Как найти среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел? Как находить и вычислять для двух среднее арифметическое значение

Для того чтобы найти среднее значение в Excel (при том неважно числовое, текстовое, процентное или другое значение) существует много функций. И каждая из них обладает своими особенностями и преимуществами. Ведь в данной задаче могут быть поставлены определенные условия.

Например, средние значения ряда чисел в Excel считают с помощью статистических функций. Можно также вручную ввести собственную формулу. Рассмотрим различные варианты.

Как найти среднее арифметическое чисел?

Чтобы найти среднее арифметическое, необходимо сложить все числа в наборе и разделить сумму на количество. Например, оценки школьника по информатике: 3, 4, 3, 5, 5. Что выходит за четверть: 4. Мы нашли среднее арифметическое по формуле: =(3+4+3+5+5)/5.

Как это быстро сделать с помощью функций Excel? Возьмем для примера ряд случайных чисел в строке:

Или: сделаем активной ячейку и просто вручную впишем формулу: =СРЗНАЧ(A1:A8).

Теперь посмотрим, что еще умеет функция СРЗНАЧ.

Найдем среднее арифметическое двух первых и трех последних чисел. Формула: =СРЗНАЧ(A1:B1;F1:H1). Результат:

Среднее значение по условию

Условием для нахождения среднего арифметического может быть числовой критерий или текстовый. Будем использовать функцию: =СРЗНАЧЕСЛИ().

Найти среднее арифметическое чисел, которые больше или равны 10.

Функция: =СРЗНАЧЕСЛИ(A1:A8;">=10")

Третий аргумент – «Диапазон усреднения» - опущен. Во-первых, он не обязателен. Во-вторых, анализируемый программой диапазон содержит ТОЛЬКО числовые значения. В ячейках, указанных в первом аргументе, и будет производиться поиск по прописанному во втором аргументе условию.

Внимание! Критерий поиска можно указать в ячейке. А в формуле сделать на нее ссылку.

Найдем среднее значение чисел по текстовому критерию. Например, средние продажи товара «столы».

Функция будет выглядеть так: =СРЗНАЧЕСЛИ($A$2:$A$12;A7;$B$2:$B$12). Диапазон – столбец с наименованиями товаров. Критерий поиска – ссылка на ячейку со словом «столы» (можно вместо ссылки A7 вставить само слово "столы"). Диапазон усреднения – те ячейки, из которых будут браться данные для расчета среднего значения.

В результате вычисления функции получаем следующее значение:

Внимание! Для текстового критерия (условия) диапазон усреднения указывать обязательно.

Как посчитать средневзвешенную цену в Excel?

Как мы узнали средневзвешенную цену?

Формула: =СУММПРОИЗВ(C2:C12;B2:B12)/СУММ(C2:C12).

С помощью формулы СУММПРОИЗВ мы узнаем общую выручку после реализации всего количества товара. А функция СУММ - сумирует количесвто товара. Поделив общую выручку от реализации товара на общее количество единиц товара, мы нашли средневзвешенную цену. Этот показатель учитывает «вес» каждой цены. Ее долю в общей массе значений.

Среднее квадратическое отклонение: формула в Excel

Различают среднеквадратическое отклонение по генеральной совокупности и по выборке. В первом случае это корень из генеральной дисперсии. Во втором – из выборочной дисперсии.

Для расчета этого статистического показателя составляется формула дисперсии. Из нее извлекается корень. Но в Excel существует готовая функция для нахождения среднеквадратического отклонения.

Среднеквадратическое отклонение имеет привязку к масштабу исходных данных. Для образного представления о вариации анализируемого диапазона этого недостаточно. Чтобы получить относительный уровень разброса данных, рассчитывается коэффициент вариации:

среднеквадратическое отклонение / среднее арифметическое значение

Формула в Excel выглядит следующим образом:

СТАНДОТКЛОНП (диапазон значений) / СРЗНАЧ (диапазон значений).

Коэффициент вариации считается в процентах. Поэтому в ячейке устанавливаем процентный формат.

) и выборочное среднее (выборки).

Энциклопедичный YouTube

• 1 / 5

  Обозначим множество данных X = (x 1 , x 2 , …, x n ), тогда выборочное среднее обычно обозначается горизонтальной чертой над переменной (, произносится «x с чертой»).

  Для обозначения среднего арифметического всей совокупности используется греческая буква μ . Для случайной величины , для которой определено среднее значение, μ есть вероятностное среднее или математическое ожидание случайной величины. Если множество X является совокупностью случайных чисел с вероятностным средним μ, тогда для любой выборки x i из этой совокупности μ = E{x i } есть математическое ожидание этой выборки.

  На практике разница между μ и x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} в том, что μ является типичной переменной, потому что видеть можно скорее выборку, а не всю генеральную совокупность. Поэтому, если выборку представлять случайным образом (в терминах теории вероятностей), тогда x ¯ {\displaystyle {\bar {x}}} (но не μ) можно трактовать как случайную переменную , имеющую распределение вероятностей на выборке (вероятностное распределение среднего).

  Обе эти величины вычисляются одним и тем же способом:

  x ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i = 1 n (x 1 + ⋯ + x n) . {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}(x_{1}+\cdots +x_{n}).}

  Примеры

  • Для трёх чисел необходимо сложить их и разделить на 3:
  x 1 + x 2 + x 3 3 . {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}}.}
  • Для четырёх чисел необходимо сложить их и разделить на 4:
  x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 . {\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}}{4}}.}

  Или проще 5+5=10, 10:2. Потому что мы складывали 2 числа, а значит, сколько чисел складываем, на столько и делим.

  Непрерывная случайная величина

  f (x) ¯ [ a ; b ] = 1 b − a ∫ a b f (x) d x {\displaystyle {\overline {f(x)}}_{}={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)dx}

  Некоторые проблемы применения среднего

  Отсутствие робастности

  Хотя среднее арифметическое часто используется в качестве средних значений или центральных тенденций, это понятие не относится к робастной статистике, что означает, что среднее арифметическое подвержено сильному влиянию «больших отклонений». Примечательно, что для распределений с большим коэффициентом асимметрии среднее арифметическое может не соответствовать понятию «среднего», а значения среднего из робастной статистики (например, медиана) может лучше описывать центральную тенденцию.

  Классическим примером является подсчёт среднего дохода. Арифметическое среднее может быть неправильно истолковано в качестве медианы , из-за чего может быть сделан вывод, что людей с большим доходом больше, чем на самом деле. «Средний» доход истолковывается таким образом, что доходы большинства людей находятся вблизи этого числа. Этот «средний» (в смысле среднего арифметического) доход является выше, чем доходы большинства людей, так как высокий доход с большим отклонением от среднего делает сильный перекос среднего арифметического (в отличие от этого, средний доход по медиане «сопротивляется» такому перекосу). Однако, этот «средний» доход ничего не говорит о количестве людей вблизи медианного дохода (и не говорит ничего о количестве людей вблизи модального дохода). Тем не менее, если легкомысленно отнестись к понятиям «среднего» и «большинство народа», то можно сделать неверный вывод о том, что большинство людей имеют доходы выше, чем они есть на самом деле. Например, отчёт о «среднем» чистом доходе в Медине, штат Вашингтон , подсчитанный как среднее арифметическое всех ежегодных чистых доходов жителей, даст на удивление большое число из-за Билла Гейтса . Рассмотрим выборку (1, 2, 2, 2, 3, 9). Среднее арифметическое равно 3.17, но пять значений из шести ниже этого среднего.

  Сложный процент

  Если числа перемножать , а не складывать , нужно использовать среднее геометрическое , а не среднее арифметическое. Наиболее часто этот казус случается при расчёте окупаемости инвестиций в финансах.

  Например, если акции в первый год упали на 10 %, а во второй год выросли на 30 %, тогда некорректно вычислять «среднее» увеличение за эти два года как среднее арифметическое (−10 % + 30 %) / 2 = 10 %; правильное среднее значение в этом случае дают совокупные ежегодные темпы роста, по которым годовой рост получается только около 8,16653826392 % ≈ 8,2 %.

  Причина этого в том, что проценты имеют каждый раз новую стартовую точку: 30 % - это 30 % от меньшего, чем цена в начале первого года, числа: если акции в начале стоили $30 и упали на 10 %, они в начале второго года стоят $27. Если акции выросли на 30 %, они в конце второго года стоят $35.1. Арифметическое среднее этого роста 10 %, но поскольку акции выросли за 2 года всего на $5.1, средний рост в 8,2 % даёт конечный результат $35.1:

  [$30 (1 - 0.1) (1 + 0.3) = $30 (1 + 0.082) (1 + 0.082) = $35.1]. Если же использовать таким же образом среднее арифметическое значение 10 %, мы не получим фактическое значение: [$30 (1 + 0.1) (1 + 0.1) = $36.3].

  Сложный процент в конце 2 года: 90 % * 130 % = 117 % , то есть общий прирост 17 %, а среднегодовой сложный процент 117 % ≈ 108.2 % {\displaystyle {\sqrt {117\%}}\approx 108.2\%} , то есть среднегодовой прирост 8,2 %.. Это число неверно по двум причинам.

  Среднее значение для циклической переменной, рассчитанное по приведённой формуле, будет искусственно сдвинуто относительно настоящего среднего к середине числового диапазона. Из-за этого среднее рассчитывается другим способом, а именно, в качестве среднего значения выбирается число с наименьшей дисперсией (центральная точка). Также вместо вычитания используется модульное расстояние (то есть, расстояние по окружности). Например, модульное расстояние между 1° и 359° равно 2°, а не 358° (на окружности между 359° и 360°==0° - один градус, между 0° и 1° - тоже 1°, в сумме - 2°).

  Самым распространенным видом средней является средняя арифметическая.

  Средняя арифметическая простая

  Простая среднеарифметическая величина представляет собой среднее слагаемое, при определении которого общий объем данного признака в данных поровну распределяется между всеми единицами, входящими в данную совокупность. Так, среднегодовая выработка продукции на одного работающего — это такая величина объема продукции, которая приходилась бы на каждого работника, если бы весь объем выпущенной продукции в одинаковой степени распределялся между всеми сотрудниками организации. Среднеарифметическая простая величина исчисляется по формуле:

  Простая средняя арифметическая — Равна отношению суммы индивидуальных значений признака к количеству признаков в совокупности

  Пример 1. Бригада из 6 рабочих получает в месяц 3 3,2 3,3 3,5 3,8 3,1 тыс.руб.

  Найти среднюю заработную плату
  Решение: (3 + 3,2 + 3,3 +3,5 + 3,8 + 3,1) / 6 = 3,32 тыс. руб.

  Средняя арифметическая взвешенная

  Если объем совокупности данных большой и представляет собой ряд распределения, то исчисляется взвешенная среднеарифметическая величина. Так определяют средневзвешенную цену за единицу продукции: общую стоимость продукции (сумму произведений ее количества на цену единицы продукции) делят на суммарное количество продукции.

  Представим это в виде следующей формулы:

  

  Взвешенная средняя арифметическая — равна отношению (суммы произведений значения признака к частоте повторения данного признака) к (сумме частот всех признаков).Используется, когда варианты исследуемой совокупности встречаются неодинаковое количество раз.

  Пример 2. Найти среднюю заработную плату рабочих цеха за месяц

  Средняя заработная плата может быть получена путем деления общей суммы заработной платы на общее число рабочих:

  

  Ответ: 3,35 тыс.руб.

  Средняя арифметическая для интервального ряда

  При расчете средней арифметической для интервального вариационного ряда сначала определяют среднюю для каждого интервала, как полусумму верхней и нижней границ, а затем — среднюю всего ряда. В случае открытых интервалов значение нижнего или верхнего интервала определяется по величине интервалов, примыкающих к ним.

  Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными.

  Пример 3 . Определить средний возраст студентов вечернего отделения.

  

  Средние, вычисляемые из интервальных рядов являются приближенными. Степень их приближения зависит от того, в какой мере фактическое распределение единиц совокупности внутри интервала приближается к равномерному.

  При расчете средних в качестве весов могут использоваться не только абсолютные, но и относительные величины (частость):

  Средняя арифметическая обладает целым рядом свойств, которые более полно раскрывают ее сущность и упрощают расчет:

  1. Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т.е.

  

  2.Средняя арифметическая суммы варьирующих величин равна сумме средних арифметических этих величин:

  3.Алгебраическая сумма отклонений индивидуальных значений признака от средней равна нулю:

  

  4.Сумма квадратов отклонений вариантов от средней меньше, чем сумма квадратов отклонений от любой другой произвольной величины , т.е.

  Тема среднего арифметического и среднего геометрического входит в программу математики 6-7 классов. Так как параграф довольно прост для понимания, его быстро проходят, и к завершению учебного года школьники его забывают. Но знания в базовой статистике нужны для сдачи ЕГЭ, а также для международных экзаменов SAT. Да и для повседневной жизни развитое аналитическое мышление никогда не помешает.

  Как вычислить среднее арифметическое и среднее геометрическое чисел

  Допустим, имеется ряд чисел: 11, 4, и 3. Средним арифметическим называется сумма всех чисел, поделенная на количество данных чисел. То есть в случае чисел 11, 4, 3, ответ будет 6. Как образом получается 6?

  Решение: (11 + 4 + 3) / 3 = 6

  В знаменателе должно стоять число, равное количеству чисел, среднее которых нужно найти. Сумма делится на 3, так как слагаемых три.

  Теперь надо разобраться со средним геометрическим. Допустим, есть ряд чисел: 4, 2 и 8.

  Средним геометрическим чисел называется произведение всех данных чисел, находящееся под корнем со степенью, равной количеству данных чисел.То есть в случае чисел 4, 2 и 8 ответом будет 4. Вот каким образом это получилось:

  Решение: ∛(4 × 2 × 8) = 4

  В обоих вариантах получились целые ответы, так как для примера были взяты специальные числа. Так происходит отнюдь не всегда. В большинстве случаев ответ приходится округлять или оставлять под корнем. Например, для чисел 11, 7 и 20 среднее арифметическое ≈ 12,67, а среднее геометрическое - ∛1540. А для чисел 6 и 5 ответы, соответственно, будут 5,5 и √30.

  Может ли так произойти, что среднее арифметическое станет равным среднему геометрическому?

  Конечно, может. Но только в двух случаях. Если имеется ряд чисел, состоящий только либо из единиц, либо из нулей. Примечательно также то, что ответ не зависит от их количества.

  Доказательство с единицами: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (среднее арифметическое).

  ∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(среднее геометрическое).

  

  Доказательство с нулями: (0 + 0) / 2=0 (среднее арифметическое).

  √(0 × 0) = 0 (среднее геометрическое).

  Другого варианта нет и быть не может.

  В вычислении среднего значения теряется.

  Среднее значение набора чисел равно сумме чисел S, деленной на количество этих чисел. То есть получается, что среднее значение равно: 19/4 = 4.75.

  Обратите внимание

  Если потребуется найти среднее геометрическое всего для двух чисел, то инженерный калькулятор вам не понадобится: извлечь корень второй степени (квадратный корень) из любого числа можно при помощи самого обычного калькулятора.

  Полезный совет

  В отличие от среднего арифметического, на геометрическое среднее не так сильно влияют большие отклонения и колебания между отдельными значениями в исследуемом наборе показателей.

  Источники:

  • Онлайн-калькулятор, рассчитывающий среднее геометрическое
  • среднее геометрическое формула

  Среднее значение - это одна из характеристик набора чисел. Представляет собой число, которое не может выходить за пределы диапазона, определяемого наибольшим и наименьшим значениями в этом наборе чисел. Среднее арифметическое значение - наиболее часто используемая разновидность средних.

  

  Инструкция

  Сложите все числа множества и разделите их на количество слагаемых, чтобы получить среднее арифметическое значение. В зависимости от конкретных условий вычисления иногда проще делить каждое из чисел на количество значений множества и суммировать результат.

  Используйте, например, входящий в состава ОС Windows , если вычислить среднее арифметическое значение в уме не представляется возможным. Открыть его можно с помощью диалога запуска программ. Для этого нажмите «горячие клавиши» WIN + R или щелкните кнопку «Пуск» и выберите в главном меню команду «Выполнить». Затем напечатайте в поле ввода calc и нажмите на Enter либо щелкните кнопку «OK». Это же можно сделать через главное меню - раскройте его, перейдите в раздел «Все программы» и в секции «Стандартные» и выберите строку «Калькулятор».

  Введите последовательно все числа множества, нажимая после каждого из них (кроме последнего) клавишу «Плюс» или щелкая соответствующую кнопку в интерфейсе калькулятора. Вводить числа тоже можно как с клавиатуры, так и щелкая соответствующие кнопки интерфейса.

  Нажмите клавишу с косой (слэш) или щелкните этот в интерфейсе калькулятора после ввода последнего значения множества и напечатайте количество чисел в последовательности. Затем нажмите знак равенства, и калькулятор рассчитает и покажет среднее арифметическое значение.

  Можно для этой же цели использовать табличный редактор Microsoft Excel. В этом случае запустите редактор и введите в соседние ячейки все значения последовательности чисел. Если после ввода каждого числа вы будете нажимать Enter или клавишу со стрелкой вниз или вправо, то редактор сам будет перемещать фокус ввода в соседнюю ячейку.

  Щелкните следующую за последним введенным числом ячейку, если вам не достаточно только увидеть среднее арифметическое значение. Раскройте выпадающий с изображением греческой сигма (Σ) команд «Редактирование» на вкладке «Главная». Выберите в нем строку «Среднее » и редактор вставит нужную формулу для вычисления среднеарифметического значения в выделенную ячейку. Нажмите клавишу Enter, и значение будет рассчитано.

  Среднее арифметическое - одна из мер центральной тенденции, широко используемая в математике и статистических расчетах. Найти среднее арифметическое число для нескольких значений очень просто, но у каждой задачи есть свои нюансы, знать которые для выполнения верных расчетов просто необходимо.

  

  Что такое среднее арифметическое число

  Среднее арифметическое число определяет усредненное значение для всего исходного массива чисел. Другими словами, из некоторого множества чисел выбирается общее для всех элементов значение, математическое сравнение которого со всеми элементами носит приближенно равный характер. Среднее арифметическое число используется, преимущественно, при составлении финансовых и статистических отчетов или для расчетов результатов проведенных подобных опытов.

  Как найти среднее арифметическое число

  Поиск среднего арифметического числа для массива чисел следует начинать с определения алгебраической суммы этих значений. К примеру, если в массиве присутствуют числа 23, 43, 10, 74 и 34, то их алгебраическая сумма будет равна 184. При записи среднее арифметическое обозначается буквой μ (мю) или x (икс с чертой). Далее алгебраическую сумму следует разделить на количество чисел в массиве. В рассматриваемом примере чисел было пять, поэтому среднее арифметическое будет равно 184/5 и составит 36,8.

  Особенности работы с отрицательными числами

  Если в массиве присутствуют отрицательные числа, то нахождение среднего арифметического значения происходит по аналогичному алгоритму. Разница имеется только при рассчетах в среде программирования, или же если в задаче есть дополнительные условия. В этих случаях нахождение среднего арифметического чисел с разными знаками сводится к трем действиям:

  1. Нахождение общего среднего арифметического числа стандартным методом;
  2. Нахождение среднего арифметического отрицательным чисел.
  3. Вычисление среднего арифметического положительных чисел.

  Ответы каждого из действий записываются через запятую.

  Натуральные и десятичные дроби

  Если массив чисел представлен десятичными дробями, решение происходит по методу вычисления среднего арифметического целых чисел, но сокращение результата производится по требованиям задачи к точности ответа.

  При работе с натуральными дробями их следует привести к общему знаменателю, который умножается на количество чисел в массиве. В числителе ответа будет сумма приведенных числителей исходных дробных элементов.

  • Инженерный калькулятор.

  Инструкция

  Учитывайте, что в общем случае среднее геометрическое чисел находится путем перемножения этих чисел и извлечения из них корня степени, которая соответствует количеству чисел. Например, если нужно найти среднее геометрическое пяти чисел, то из произведения нужно будет извлекать корень степени.

  Для нахождения среднего геометрического двух чисел используйте основное правило. Найдите их произведение, после чего извлеките из него квадратный корень, поскольку числа два, что соответствует степени корня. Например, для того чтобы найти среднее геометрическое чисел 16 и 4, найдите их произведение 16 4=64. Из получившегося числа извлеките квадратный корень √64=8. Это и будет искомая величина. Обратите внимание на то, что среднее арифметическое этих двух чисел больше и равно 10. Если корень не извлекается нацело, произведите округление результата до нужного порядка.

  Чтобы найти среднее геометрическое более чем двух чисел, тоже используйте основное правило. Для этого найдите произведение всех чисел, для которых нужно найти среднее геометрическое. Из полученного произведения извлеките корень степени, равной количеству чисел. Например, чтобы найти среднее геометрическое чисел 2, 4 и 64, найдите их произведение. 2 4 64=512. Поскольку нужно найти результат среднего геометрического трех чисел, что из произведения извлеките корень третей степени. Сделать это устно затруднительно, поэтому воспользуйтесь инженерным калькулятором. Для этого в нем есть кнопка "x^y". Наберите число 512, нажмите кнопку "x^y", после чего наберите число 3 и нажмите кнопку "1/х", чтобы найти значение 1/3, нажмите кнопку "=". Получим результат возведения 512 в степень 1/3, что соответствует корню третьей степени. Получите 512^1/3=8. Это и есть среднее геометрическое чисел 2,4 и 64.

  С помощью инженерного калькулятора можно найти среднее геометрическое другим способом. Найдите на клавиатуре кнопку log. После этого возьмите логарифм для каждого из чисел, найдите их сумму и поделите ее на количество чисел. Из полученного числа возьмите антилогарифм. Это и будет среднее геометрическое чисел. Например, для того чтобы найти среднее геометрическое тех же чисел 2, 4 и 64, сделайте на калькуляторе набор операций. Наберите число 2, после чего нажмите кнопку log, нажмите кнопку "+", наберите число 4 и снова нажмите log и "+", наберите 64, нажмите log и "=". Результатом будет число, равное сумме десятичных логарифмов чисел 2, 4 и 64. Полученное число разделите на 3, поскольку это количество чисел, по которым ищется среднее геометрическое. Из результата возьмите антилогарифм, переключив кнопку регистра, и используйте ту же клавишу log. В результате получится число 8, это и есть искомое среднее геометрическое.