Упругий и пластический моменты сопротивления. Изгиб стержня с учетом пластических деформаций. Метод редуцирования предельного момента сопротивления для учета влияния перерезывающей силы в балках средней длины

2.5. Метод редуцирования предельного момента сопротивления для учета влияния перерезывающей силы в балках средней длины

Итак, число расчетных случаев, при которых пластификация сечения является однофакторной (чисто изгибной или чисто сдвиговой), – ограничено, а использование неявных уравнений предельной поверхности затрудняет получение аналитических решений. Как же, тем не менее, можно получить таковые?

В строительной механике корабля существует известный прием редуцирования , согласно которому учет действия в сечении балки напряжений определенного вида, а также учет факта возникновения текучести или локальной потери устойчивости в элементах сечения производят изменением геометрических характеристик сечения и продолжают расчет в рамках исходного метода (см. , например, редуцирование в расчете общей прочности корабля ). Как показано в параграфе 2.4, для конкретных типов сечений вполне можно оценить превалирование того или иного вида пластического механизма над остальными возможными и понять, какой фактор считать редукционным.

Так, если изгибно-сдвиговой механизм является в большей степени изгибным, то влияние перерезывающей силы можно попытаться учесть изменением (редуцированием) изгибного момента сопротивления, не применяя, таким образом, уравнения предельной поверхности, а продолжая рассматривать пластический механизм как однофакторный.

Пример 1. Исследование механизмов утраты несущей способности жестко заделанной балки (рис. 2.5.1, а) , загруженной равномерно распределенной нагрузкой на симметричном относительно середины балки участке 2с .

Поперечное сечение балки – несимметричный двутавр, образованный тавровым профилем с присоединенным пояском пластины (рис. 2.5.1, в , г ).

Рис.2.5.1 Модельная двутавровая балка: а – расчетная схема исследуемого объекта; б – схема нагрузок и внутренних усилий в предельном состоянии;
в – схема поперечного сечения балки в виде несимметричного двутавра :
1 – свободный поясок; 2 – стенка; 3 – присоединенный поясок; г – размеры тестового варианта сечения

Поперечное сечение характеризуется шестью геометричес­кими размерами:

h – высота стенки;

t – толщина стенки;

b f – ширина свободного пояска;

t f – толщина свободного пояска;

b pp – ширина присоединенного пояска;

t pp – толщина присоединенного пояска.

Площадь стенки ω, площадь свободного пояска S 1 , площадь присоединенного пояска S 2 и площадь всего сечения F вычисляют по зависимостям:

Рассмотрим варианты предельного пластического механизма, реализующиеся в зависимости от отношения L / h . Ряд результатов при этом является повторением материала параграфов 1.1, 2.1 и 2.2 .

Предельное состояние пластического механизма вращения. Предполагается, что в сечении действуют только нормальные напряжения. Предельное состояние сечения характеризуется условием для всех точек сечения

Изгибающий момент, действие которого вызывает предельное состояние механизма вращения, назовем предельным моментом сечения M T . Его значение определяется из двух урав­нений равновесия внешних и внутренних сил в сечении

Из уравнений равновесия следует, что

где F раст – ра стянутая часть площади сечения; F сжат – сжатая часть площади сечения.

В предельном состоянии пластическая нейтральная ось сечения (НО пл) делит его площадь пополам. Для несимметричного профиля характерных для судостроительных балок размеров пластическая нейтральная ось (НО пл) располагается пр актически на нижней поверхности присоединенного пояска (см. рис. 2.5.1) и предельный момент сопротивления имеет вид:

Предельное состояние пластического механизма сдвига. Предполагается, что сдвиговым деформациям сопротивляется только стенка, и в ее сечении действуют только касательные напряжения. Предельное состояние сечения стенки характеризуется условием для всех точек сечения

Перерезывающую силу, действие которой вызывает предельное состояние механизма сдвига, назовем предельной перерезывающей силой сечения N т . Ее значение определяется из уравнения равновесия внешних и внутренних сил в сечении:

где τ т – касательные напряжения текучести, которые в соответствии с энергетическим условием пластичности равны

Из (2.5.11) получим:

И, наконец, рассмотрим применение метода редуцирования для оценки предельного состояния, характеризуемого пластическим механизмом вращения с учетом влияния сдвига. Для учета влияния перерезывающей силы на предельное состояние сечения при изгибе примем, что перерезывающая сила воспринимается только стенкой . Поэтому пластический момент сопротивления сечения W т = W f + W ω редуцируется путем уменьшения эффективной площади стенки W ω :

Здесь

τ – действующие касательные напряжения в предположении их равномерного распределения по высоте стенки (что, естественно, принимается приближенно ); φ – редукционный коэффициент площади стенки.

Поскольку касательные напряжения при постоянной перерезывающей силе в сечении обратно пропорциональны площади поперечного сечения, можно принять, что

Введем – коэффициент эффективности площади сдвига и учтем, что

где – минимальное значение площади стенки.

Введем также коэффициент

Тогда редуцированный пластический момент сопротивления сечения может быть выражен как

а редуцированный пластический изгибающий момент определяется как

Тестовые расчеты произведем для конкретного сечения (рис. 2.5.1, г ) балки длиной 2 м, загруженной на длине 2с = 0,32 м . Заданная высота сечения позволяет считать балку (по аналогии с пластинами средней толщины) балкой «со средней высотой стенки », т.е. балкой с существеным влиянием на общий прогиб деформации поперечного сдвига. Назовем такую балку укороченной (L /h = 5,85).

Материал балки – сталь с модулем упругости E = 2,06∙10 11 Па и пределом текучести σ т =320МПа. Отстояние нейтральной оси от фибры присоединенного пояска z 0 =9,72 см. Момент инерции поперечного сечения: I = 22681,2 см 4 . Момент сопротивления фибры свободного пояска W с.п = 926,4 см 3 . Момент сопротивления фибры присоединенного пояска W пп = 2334,1 см 3 . Площадь поперечного сечения стенки балки ω с = 44,46 см 2 . Изгибающий момент фибровой текучести (упругой стадии изгибного деформирования) свободного пояска M e = σ т W сп = 296,45. 10 3 Нм.

Оценка влияния сдвиговых деформаций на прогиб для упругой стадии деформирования балки средней высоты сечения. Перед рассмотрением предельного равновесия оценим влияние сдвиговых деформаций. Для рассматриваемого случая коэффициент сечения балки k = 1,592, коэффициент загружения балки K = 0,9422, п ри этом прогиб от сдвига составляет 40% полной стрелки, а прогиб от изгиба – 60% .

Под наибольшей нагрузкой будем понимать нагрузку образования фибровой текучести при изгибном деформировании и нагрузку достижения касательных напряжений текучести при сдвиговом деформировании.

Наибольшая нагрузка упругой стадии изгибного деформирования

Наибольшая нагрузка упругой стадии сдвигового деформирования

Предельное равновесие тестовой балки по изгибному механизму. Предельное состояние сечения, характеризуемое пластическим механизмом вращения , следующее. Полный пластический изгибающий момент определяется, как

M т = σ т W т,

где W т –полный пластический момент сопротивления, W т = W f + W ω = S 1 h + ω c h / 2= (12−1,3)1,6∙34,2+44,46∙34,2/2=1346 см 3 (здесь принято, что пластическая нейтральная ось расположена на пересечении стенки и нижнего фибра пластины); W f = S 1 h – статический момент свободного пояска относительно пластической нейтральной оси (пластический момент сопротивления свободного пояска); W ω = ω c h / 2 – статический момент стенки относительно пластической нейтральной оси (пластический момент сопротивления стенки).

Таким образом, W f =586см 3 , W ω = 760см 3 .

Предельный момент сечения балки:

M т = σ т W т =430∙10 3 H∙м.

Нагрузка, соответствующая образованию предельных изгибающих моментов в опорных сечениях, равна

откуда ее равнодействующая

Нагрузка, соответствующая образованию предельных изгибающих моментов в опорных сечениях и в пролете (предельная нагрузка изгибного механизма):

Предельное равновесие тестовой балки по сдвиговому механизму. Определим предельное состояние сечения, характеризуемое пластическим механизмом сдвига. Пластические деформации возникают в стенке от действия касательных напряжений и предельная перерезывающая сила сечения имеет вид:

Предельное равновесие тестовой балки по изгибному механизму с учетом сдвига. Проведем расчет предельного состояния сечения, характеризуемого пластическим механизмом вращения с учетом механизма сдвига. Для учета влияния перерезывающей силы на предельное состояние сечения при изгибе принимается, что перерезывающая сила воспринимается только стенкой.

Определим коэффициент k ω по (2.5.18):

Установить соотношение между пластическими изгибающими моментами в шарнирах и внешней нагрузкой можно на основании К.Э.Т. Полагаем точкой начала оси x (рис. 2.5.1, б ) среднюю точку пролета, что позволяет определить угол слома – 2w /L , где w – прогиб в центральном сечении. Очевидно, что в центральном сечении предельный момент не редуцируется .

Из равенства работ внешних и внутренних усилий

получаем:

Подстановка в последнее выражение формул для моментов M T (2.5.6) и M Tr (2.5.20) дает:

Если учесть, что , то получаем квадратное уравнение относительно предельной нагрузки Q _ u :

Для рассматриваемого случая Q _ u =1534∙10 3 Ни φ =0,358.

Результаты расчета нагрузки и прогиба для различных стадий деформирования с использованием балочной модели представлены в табл. 2.5.1.

Как видно, самая большая предельная нагрузка изгибного механизма равна 1871кН, затем следует предельная нагрузка сдвигового механизма 1643кН, и, наконец, самая маленькая предельная нагрузка комбинированного механизма изгиба с учетом сдвига 1534кН, которая и должна реализовываться первой .

Полученный результат достаточно хорошо подтверждается прямым численным моделированием процесса потери несущей способности укороченной балки. Методы такого моделирования выходят за рамки настоящего пособия.

Таблица 2.5.1

Влияние вида пластического механизма на предельное НДС

		Прогиб, мм
		суммарный	от изгиба	от сдвига
	1371	2,984	1,79	1,194
	164 3	3,576	2 , 146	1, 43
	1196	2,604	1 , 562	1, 042
	1871	4,074	2 , 445	1 , 629
Предельная нагрузка изгибного механизма с учетом сдвига	1534	3,340	2,004	1,336

Осевой момент сопротивления - отношение момента инерции относительно оси к расстоянию от нее до наиболее удаленной точки сечения. [см 3 , м 3 ]

Особенно важны моменты сопротивления относительно главных центральных осей:

прямоугольник:
; круг:W x =W y =
,

трубчатое сечение (кольцо): W x =W y =
, где = d Н /d B .

Полярный момент сопротивления - отношение полярного момента инерции к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения:
.

Для круга W р =
.

Кручение

Т

акой вид деформации, при котором в поперечных сечениях возникает только одни крутящие моменты - М к. Знак крутящего момента М к удобно определять по направлению внешнего момента. Если при взгляде со стороны сечения внешний момент направлен против час.стр., то М к >0 (встречается и обратное правило). При кручении происходит поворот одного сечения относительно другого на угол закручивания -. При кручении круглого бруса (вала) возникает напряженное состояние чистого сдвига (нормальные напряжения отсутствуют), возникают только касательные напряжения. Принимается, что сечения плоские до закручивания остаются плоскими и после закручивания - закон плоских сечений . Касательные напряжения в точках сечения изменяются пропорционально расстоянию точек от оси. Из закона Гука при сдвиге: =G, G - модуль сдвига,
,
- полярный момент сопротивления круглого сечения. Касательные напряжения в центре равны нулю, чем дальше от центра, тем они больше. Угол закручивания
,GJ p - жесткость сечения при кручении .
-относительный угол закручивания . Потенциальная энергия при кручении:
. Условие прочности:
, [] =, для пластичного материала за  пред принимается предел текучести при сдвиге  т, для хрупкого материала –  в – предел прочности, [n] – коэффициент запаса прочности. Условие жесткости при кручении:  max [] – допустимый угол закручивания.

Кручение бруса прямоугольного сечения

При этом нарушается закон плоских сечений, сечения некруглой формы при кручении искривляются –депланация поперечного сечения.

Эпюры касательных напряжений прямоугольного сечения.

;
,J k и W k - условно называют моментом инерции и моментом сопротивления при кручении. W k = hb 2 ,

J k = hb 3 , Максимальные касательные напряжения  max будут посредине длинной стороны, напряжения по середине короткой стороны: =  max , коэффициенты: ,, приводятся в справочниках в зависимости от отношения h/b (например, при h/b=2, =0,246; =0,229; =0,795.

Изгиб

П
лоский (прямой) изгиб - когда изгибающий момент действует в плоскости, проходящей через одну из главных центральных осей инерции сечения, т.е. все силы лежат в плоскости симметрии балки. Основные гипотезы (допущения): гипотеза о не надавливании продольных волокон: волокна, параллельные оси балки, испытывают деформацию растяжения – сжатия и не оказывают давления друг на друга в поперечном направлении; гипотеза плоских сечений: сечение балки, плоское до деформации, остается плоским и нормальным к искривленной оси балки после деформации. При плоском изгибе в общем случае возникают внутренние силовые факторы : продольная сила N, поперечная сила Q и изгибающий момент М. N>0, если продольная сила растягивающая; при М>0 волокна сверху балки сжимаются, снизу растягиваются. .

С
лой, в котором отсутствуют удлинения, называетсянейтральным слоем (осью, линией). При N=0 и Q=0, имеем случай чистого изгиба. Нормальные напряжения:
, - радиус кривизны нейтрального слоя, y - расстояние от некоторого волокна до нейтрального слоя. Закон Гука при изгибе :
, откуда (формула Навье):
,J x - момент инерции сечения относительно главной центральной оси, перпендикулярной плоскости изгибающего момента, EJ x - жесткость при изгибе, - кривизна нейтрального слоя.

М
аксимальные напряжения при изгибе возникают в точках, наиболее удаленных от нейтрального слоя:
,J x /y max =W x -момент сопротивления сечения при изгибе,
. Если сечение не имеет горизонтальной оси симметрии, то эпюра нормальных напряжений не будет симметричной. Нейтральная ось сечения проходит через центр тяжести сечения. Формулы для определения нормального напряжения для чистого изгиба приближенно годятся и когда Q0. Это случай поперечного изгиба . При поперечном изгибе, кроме изгибающего момента М, действует поперечная сила Q и в сечении возникают не только нормальные , но и касательные  напряжения. Касательные напряжения определяются формулой Журавского:
, гдеS x (y) - статический момент относительно нейтральной оси той части площади, которая расположена ниже или выше слоя, отстоящего на расстоянии "y" от нейтральной оси; J x - момент инерции всего поперечного сечения относительно нейтральной оси, b(y) - ширина сечения в слое, на котором определяются касательные напряжения.

Д
ля прямоугольного сечения:
,F=bh, для круглого сечения:
,F=R 2 , для сечения любой формы
,

k- коэфф., зависящий от формы сечения (прямоугольник: k= 1,5; круг - k= 1,33).

M

max и Q max определяются из эпюр изгибающих моментов и поперечных сил. Для этого балка разрезается на две части и рассматривается одна из них. Действие отброшенной части заменяется внутренними силовыми факторами М и Q, которые определяются из уравнений равновесия. В некоторых вузах момент М>0 откладывается вниз, т.е. эпюра моментов строится на растянутых волокнах. При Q= 0 имеем экстремум эпюры моментов. Дифференциальные зависимости между М, Q и q :

q - интенсивность распределенной нагрузки [кН/м]

Главные напряжения при поперечном изгибе :

.

Расчет на прочность при изгибе : два условия прочности, относящиеся к различным точкам балки: а) по нормальным напряжениям
, (точки наиболее удаленные от С); б) по касательным напряжениям
, (точки на нейтр.оси). Из а) определяют размеры балки:
, которые проверяют по б). В сечениях балок могут быть точки, где одновременно большие нормальные и большие касательные напряжения. Для этих точек находятся эквивалентные напряжения, которые не должны превышать допустимых. Условия прочности проверяются по различным теориям прочности

I-я:
;II-я:(при коэфф.Пуассона=0,3); - применяются редко.

теория Мора: ,
(используется для чугуна, у которого допускаемое напряжение на растяжение [ р ][ с ] – на сжатие).

Mbt = Wpl Rbt,ser - обычная формула сопромата, в которую только внесена поправка на неупругие деформации бетона растянутой зоны: Wpl - упруго-пластический момент сопротивления приведенного сечения. Его можно определить по формулам Норм или из выражения Wpl = gWred , где Wred - упругий момент сопротивления приведенного сечения для крайнего растянутого волокна (в нашем случае - нижнего), g = (1,25...2,0) - зависит от формы сечения и определяется по таблицам справочников. Rbt,ser - расчетное сопротивление бетона растяжению для предельных состояний 2-й группы (численно равное нормативному Rbt, n ).

153. Почему неупругие свойства бетона увеличивают момент сопротивления сечения?

Рассмотрим простейшее прямоугольное бетонное (без арматуры) сечение и обратимся к рис.75,в, на котором показана расчетная эпюра напряжений накануне образования трещин: прямоугольная в растянутой и треугольная в сжатой зоне сечения. По условию статики равнодействующие усилий в сжатой Nb и в растянутойNbt зонах равны между собой, значит равны и соответствующие площади эпюр, а это возможно, если напряжения в крайнем сжатом волокне вдвое больше растягивающих: s b= 2Rbt, ser . Равнодействующие усилий в сжатой и растянутой зонах Nb = = Nbt = Rbt, ser bh / 2, плечо между ними z = h / 4 + h / 3 = 7h / 12. Тогда момент, воспринимаемый сечением, равен M = Nbtz = (Rbt, ser bh/ 2)(7h/ 12)= = Rbt, ser bh 27/ 24 = Rbt, ser (7/4)bh 2/6, или M = Rbt, ser 1,75 W . То есть, для прямоугольного сечения g = 1,75. Таким образом, момент сопротивления сечения возрастает благодаря принятой в расчете прямоугольной эпюре напряжений в растянутой зоне, вызванной неупругими деформациями бетона.

154. Как рассчитывают нормальные сечения по образованию трещин при внецентренном сжатии и растяжении?

Принцип расчета тот же, что и при изгибе. Нужно только помнить, что моменты продольных сил N от внешней нагрузки принимают относительно ядровых точек (рис. 76, б, в):

при внецентренном сжатии Мr = N (eo - r ), при внецентренном растяжении Мr = N (eo + r ). Тогда условие трещиностойкости принимает вид: Mr ≤ Mcrc = Mrp + Mbt - то же, что и при изгибе. (Вариант центрального растяжения рассмотрен в вопросе 50.) Напомним, что отличительной особенностью ядровой точки является то, что приложенная в ней продольная сила вызывает на противоположной грани сечения нулевые напряжения (рис. 78).

155. Может ли трещиностойкость железобетонного изгибаемого элемента быть выше его прочности?

В практике проектирования действительно встречаются случаи, когда по расчету Mcrc > Mu . Чаще всего подобное происходит в преднапряженных конструкциях с центральным армированием (сваях, дорожных бортовых камнях и т.п.), которым арматура требуется только на период перевозки и монтажа и у которых она расположена по оси сечения, т.е. вблизи нейтральной оси. Объясняется это явление следующими причинами.

Рис. 77, Рис. 78

В момент образования трещины растягивающее усилие в бетоне передается арматуре при соблюдении условия: Mcrc= Nbt z1 = Ns z2 (рис. 77) – для простоты рассуждений работа арматуры до образования трещины здесь не учтена. Если окажется, что Ns = Rs As ≤ Nbt z1 / z2 , то одновременно с образованием трещин происходит и разрушение элемента, что подтверждается многочисленными экспериментами. Для некоторых конструкций такая ситуация может оказаться чреватой внезапным обрушением, поэтому Нормы проектирования в этих случаях предписывают увеличить на 15 % площадь сечения арматуры, если она подобрана расчетом по прочности. (Кстати, именно подобные сечения в Нормах именуются «слабо армированными», что вносит некоторую путаницу в давно устоявшуюся научно-техническую терминологию.)

156. В чем особенность расчета нормальных сечений по образованию трещин в стадии обжатия, транспортировки и монтажа?

Все зависит от того, трещиностойкость какой грани проверяют и какие при этом действуют усилия. Например, если при перевозке балки или плиты подкладки находятся на значительном расстоянии от торцов изделия, то в опорных сечениях действует отрицательный изгибающий момент Мw от собственного веса qw (с учетом коэффициента динамичности kД = 1,6 - см. вопрос 82). Сила обжатия Р1 (с учетом первых потерь и коэффициента точности натяжения gsp > 1) создает момент того же знака, поэтому ее рассматривают как внешнюю силу, которая растягивает верхнюю грань (рис.79), и при этом ориентируются на нижнюю ядровую точку r ´. Тогда условие трещиностойкости имеет вид:

Мw + P1 (eop - r ´ )≤ Rbt,ser W ´pl , где W ´pl - упруго-пластический момент сопротивления для верхней грани. Заметим еще, что величина Rbt,ser должна соответствовать передаточной прочности бетона.

157. Влияет ли наличие начальных трещин в зоне, сжатой от внешней нагрузки, на трещиностойкость растянутой зоны?

Влияет, причем отрицательно. Начальные трещины, образовавшиеся в стадии обжатия, перевозки или монтажа под воздействием момента от собственного веса Mw , уменьшают размеры поперечного сечения бетона (заштрихованная часть на рис. 80), т.е. уменьшают площадь, момент инерции и момент сопротивления приведенного сечения. За этим следует увеличение напряжений обжатия бетона sbp , увеличение деформаций ползучести бетона, рост потерь напряжений в арматуре от ползучести, уменьшение силы обжатия Р и снижение трещиностойкости той зоны, которая будет растянута от внешней (эксплуатационной) нагрузки.

Внецентренное растяжение (сжатие) вызывается силой, параллельной оси бруса, но не совпадающей с ней. Внецентренное растяжение (сжатие) может быть сведено к осевому растяжению (сжатию) и косому изгибу, если перенести силу P в центр тяжести сечения. Внутренние силовые факторы в произвольном поперечном сечении бруса равны:

где y p , z p - координаты точки приложения силы. На основании принципа независимости действия сил напряжения в точках поперечного сечения при внецентренном растяжении (сжатии) определяются по формуле: или

Где - радиусы инерции сечения. Выражение в скобках в уравнении показывает во сколько раз напряжения при внецентренном растяжении (сжатии) больше напряжений центрального растяжения.

Определение напряжений и деформаций при ударе

Целью расчета сооружения на удар является определение наибольших деформаций и напряжений, возникающих в результате удара.

В курсе сопротивления материалов предполагается, что напряжения, возникающие в системе при ударе, не превышают пределов упругости и пропорциональности материала, а потому при изучении удара можно использовать закон Гука. F x = F упр = –kx . Это соотношение выражает экспериментально установленный закон Гука. Коэффициент k называется жесткостью тела. В системе СИ жесткость измеряется в ньютонах на метр (Н/м). Коэффициент жесткости зависит от формы и размеров тела, а также от материала. отношение σ = F / S = –Fупр / S , где S – площадь поперечного сечения деформированного тела, называется напряжением. Тогда закон Гука можно сформулировать так: относительная деформация ε пропорциональна напряжению

В основе приближенной теории удара, рассматриваемой в курсе сопротивления материалов, лежит гипотеза о том, что эпюра перемещений системы от груза Р при ударе (в любой момент времени) подобна эпюре перемещений, возникающих от этого же груза, но действующего статически.

Ой типичные кривые ползучести, построенные в экспериментах при одинаковой температуре, но при разных напряжениях; вторая – при одинаковых напряжениях, но различных температурах.

Пластический момент сопротивления

- пластический момент сопротивления, равный сумме статических моментов верхней и нижней частей сечения и имеющий для разных сечений различные значения. несколько больше обычного момента сопротивления ; так, для прямоугольного сечения = 1,5 для прокатных двутавров и швеллеров

Практические расчёты на ползучесть

Суть расчета конструкции на ползучесть заключается в том, что деформация деталей не будет превышать допустимого уровня, при котором нарушится конструктивная функция, т.е. взаимодействие узлов, за весь срок эксплуатации конструкции. При этом должно выполняться условие

разрешив которое, получаем уровень рабочих напряжений.

Подбор сечения стержней

При решении задач на подбор сечений в стержнях в большинстве случаев используется следующий план: 1) Через продольные силы в стержнях определяем расчётную нагрузку. 2) Далее через условие прочности осуществляем подбор сечений согласно ГОСТ. 3) Затем определяем абсолютные и относительные деформации.

При малых усилиях в сжатых стержнях подбор сечения производится по заданной предельной гибкости λ пр. Сначала определяется требуемый радиус инерции: а по радиусу инерции подбираются соответствующие уголки. Для облегчения определения необходимых габаритов сечения, позволяющих наметить необходимые размеры уголков, в таблице “Приблеженные значения радиусов” инерций сечений элементов из уголков приведены приближенные значения радиусов инерции для различных сечений элементов из уголков.

Ползучесть материалов

Ползучесть материалов - медленная непрерывная пластическая деформация твёрдого тела под воздействием постоянной нагрузки или механического напряжения. Ползучести в той или иной мере подвержены все твёрдые тел, как кристаллические, так и аморфные. Ползучесть наблюдают при растяжении, сжатии, кручении и других видах нагружения. Ползучесть описывается так называемой кривой ползучести, которая представляет собой зависимость деформации от времени при постоянных температуре и приложенной нагрузке. Полная деформация в каждую единицу времени представляет собой сумму деформаций

ε = ε е + ε р + ε с,

где ε е - упругая составляющая; ε р - пластическая составляющая, возникающая при возрастании нагрузки от 0 до Р; ε с - деформация ползучести, возникающая с течением времени при σ = const.

Проверка прочности по предельным состояниям.

– максимальный изгибающий момент от расчетных нагрузок.

Р р =Р н ×n

n – коэффициент перегрузки.

– коэффициент условия работы.

Если материал работает неодинаково на растяжение и сжатие, то прочность проверяется по формулам:

где R p и R сж – расчетное сопротивление на растяжение и сжатие

Расчет по несущей способности и учетом пластической деформации.

В предыдущих методах расчета прочность проверяется по максимальны напряжениям в верхних и нижних волокнах балки. При этом средние волокна оказываются недогруженными.

Оказывается, если нагрузку увеличивать дальше, то в крайних волокнах напряжение дойдет до предела текучести σ т (в пластичных материалах), и до предела прочности σ n ч (в хрупких материалах). При дальнейшем увеличении нагрузки хрупкие материалы разрушатся, а в пластичных материалах напряжения в крайних волокнах далее не возрастают, а растут во внутренних волокнах. (см. рис.)

Несущая способность балки исчерпывается, когда по всему сечению напряжения достигнут σ т.

Для прямоугольного сечения:

Примечание: для прокатных профилей (швеллер и двутавр) пластический момент Wnл=(1.1÷1,17)×W

Касательные напряжения при изгибе балки прямоугольного сечения. Формула Журавcкого.

Так как момент в сечении 2 больше момента в сечении 1, то напряжение σ 2 >σ 1 =>N 2 >N 1.

В этом случае элемент abcd должен переместиться влево. Этому перемещению препятствуют касательные напряжения τ на площадке cd.

- уравнение равновесия, после преобразования которого получается формула для определения τ: - Формула Журавского

Распределение касательных напряжений в балках прямоугольного, круглого и двутаврового сечений.

1. Прямоугольное сечение :

2.Круглое сечение .

3. Двутавровое сечение .

Главные напряжения при изгибе. Проверка прочности балок.

[σ сж ]

Примечание: при расчете по предельным состояниям вместо [σ сж ] и [σ р ] в формулы ставятся R c ж и R p – расчетные сопротивления материала при сжатии и растяжении.

Если же балка короткая, то проверяют точку Б:

где R срез – расчетное сопротивление материала на срез.

В точке D на элемент действует нормальные и касательные напряжения, поэтому в некоторых случаях их совместное действие вызывает опасность для прочности. В этом случае элемент D проверяют на прочность используя главные напряжения.

В нашем случае: , следовательно:

Используя σ 1 и σ 2 по теории прочности проверяют элемент D.

По теории наибольших касательных напряжений имеем: σ 1 - σ 2 ≤R

Примечание: точку D следует брать по длине балки там, где одновременно действуют большие M и Q.

По высоте балки выбираем такое место, где одновременно действуют значения σ и τ.

Из эпюр видно:

1. В балках прямоугольного и круглого сечения отсутствуют точки, в которых одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому в таких балках проверка точки D не делается.

2. В балках двутаврового сечения на границе пересечения полки со стенкой (т. А) одновременно действуют большие σ и τ. Поэтому они проверяются на прочность в этой точке.

Примечание:

a) В прокатных двутаврах и швеллерах в зоне пересечения полки со стенкой сделаны плавные переходы (закругления). Стенка и полка подобраны так, что точка A оказывается в благоприятных условиях работы и проверка прочности не требуется.

b) В составных (сварных) двутавровых балках проверка точки А необходима.