Постройте график кусочно заданной функции. Кусочные функции
Графики кусочно – заданных функций
Мурзалиева Т.А. учитель математики МБОУ «Борская средняя общеобразовательная школа» Бокситогорский район Ленинградская область
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img1.jpg)
Цель:
- освоить метод линейного сплайна для построения графиков, содержащих модуль;
- научиться применять его в простых ситуациях.
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img2.jpg)
Под сплайном (от англ. spline - планка, рейка) обычно понимают кусочно-заданную функцию.
Такие функции были известны математикам давно, начиная еще с Эйлера (1707-1783г.,швейцарский, немецкий и российский математик), но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века.
В 1946 году Исаак Шёнберг (1903- 1990г., румынский и американский математик) впервые употребил этот термин. С 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании.
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img3.jpg)
1 . Введение
2. Определение линейного сплайна
3. Определение модуля
4. Построение графиков
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img4.jpg)
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img5.jpg)
Одно из основных назначений функций – описание реальных процессов, происходящих в природе.
Но издавна ученые – философы и естествоиспытатели выделяли два типа протекания процессов: постепенное ( непрерывное ) и скачкообразное.
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img6.jpg)
При падении тела на землю сначала происходит непрерывное нарастание скорости движения , а в момент столкновения с поверхностью земли скорость изменяется скачкообразно , становясь равной нулю или меняя направление (знак) при «отскоке» тела от земли (например, если тело – мяч).
Но раз есть разрывные процессы, то необходимы средства их описаний. С этой целью вводятся в действие функции, имеющие разрывы .
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img7.jpg)
- Один из способов введения таких разрывов следующий:
Пусть функция y = f(x)
при x определена формулой y = g(x),
а при xa - формулой y = h(x), причем будем считать , что каждая из функций g(x) и h(x) определена для всех значений х и разрывов не имеет.
Тогда , если g(a) = h(a), то функция f(x) имеет при х=а скачок;
если же g(a) = h(a) = f(a), то «комбинированная» функция f разрывов не имеет. Если обе функции g и h элементарные, то f называется кусочно–элементарной.
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img8.jpg)
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img9.jpg)
Графики непрерывных функций
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img10.jpg)
Построить график функции:
У = |X-1| + 1
Х=1 –точка смены формул
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img11.jpg)
Слово «модуль» произошло от латинского слова «modulus», что в переводе означает «мера».
Модулем числа а называется расстояние (в единичных отрезках ) от начала координат до точки А (а) .
Это определение раскрывает геометрический смысл модуля.
Модулем (абсолютной величиной ) действительного числа а называется то самое число а ≥ 0, и противоположное число –а , если а
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img12.jpg)
Построить график функции у = 3|х|-2.
По определению модуля, имеем: 3х – 2 при х0 или х=0
-3х -2 при х
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img13.jpg)
. Пусть заданы х 1 х 2 х n – точки смены формул в кусочно-элементарных функциях.
Функция f, определенная при всех х, называется кусочно-линейной, если она линейна на каждом интервале
и к тому же выполнены условия согласования, то есть в точках смены формул функция не терпит разрыв.
Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном . Её график есть ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (отвечающим значениям x n ) и правым ( отвечающим значениям x x n )
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img14.jpg)
Кусочно-элементарная функция может быть определена более чем двумя формулами
График – ломаная с двумя бесконечными крайними звеньями – левым (х1).
У=|x| - |x – 1|
Точки смены формул: х=0 и х=1.
У(0)=-1, у(1)=1.
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img15.jpg)
График кусочно-линейной функции удобно строить, указывая на координатной плоскости вершины ломаной.
Кроме построения n вершин следует построить также две точки : одну левее вершины A 1 ( x 1; y ( x 1)), другую – правее вершины An ( xn ; y ( xn )).
Заметим, что разрывную кусочно-линейную функцию нельзя представить в виде линейной комбинации модулей двучленов .
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img16.jpg)
Построить график функции у = х+ |x -2| - |X|.
Непрерывная кусочно-линейная функция называется линейным сплайном
1.Точки смены формул: Х-2=0, Х=2 ; Х=0
2.Составим таблицу:
У(0 )= 0+|0-2|-|0|=0+2-0= 2 ;
у(2 )=2+|2-2|-|2|=2+0-2= 0 ;
у (-1 )= -1+|-1-2| - |-1|= -1+3-1= 1 ;
у(3 )=3+|3-2| - |3|=3+1-3= 1 .
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img17.jpg)
Построить график функции у = |х+1| +|х| – |х -2|.
1 .Точки смены формул:
х+1=0, х=-1 ;
х=0 ; х-2=0, х=2.
2 . Составим таблицу:
y(-2)=|-2+1|+|-2|-|-2-2|=1+2-4=-1;
y(-1)=|-1+1|+|-1|-|-1-2|=0+1-3=-2;
y(0)=1+0-2=-1;
y(2)=|2+1|+|2|-|2-2|=3+2-0=5;
y(3)=|3+1|+|3|-|3-2|=4+3-1=6.
![](https://i2.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img18.jpg)
|x – 1| = |x + 3|
Решите уравнение:
Решение. Рассмотрим функцию y = |x -1| - |x +3|
Построим график функции /методом линейного сплайна/
- Точки смены формул:
х -1 = 0, х = 1; х + 3 =0, х = - 3.
2. Составим таблицу:
y(- 4) =|- 4–1| - |- 4+3| =|- 5| - | -1| = 5-1=4;
y( -3 )=|- 3-1| - |-3+3|=|-4| = 4;
y( 1 )=|1-1| - |1+3| = - 4 ;
y(-1) = 0.
y(2)=|2-1| - |2+3|=1 – 5 = - 4.
Ответ: -1.
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img19.jpg)
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img20.jpg)
1. Построить графики кусочно-линейных функций методом линейного сплайна:
у = |x – 3| + |x|;
1). Точки смены формул:
2). Составим таблицу:
![](https://i0.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img21.jpg)
2. Построить графики функций, используя УМК «Живая математика »
А) у = |2x – 4| + |x +1|
1) Точки смены формул:
2) y() =
Б) Постройте графики функций, установите закономерность :
a) у = |х – 4| б) y = |x| +1
y = |x + 3| y = |x| - 3
y = |x – 3| y = |x| - 5
y = |x + 4| y = |x| + 4
Используйте инструменты «Точка», «Отрезок», «Стрелка» на панели инструментов.
1. Меню «Графики».
2. Вкладка «Построить график».
.3. В окне «Калькулятор» задать формулу.
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img22.jpg)
Постройте график функции:
1) У = 2х + 4
![](https://i1.wp.com/arhivurokov.ru/multiurok/0/1/1/011541a01464104811f54a447be2dd5a5145b599/img23.jpg)
1. Козина М.Е. Математика. 8-9 классы: сборник элективных курсов. – Волгоград: Учитель, 2006.
2. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 7 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011
3. Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова. Алгебра: учеб. Для 8 кл. общеобразоват. учреждений/ под ред. С. А. Теляковского. – 17-е изд. – М. : Просвещение, 2011
4. ВикипедиЯ свободная энциклопедия
http://ru.wikipedia.org/wiki/Spline
Аналитическое задание функции
Функция %%y = f(x), x \in X%% задана явным аналитическим способом , если дана формула, указывающая последовательность математических действий, которые надо выполнить с аргументом %%x%%, чтобы получить значение %%f(x)%% этой функции.
Пример
- %% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb{R}%%;
- %% y = \frac{1}{x - 5}, x \neq 5%%;
- %% y = \sqrt{x}, x \geq 0%%.
Так, например, в физике при равноускоренном прямолинейном движении скорость тела определяется формулой %%v = v_0 + a t%%, а формула для перемещения %%s%% тела при равномерно ускоренном движении на промежутке времени от %%0%% до %%t%% записывается в виде: %% s = s_0 + v_0 t + \frac{a t^2}{2} %%.
Кусочно-заданные функции
Иногда рассматриваемая функция может быть задана несколькими формулами, действующими на различных участках области ее определения, в которой изменяется аргумент функции. Например: $$ y = \begin{cases} x ^ 2,~ если~x < 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$
Функции такого вида иногда называют составными или кусочно-заданными . Примером такой функции является %%y = |x|%%
Область определения функции
Если функция задана явным аналитическим способом с помощью формулы, но область определения функции в виде множества %%D%% не указана, то под %%D%% будем всегда подразумевать множество значений аргумента %%x%%, при которых данная формула имеет смысл. Так для функции %%y = x^2%% областью определения служит множество %%D = \mathbb{R} = (-\infty, +\infty)%%, поскольку аргумент %%x%% может принимать любые значения на числовой прямой . А для функции %%y = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}%% областью определения будет множество значений %%x%% удовлетворяющих неравенству %%1 - x^2 > 0%%, т.е. %%D = (-1, 1)%%.
Преимущества явного аналитического задания функции
Отметим, что явный аналитический способ задания функции достаточно компактен (формула, как правило, занимает немного места), легко воспроизводим (формулу нетрудно записать) и наиболее приспособлен к выполнению над функциями математических действий и преобразований.
Некоторые из этих действий - алгебраические (сложение, умножение и др.) - хорошо известны из школьного курса математики, другие (дифференцирование, интегрирование) будем изучать в дальнейшем. Однако этот способ не всегда нагляден, так как не всегда четок характер зависимости функции от аргумента, а для нахождения значений функции (если они необходимы) требуются иногда громоздкие вычисления.
Неявное задание функции
Функция %%y = f(x)%% задана неявным аналитическим способом , если дано соотношение $$F(x,y) = 0, ~~~~~~~~~~(1)$$ связывающее значения функции %%y%% и аргумента %%x%%. Если задавать значения аргумента, то для нахождения значения %%y%%, соответствующего конкретному значению %%x%%, необходимо решить уравнение %%(1)%% относительно %%y%% при этом конкретном значении %%x%%.
При заданном значении %%x%% уравнение %%(1)%% может не иметь решения или иметь более одного решения. В первом случае заданное значение %%x%% не принадлежит области определения неявно заданной функции, а во втором случае задает многозначную функцию , имеющую при данном значении аргумента более одного значения.
Отметим, что если уравнение %%(1)%% удается явно разрешить относительно %%y = f(x)%%, то получаем ту же функцию, но уже заданную явным аналитическим способом. Так, уравнение %%x + y^5 - 1 = 0%%
и равенство %%y = \sqrt{1 - x}%% определяют одну и ту же функцию.
Параметрическое задание функции
Когда зависимость %%y%% от %%x%% не задана непосредственно, а вместо этого даны зависимости обоих переменных %%x%% и %%y%% от некоторой третьей вспомогательной переменной %%t%% в виде
$$ \begin{cases} x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end{cases} ~~~t \in T \subseteq \mathbb{R}, ~~~~~~~~~~(2) $$то говорят о параметрическом способе задания функции;
тогда вспомогательную переменную %%t%% называют параметром.
Если из уравнений %%(2)%% удается исключить параметр %%t%%, то приходят к функции, заданной явной или неявной аналитической зависимостью %%y%% от %%x%%. Например, из соотношений $$ \begin{cases} x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end{cases}, ~~~t \in \mathbb{R}, $$ исключением параметра %%t%% получим зависимость %%y = 2 x + 2%%, которая задает в плоскости %%xOy%% прямую.
Графический способ
Пример графического задания функции
Приведенные выше примеры показывают, что аналитическому способу задания функции соответствует ее графическое изображение , которое можно рассматривать как удобную и наглядную форму описания функции. Иногда используют графический способ задания функции, когда зависимость %%y%% от %%x%% задают линией на плоскости %%xOy%%. Однако при всей наглядности он проигрывает в точности, поскольку значения аргумента и соответствующие им значения функции можно получить из графика лишь приближенно. Возникающая при этом погрешность зависит от масштаба и точности измерения абсциссы и ординаты отдельных точек графика. В дальнейшем графику функции отведем роль только иллюстрации поведения функции и поэтому будем ограничиваться построением «эскизов» графиков, отражающих основные особенности функций.
Табличный способ
Отметим табличный способ задания функции, когда некоторые значения аргумента и соответствующие им значения функции в определенном порядке размещаются в таблице. Так построены известные таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.п. В виде таблицы обычно представляют зависимость между величинами, измеряемыми при экспериментальных исследованиях, наблюдениях, испытаниях.
Недостаток этого способа состоит в невозможности непосредственного определения значений функции для значений аргумента, не входящих в таблицу. Если есть уверенность, что непредставленные в таблице значения аргумента принадлежат области определения рассматриваемой функции, то соответствующие им значения функции могут быть вычислены приближенно при помощи интерполяции и экстраполяции.
Пример
x | 3 | 5.1 | 10 | 12.5 |
y | 9 | 23 | 80 | 110 |
Алгоритмический и словесный способы задания функций
Функцию можно задать алгоритмическим (или программным ) способом, который широко используют при вычислениях на ЭВМ.
Наконец, можно отметить описательный (или словесный ) способ задания функции, когда правило соответствия значений функции значениям аргумента выражено словами.
Например, функцию %%[x] = m~\forall {x \in , постоянна (-∞; -5];
4. ограниченность – ограничена снизу
5.
наибольшее и наименьшее значение функции – у наим = 0, у наиб – не существует;
6. непрерывность- непрерывна на всей области определения;
7. область значений – , выпукла и вниз и вверх (-∞; -5] и [-2; +∞).
VI. Воспроизведение знаний на новом уровне.
Вы знаете, что построение и исследование графиков кусочно-заданных функций, рассматриваются во второй части экзамена по алгебре в разделе функции и оцениваются 4-мя и 6-ю баллами. Обратимся к сборнику заданий.Страница 119 - №4.19-1).Решение:
1).у = -
x, - квадратичная функция, график – парабола, ветви вниз (а = -1, а
0). х -2 -1 0 1 2
у -4 -1 0 1 4
2) у= 3х – 10, - линейная функция, график – прямая
Составим таблицу некоторых значений
х 3 3
у 0 -1
3) у= -3х -10, - линейная функция, график – прямая
Составим таблицу некоторых значений
х -3 -3
у 0 -1
4)Построим графики функций в одной системе координат и выделим части графиков на заданных промежутках.
Найдем по графику, при каких значениях х значения функции неотрицательны.
Ответ:
f(x)
0 при х = 0 и при
3VII.Работа над нестандартными заданиями.
№4.29-1), стр. 121.
Решение:
1)Прямая (слева) у =
kx + b проходит через точки (-4;0) и (-2;2). Значит,-4
k + b = 0,-2
k + b = 2;
k = 1, b = 4, у = х+4.Ответ: х +4, если х
-2
у = , если -2
х £
3
3, если х
3
VIII.Контроль знаний.
Итак, подведём небольшой итог. Что мы повторили на уроке?План исследования функций, шаги построения графика кусочной функции, задание функции аналитически. Проверим как вы усвоили данный материал.Тестирование на «4»- «5», «3»
I вариант№ У
2
1
-1 -1 1 Х
- D(f) = , выпуклая и вверх и вниз на , выпуклая вверх и вниз на , убывает на ________ Ограничена ____________ у наим не существует, у наиб =_____ Непрерывна на всей области определения Е(f) = ____________ Выпукла и вниз и вверх на всей области определения
Непрерывность и построение графиков кусочно-заданных функций – сложная тема. Учиться строить графики лучше непосредственно на практическом занятии. Здесь в основном показано исследование на непрерывность.
Известно, что элементарная функция (см. с. 16) непрерывна во всех точках, в которых определена. Поэтому нарушение непрерывности у элементарных функций возможно только в точках двух типов:
а) в точках, где функция «переопределяется»;
б) в точках, где функция не существует.
Соответственно только такие точки и проверяются при исследовании на непрерывность, что показано в примерах.
Для неэлементарных функций исследование сложнее. Например, функция (целая часть числа) определена на всей числовой оси, но терпит разрыв при каждом целомx . Подобные вопросы выходят за рамки пособия.
Перед изучением материала следует повторить по лекции или учебнику, какими (какого рода) бывают точки разрыва.
Исследование кусочно-заданных функций на непрерывность
Функция задана кусочно , если она на разных участках области определения задаётся разными формулами.
Основная идея при исследовании таких функций – выяснить, задана ли функция в тех точках, в которых переопределяется, и как. Затем проверяется, совпадают ли значения функции слева и справа от таких точек.
Пример 1.
Покажем, что функция
непрерывна.
Функция
элементарна и потому непрерывна в тех
точках, в которых определена. Но, очевидно,
она определена во всех точках.
Следовательно, во всех точках она и
непрерывна, в том числе при
,
как требует условие.
То же справедливо
для функции
,
и при
она непрерывна.
В таких случаях
непрерывность может нарушаться только
там, где функция переопределяется. В
нашем примере это точка
.
Проверим её, для чего найдём пределы
слева и справа:
Пределы слева и справа совпадают. Остаётся узнать:
а) определена ли
функция в самой точке
;
б) если да, то
совпадает ли
со значениями пределов слева и справа.
По условию, если
,
то
.
Поэтому
.
Видим, что
(все равны числу 2). Это означает, что в
точкефункция
непрерывна
.
Итак, функция непрерывна на всей оси,
включая точку
.
Замечания к решению
а) При вычислениях
не играло роли, подставляем
мы в конкретную формулу число
или
.
Обычно это важно, когда получается
деление на бесконечно малую величину,
поскольку влияет на знак бесконечности.
Здесь же
и
отвечают только завыбор
функции;
б) как правило,
обозначения
и
равноправны, то же касается обозначений
и
(и справедливо для любой точки, а не
только для
).
Дальше для краткости применяются
обозначения вида
;
в) когда пределы слева и справа равны, для проверки на непрерывность фактически остаётся посмотреть, будет ли одно из неравенств нестрогим . В примере таковым оказалось 2-е неравенство.
Пример 2.
Исследуем на непрерывность функцию
.
По тем же причинам,
что в примере 1, непрерывность может
нарушаться только в точке
.
Проверим:
Пределы слева и
справа равны, но в самой точке
функция не определена (неравенства
строгие). Это означает, что
– точкаустранимого
разрыва
.
«Устранимый
разрыв» означает, что достаточно или
сделать любое из неравенств нестрогим,
или придумать для отдельной точки
функцию, значение которой при
равно –5, или просто указать, что
,
чтобы вся функция
стала непрерывной.
Ответ:
точка
– точка устранимого разрыва.
Замечание 1. В литературе устранимый разрыв обычно считается частным случаем разрыва 1-го рода, однако студентами чаще понимается как отдельный тип разрыва. Во избежание разночтений будем придерживаться 1-й точки зрения, а «неустранимый» разрыв 1-го рода оговаривать особо.
Пример 3.
Проверим, непрерывна ли функция
В точке
Пределы слева и
справа различны:
.
Независимо от того, определена ли функция
при
(да) и если да, то чему равна (равна 2),
точка
–точка
неустранимого разрыва 1-го рода
.
В точке
происходитконечный
скачок
(от
1 к 2).
Ответ:
точка
Замечание 2.
Вместо
и
обычно пишут
и
соответственно.
Возможен вопрос: чем отличаются функции
и
,
а также их графики? Правильный ответ:
а) 2-я функция не
определена в точке
;
б) на графике 1-й
функции точка
«закрашена», на графике 2-й – нет
(«выколотая точка»).
Точка
,
где обрывается график
,
не закрашена на обоих графиках.
Сложнее исследовать функции, по-разному определённые на трёх участках.
Пример 4.
Непрерывна ли функция
?
Так же, как в
примерах 1 – 3, каждая из функций
,
и
непрерывна на всей числовой оси, в том
числе – на участке, на котором задана.
Разрыв возможен только в точке
или (и) в точке
,
где функция переопределяется.
Задача распадается на 2 подзадачи: исследовать на непрерывность функции
и
,
причём точка
не представляет интереса для функции
,
а точка
– для функции
.
1-й
шаг.
Проверяем
точку
и функцию
(индекс не пишем):
Пределы совпадают.
По условию,
(если пределы слева и справа равны, то
фактически функция непрерывна, когда
одно и из неравенств нестрогое). Итак,
в точке
функция непрерывна.
2-й
шаг.
Проверяем
точку
и функцию
:
Поскольку
,
точка
– точка разрыва 1-го рода, и значение
(и то, есть ли оно вообще) уже не играет
роли.
Ответ:
функция непрерывна во всех точках, кроме
точки
,
где имеет место неустранимый разрыв
1-го рода – скачок от 6 к 4.
Пример 5.
Найти точки разрыва функции
.
Действуем по той же схеме, что в примере 4.
1-й
шаг.
Проверяем
точку
:
а)
,
поскольку слева от
функция постоянна и равна 0;
б)
(– чётная функция).
Пределы совпадают,
но при
функция по условию не определена, и
получается, что
– точка устранимого разрыва.
2-й
шаг.
Проверяем
точку
:
а)
;
б)
– значение функции не зависит от
переменной.
Пределы различны:
,
точка
– точка неустранимого разрыва 1-го рода.
Ответ:
– точка устранимого разрыва,
– точка неустранимого разрыва 1-го рода,
в остальных точках функция непрерывна.
Пример 6.
Непрерывна ли функция
?
Функция
определена при
,
поэтому условие
превращается в условие
.
С другой стороны,
функция
определена при
,
т.е. при
.
Значит, условие
превращается в условие
.
Получается, что
должно выполняться условие
,
и область определения всей функции –
отрезок
.
Сами по себе
функции
и
элементарны и потому непрерывны во всех
точках, в которых определены – в
частности, и при
.
Остаётся проверить,
что происходит в точке
:
а)
;
Поскольку
,
смотрим, определена ли функция в точке
.
Да, 1-е неравенство – нестрогое относительно
,
и этого достаточно.
Ответ:
функция определена на отрезке
и непрерывна на нём.
Более сложные случаи, когда одна из составляющих функций неэлементарна или не определена в какой-либо точке своего отрезка, выходят за рамки пособия.
НФ1. Постройте графики функций. Обратите внимание, определена ли функция в той точке, в которой переопределяется, и если да – каково значение функции (слово «если » в определении функции для краткости пропущено):
1) а)
б)
в)
г)
2) а)
б)
в)
г)
3) а)
б)
в)
г)
4) а)
б)
в)
г)
Пример 7.
Пусть
.
Тогда на участке
строим горизонтальную прямую
,
а на участке
строим горизонтальную прямую
.
При этом точка с координатами
«выколота», а точка
«закрашена». В точке
получается разрыв 1-го рода («скачок»),
и
.
НФ2. Исследуйтена непрерывность функции, по-разному определённые на 3-х интервалах. Постройте графики:
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
3) а)
б)
в)
г)
д)
е)
Пример 8.
Пусть
.
На участке
строим прямую
,
для чего находим
и
.
Соединяем точки
и
отрезком. Сами точки не включаем,
поскольку при
и
функция по условию не определена.
На участке
и
обводим осьOX
(на ней
),
однако точки
и
«выколоты». В точке
получаем устранимый разрыв, а в точке
– разрыв 1-го рода («скачок»).
НФ3. Постройте графики функций и убедитесь в их непрерывности:
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
НФ4. Убедитесь в непрерывности функций и постройте их графики:
1) а)
б)
в)
2 а)
б)
в)
3) а)
б)
в)
НФ5. Постройте графики функций. Обратите внимание на непрерывность:
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
3) а)
б)
в)
г)
д)
е)
4) а)
б)
в)
г)
д)
е)
5) а)
б)
в)
г)
д)
е)
НФ6. Постройте графики разрывных функций. Обратите внимание на значение функции в той точке, где функция переопределяется (и существует ли оно):
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
3) а)
б)
в)
г)
д)
е)
4) а)
б)
в)
г)
д)
е)
5) а)
б)
в)
г)
д)
е)
НФ7. То же задание, что и в НФ6:
1) а)
б)
в)
г)
д)
е)
2) а)
б)
в)
г)
д)
е)
3) а)
б)
в)
г)
д)
е)
4) а)
б)
в)
г)
д)
е)