitudinal beam — продольная балка

main beam — главная балка

modified I beam — сборная железобетонная балка с выпусками хомутов из верхней полки (для соединения с верхней монолитной железобетонной плитой)

multispan beam — многопролётная балка

nailed beam — составная деревянная балка с соединениями на гвоздях; гвоздевая балка

needle beam

1. балка для временного опирания стены (при усилении фундамента)

2. верхний упорный прогон спицевого затвора

outrigger beam — балка выносной [дополнительной] опоры (крана, экскаватора)

overhead runway beam — кран-балка

parallel flanges beam — балка с параллельны ми полками

partition beam — балка, несущая перегородку

precast beam — сборная железобетонная балка

precast toe beam — сборная опорная балка (напр. поддерживающая кирпичную облицовку)

prestressed concrete beam — предварительно напряжённая железобетонная балка

prestressed precast concrete beam — сборная предварительно напряжённая железобетонная балка

prismatic beam — призматическая балка

propped cantilever beam — балка с одним защемлённым и другим шарнирно опёртым концами

rectangular beam — балка прямоугольного сечения

reinforced concrete beam — железобетонная балка

reinforced floor beam — балка железобетонного ребристого перекрытия

restrained beam — балка с защемлёнными концами

ridge beam — коньковый брус, коньковая балка

ring beam — кольцевая балка

rolled beam with cover plates — прокатная (двутавровая) балка с поясными листами

rolled I beam — прокатная [горячекатаная] двутавровая балка

rolled steel beam — прокатная стальная балка

roof beam — балка покрытия

runway beam — кран-балка

sandwich beam — составная балка

secondary beam — второстепенная [вспомогательная] балка

simple beam — простая [однопролётная свободно опёртая] балка

simple-span beam — однопролётная балка

simply supported beam — свободно опёртая балка

single web beam — (составная) балка с одной стенкой, одностенчатая (составная) балка

slender beam — гибкая балка (балка, требующая проверочного расчёта на потерю устойчивости из плоскости изгиба)

soldier beam — стальная стойка крепления стенок траншей или больверка

spandrel beam

1. фундаментная балка, рандбалка

2. ригель каркаса, поддерживающий [несущий] наружную стену

spreader beam — распределительная балка

statically determinate beam — статически определимая балка

statically indeterminate beam — статически неопределимая балка

steel beam — стальная балка

steel binding beam — стальная распорка, стальная соединительная балка

stiff beam — жёсткая балка

stiffening beam — балка жёсткости

straight beam — прямая [прямолинейная] балка

strengthened beam — усиленная балка

strut-framed beam — шпренгельная балка

supporting beam — опорная [поддерживающая] балка

suspended-span beam — подвесная [висячая] балка консольно-балочного пролёта (моста)

T beam — тавровая балка

tail beam — укороченная деревянная балка перекрытия (у проёма)

tee beam — тавровая балка

tertiary beam — балка, поддерживаемая вспомогательными балками

test beam — испытательная балочка, балочка-образец

through beam — неразрезная многопролётная балка

tie beam

1. затяжка (стропил, арки) на уровне опор

2. распределительная фундаментная балка (распределяет внецентренную нагрузку)

top beam — повышенная затяжка стропил

top-running crane beam — опорная кран-балка (перемещающаяся по верхнему поясу подкрановых балок)

transverse beam — поперечная балка

trolley I beam — катучая (двутавровая) балка

trussed beam

1. ферма с параллельными поясами, балочная ферма

2. шпренгельная балка

uniformly loaded beam — балка, нагруженная равномерно распределённой нагрузкой; равномерно нагруженная балка

unjointed beam

1. монолитная железобетонная балка без рабочего шва

2. стальная балка без стыка в стенке

upstand beam — балка ребристого перекрытия, выступающая над плитой

valley beam — подстропильная балка среднего ряда колонн; балка, поддерживающая ендову

vibrating beam — виброрейка, вибробрус

vibrating leveling beam — выравнивающий вибробрус

vibratory beam — виброрейка, вибробрус

wall beam — стальной анкер для крепления деревянных балок или перекрытий к стене

welded I beam — сварной двутавр

wide-flanged beam — широкополочная балка, широкополочный двутавр

wind beam — повышенная затяжка висячих стропил

wood I beam — деревянная двутавровая балка

AZM

Использовано фото из материалов пресс-службы ASTRON Buildings

В точках поперечных сечений бруса при продольнопоперечном изгибе возникают нормальные напряжения от сжатия продольными силами и от изгиба поперечными и продольными нагрузками (рис. 18.10).

В наружных волокнах балки в опасном сечении суммарные нормальные напряжения имеют наибольшие значения:

В рассмотренном выше примере сжатой балки с одной поперечной силой согласно (18.7) получаем такие напряжения в наружных волокнах:

Если опасное сечение симметрично относительно его нейтральной оси, то наибольшим по абсолютной величине будет напряжение в наружных сжатых волокнах:

В сечении, не симметричном относительно нейтральной оси, наибольшим по абсолютной величине может быть как сжимающее, так и растягивающее напряжение в наружных волокнах.

При установлении опасной точки следует учитывать различие в сопротивлении материала растяжению и сжатию.

Учитывая выражение (18.2), формулу (18.12) можно записать так:

Применяя приближенное выражение для получаем

Опасным в балках постоянного сечения будет то сечение, для которого числитель второго слагаемого имеет наибольшее значение.

Размеры поперечного сечения бруса должны быть подобраны так, чтобы не превышало допускаемого напряжения

Однако полученная зависимость между напряжениями и геометрическими характеристиками сечения сложна для проектировочного расчета; размеры сечения можно подобрать только методом повторных попыток. При продольно-поперечном изгибе проводится, как правило, поверочный расчет, назначение которого установить запас прочности детали.

При продольно-поперечном изгибе между напряжениями и продольными силами нет пропорциональности; напряжения при переменной осевой силе растут быстрее, чем сама сила, что видно, например, из формулы (18.13). Поэтому запас прочности в случае продольно-поперечного изгиба надо определять не по напряжениям, т. е. не из отношения а по нагрузкам, понимая под запасом прочности число, показывающее, во сколько раз надо увеличить действующие нагрузки, чтобы максимальное напряжение в рассчитываемой детали достигло предела текучести.

Определение запаса прочности связано с решением трансцендентных уравнений, так как сила содержится в формулах (18.12) и (18.14) под знаком тригонометрической функции. Например, для балки, сжатой силой и нагруженной одной поперечной силой Р, запас прочности согласно (18.13) находится из уравнения

Для упрощения задачи можно воспользоваться формулой (18.15). Тогда для определения запаса прочности получаем квадратное уравнение:

Заметим, что в случае, когда продольная сила остается постоянной, а изменяются по величине только поперечные нагрузки, задача определения запаса прочности упрощается, и возможно определение не по нагрузке, а по напряжениям. Из формулы (18.15) для этого случая находим

Пример. Двухопорная дюралюминиевая балка двутаврового тонкостенного сечения сжата силой Р и подвергнута действию равномерно распределенной поперечной нагрузки интенсивностью и моментов приложенных на концах

балки, как показано на рис. 18.11. Определить напряжение в опасной точке и максимальный прогиб с учетом и без учета изгибающего действия продольной силы Р, а также найти запас прочности балки по пределу текучести .

В расчетах принять Характеристики двутавра:

Решение. Наиболее нагруженным является среднее сечение балки. Максимальный прогиб и изгибающий момент от одной только поперечной нагрузки:

Максимальный прогиб от совместного действия поперечной нагрузки и продольной силы Р определим по формуле (18.10). Получим

Между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенной нагрузки легко установить определенную зависимость. Рассмотрим балку, нагруженную произвольной нагрузкой (рисунок 5.10). Определим поперечную силу в произвольном сечении, отстоящем от левой опоры на расстоянии Z.

Проецируя на вертикаль силы, расположенные левее сечения, получаем

Вычисляем поперечную силу в сечении, рас­положенном на расстоянии z + dz от левой опоры.

Рисунок 5.8.

Вычитая (5.1) из (5.2) получаем dQ = qdz , откуда

то есть производная от поперечной силы по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки .

Вычислим теперь изгибающий момент в сечении с абсциссой z , взяв сумму моментов сил, приложенных слева от сечения. Для этого распределенную нагрузку на участке длиной z заменяем ее равнодействующей, равной qz и приложенной в середине участка, на расстоянии z/2 от сечения:

(5.3)

Вычитая (5.3) из (5.4), получаем приращение изгибающего момента

Выражение в скобках представляет собой поперечную силу Q . Тогда . Отсюда получаем формулу

Таким образом, производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна поперечной силе (теорема Журавского).

Взяв производную от обеих частей равенства (5.5), получим

т. е. вторая производная от изгибающего момента по абсциссе сечения балки равна интенсивности распределенной нагрузки. Полученные зависимости будем использовать при проверке правильности построения эпюр изгибающих моментов и поперечных сил.

Построение эпюр при растяжении-сжатии

Пример 1.

Круглая колонна диаметра d сжимается силой F . Определить увеличение диаметра , зная модуль упругости Е и коэффициент Пуассона материала колонны.

Р е ш е н и е.

Продольная деформация по закону Гука равна

Используя закон Пуассона, находим поперечную деформацию

С другой стороны, .

Следовательно, .

Пример 2.

Построить эпюры продольной силы, напряжения и перемещения для ступенчатого бруса.

Р е ш е н и е.

1. Определение опорной реакции. Составляем уравнение равновесия в проекции на ось z :

откуда R E = 2qa .

2. Построение эпюр N z , , W .

Э п ю р а N z . Она строится по формуле

,

Э п ю р а . Напряжение равно . Как следует из этой формулы, скачки на эпюре будут обусловлены не только скачками N z , но также резкими изменениями площади поперечных сечений. Определяем значения в характерных точках:

Строим эпюру Q.

Построим эпюру М методом характерных точек . Расставляем точки на балке — это точки начала и конца балки (D,A ), сосредоточенного момента (B ), а также отметим в качестве характерной точки середину равномерно распределенной нагрузки (K ) — это дополнительная точка для построения параболической кривой.

Определяем изгибающие моменты в точках. Правило знаков см. — .

Момент в т. В будем определять следующим образом. Сначала определим:

Точку К возьмем в середине участка с равномерно распределенной нагрузкой.

Строим эпюру M . Участок АВ – параболическая кривая (правило «зонтика»), участок ВD – прямая наклонная линия .

Для балки определить опорные реакции и построить эпюры изгибающих моментов (М ) и поперечных сил (Q ).

1. Обозначаем опоры буквами А и В и направляем опорные реакции R А и R В .

Составляем уравнения равновесия .

Проверка

Записываем значения R А и R В на расчетную схему .

2. Построение эпюры поперечных сил методом сечений . Сечения расставляем на характерных участках (между изменениями). По размерной нитке – 4 участка, 4 сечения .

сеч. 1-1 ход слева .

Сечение проходит по участку с равномерно распределенной нагрузкой , отмечаем размер z 1 влево от сечения до начала участка . Длина участка 2 м. Правило знаков для Q — см.

Строим по найденным значением эпюру Q .

сеч. 2-2 ход справа .

Сечение вновь проходит по участку равномерно распределенной нагрузкой, отмечаем размер z 2 вправо от сечения до начала участка. Длина участка 6 м.

Строим эпюру Q .

сеч. 3-3 ход справа .

сеч. 4-4 ход справа.

Строим эпюру Q .

3. Построение эпюры М методом характерных точек .

Характерная точка – точка, сколь-либо заметная на балке. Это точки А , В , С , D , а также точка К , в которой Q =0 и изгибающий момент имеет экстремум . Также в середине консоли поставим дополнительную точку Е , поскольку на этом участке под равномерно распределенной нагрузкой эпюра М описывается кривой линией, а она строится, как минимум, по 3 точкам.

Итак, точки расставлены, приступаем к определению в них значений изгибающих моментов . Правило знаков — см. .

Участки NA, AD – параболическая кривая (правило «зонтика» у механических специальностей или «правило паруса» у строительных), участки DС, СВ – прямые наклонные линии.

Момент в точке D следует определять как слева, так и справа от точки D . Сам момент в эти выражения не входит . В точке D получим два значения с разницей на величину m – скачок на его величину.

Теперь следует определить момент в точке К (Q =0). Однако сначала определим положение точки К , обозначив расстояние от нее до начала участка неизвестным х .

Т. К принадлежит второму характерному участку, его уравнение для поперечной силы (см. выше)

Но поперечная сила в т. К равна 0 , а z 2 равняется неизвестному х .

Получаем уравнение:

Теперь, зная х , определим момент в точке К с правой стороны.

Строим эпюру М . Построение выполним для механических специальностей, откладывая положительные значения вверх от нулевой линии и используя правило «зонтика».

Для заданной схемы консольной балки требуется построить эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента M, выполнить проектировочный расчет, подобрав круглое сечение.

Материал — дерево, расчетное сопротивление материала R=10МПа, М=14кН·м,q=8кН/м

Строить эпюры в консольной балке с жесткой заделкой можно двумя способами — обычным, предварительно определив опорные реакции, и без определения опорных реакций, если рассматривать участки, идя от свободного конца балки и отбрасывая левую часть с заделкой. Построим эпюры обычным способом.

1. Определим опорные реакции .

Равномерно распределенную нагрузку q заменим условной силой Q= q·0,84=6,72 кН

В жесткой заделке три опорные реакции — вертикальная, горизонтальная и момент, в нашем случае горизонтальная реакция равна 0.

Найдем вертикальную реакцию опоры R A и опорный момент М A из уравнений равновесия.

На первых двух участках справа поперечная сила отсутствует. В начале участка с равномерно распределенной нагрузкой (справа) Q=0 , в заделеке — величине реакции R A.
3. Для построения составим выражения для их определения на участках. Эпюру моментов построим на волокнах, т.е. вниз.

(сжаты нижние волокна).

Участок DC: (сжаты верхние волокна).

Участок СК: (сжаты левые волокна)

(сжаты левые волокна)

На рисунке - эпюры нормальных (продольных ) сил — (б), поперечных сил — (в) и изгибающих моментов — (г).

Проверка равновесия узла С:

Задача 2 Построить эпюры внутренних усилий для рамы (рис. а).

Дано: F=30кН, q=40 кН/м, М=50кНм, а=3м, h=2м.

Определим опорные реакции рамы:

Из этих уравнений найдем:

Поскольку значения реакции R K имеет знак минус , на рис. а изменяется направление данного вектора на противоположное , при этом записывается R K =83,33кН .

Определим значения внутренних усилий N, Q и М в характерных сечениях рамы:

Участок ВС :

(сжаты правые волокна) .

Участок CD:

(сжаты правые волокна);

(сжаты правые волокна).

Участок DE:

(сжаты нижние волокна);

(сжаты нижние волокна).

Участок КС

(сжаты левые волокна).

Построим эпюры нормальных (продольных) сил (б), поперечных сил (в) и изгибающих моментов (г).

Рассмотрим равновесие узлов D и Е

Из рассмотрения узлов D и Е видно, что они находятся в равновесии .

Задача 3. Для рамы с шарниром построить эпюры внутренних усилий.

Дано: F=30кН, q=40 кН/м, М=50кНм, а=2м, h=2м.

Решение. Определим опорные реакции . Следует отметить,что в обеих шарнирно-неподвижных опорах по две реакции. В связи с этим следует использовать свойство шарнира С — момент в нем как от левых,так и от правых сил равен нулю . Рассмотрим левую часть.

Уравнения равновесия для рассматриваемой рамы можно записать в виде:

Из решения данных уравнений следует:

На схеме рамы направление действия силы Н В изменяется на противоположное (Н B =15кН ).

Определим усилия в характерных сечениях рамы.

Участок BZ:

(сжаты левые волокна).

Участок ZC:

(сжаты левые волокна);

Участок КD:

(сжаты левые волокна);

(сжаты левые волокна).

Участок DС:

(сжаты нижние волокна);

Определение экстремального значения изгибающего момента на участке CD:

1. Построение эпюры поперечных сил. Для консольной балки (рис. а ) характерные точки: А – точка приложения опорной реакции V A ; С – точка приложения сосредоточенной силы; D , B – начало и конец распределенной нагрузки. Для консоли поперечная сила определяется аналогично двухопорной балке. Итак, при ходе слева:

Для проверки правильности определения поперечной силы в сечениях пройдите балку аналогичным образом, но с правого конца. Тогда отсеченными будут правые части балки. Помните, что правило знаков при этом изменятся. Результат должен получиться тот же. Строим эпюру поперечной силы (рис,б ).

2. Построение эпюры моментов

Для консольной балки эпюра изгибающих моментов строится аналогично предыдущему построению.Характерные точки для этой балки (см. рис. а ) следующие: А – опора; С - точка при­ложения сосредоточенного момента и силы F ; D и В - начало и конец действия рав­номерно распределенной на­грузки. Поскольку эпюра Q x на участке действия распределенной нагрузки нулевую линию не пересекает , для построения эпюры моментов на данном участке (параболическая кривая) следует выбрать произвольно дополнительную точку для построения кривой, к примеру в середине участка.

Ход слева:

Ходом справа находим M B = 0.

По найденным значениям строим эпюру изгибающих моментов (см. рис. в ).

Запись опубликована автором admin ограничивается наклонной прямой , а на участке, на котором нет распределенной нагрузки, - прямой, параллельной оси , поэтому для построения эпюры поперечных сил достаточно определить значения Q у в начале и конце каждого участка. В сечении, соответствующем точке приложения сосредоточенной силы, поперечная сила должна быть вычислена чуть левее этой точки (на бесконечно близком расстоянии от нее) и чуть правее ее; поперечные силы в таких местах обозначаются соответственно .

Строим эпюру Q у методом характерных точек, ходом слева. Для большей наглядности отбрасываемую часть балки на первых порах рекомендуется закрывать листом бумаги. Характерными точками для двухопорной балки (рис. а ) будут точки C и D – начало и конец распределенной нагрузки, а также A и B – точки приложения опорных реакций, E – точка приложения сосредоточенной силы. Проведем мысленно ось y перпендикулярно оси балки через точку С и не будем менять ее положение, пока не пройдем всю балку от C до E . Рассматривая левые отсеченные по характерным точкам части балки, проецируем на ось y действующие на данном участке силы с соответствующими знаками. В результате получаем:

Для проверки правильности определения поперечной силы в сечениях можно пройти балку аналогичным образом, но с правого конца. Тогда отсеченными будут правые части балки. Результат должен получиться тот же. Совпадение результатов может служить контролем построения эпюры Q у . Проводим нулевую линию под изображением балки и от нее в принятом масштабе откладываем найденные значения поперечных сил с учетом знаков в соответствующих точках. Получим эпюру Q у (рис. б ).

Построив эпюру, обратите внимание на следующее: эпюра под распределенной нагрузкой изображается наклонной прямой, под ненагруженными участками - отрезками, параллельными нулевой линии, под сосредоточенной силой на эпюре образуется скачок, рав­ный значению силы. Если наклонная линия под распределенной на­грузкой пересекает нулевую линию, отметьте эту точку, то это точка экстремума , и она является теперь для нас характерной, согласно дифференциальной зависимости между Q у и М x , в этой точке момент имеет экстремум и его нужно будет определить при построении эпюры изгибающих моментов. В нашей задаче это точка К . Сосредоточенный момент на эпю­ре Q у себя никак не проявляет, так как сумма проекций сил, образую­щих пару, равна нулю.

2. Построение эпюры моментов. Строим эпюру изгибающих моментов, как и поперечных сил, ме­тодом характерных точек, ходом слева. Известно, что на участке балки с равномерно распределенной нагрузкой эпюра изгибающих моментов очерчивается кривой линией (квадратичной параболой) , для построения которой надо иметь не менее трех точек и, следовательно, должны быть вычислены значе­ния изгибающих моментов в начале участка, конце его и в одном проме­жуточном сечении. Такой промежуточной точкой лучше всего взять сечение, в кото­ром эпюра Q у пересекает нулевую линию, т.е. где Q у = 0. На эпюре М в этом сечении должна находиться вершина параболы. Если же эпюра Q у не пересекает нулевую линию, то для построения эпюры М следует на данном участке взять дополнительную точку, к примеру, в середине участка (начала и конца действия распределенной нагрузки), помня, что выпуклостью парабола всегда обращена вниз, если на­грузка действует сверху вниз (для строительных специальностей). Существует правило «дождя», которое очень помогает при построении параболической части эпю­ры М . Для строителей это правило выглядит следующим образом: представьте, что распределенная нагрузка - это дождь, подставьте под него зонт в перевернутом виде, так чтобы дождь не стекал, а собирался в нем. Тогда выпуклость зонта будет обращена вниз. Точно так и бу­дет выглядеть очертание эпюры моментов под распределенной нагрузкой. Для механиков существует так называемое правило «зонта». Распределенная нагрузка представляется дождем, а очертание эпюры должно напоминать очертания зонтика. В данном примере эпюра построена для строителей.

Если требуется более точное построение эпюры, то должны быть вычислены значения изгибающих моментов в нескольких промежуточ­ных сечениях. Условимся для каждого такого участка изгибающий момент сначала определить в произвольном сечении, выражая его через расстояние х от какой-либо точки. Затем, давая расстоянию х ряд значений, получим значения изгибающих моментов в соответствую­щих сечениях участка. Для участков, на которых нет распределенной нагрузки, изгибающие моменты определяют в двух сечениях, соот­ветствующих началу и концу участка, так как эпюра М на таких участках ограничивается прямой. Если к балке приложен внешний сосредоточенный момент, то обязательно надо вычислять изгибающий момент чуть левее места приложения сосредоточенного момента и чуть правее его.

Для двухопорной балки характерные точки следующие: C и D – начало и конец распределенной нагрузки; А – опора балки; В – вторая опора балки и точка приложения сосредоточенного момента; Е – правый конец балки; точка К , соответствующая сечению балки, в котором Q у = 0.

Ход слева. Правую часть до рассматриваемого сечения мысленно отбрасываем (возьмите лист бумаги и прикройте им отбрасываемую часть балки). Находим сумму моментов всех сил, действующих слева от сечения относительно рассматриваемой точки. Итак,

Прежде чем определить момент в сечении К , необходимо найти расстояние х=АК . Составим выражение для поперечной силы в данном сечении и приравняем его к нулю (ход слева):

Это расстояние можно найти также из подобия треугольников KLN и KIG на эпюре Q у (рис.б ) .

Определяем момент в точке К :

Пройдем оставшуюся часть балки ходом справа.

Как видим, момент в точке D при ходе слева и справа получился одинаковый – эпюра замкнулась. По найденным значениям строим эпюру. Положительные значения откладываем вниз от нулевой линии, а отрицательные – вверх (см. рис. в ).

На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и поперечных сил, или только одними продольными силами.

Первый случай изображен на Рис.1. На балку АВ действуют равномерно распределенная нагрузка q и продольные сжимающие силы Р.

Рис.1.

Предположим, что прогибами балки по сравнению с размерами поперечного сечения можно пренебречь; тогда с достаточной для практики степенью точности можно считать, что и после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки.

Применяя способ сложения действия сил, мы можем найти нормальное напряжение в любой точке каждого поперечного сечения балки как алгебраическую сумму напряжений, вызванных силами Р и нагрузкой q.

Сжимающие напряжения от сил Р равномерно распределены по площади F поперечного сечения и одинаковы для всех сечений

нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости в сечении с абсциссой х, которая отсчитана, скажем, от левого конца балки, выражаются формулой

Таким образом, полное напряжение в точке с координатой z (считая от нейтральной оси) для этого сечения равно

На Рис.2 изображены эпюры распределения напряжений в рассматриваемом сечении от сил Р, нагрузки q и суммарная эпюра.

Наибольшее напряжение в этом сечении будет в верхних волокнах, где оба вида деформации вызывают сжатие; в нижних волокнах может быть или сжатие или растяжение в зависимости от числовых величин напряжений и. Для составления условия прочности найдем наибольшее нормальное напряжение.

Рис.2.

Так как напряжения от сил Р во всех сечениях одинаковы и равномерно распределены, то опасными будут волокна, наиболее напряженные от изгиба. Такими являются крайние волокна в сечении с наибольшим изгибающим моментом; для них

Таким образом, напряжения в крайних волокнах 1 и 2 среднего сечения балки выражаются формулой

и расчетное напряжение будет равно

Если бы силы Р были растягивающими, то знак первого слагаемого изменился бы, опасными были бы нижние волокна балки.

Обозначая буквой N сжимающую или растягивающую силу, можем написать общую формулу для проверки прочности

Описанный ход расчета применяется и при действии на балку наклонных сил. Такую силу можно разложить на нормальную к оси, изгибающую балку, и продольную, сжимающую или растягивающую.

балка изгиб сила сжатие