Чем знаменит эйлер. Леонард Эйлер: никогда не отвлекаться на внешние красоты, не связанные с математикой

В 1707 году в швейцарском городе Базель в семье священника Пауля Эйлера родился мальчик по имени Леонардо, которому было предписано стать одним из выдающихся математиков того времени. Феноменальная память, высокая трудоспособность, стремление к новым знаниям Леонардо Эйлер проявил уже в раннем возрасте. В 13 лет Леонардо Эйлер был зачислен на факультет искусство Базельского университета. Отец мечтал о карьере священника для своего любимого сына Леонардо. Однако незаурядные математические способности, которыми обладал мальчик, нельзя было зарывать в землю. Вскоре Леонардо станет учеником известного швейцарского математика Иоганна Бернулли.

Спустя некоторое время сыновья Иоганна Бернулли был приглашены в Петербург, а вместе с ними и Леонардо Эйлер. Чрезвычайно талантливый молодой ученый быстро становится широко известным. Его приглашают в Академию наук. В 1727 г. Леонардо Эйлер вступает в Академию наук в звании адъюнкта по физиологии. В 1731 году получает звание профессора физики и становится действительным членом Академии наук. А спустя два года уже возглавляет кафедру высшей математики.

Эрудиция Эйлера поражала его современников. Он был одним из самых образованных ученых: знал греческий, латинский, прекрасно владел немецким, французский, русский и другими языками. Помимо математики, физики и астрономии, имел глубокие познания в области географии, химии, ботаники, анатомии, медицины и в других отраслях науки и техники. Увлекался музыкой и литературой, знал наизусть «Энеиду» Виргилия.

Гениальный математик, выдающийся физик, инфеженер и астроном, географ и виртуозный вычислитель Леонардо Эйлер внес неоценимый вклад в становление российских научных кадоров. Составленное им «Руководство к арифметике», переведенное на русский язык оказало значительное влияние на мировую и российскую учебную литературу.

Научная деятельность Эйлера восхищала глубиной мысли, разнообразием интересов, идей и невероятной продуктивностью. Эйлер одновременно являлся членом многих европейских академии и научных школ. Грандиозная и напряженная работа Эйлера негативно сказалась на его здоровье. В 1735 году Леонардо Эйлер лишился правого глаза, а в 1766 г. потерял и второй глаз. Потеряв зрение полностью, Эйлер не прекратил своей научной деятельности, его трудоспособности могли лишь позавидовать. Часть своих трудов ослепший ученый диктовал писцу. Писцом Эйлера был мальчик-портной, которого ученый приютил и обучил грамоте.

В области математического анализа Эйлер написал множество трудов, сделал огромное количество открытий. Влияние Эйлера на развитие высшей математики было существенным. Именно Леонардо Эйлер привел тригонометрию к известному нам виду, одним из первых сформулировал понятие функции. Его имя носят множество математических понятий, среди них: диаграммы Эйлера, интегралы Эйлера, метод ломаных, окружность Эйлера, подстановки Эйлера, теорема Эйлера и многие другие.

Научное наследие Эйлера чрезвычайно велико. Он сумел добиться блестящих результатов в математическом анализе, геометрии, теории чисел, вариационном исчислении, механике и других приложениях математики. Полное собрание научных трудов Леонардо Эйлера состоит из 72 томов.

Эйлер являет собой образец научного гения, чья деятельность стала достоянием всего человечества. Школьники всего мира изучают тригонометрию и логарифмы в том виде, какой придал им Эйлер. В высшей школе студенты обучаются высшей математике согласно классическим монографиям Эйлера. Гениальный математик, Эйлер знал, что плодотворной почвой науки прежде всего является практическая деятельность.

Пожалуй, нет ни одной значимой области математики, в которой не оставил бы след один из лучших математиков XVIIIв. Леонард Эйлер.

(нем. Leonhard Euler МФА: [??l?]); 15 апреля 1707, Базель, Швейцария – 18 сентября 1783, Санкт-Петербург, Россия), выдающийся швейцарский математик и физик, который провел большую часть своей жизни в России и Германии. Традиционное написание "Эйлер" происходит от русск.
Эйлер совершил важные открытия в таких разных областях математики, как математический анализ и теория графов. Он также ввел большую часть современной математической терминологии и обозначений, в частности в математическом анализе, как, например, понятие математической функции. Эйлер известен также благодаря своим работам в механике, динамике жидкости, оптике и астрономии, других прикладных науках.
Эйлер считается выдающимся математиком 18-го века, а возможно даже всех времен. Он также является одним из самых плодотворных – сборник всех его произведений заняла бы 60-80 томов. Влил Эйлера на математику описывает высказывания "Читайте Эйлера, читайте Эйлера, он является мэтром всех нас", которое приписывается Лапласу (фр. Lisez Euler, lisez Euler, c"est notre maitre a tous).
Эйлер увековечен в шестой серии швейцарских 10 франков и на многочисленных швейцарских, немецких и российских почтовых марках. В его честь назван астероидом 2002 Эйлер. Он также отмечен лютеранской церковью в церковном календаре (24 мая) – Эйлер был набожным христианином, верил в библейскую непогрешимость, решительно выступал против выдающихся атеистов своего времени.
http://сайт/uploads/posts/2011-02/1297963607_1back%29.jpeg Швейцарские 10 франков с портретом молодого Эйлера 1707 в немецкоязычной части Швейцарии в семье священника Пауля Эйлера (Paul Euler) и Маргареты Брукнер (Margarethe Bruckner) родился первый сын – Леонард Эйлер. В родном Базеле он посещает гимназию и одновременно берет частные уроки у математика Иоганнеса Буркгардта (Johannes Burckhardt).
С 1720 года учится в университете Базеля и слушает лекции в Иоганна Бернулли. В 1723 получает научное звание магистра за сравнение латыни философий Ньютона и Декарта. От своего замысла изучать также и теологию отказывается в 1725. А 17 мая 1727 по приглашению Даниил Бернулли принимает профессуру в университете Санкт-Петербурга, которая принадлежала к тому Николаусу II Бернулли, умершему в 1726 году. Здесь он знакомится с Кристианом Гольдбаха (Christian Goldbach). 1730 Эйлер получает профессуру физики, а 1733 получает место профессора математики, которое до этого принадлежало Даниэлю Бернулли.
В последующие годы Эйлер постепенно теряет зрение, в 1740 году он ослеп на один глаз.
Мемориальная доска на доме в Берлине, где проживал Эйлер В 1741 принимает приглашение короля Пруссии Фридриха Великого возглавить Берлинскую академию и восстановить ее репутацию, которая находилась в упадке после предыдущего руководителя – придворного шута. Эйлер продолжает переписываться с Кристианом Гольдбаха. После 25 лет в Берлине Эйлер возвращается 1766 в Санкт-Петербург. Причиной этого была также неприязнисть и унижение со стороны деспотического короля.
1771 Эйлер окончательно слепнет, несмотря на это почти половина его трудов возникла во время второго пребывания в Санкт-Петербурге. В этом ему помогают оба сына Иоганн Альбрехт (Johann Albrecht) и Кристоф (Christoph).
1783 Эйлер умирает вследствие кровоизлияния в мозг.
портрет Леонарда Эйлера, выполненный Эмануэлем Гандманном в 1753 г. (находится в музее искусства г. Базель) Эйлер является автором 866 научных публикаций, в частности в областях математического анализа, дифференциальной геометрии, теории чисел, теории графов, приближенных вычисления, небесной механики, математической физики, оптики, баллистики, кораблестроении, теории музыки, оказали значительное влияние на развитие науки. Именно он ввел большинство математических понятий и символов в современную математику, например: f (x), e, ? (пи), мнимая единица i, символ суммы? и многие другие.
Математические обозначения
Эйлер ввел и популяризовал в своих широко распространенных в то время учебниках несколько обозначений. В частности, он представил концепцию функции и впервые написал f (x), чтобы обозначить функцию f примененную к аргументу x. Он также ввел современные обозначения тригонометрических функций, букву e качестве основы натурального логарифма (сейчас известная как число Эйлера), греческую букву? для суммы и букву i, чтобы обозначить мнимую единицу. Использование греческой буквы ?, чтобы обозначить отношение длины окружности к ее диаметру было также спопуляризоване Эйлером, хотя не было им придумано.
Анализ
В восемнадцатом веке происходил значительный прогресс анализа бесконечно малых. Благодаря влиянию Бернулли (друзей семьи Эйлера), исследования в этом направлении стали основными в работах Эйлера. Хотя некоторые из доказательств Эйлера не являются приемлемыми по современным стандартам математической строгости, его идеи привели к значительному прогрессу. Эйлер хорошо известен в анализе с частого использования и развития степенных рядов, выражающих функцию в виде суммы бесконечного множества степенных функций, на пример,

Именно Эйлер прямо доказал расклад в ряд экспоненты и арктангенс (косвенное доказательство через обратные степенные ряды дана Ньютоном и Лейбницем между 1670 и 1680 годами). Использования им степенных рядов позволило решить в 1735 году знаменитую Базельскую проблему, (более строгое доказательство было им совершено в 1741 году):

Геометрический смысл формулы Эйлера Эйлер начал использование в аналитических доказательствах экспоненты и логарифмов. Ему удалось разложить в степенной ряд логарифмическую функцию и, посредством этого расписания, определить логарифмы для отрицательных и комплексных чисел. Он также расширил множество определения экспоненциальной функции на комплексные числа, и обнаружил связь экспоненты с тригонометрическими функциями. Формула Эйлера утверждает, что для любого действительного числа x выполняется равенство:

Частным случаем формулы Эйлера при x = ? есть тождество Эйлера, связывающее пять фундаментальных математических констант:

e i ? + 1 = 0,

Названной Ричардом Фейнманом "самой чудесной математической формулой".. В 1988 году читатели журнала Mathematical Intelligencer в голосовании назвали ее "красивой математической формулой всех времен".
Следствием Формулы Эйлера формула Муавра.
Кроме того, Эйлер разработал теорию специальных трансцендентных функций введя гамма-функцию и представил новые методы решения уравнения четвертой степени. Он также нашел способ вычисления интегралов с комплексными пределами, опережали развитие современного комплексного анализа, и начал вариационное исчисление, в том числе получил его известный результат, уравнения Эйлера-Лагранжа.
Эйлер также был пионером в использовании аналитических методов решения задач теории чисел. Таким образом, он объединил две разрозненные области математики и внедрил новую область исследований, аналитическую теорию чисел. Началом было созданием Эйлером теории гипергеометрических рядов, Q-Series, гиперболических тригонометрических функций и аналитическая теория обобщенных дробей. Например, он доказал бесконечность простых чисел с помощью разногласия гармонического ряда, использовал методы анализа, чтобы узнать о распределении простых чисел. Эйлеровы работы в этой области привели к появлению теоремы о распределении простых чисел.
Теория чисел
Интерес Эйлера теорией чисел можно объяснить влиянием Христиана Гольдбаха, вторая из Санкт-Петербургской Академии. Многие ранних работ Эйлера по теории чисел базировалось на работах Пьера Ферма. Эйлер разработал некоторые идеи Ферма, и опроверг некоторые из его предположений.
Эйлер связал характер распределения простых чисел с идеями по анализу. Он доказал, что сумма обратных к простым числам расходится. В этот способ он обнаружил связь между дзета-функцией Римана и простыми числами, результат известен как "тождество Эйлера в теории чисел".
Эйлер доказал тождества Ньютона, малую теорему Ферма, теорему Ферма о суммах двух квадратов, сделал значительный вклад в теорему Лагранжа о четырех квадраты. Он также изобрел функцию Эйлера? (N), равное числу положительных чисел, не превышающих натурального N и которые являются взаимно простые с N. Используя свойства этой функции, он обобщил малую теорему Ферма к тому, что сейчас называется теоремой Эйлера. Он внес значительный вклад в теорию совершенных чисел, которой математики были очарованы со времен Евклида. Эйлер также достиг прогресса в направлении теоремы о распределении простых чисел и выдвинул гипотезу квадратичной взаимности. Эти два понятия рассматриваются в качестве основных теорем теории чисел, а его идеи подготовили почву для работ Гаусса.
До 1772 года Эйлер доказал, что 2 31 – 1 = 2147483647 является числом Мерсенна. Правдоподобно, это число было наибольшим известным простым до 1867 года.
Теория графов
В 1736 году, Эйлер решил проблему, известную как Семь мостов Кенигсберга. Город Кенигсберг (сегодня Калининград) в Пруссии расположен на реке Преголя и включает два больших острова, которые были связаны друг с другом и с материком семью мостами. Проблема заключается в том, можно найти путь, который проходит каждым мостом ровно один раз и возвращается к исходной точке. Ответ отрицательный: нет цикла Эйлера. Это утверждение считается первой теоремой теории графов, в частности, в теории планарных графов.
Эйлер также доказал формулу V – E + F = 2, что связывает число вершин, ребер и граней выпуклого многогранника, а следовательно, и планарных графов (для планарных графов V – E + F = 1). Левая сторона формулы, известная теперь как эйлерова характеристика графа (или иного математического объекта), связанная с понятием рода поверхности.
Изучение и обобщение этой формулы, в частности Коши и L"Huillier, были началами топологии.
Прикладная математика
Среди наибольших успехов Эйлера были аналитические решения практических задач, описание многочисленных применений чисел Бернулли, рядов Фурье, диаграмм Венна (известные также как круги Эйлера), чисел Эйлера, констант е и?, цепных дробей и интегралов.
Он соединил дифференциальное исчисление Лейбница с ньютоновской методом флюксий, и создал инструменты, которые сделали применение анализа к физическим проблемам проще. Он добился больших успехов в совершенствовании численное приближение интегралов, изобрел то, что в настоящее время известно как метод Эйлера и формула Эйлера-Маклорена. Он также способствовал использованию дифференциальных уравнений, в частности, вводя постоянную Эйлера-Маскерони:

Одним из самых необычных интересов Эйлера было применение математических идей в музыке. В 1739 году он написал Tentamen novae theoriae musicae, надеясь наконец включить музыкальную теорию к математике. Эта часть его работы, однако, не получила широкого внимания и была однажды названа "слишком математической для музыкантов и очень музыкальной для математиков".
Физика
Леонард Эйлер внес значительный вклад в развитие механики, в частности в решение задачи о вращении твердого тела. Подход Эйлера связан с понятиями Эйлеровы углов и кинематических уравнений Эйлера. В 1757 Эйлер опубликовал мемуар «Principes generaux du mouvement des fluides» (Общие принципы движения флюидов), в котором записал уравнения движения несжимаемой идеальной жидкости, получившие название уравнений Эйлера. Результатом работы над задачей о деформации бруса при погрузке стали уравнения Эйлера-Бернулли, которые впоследствии нашли применение в инженерной науке, в частности при проектировании мостов.
Эйлер работал над общими проблемами механики, развивая принцип Мопертюи. Уравнения лагранжевой механики часто называют уравнениями Эйлера-Лагранжа.
Эйлер применял разработаны математические методы для решения проблем небесной механики. Его труды в этой области получили несколько наград Парижской академии наук. Среди его достижений определения с большой точностью орбит комет и других небесных тел, объяснения природы комет, расчет параллакса Солнца. Расчеты Эйлера стали значительным вкладом в розвробку точных таблиц широт.
Важное значение для своего времени имел вклад Эйлера в оптику. Он отрицал господствующую тогда корпускулярную теорию света Ньютона. Труды Эйлера протяжении 1740-х годов помогли утвердиться волновой теории света Христиана Гюйгенса.
Астрономия
Большая часть астрономических сочинений Эйлера посвящена актуальным в то время вопросам небесной механики, а также сферической, практической и мореходной астрономии, теории приливов, теории астрономического климата, рефракции света в земной атмосфере, параллакса и аберрации, вращению Земли. В области небесной механики Эйлер внес существенный вклад в теорию возмущенного движения. Еще в 1746 он вычислил возбуждения Луны и опубликовал лунные таблицы. Одновременно с А. К. Клеро и Ж.Л.Д "Аламбером и независимо от них Эйлер разрабатывал общие теории движения Луны, в которых он исследовался с весьма высокой точностью. Первая теория, в которой применен метод разложения искомых координат в ряды по степеням малых параметров и дана частичная разработка аналитического метода вариации элементов орбиты, была опубликована в 1753. Эта теория была использована Т. И. Майером при составлении высокоточных таблиц движения Луны. Совершенная аналитическая теория, в которой дано численный развитие метода и вычислены таблицы, изложена в работе, изданной в Петербурге в 1772 на латинском языке. Ее сокращенный перевод на русский язык под названием «Новая теория движения Луны» был выполнен А. Н. Крыловым и издан в 1934. Вычислительные методы, предложенные Эйлером для получения точных эфемерид Луны и планет, в частности введенные им прямоугольные равномерно вращаются оси координат, были широко использованы впоследствии Дж.В.Гиллом. По выражению М. Ф. Субботина, они стали одним из важнейших источников дальнейшего прогресса всей небесной механики. Широкие возможности для применения этих методов возникли с появлением ЭВМ. Современная точная и полная теория движения Луны была создана в 1895-1908 Е. В. Брауном. Работы Эйлера и Гилла дали начало общей теории нелинейных колебаний, играющего большую роль в современных науке и технике.
Важное значение для астрономии имела работа Эйлера «Об улучшении объективного стекла зрительных труб» (1747), в которой он показал, что, комбинируя две линзы из стекла с различной преломляющей способностью, можно создать ахроматический объектив. Под влиянием работы Эйлера первый объектив такого рода был изготовлен английском оптиком Дж. Доллонд в 1758.

Достижения Леонарда Эйлера, великого швейцарского математика и физика изложены в этой статье.

Леонард Эйлер вклад в науку кратко

Достижения в математике получили признание еще при жизни математика. Кроме того, что он возглавлял кафедры Берлинской и Петербургской академий, Эйлер был членом Лондонского королевского общества и Парижской АН. Отличительной чертой ученого была его продуктивность. При жизни свет увидело больше 550 его статей и книг.

У Леонарда был довольно широкий круг занятий – он исследовал современную математику и механику, математическую физику, теорию упругости, оптику, теорию машин, теорию музыки, баллистику, страховое дело и морскую науку. Эйлер впервые сформулировал механический принцип малого действия и произвел его на практике. Ему принадлежит разработка динамики и кинематики твердого тела.

Леонард Эйлер что открыл?

Ученый совершил много открытий в разных областях науки. Исследуя небесную механику, он выдвинул теорию движения Луны, в области оптике Леонард сформулировал формулу двояковыпуклой линзы. Также предложил расчетный метод для вычисления показателей преломления среды. Рассчитал оптические узлы для микроскопа.

Много он уделял времени исследованиям колебания струны, мембраны и пластинки. Но главное достижение Леонардо Эйлера было совершено в области математики. Он разработал математический анализ и заложил фундамент для развития математических дисциплин. Математик был первым, кто ввел функцию комплексного аргумента и положил начало функции комплексного переменного.

Также он является создателем вариационного исчисления и вывел экстремум функционала. Ему принадлежат также следующие достижения – открытие классического способа решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами, метода вариации произвольных, выделил основные свойства уравнения Риккати, он интегрировал линейные уравнения и создал приемы их решения, создал формулу суммирования Эйлера – Маклорена.

Эйлер является основателем теории специальных функций. Он был первым, кто стал рассматривать косинус и синус как функции и занялся исследованием свойств цилиндрических, гиперболических функций и эллиптических интегралов. Он применил впервые натуральные уравнения кривых и заложил фундамент основ теории поверхностей.

Леонард Эйлер вклад в математику отображен в его основных трудах: «Механика, или Наука о движении, изложенная аналитически», «Теория движения твёрдого тела», «Дифференциальное исчисление», «Введение в анализ», «Интегральное исчисление», «Универсальная арифметика», «Письма о разных физических и филозофических материях, писанные к некоторой немецкой принцессе…», «Механика».

Надеемся, что из этой статьи Вы узнали, каковы достижения швейцарского математика Леонарда Эйлера.

Швейцария (1707-1727)

Базельский университет в XVII-XVIII веках

В последующие два года юный Эйлер написал несколько научных работ. Одна из них, «Диссертация по физике о звуке», получившая благоприятный отзыв, была представлена на конкурс для замещения неожиданно освободившейся в Базельском университете должности профессора физики (). Но, несмотря на положительный отзыв, 19-летнего Эйлера сочли слишком юным, чтобы включить в число кандидатов на профессорскую кафедру. Надо отметить, что число научных вакансий в Швейцарии было совсем невелико. Поэтому братья Даниил и Николай Бернулли уехали в Россию, где как раз шла организация Академии наук ; они обещали похлопотать там и о должности для Эйлера.

Эйлер отличался феноменальной работоспособностью. По отзывам современников, для него жить означало заниматься математикой. А работы у молодого профессора было много: картография , всевозможные экспертизы, консультации для кораблестроителей и артиллеристов, составление учебных руководств, проектирование пожарных насосов и т. д. От него даже требуют составления гороскопов , каковой заказ Эйлер со всем возможным тактом переадресовал штатному астроному. Но всё это не мешает ему активно проводить собственные исследования.

За первый период пребывания в России он написал более 90 крупных научных работ. Значительная часть академических «Записок» заполнена трудами Эйлера. Он делал доклады на научных семинарах, читал публичные лекции, участвовал в выполнении различных технических заказов правительственных ведомств.

Все сии диссертации не токмо хороши, но и весьма превосходны, ибо он [Ломоносов] пишет о материях физических и химических весьма нужных, которые по ныне не знали и истолковать не могли самые остроумные люди, что он учинил с таким успехом, что я совершенно уверен в справедливости его изъяснений. При сём случае г. Ломоносову должен отдать справедливость, что имеет превосходное дарование для изъяснения физических и химических явлений. Желать должно, чтоб и другия Академии в состоянии были произвести такия откровения, как показал г. Ломоносов. Эйлер, в ответ к его сиятельству г. президенту 1747 года

Этой высокой оценке не помешало даже то, что Ломоносов математических работ не писал и высшей математикой не владел .

Портрет 1756 года, выполненный Эмануэлем Хандманном (Kunstmuseum, г. Базель)

По отзывам современников, Эйлер всю жизнь оставался скромным, жизнерадостным, чрезвычайно отзывчивым человеком, всегда готовым помочь другому. Однако отношения с королём не складываются: Фридрих находит нового математика невыносимо скучным, совершенно не светским, и обращается с ним пренебрежительно. В 1759 году умер Мопертюи , президент Берлинской Академии наук. Пост президента Академии король Фридрих II предложил Даламберу , но тот отказался. Фридрих, недолюбливавший Эйлера, всё же поручил ему руководство Академией, однако без титула президента.

Эйлер возвращается в Россию, теперь уже навсегда.

Снова Россия (1766-1783)

Эйлер активно трудился до последних дней. В сентябре 1783 года 76-летний учёный стал ощущать головные боли и слабость. 7 () сентября после обеда, проведённого в кругу семьи, беседуя с академиком А. И. Лекселем о недавно открытой планете Уран и её орбите, он внезапно почувствовал себя плохо. Эйлер успел произнести: «Я умираю», - и потерял сознание. Через несколько часов, так и не приходя в сознание, он скончался от кровоизлияния в мозг.

«Он перестал вычислять и жить», - сказал Кондорсе на траурном заседании Парижской Академии наук (фр. Il cessa de calculer et de vivre ).

Эйлер был заботливым семьянином, охотно помогал коллегам и молодёжи, щедро делился с ними своими идеями. Известен случай, когда Эйлер задержал свои публикации по вариационному исчислению, чтобы молодой и никому тогда не известный Лагранж , независимо пришедший к тем же открытиям, смог опубликовать их первым . Лагранж всегда с восхищением относился к Эйлеру и как к математику, и как к человеку; он говорил: «Если вы действительно любите математику, читайте Эйлера».

Вклад в науку

Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики, XVIII век - это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрозненны и не всегда согласованны, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и др. дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, удивительная по красоте «формула Эйлера », операция сравнения по целому модулю , полная теория непрерывных дробей , аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e , обозначение i для мнимой единицы , гамма-функция с её окружением и многое другое.

По существу, именно он создал несколько новых математических дисциплин - теорию чисел , вариационное исчисление , теорию комплексных функций , дифференциальную геометрию поверхностей , специальные функции . Другие области его трудов: диофантов анализ , астрономия , оптика , акустика , статистика и т. д. Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику , медицину , химию , теорию музыки , множество европейских и древних языков.

• Спор с Д"Аламбером о свойствах комплексного логарифма .
• Спор с английским оптиком Джоном Доллондом о том, возможно ли создать ахроматическую линзу .

Во всех упомянутых случаях Эйлер отстаивал правильную позицию.

Теория чисел

Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида - простые; оказалось, что делится на 641.

где вещественно . Эйлер вывел для неё разложение:

,

где произведение берётся по всем простым числам . Благодаря этому он доказал, что сумма ряда обратных простых расходится.

Первая книга по вариационному исчислению

Геометрия

В элементарной геометрии Эйлер обнаружил несколько фактов, не замеченных Евклидом :

• Три высоты треугольника пересекаются в одной точке (ортоцентре).
• В треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центр тяжести лежат на одной прямой - «прямой Эйлера ».
• Основания трёх высот произвольного треугольника, середины трёх его сторон и середины трёх отрезков, соединяющих его вершины с ортоцентром, лежат все на одной окружности (окружности Эйлера).
• Число вершин (В), граней (Г) и рёбер (Р) у любого выпуклого многогранника связаны простой формулой : В + Г = Р + 2.

Второй том «Введения в анализ бесконечно малых» () - это первый в мире учебник по аналитической геометрии и основам дифференциальной геометрии . Термин аффинные преобразования впервые введён в этой книге вместе с теорией таких преобразований.

При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок , ввёл в рассмотрение числа Эйлера .

Другие области математики

• Теория графов началась с решения Эйлером задачи о семи мостах Кёнигсберга .
• Метод ломаных Эйлера.

Механика и математическая физика

Множество работ Эйлера посвящены математической физике: механике, гидродинамике , акустике и др. В 1736 году вышел трактат «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», знаменующий новый этап в развитии этой древней науки. 29-летний Эйлер отказался от традиционного геометрического подхода к механике и подвёл под неё строгий аналитический фундамент. По существу, с этого момента механика становится прикладной математической дисциплиной.

Инженерное дело

• 29 томов по математике;
• 31 том по механике и астрономии;
• 13 - по физике.

Восемь дополнительных томов будут посвящены научной переписке Эйлера (свыше 3000 писем ).

Марки, монеты, банкноты

Библиография

• Новая теория движения Луны. - Л. : Изд. АН СССР, 1934.
• Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами либо максимума, либо минимума. - М.-Л.: ГТТИ, 1934.
• Основы динамики точки. - М.-Л.: ОНТИ, 1938.
• Дифференциальное исчисление. - М.-Л., 1949.
• Интегральное исчисление. В 3 томах. - М .: Гостехиздат, 1956-58.
• Избранные картографические статьи. - М.-Л.: Геодезиздат, 1959.
• Введение в анализ бесконечных. В 2 томах. - М .: Физматгиз, 1961.
• Исследования по баллистике. - М .: Физматгиз, 1961.
• Письма к немецкой принцессе о разных физических и философских материях. - СПб. : Наука, 2002. - 720 с. - ISBN 5-02-027900-5 , 5-02-028521-8
• Опыт новой теории музыки, ясно изложенной в соответствии с непреложными принципами гармонии / пер. с лат. Н. А. Алмазовой . - Санкт-Петербург: Рос. акад. наук, С.-Петерб. науч. центр, изд-во Нестор-История, 2007. - ISBN 978-598187-202-0 (Перевод Tentamen novae theoriae musicae ex certissismis harmoniae principiis dilucide expositae (Tractatus de musica) . - Petropol.: Typ. Acad. Sci., 1739. )

См. также

• Астрономическая обсерватория Петербургской академии наук

Примечания

Использованная литература

1. Математика XVIII столетия. Указ. соч. - С. 32.
2. Глейзер Г. И. История математики в школе . - М .: Просвещение, 1964. - С. 232.
3. , с. 220.
4. Яковлев А. Я. Леонард Эйлер. - М .: Просвещение, 1983.
5. , с. 218.
6. , с. 225.
7. , с. 264.
8. , с. 230.
9. , с. 231.
10. К 150-летию со дня смерти Эйлера: сборник. - Изд-во АН СССР, 1933.
11. А. С. Пушкин. Анекдоты, XI // Собрание сочинений . - Т. 6.
12. Marquis de Condorcet. Eulogy of Euler. History of the Royal Academy of Sciences (1783) . - Paris, 1786. - P. 37-68. ; см. оригинальный текст : фр. Madame, répondit-il, parce que je viens d’un pays où, quand on parle, on est pendu
13. Белл Э. Т. Указ. соч. - С. 123.

Эйлер вычислял без всякого видимого усилия, как человек дышит или как орёл парит над землёй.

Доминик Араго

Математические формулы у Эйлера жили своей собственной жизнью и рассказывали ему важные и существенные данные о природе вещей. Ему было достаточно только коснуться их, как они из немых букв преображались в красноречивые фразы, дающие глубокий и значительный ответ на различные вопросы.

Современник Эйлера

Вместе с Петром I и Ломоносовым, Эйлер стал добрым гением нашей Академии, определившим её славу, её крепость, её продуктивность.

С.И. Вавилов

Леонард Эйлер (15 апреля 1707 - 18 сентября 1783) - швейцарский, немецкий и российский учёный, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Он стал первым, кто в своих работах начал возводить последовательное здание анализа бесконечно малых. Только после его исследований, изложенных в грандиозных томах его трилогии «Введение в анализ», «Дифференциальное исчисление» и «Интегральное исчисление», анализ стал вполне оформившейся наукой - одним из самых глубоких научных достижений человечества. Почти полжизни провёл в России, где внёс существенный вклад в становление российской науки. Эйлер хорошо знал русский язык и часть своих сочинений (особенно учебники) публиковал на русском. Первые русские академики-математики (С.К. Котельников) и астрономы (С.Я. Румовский) были учениками Эйлера. Некоторые из потомков Эйлера до сих пор живут в России.

Леонард Эйлер родился в швейцарском городе Базеле. Отец его, Павел Эйлер, был пастором в Рихене (близ Базеля) и имел некоторые познания в математике. Отец предназначал своего сына к духовной карьере, но сам, интересуясь математикой, преподавал её и сыну, надеясь, что она ему впоследствии пригодится в качестве интересного и полезного занятия. По окончании домашнего обучения тринадцатилетний Леонард был отправлен отцом в Базель для слушания философии.

Среди других предметов на этом факультете изучались элементарная математика и астрономия, которые преподавал Иоганн Бернулли. Вскоре Бернулли заметил талантливость юного слушателя и начал заниматься с ним отдельно.

Получив в 1723 году степень магистра, после произнесения речи на латинском языке о философии Декарта и Ньютона, Леонард, по желанию своего отца, приступил к изучению восточных языков и богословия. Но его всё больше влекло к математике. Эйлер стал бывать в доме своего учителя, и между ним и сыновьями Иоганна Бернулли - Николаем и Даниилом - возникла дружба, сыгравшая очень большую роль в жизни Эйлера.

В 1725 году братья Бернулли были приглашены в члены Петербургской академии наук, недавно основанной императрицей Екатериной I. Уезжая, Бернулли обещали Леонарду известить его, если найдётся и для него подходящее занятие в России. На следующий год они сообщили, что для Эйлера есть место, но, однако, в качестве физиолога при медицинском отделении академии. Узнав об этом, Леонард немедленно записался в студенты медицины Базельского университета. Прилежно и успешно изучая науки медицинского факультета, Эйлер находит время и для математических занятий. За это время он написал напечатанную потом, в 1727 году, в Базеле диссертацию о распространении звука и исследование по вопросу о размещении мачт на корабле.

В столице Российской Империи молодого спеца, меньше чем за год научившегося довольно бегло говорить по-русски, тут же загрузили работой, причем, не всегда связанной с математикой. Дефицит специалистов привел к тому, что ученого то заряжали заданиями по картографии, то требовали письменных консультаций для кораблестроителей и артиллеристов, то поручали конструирование пожарных насосов, а то и вовсе вменяли в обязанность составление придворных гороскопов. Все эти задания Эйлер аккуратно исполнял, и только требования по вопросам астрологии категорически переадресовывал к придворным астрономам. Предсказания в России всегда были делом повышенной опасности и требовали особой осторожности.

В Петербурге имелись самые благоприятные условия для расцвета гения Эйлера: материальная обеспеченность, возможность заниматься любимым делом, наличие ежегодного журнала для публикации трудов. Здесь же работала самая большая тогда в мире группа специалистов в области математических наук, в которую входили Даниил Бернулли (его брат Николай скончался в 1726 году), разносторонний Х. Гольдбах, с которым Эйлера связывали общие интересы к теории чисел и другим вопросам, автор работ по тригонометрии Ф.Х. Майера, астроном и географ Ж.Н. Делиль, математик и физик Г.В. Крафт и другие. С этого времени Петербургская академия стала одним из главных центров математики в мире.

Открытия Эйлера, которые благодаря его оживлённой переписке нередко становились известными задолго до издания, делают его имя всё более широко известным. Улучшается его положение в Академии наук: в 1727 году он начал работу в звании адъюнкта, то есть младшего по рангу академика, а в 1731 году он стал профессором физики, т.е. действительным членом академии. В 1733 году получил кафедру высшей математики, которую до него занимал Д. Бернулли, возвратившийся в том же году в Базель. Рост авторитета Эйлера нашёл своеобразное отражение в письмах к нему его учителя Иоганна Бернулли. В 1728 году Бернулли обращается к «учёнейшему и даровитейшему юному мужу Леонарду Эйлеру», в 1737 году - к «знаменитейшему и остроумнейшему математику», а в 1745 году - к «несравненному Леонарду Эйлеру - главе математиков».

В 1735 году академии потребовалось выполнить весьма сложную работу по расчёту траектории кометы. По мнению академиков, на это нужно было употребить несколько месяцев труда. Эйлер взялся выполнить это в три дня и исполнил работу, но вследствие этого заболел нервною горячкою с воспалением правого глаза, которого он и лишился. Вскоре после этого, в 1736 году, появились два тома его аналитической механики. Потребность в этой книге была большая; немало было написано статей по разным вопросам механики, но хорошего трактата по механике не имелось.

В 1738 году появились две части введения в арифметику на немецком языке, в 1739 году - новая теория музыки. Затем в 1840 году Эйлер написал сочинение о приливах и отливах морей, увенчанное одной третью премии Французской академии; две других трети были присуждены Даниилу Бернулли и Маклорену за сочинения на ту же тему.

В конце 1740 года после смерти императрицы Анны Иоанновны царем стал малолетний Иоанн IV. Правившая в это время империей регент Иоанна Анна Леопольдовна наукам никакого внимания не уделяла, и Академия постепенно приходила в запустение. «Предвиделось нечто опасное, - писал потом Эйлер в автобиографии. - После кончины достославной императрицы Анны при последовавшем тогда регентстве… положение начало представляться неуверенным». Поэтому ученый воспринял приглашение Фридриха как подарок судьбы и тут же подал прошение, в котором писал: «Того ради нахожусь принужден, как ради слабого здоровья, так и других обстоятельств, искать приятнейшего климата и принять от его Королевского Величества Прусского учиненное мне призывание. Того ради прошу Императорскую Академию наук всеподданнейше меня милостиво уволить и снабдить для моего и домашних моих проезду потребным пашпортом».

Несмотря на общее прохладное отношение к науке, государственная администрация вовсе не горела желанием вот так запросто отпускать уже признанное мировое светило. С другой стороны, и не отпустить было нельзя. Поэтому, в результате недолгих переговоров, от математика удалось получить обещание, даже проживая в Берлине всячески помогать России. Взамен ему присвоили звание почетного члена Академии с окладом 200 рублей. Наконец, 29 мая 1741 года все документы были выправлены, и уже в июне Эйлер, вместе со всем своим семейством, женой, детьми и четырьмя племянниками прибыл в Берлин.

Говорят, что когда на балу, устроенном в честь приезда в Берлин знаменитого математика Леонарда Эйлера, королева-мать спросила ученого, почему он так немногословен, тот ответил: «Прошу меня простить, но я только что из страны, где за лишнее слово могут повесить». Однако через 25 лет он опять вернулся в эту «ужасную страну». Так велико для него было притяжение России.

В Берлине Эйлер поначалу собрал около себя небольшое учёное общество, а затем был приглашён в состав вновь восстановленной Королевской академии наук и назначен деканом математического отделения. В 1743 году он издал пять своих мемуаров, из них четыре по математике. Один из этих трудов замечателен в двух отношениях. В нём указывается на способ интегрирования рациональных дробей путём разложения их на частные дроби и, кроме того, излагается обычный теперь способ интегрирования линейных обыкновенных уравнений высшего порядка с постоянными коэффициентами.

Вообще большинство работ Эйлера посвящено анализу. Эйлер так упростил и дополнил целые большие отделы анализа бесконечно малых, интегрирования функций, теории рядов, дифференциальных уравнений, начатые уже до него, что они приобрели примерно ту форму, которая за ними в большой мере сохраняется и до сих пор. Эйлер, кроме того, начал целую новую главу анализа - вариационное исчисление. Это его начинание вскоре подхватил Лагранж и, таким образом, сложилась новая наука.

В 1744 году Эйлер напечатал в Берлине три сочинения о движении светил: первое - теория движения планет и комет, заключающая в себе изложение способа определения орбит из нескольких наблюдений; второе и третье - о движении комет.

Семьдесят пять работ Эйлер посвятил геометрии. Часть из них хотя и любопытна, но не очень важна. Некоторые же просто составили эпоху. Во-первых, Эйлера надо считать одним из зачинателей исследований по геометрии в пространстве вообще. Он первый дал связное изложение аналитической геометрии в пространстве (во «Введении в анализ») и, в частности, ввёл так называемые углы Эйлера, позволяющие изучать повороты тела вокруг точки.

В работе 1752 года «Доказательство некоторых замечательных свойств, которым подчинены тела, ограниченные плоскими гранями», Эйлер нашёл соотношение между числом вершин, рёбер и граней многогранника: сумма числа вершин и граней равна числу рёбер плюс два . Такое соотношение предполагал ещё Декарт, но Эйлер доказал его в своих мемуарах. Это в некотором смысле первая в истории математики крупная теорема топологии - самой глубокой части геометрии.

Занимаясь вопросами о преломлении лучей света и написав немало мемуаров об этом предмете, Эйлер издал в 1762 году сочинение, в котором предлагается устройство сложных объективов с целью уменьшения хроматической аберрации. Английский художник Долдонд, открывший два различной преломляемости сорта стекла, следуя указаниям Эйлера, построил первые ахроматические объективы.

В 1765 году Эйлер написал сочинение, где решает дифференциальные уравнения вращения твёрдого тела, которые носят название Эйлеровых уравнений вращения твёрдого тела.

Много написал учёный сочинений об изгибе и колебании упругих стержней. Вопросы эти интересны не только в математическом, но и в практическом отношении.

Фридрих Великий давал учёному поручения чисто инженерного характера. Так, в 1749 году он поручил ему осмотреть канал Фуно между Гавелом и Одером и дать рекомендации по исправлению недостатков этого водного пути. Далее ему поручено было исправить водоснабжение в Сан-Суси.

Результатом этого стало более двадцати мемуаров по гидравлике, написанных Эйлером в разное время. Уравнения гидродинамики первого порядка с частными производными от проекций скорости, плотности к давлению называются гидродинамическими уравнениями Эйлера.

Покинув Петербург, Эйлер сохранил самую тесную связь с русской Академией наук, в том числе официальную: он был её почётным членом, получал крупную ежегодную пенсию, и со своей стороны, выполнял взятые на себя обязательства в отношении дальнейшего сотрудничества. Слово, данное перед тем, как покинуть Россию, ученый держал строго. Он закупал для нашей академии книги, физические и астрономические приборы, подбирал в других странах сотрудников, сообщая подробнейшие характеристики возможных кандидатов, редактировал математический отдел академических записок, выступал как арбитр в научных спорах между петербургскими учёными, присылал темы для научных конкурсов, а также информацию о новых научных открытиях.

В доме Эйлера на полном пансионе жили отправленные на стажировку молодые русские ученые. Именно здесь он познакомился и подружился с перспективным студентом московских «Спасских школ» Михаилом Ломоносовым, в котором больше всего отмечал «счастливое сочетание теории с экспериментом». Когда в 1747 году президент Академии наук граф Разумовский попросил его дать отзыв о статьях молодого ученого, Эйлер оценил их очень высоко:

Все сии диссертации, не токмо хороши, но и весьма превосходны, ибо он (Ломоносов) пишет о материях физических и химических весьма нужных, которые по ныне не знали и истолковать не могли самые остроумные люди, что он учинил с таким успехом, что я совершенно уверен в справедливости его изъяснений. При сём случае г. Ломоносову должен отдать справедливость, что имеет превосходное дарование для изъяснения физических и химических явлений. Желать должно, чтоб и другия Академии в состоянии были произвести такия откровения, как показал г. Ломоносов.

Надо сказать, что весьма заносчивый, самолюбивый и сложный в общении Михаил Васильевич также до конца дней любил своего берлинского учителя, писал ему дружеские письма и считал одним из величайших ученых мира.

В переписке Эйлера с его другом академиком Петербургской академии наук Гольдбахом мы находим две знаменитые «задачи Гольдбаха»: доказать, что всякое нечётное натуральное число есть сумма трёх простых чисел, а всякое чётное - двух. Первое из этих утверждений было при помощи, весьма замечательного, метода доказано уже в наше время (1937) академиком И.М. Виноградовым, а второе не доказано до сих пор.

Европейская слава и признание заслуг Эйлера всё расли. Но это никак не влияло на холодное отношение к нему властьпредержащих царственных особ Пруссии. Когда в 1759 году умер президент Берлинской Академии наук Мопертюи, Фридрих II долго не мог найти ему замену. Французский ученый-энциклопедист Жан Д`Аламбер, к которому король обратился в первую очередь, отказался от заманчивого предложения, посчитав, что в Берлине есть более достойная кандидатура на этот пост. Наконец Фридрих смирился и таки отдал Эйлеру руководство Академией. Но титул президента присвоить ему отказался категорически.

В России же об Эйлере помнили и очень ценили сотрудничество с ним. Так во время семилетней войны русская артиллерия случайно разрушила дом ученого в Шарлоттенбурге (пригород Берлина). Узнавший об этом фельдмаршал Салтыков тут же возместил ученому все нанесенные потери. А когда весть о неудачном артобстреле достигла императрицы Елизаветы, она распорядилась от себя лично прислать берлинскому другу еще 4000 рублей, что было огромной суммой.

В 1762 году на русский престол заступила Екатерина II, мечтавшая установить в стране «просвещенную монархию». Возвращение в страну видного математика она видела одной из важнейших своих задач. Поэтому вскоре Эйлер получил от нее весьма интересное предложение: возглавить математический класс, получив при этом звание конференц-секретаря Академии и оклад 1800 рублей в год. «А если не понравится, - говорилось в ее поручении дипломатическим представителям, - благоволит сообщить свои условия, лишь бы не медлил приездом в Петербург.»

Эйлер, и правда, благоволил выдвинуть встречные условия:

Пост вице-президента Академии с окладом 3000 рублей;

Ежегодную пенсию 1000 рублей супруге в случае его смерти;

Оплачиваемые должности для троих его сыновей, в том числе пост секретаря Академии для старшего.

Такая дерзость со стороны какого-то математика возмутила представителя императорской администрации, видного российского дипломата графа Воронцова. Однако сама императрица думала по-другому. «Письмо к Вам г. Эйлера, - писала она графу, - доставило мне большое удовольствие, потому что я узнаю из него о желании его снова вступить в мою службу. Конечно, я нахожу его совершенно достойным желаемого звания вице-президента Академии наук, но для этого следует принять некоторые меры, прежде чем я установлю это звание - говорю установлю, так как доныне его не существовало. При настоящем положении дел там нет денег на жалование в 3000 рублей, но для человека с такими достоинствами, как г. Эйлер, я добавлю к академическому жалованию из государственных доходов, что вместе составит требуемые 3000 рублей… Я уверена, что моя Академия возродится из пепла от такого важного приобретения, и заранее поздравляю себя с тем, что возвратила России великого человека».

Получив заверения в том, что все его условия приняты на самом высоком уровне, Эйлер немедленно написал Фридриху заявление с просьбой об отставке. Возможно, из-за нежелания отпускать видного ученого, возможно - из-за негативного к нему отношения, а скорее всего - от всего этого вместе, король не просто отказал, а именно проигнорировал обращение Эйлера, не дав на него никакого ответа. Эйлер написал еще одно прошение. С тем же результатом. Тогда математик просто демонстративно прекратил работу в Академии. Наконец, с просьбой отпустить ученого к королю Пруссии обратилась сама Екатерина. Только после такого высокого вмешательства Фридрих разрешил математику покинуть Пруссию.

В июле 1766 года ученый вместе с 17 домочадцами прибыл в Санкт-Петербург. Сразу же по прибытии он был принят императрицей. Екатерина, теперь уже Вторая, встретила его как августейшую особу и осыпала милостями: пожаловала 8000 рублей на покупку дома на Васильевском острове и на приобретение обстановки, предоставила на первое время одного из своих поваров и поручила подготовить соображения о реорганизации Академии.

Старший из его сыновей Иоганн Альбрехт стал академиком в области физики, Карл занял высокую должность в медицинском ведомстве, Христофора, родившегося в Берлине, Фридрих II долго не отпускал с военной службы, и потребовалось очередное вмешательство Екатерины II, чтобы тот смог приехать к отцу. Христофор был назначен директором Сестрорецкого оружейного завода.

К несчастью, после возвращения в Петербург у Эйлера образовалась катаракта левого глаза - он почти перестал видеть.

Эйлер, при своих гениальных способностях и замечательной памяти, продолжал работать, диктовать свои новые мемуары. Только с 1769 по 1783 год Эйлер продиктовал около 380 статей и сочинений, а за свою жизнь написал около 900 научных работ.

Работа 1769 года «Об ортогональных траекториях» Эйлера содержит блестящие соображения о получении с помощью функции комплексной переменной из уравнений двух взаимно ортогональных семейств кривых на поверхности (т.е. таких линий, как меридианы и параллели на сфере) бесконечного числа других взаимно ортогональных семейств. Работа эта в истории математики оказалась очень важной.

В следующей работе 1771 года «О телах, поверхность которых может быть развёрнута в плоскость» Эйлер доказывает знаменитую теорему о том, что любая поверхность, которую можно получить лишь изгибая плоскость, но не растягивая её и не сжимая, если она не коническая и не цилиндрическая, представляет собой совокупность касательных к некоторой пространственной кривой.

Столь же замечательны работы Эйлера по картографическим проекциям.

Можно себе представить, каким откровением для математиков той эпохи явились хотя бы работы Эйлера о кривизне поверхностей и о развёртывающихся поверхностях. Работы же, в которых Эйлер исследует отображения поверхности, сохраняющие подобие в малом (конформные отображения), основанные на теории функций комплексного переменного, должны были казаться прямо-таки трансцендентными. А работа о многогранниках начинала совсем новую часть геометрии и по своей принципиальности и глубине стояла в ряду с открытиями Евклида.

В 1771 году в жизни Эйлера произошли два серьёзных события. В мае в Петербурге случился большой пожар, уничтоживший сотни зданий, в том числе дом и почти всё имущество Эйлера. Самого учёного с трудом спасли. Все рукописи удалось уберечь от огня; сгорела лишь часть «Новой теории движения луны», но она быстро была восстановлена с помощью самого Эйлера, сохранившего до глубокой старости феноменальную память. Эйлеру пришлось временно переселиться в другой дом.

В сентябре того же года, по особому приглашению императрицы, в Санкт-Петербург прибыл для лечения Эйлера известный немецкий окулист барон Вентцель. После осмотра он согласился сделать Эйлеру операцию и удалил с левого глаза катаракту. Эйлер снова стал видеть. Врач предписал беречь глаз от яркого света, не писать, не читать - лишь постепенно привыкать к новому состоянию. Однако уже через несколько дней после операции Эйлер снял повязку, и вскоре потерял зрение снова. На этот раз - окончательно.

В 1773 году по рекомендации Даниила Бернулли в Петербург приехал из Базеля ученик Бернулли, Никлаус Фусс. Это было большой удачей для Эйлера. Фусс обладал редким сочетанием математического таланта и умения вести практические дела, что и дало ему возможность сразу же после приезда взять на себя заботы о математических трудах Эйлера. Вскоре Фусс женился на внучке Эйлера. В последующие десять лет - до самой своей смерти - Эйлер преимущественно ему диктовал свои труды, хотя иногда пользовался «глазами старшего сына» и других своих учеников.

В 1773 году умерла жена Эйлера, с которой он прожил сорок лет. Через три года он вступил в брак с её сестрой, Саломеей Гзелль. Завидное здоровье и счастливый характер помогали Эйлеру «противостоять ударам судьбы, которые выпали на его долю… Всегда ровное настроение, мягкая и естественная бодрость, какая-то добродушная насмешливость, умение наивно и забавно рассказывать делали разговор с ним столь же приятным, сколь и желанным…» Он мог иногда вспылить, но «был не способен долго питать против кого-либо злобу…» — вспоминал Фусс.

Эйлера постоянно окружали многочисленные внуки, часто на руках у него сидел ребёнок, а на шее лежала кошка. Он сам занимался с детьми математикой. И всё это не мешало ему работать!

Эйлер оставил важнейшие труды по самым различным отраслям математики, механики, физики, астрономии и по ряду прикладных наук. С точки зрения математики, XVIII век - это век Эйлера. Если до него достижения в области математики были разрозненны и не всегда согласованны, то Эйлер впервые увязал анализ, алгебру, тригонометрию, теорию чисел и другие дисциплины в единую систему, и добавил немало собственных открытий. Значительная часть математики преподаётся с тех пор «по Эйлеру».

Благодаря Эйлеру в математику вошли общая теория рядов, удивительная по красоте формула Эйлера:

и как следствие, тождество Эйлера связывающее пять фундаментальных математических констант:

операция сравнения по целому модулю, полная теория непрерывных дробей, аналитический фундамент механики, многочисленные приёмы интегрирования и решения дифференциальных уравнений, число e , обозначение i для мнимой единицы, гамма-функция с её окружением и многое другое.

По существу, именно он создал несколько новых математических дисциплин - теорию чисел, вариационное исчисление, теорию комплексных функций, дифференциальную геометрию поверхностей, специальные функции. Другие области его трудов: диофантов анализ, астрономия, оптика, акустика, статистика и т.д. Познания Эйлера были энциклопедичны; кроме математики, он глубоко изучал ботанику, медицину, химию, теорию музыки, множество европейских и древних языков.

Биографы отмечают, что Эйлер был виртуозным алгоритмистом. Он неизменно старался довести свои открытия до уровня конкретных вычислительных методов.

П.Л. Чебышёв писал: «Эйлером было положено начало всех изысканий, составляющих общую теорию чисел». Большинство математиков XVIII века занимались развитием анализа, но Эйлер пронёс увлечение древней арифметикой через всю свою жизнь. Благодаря его трудам интерес к теории чисел к концу века возродился.

Эйлер нашёл доказательства всех теорем Ферма, показал неверность одной из них, а знаменитую Великую теорему Ферма доказал для «трёх» и «четырёх». Эйлер строго доказал эти гипотезы, значительно обобщил их и объединил в содержательную теорию чисел. Он опроверг гипотезу Ферма о том, что все числа вида - простые; оказалось, что делится на 641.

Он также доказал, что всякое простое число вида 4n +1 всегда разлагается на сумму квадратов других двух чисел.

Дал одно из решений задачи о четырёх кубах.

Эйлер показал, что в теории чисел возможно применение методов математического анализа, положив начало аналитической теории чисел.

Ввел дзета-функцию, обобщение которой получило впоследствии имя Римана:

где s вещественно. Эйлер вывел для неё разложение:

где произведение берётся по всем простым числам p . Благодаря этому он доказал, что сумма ряда обратных простых расходится.

Одна из главных заслуг Эйлера перед наукой - монография «Введение в анализ бесконечно малых» (1748). В 1755 году выходит дополненное «Дифференциальное исчисление», а в 1768 - 1770 годах - три тома «Интегрального исчисления». В совокупности это фундаментальный, хорошо иллюстрированный примерами курс, с продуманной терминологией и символикой, откуда многое перешло и в современные учебники. Собственно современные методы дифференцирования и интегрирования были опубликованы в данных трудах.

Основание натуральных логарифмов было известно ещё со времён Непера и Якоба Бернулли, однако Эйлер выполнил настолько глубокое исследование этой важнейшей константы, что с тех пор она носит его имя. Другая исследованная им константа: постоянная Эйлера - Маскерони.

Эйлер делит с Лагранжем честь открытия вариационного исчисления. В 1744 году Эйлер опубликовал первую книгу по вариационному исчислению «Метод нахождения кривых, обладающих свойствами максимума либо минимума».

Эйлер значительно продвинул теорию рядов и распространил её на комплексную область, получив при этом знаменитую формулу Эйлера. Большое впечатление на математический мир произвели ряды, впервые просуммированные Эйлером, в том числе, не поддававшийся до него никому ряд обратных квадратов:

Эйлер был первым, кто широко использовал степенные ряды для выражения функций, например:

Современное определение показательной, логарифмической и тригонометрических функций - тоже его заслуга, так же как и их символика и обобщение на комплексный случай. Формулы, часто именуемые в учебниках «условия Коши - Римана», более правильно было бы назвать «условиями Даламбера - Эйлера».

Он первый дал систематическую теорию интегрирования и используемых там технических приёмов, нашёл важные классы интегрируемых дифференциальных уравнений. Он открыл эйлеровы интегралы - ценные классы специальных функций, возникающие при интегрировании: бета-функция и гамма-функция Эйлера. Одновременно с Клеро вывел условия интегрируемости линейных дифференциальных форм от двух или трёх переменных (1739). Первый ввёл двойные интегралы. Получил серьёзные результаты в теории эллиптических функций, в том числе первые теоремы сложения.

С более поздней точки зрения, действия Эйлера с бесконечными рядами не всегда могут считаться корректными (обоснование анализа было проведено лишь полвека спустя), но феноменальная математическая интуиция практически всегда подсказывала ему правильный результат. Впрочем, дело было не только в интуиции, Эйлер действовал здесь достаточно сознательно, во многих важных отношениях его понимание смысла расходящихся рядов и операций с ними превзошло стандартное понимание XIX века и послужило основой современной теории расходящихся рядов, развитой в конце XIX - начале XX века.

Эйлер много внимания уделял представлению натуральных чисел в виде сумм специального вида и сформулировал ряд теорем для вычисления числа разбиений.

Он исследовал алгоритмы построения магических квадратов методом обхода шахматным конём.

При решении комбинаторных задач он глубоко изучил свойства сочетаний и перестановок, ввёл в рассмотрение числа Эйлера.

Множество работ Эйлера посвящены математической физике: механике, гидродинамике, акустике и др. В 1736 году вышел трактат «Механика, или наука о движении, в аналитическом изложении», знаменующий новый этап в развитии этой древней науки. 29-летний Эйлер отказался от традиционного геометрического подхода к механике и подвёл под неё строгий аналитический фундамент. По существу, с этого момента механика становится прикладной математической дисциплиной.

В 1755 году публикуются «Общие принципы движения жидкостей», в которых положено начало теоретической гидродинамике. Выведены основные уравнения гидродинамики (уравнение Эйлера) для жидкости без вязкости. Разобраны решения системы для разных частных случаев.

Эйлер обобщил принцип наименьшего действия, довольно путано изложенный Мопертюи, и указал на его основополагающее значение в механике. К сожалению, он не раскрыл вариационный характер этого принципа, но всё же привлёк к нему внимание физиков, которые позднее выяснили его фундаментальную роль в природе.

Эйлер много работал в области небесной механики. Он заложил основу теории возмущений, позднее завершённой Лапласом, и разработал очень точную теорию движения Луны. Эта теория оказалась пригодной для решения насущной задачи определения долготы на море, и английское Адмиралтейство выплатило за неё Эйлеру специальную премию.

В 1757 году Эйлер впервые в истории нашёл формулы для определения критической нагрузки при сжатии упругого стержня. Однако в те годы эти формулы не могли найти практического применения.

Несомненно, Эйлер принадлежит к числу гениальнейших математиков всех времен. В истории точных наук его имя ставят рядом с именами Ньютона, Декарта, Галилея. Он был не только математиком, но и физиком, и астрономом. Его труды оказали огромное влияние на развитие этих наук. Нет учёного, имя которого упоминалось бы в учебной математической литературе столь же часто, как имя Эйлера. Великий французский математик Лаплас сказал о работах Эйлера:

Читайте, читайте Эйлера - он наш великий учитель.

Почти сто лет спустя, когда во многих странах - и прежде всего в Англии - стали строить железные дороги, потребовалось рассчитать прочность железнодорожных мостов. Модель Эйлера принесла практическую пользу в проведении экспериментов.

В начале 1780-х годов Эйлер все чаще стал жаловаться на головные боли и общую слабость. 18 сентября 1883 года он вел послеобеденную беседу с академиком Андреем Лекселем. Оба математики и астрономы, они обсуждали недавно открытую планету Уран и ее орбиту. Внезапно Эйлер почувствовал себя плохо. Он только успел сказать: «Я умираю», - после чего сразу потерял сознание. Через несколько часов, незадолго до полуночи, его не стало. Врачи установили, что смерть произошла от кровоизлияния в мозг.

Он был похоронен рядом с первой женой на Смоленском лютеранском кладбище на Васильевском острове. Академия заказала известному скульптору Ж.Д. Рашетту, хорошо знавшему Эйлера, мраморный бюст покойного, а княгиня Дашкова подарила мраморный пьедестал. На надгробном камне высекли слова: «Здесь покоятся бренные останки мудрого, справедливого, знаменитого Леонарда Эйлера».

В 1955 году прах великого математика был перенесён в «Некрополь XVIII века» на Лазаревском кладбище Александро-Невской лавры. Плохо сохранившийся надгробный памятник при этом заменили.

Дети математика так и остались в России. Старший сын, тоже талантливый математик и механик Иоганн Эйлер (1734-1800), как и обещала императрица Екатерина, был секретарем Императорской академии наук, которого сменил Фусс, а в 1826 году - сын Фусса, Павел Николаевич, так что организационной стороной жизни академии около ста лет ведали потомки Леонарда Эйлера. Младший, Христофор (1743-1808), дослужился до генерал-лейтенанта и командовал Сестрорецким оружейным заводом. Внук, Александр Христофорович (1773-1849) стал генералом от артиллерии, героем Отечественной войны 1812 года. Еще один потомок, правда вернувшийся на родину предков, в Швецию, Ханс Карл Август Симон фон Эйлер-Хельпин (1873-1964) стал известным биохимиком, иностранным членом Академии Наук СССР, лауреатом Нобелевской премии по химии за 1929 год. Другую Нобелевскую премию, только уже в 1970 году, получил его сын, шведский биолог Ульф фон Ойлер (1905-1983).

Эйлеровские традиции оказали сильное влияние на П.Л. Чебышева и его учеников: А.М. Ляпунова, А.Н. Коркина, Е.И. Золотарёва, А.А. Маркова и других, определив основные черты петербургской математической школы.

В честь Эйлера названы:

• улица в Алма-Ате
• кратер на Луне
• астероид
• Международный математический институт им. Леонарда Эйлера Российской Академии наук, основанный в 1988 году в Петербурге
• благотворительный фонд поддержки отечественных учёных
• Медаль, с 1993 года ежегодно присуждаемая канадским Институтом комбинаторики и её приложений за достижения в этой области математики.

В 2007 году Центробанк РФ выпустил памятную монету в ознаменование 300-летия со дня рождения Леонарда Эйлера:

Портрет Эйлера помещался также на швейцарскую 10-франковую банкноту

и на почтовые марки Швейцарии, России и Германии.

Имя Эйлера носят следующие математические объекты:

• теорема Эйлера в теории чисел
• теорема вращения Эйлера
• теорема Эйлера в планиметрии
• теорема Эйлера в комбинаторике
• гипотеза Эйлера в теории чисел
• теорема Эйлера для многогранников
• лемма Эйлера
• уравнения Эйлера - Лагранжа
• уравнения Эйлера - Пуассона
• уравнения Эйлера в механике
• уравнение Эйлера в гидродинамике
• эйлеровы точки либрации
• уравнение Эйлера - Бернулли
• функция Эйлера в теории чисел
• функция Эйлера в комплексном анализе
• тождество Эйлера в теории чисел
• тождество Эйлера в комплексном анализе
• тождество Эйлера о четырёх квадратах
• тождество Эйлера в алгебре многочленов
• формула Эйлера в комплексном анализе
• формула Эйлера в кинематике твёрдого тела
• формула Эйлера в геометрии треугольника
• формула Эйлера в геометрии четырёхугольника
• формула Эйлера для суммы первых членов гармоничного ряда.
• формула Эйлера в теории графов
• эйлерова характеристика (алгебраическая топология)
• интегралы Эйлера первого рода и второго рода
• интеграл Эйлера - Пуассона
• постоянная Эйлера - Маскерони
• число Эйлера
• углы Эйлера
• многочлены Эйлера
• преобразование Эйлера
• прямая Эйлера в геометрии треугольника
• окружность Эйлера (окружность девяти точек)
• круги Эйлера
• эйлеров цикл, эйлерова цепь, эйлеров граф в теории графов
• эйлеров сплайн
• эйлерова сила
• подстановки Эйлера.

По материалам книг: Д. Самин «100 великих учёных» (Москва, «Вече», 2004) и «Шеренга великих математиков» (Варшава, изд. Наша Ксенгарня, 1970), сайта aif.ru и Википедии.