Расчет сторон усеченной пирамиды. Площадь боковой поверхности усеченной пирамиды

• 09.10.2014

  Показанный на рисунке предварительный усилитель предназначен для использования с 4-я видами источников звука, например микрофон, CD-проигрыватель, магнитола и др. При этом у предварительно усилителя один вход, который может менять чувствительность от 50 мВ до 500мВ. выходное напряжение усилителя 1000мВ. Подключая разные источники сигнала при переключении переключателя SA1, мы всегда получим …

• 20.09.2014

  БП рассчитан на нагрузку мощностью 15…20 Вт. Источник выполнен по схеме однотактного импульсного высокочастотного преобразователя. На транзисторе собран автогенератор, работающий на частоте 20…40кГц. Частота настраивается емкостью С5. Элементы VD5,VD6 и С6 образуют цепь запуска автогенератора. Во вторичной цепи после мостового выпрямителя стоит обычный линейный стабилизатор на микросхеме, что позволяет иметь …

• 28.09.2014

  На рисунке представлен генератор на микросхеме К174ХА11, частота которого управляется напряжением. При изменении емкости С1 от 560 до 4700пФ можно получить широкий диапазон частот, при этом настройка частоты производится изменением сопротивления R4. Так например автор выяснил что, при С1=560пФ частоту генератора можно изменять при помощи R4 от 600Гц до 200кГц, …

• 03.10.2014

  Блок предназначен для питания мощного УНЧ, он рассчитан на выходное напряжение ±27В и так нагрузки до 3А на каждое плече. БП двух полярный, выполнен на комплектарных составных транзисторах КТ825-КТ827. Оба плеча стабилизатора выполнены по одной схеме, но в другом плече (он не показан) изменена полярность конденсаторов и использованы транзисторы другой …

Пирамида. Усеченная пирамида

Пирамидой называется многогранник, одна из граней которого многоугольник (основание ), а все остальные грани – треугольники с общей вершиной (боковые грани ) (рис. 15). Пирамида называется правильной , если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания (рис. 16). Треугольная пирамида, у которой все ребра равны, называется тетраэдром .

Боковым ребром пирамиды называется сторона боковой грани, не принадлежащая основанию Высотой пирамиды называется расстояние от ее вершины до плоскости основания. Все боковые ребра правильной пирамиды равны между собой, все боковые грани – равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины, называется апофемой . Диагональным сечением называется сечение пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей всех боковых граней. Площадью полной поверхности называется сумма площадей всех боковых граней и основания.

Теоремы

1. Если в пирамиде все боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

2. Если в пирамиде все боковые ребра имеют равные длины, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности описанной около основания.

3. Если в пирамиде все грани равнонаклонены к плоскости основания, то вершина пирамиды проектируется в центр окружности вписанной в основание.

Для вычисления объема произвольной пирамиды верна формула:

где V – объем;

S осн – площадь основания;

H – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды верны формулы:

где p – периметр основания;

h а – апофема;

H – высота;

S полн

S бок

S осн – площадь основания;

V – объем правильной пирамиды.

Усеченной пирамидой называется часть пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды (рис. 17). Правильной усеченной пирамидой называется часть правильной пирамиды, заключенная между основанием и секущей плоскостью, параллельной основанию пирамиды.

Основания усеченной пирамиды – подобные многоугольники. Боковые грани – трапеции. Высотой усеченной пирамиды называется расстояние между ее основаниями. Диагональю усеченной пирамиды называется отрезок, соединяющий ее вершины, не лежащие в одной грани. Диагональным сечением называется сечение усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

Для усеченной пирамиды справедливы формулы:

(4)

где S 1 , S 2 – площади верхнего и нижнего оснований;

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности;

H – высота;

V – объем усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды верна формула:

где p 1 , p 2 – периметры оснований;

h а – апофема правильной усеченной пирамиды.

Пример 1. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен 60º. Найти тангенс угла наклона бокового ребра к плоскости основания.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 18).

Пирамида правильная, значит в основании равносторонний треугольник и все боковые грани равные равнобедренные треугольники. Двугранный угол при основании – это угол наклона боковой грани пирамиды к плоскости основания. Линейным углом будет угол a между двумя перпендикулярами: и т.е. Вершина пирамиды проектируется в центре треугольника (центр описанной окружности и вписанной окружности в треугольник АВС ). Угол наклона бокового ребра (например SB ) – это угол между самим ребром и его проекцией на плоскость основания. Для ребра SB этим углом будет угол SBD . Чтобы найти тангенс необходимо знать катеты SO и OB . Пусть длина отрезка BD равна 3а . Точкой О отрезок BD делится на части: и Из находим SO : Из находим:

Ответ:

Пример 2. Найти объем правильной усеченной четырехугольной пирамиды, если диагонали ее оснований равны см и см, а высота 4 см.

Решение. Для нахождения объема усеченной пирамиды воспользуемся формулой (4). Чтобы найти площади оснований необходимо найти стороны квадратов-оснований, зная их диагонали. Стороны оснований равны соответственно 2 см и 8 см. Значит площади оснований и Подставив все данные в формулу, вычислим объем усеченной пирамиды:

Ответ: 112 см 3 .

Пример 3. Найти площадь боковой грани правильной треугольной усеченной пирамиды, стороны оснований которой равны 10 см и 4 см, а высота пирамиды 2 см.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 19).

Боковая грань данной пирамиды является равнобокая трапеция. Для вычисления площади трапеции необходимо знать основания и высоту. Основания даны по условию, остается неизвестной только высота. Ее найдем из где А 1 Е перпендикуляр из точки А 1 на плоскость нижнего основания, A 1 D – перпендикуляр из А 1 на АС . А 1 Е = 2 см, так как это высота пирамиды. Для нахождения DE сделаем дополнительно рисунок, на котором изобразим вид сверху (рис. 20). Точка О – проекция центров верхнего и нижнего оснований. так как (см. рис. 20) и С другой стороны ОК – радиус вписанной в окружности и ОМ – радиус вписанной в окружности:

MK = DE .

По теореме Пифагора из

Площадь боковой грани:

Ответ:

Пример 4. В основании пирамиды лежит равнобокая трапеция, основания которой а и b (a > b ). Каждая боковая грань образует с плоскостью основания пирамиды угол равный j . Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение. Сделаем рисунок (рис. 21). Площадь полной поверхности пирамиды SABCD равна сумме площадей и площади трапеции ABCD .

Воспользуемся утверждением, что если все грани пирамиды равнонаклонены к плоскости основания, то вершина проектируется в центр вписанной в основание окружности. Точка О – проекция вершины S на основание пирамиды. Треугольник SOD является ортогональной проекцией треугольника CSD на плоскость основания. По теореме о площади ортогональной проекции плоской фигуры получим:

Аналогично и значит Таким образом задача свелась к нахождению площади трапеции АВСD . Изобразим трапецию ABCD отдельно (рис.22). Точка О – центр вписанной в трапецию окружности.

Так как в трапецию можно вписать окружность, то или Из по теореме Пифагора имеем

Многогранник, у которого одна из граней – многоугольник, а все остальные грани – треугольники с общей вершиной, называется пирамидой.

Эти треугольники, из которых составлена пирамида, называют боковыми гранями , а оставшийся многоугольник – основанием пирамиды.

В основании пирамиды лежит геометрическая фигура – n-угольник. В таком случае пирамиду называют еще n-угольной .

Треугольную пирамиду, все ребра которой равны, называют тетраэдром.

Ребра пирамиды, которые не принадлежат основанию, называются боковыми , а их общая точка – это вершина пирамиды. Другие ребра пирамиды обычно называют сторонами основания .

Пирамиду называют правильной , если у нее в основании лежит правильный многоугольник, а все боковые ребра равны между собой.

Расстояние от вершины пирамиды до плоскости основания называется высотой пирамиды. Можно сказать, что высота пирамиды есть отрезок, перпендикулярный основанию, концы которого находятся в вершине пирамиды и на плоскости основания.

Для любой пирамиды имеют место следующие формулы:

1) S полн = S бок + S осн , где

S полн – площадь полной поверхности пирамиды;

S бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней пирамиды;

S осн – площадь основания пирамиды.

2) V = 1/3 S осн · Н , где

V – объем пирамиды;

Н – высота пирамиды.

Для правильной пирамиды имеет место:

S бок = 1/2 P осн h , где

P осн – периметр основания пирамиды;

h – длина апофемы, то есть длина высоты боковой грани, опущенной из вершины пирамиды.

Часть пирамиды, заключенная между двумя плоскостями – плоскостью основания и секущей плоскостью, проведенной параллельно основанию, называют усеченной пирамидой .

Основание пирамиды и сечение пирамиды параллельной плоскостью называются основаниями усеченной пирамиды. Остальные грани называют боковыми . Расстояние между плоскостями оснований называют высотой усеченной пирамиды. Ребра, которые не принадлежат основаниям, называются боковыми .

Кроме того, основания усеченной пирамиды подобные n-угольники . Если основания усеченной пирамиды – правильные многоугольники, а все боковые ребра равны между собой, то такая усеченная пирамида называется правильной .

Для произвольной усеченной пирамиды имеют место следующие формулы:

1) S полн = S бок + S 1 + S 2 , где

S полн – площадь полной поверхности;

S бок – площадь боковой поверхности, т.е. сумма площадей всех боковых граней усеченной пирамиды, которые представляют собой трапеции;

S 1 , S 2 – площади оснований;

2) V = 1/3(S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2))H , где

V – объем усеченной пирамиды;

H – высота усеченной пирамиды.

Для правильной усеченной пирамиды также имеем:

S бок = 1/2(P 1 + P 2) · h, где

P 1 , P 2 – периметры оснований;

h – апофема (высота боковой грани, представляющей собой трапецию).

Рассмотрим несколько задач на усеченную пирамиду.

Задача 1.

В треугольной усеченной пирамиде с высотой, равной 10, стороны одного из оснований равны 27, 29 и 52. Определите объем усеченной пирамиды, если периметр другого основания равен 72.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСА 1 В 1 С 1 , изображенную на рисунке1.

1. Объем усеченной пирамиды может быть найден по формуле

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), где S 1 – площадь одного из оснований, можно найти по формуле Герона

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

т.к. в задаче даны длины трех сторон треугольника.

Имеем: p 1 = (27 + 29 + 52)/2 = 54.

S 1 = √(54(54 – 27)(54 – 29)(54 – 52)) = √(54 · 27 · 25 · 2) = 270.

2. Пирамида усеченная, а значит, в основаниях лежат подобные многоугольники. В нашем случае треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1 . Кроме того, коэффициент подобия можно найти как отношение периметров рассматриваемых треугольников, а отношение их площадей будет равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, имеем:

S 1 /S 2 = (P 1) 2 /(P 2) 2 = 108 2 /72 2 = 9/4. Отсюда S 2 = 4S 1 /9 = 4 · 270/9 = 120.

Итак, V = 1/3 · 10(270 + 120 + √(270 · 120)) = 1900.

Ответ: 1900.

Задача 2.

В треугольной усеченной пирамиде через сторону верхнего основания проведена плоскость параллельно противоположному боковому ребру. В каком отношении разделился объем усеченной пирамиды, если соответственные стороны оснований относятся как 1: 2?

Решение.

Рассмотрим АВСА 1 В 1 С 1 – усеченную пирамиду, изображенную на рис. 2.

Так как в основаниях стороны относятся как 1: 2, то площади оснований относятся как 1: 4 (треугольник АВС подобен треугольнику А 1 В 1 С 1).

Тогда объем усеченной пирамиды равен:

V = 1/3h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2 , где S 2 – площадь верхнего основания, h – высота.

Но объем призмы АDEA 1 B 1 C 1 составляет V 1 = S 2 · h и, значит,

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2 .

Итак, V 2: V 1 = 3: 4.

Ответ: 3: 4.

Задача 3.

Стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 2 и 1, а высота равна 3. Через точку пересечения диагоналей пирамиды параллельно основаниям пирамиды проведена плоскость, делящая пирамиду на две части. Найти объем каждой из них.

Решение.

Рассмотрим усеченную пирамиду АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 , изображенную на рис. 3.

Обозначим О 1 О 2 = х, тогда ОО₂ = О 1 О – О 1 О 2 = 3 – х.

Рассмотрим треугольник В 1 О 2 D 1 и треугольник ВО 2 D:

угол В 1 О 2 D 1 равен углу ВО 2 D как вертикальные;

угол ВDO 2 равен углу D 1 B 1 O 2 и угол O 2 ВD равен углу B 1 D 1 O 2 как накрест лежащие при B 1 D 1 || BD и секущих B₁D и BD₁ соответственно.

Следовательно, треугольник В 1 О 2 D 1 подобен треугольнику ВО 2 D и имеет место отношение сторон:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 или 1/2 = х/(х – 3), откуда х = 1.

Рассмотрим треугольник В 1 D 1 В и треугольник LО 2 B: угол В – общий, а так же имеется пара односторонних углов при B 1 D 1 || LM, значит, треугольник В 1 D 1 В подобен треугольнику LО 2 B, откуда В 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, т.е.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Тогда S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Итак, V 1 = 1/3 · 2(4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Ответ: 152/27; 37/27.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.